第二十九章投影与视图（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．由6个同样的立方体摆出从正面看是 的几何体，下面摆法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（　　） A．6-3 B．4 C．6 D．3-2 3．明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） ​ A． B． C． D． 4．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点 出发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（　　） A． B． C． D． 5．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD-EFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且FP=2PB，GQ=，若将这个正方体纸盒沿折线AP-PQ-QH裁剪并展开，得到的平面图形是（　　） A．一个六边形 B．一个平行四边形 C．两个直角三角形 D．一个直角三角形和一个直角梯形 6．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（　　） A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为　 　． 8．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高　 　m． 9． 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长米，它的影长FD是3米，同一时刻测得OA是274米，则金字塔的高度BO是　 　米． 10．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点 处吃食物，那么它爬行的最短路程是　 　. 11．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为　 　米. 12．墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走　 　 个小正方体． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成． （1）从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． （2）这个几何体的表面积为　 　cm2． 14．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积． 15．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 16．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB=6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长． 17．如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2 米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值） 19．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（ 取1.73） （1）求楼房的高度约为多少米？ （2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 20．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． （1）该小组的同学在这里利用的是　 　 投影的有关知识进行计算的； （2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图1是边长为 的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形（图中阴影部分）后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图2为盒子的示意图（铁片的厚度忽略不计）. （1）设剪去的小正方形的边长为 ，折成的长方体盒子的容积为 ，直接写出用只含字母 的式子表示这个盒子的高为　 　 ，底面积为　 　 ，盒子的容积 为　 　 ， （2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 之间的关系，小明列表分析： 1 2 3 4 5 6 7 8 324 588 576 500 252 128 填空：①　 　， 　 　； ②由表格中的数据观察可知当 的值逐渐增大时， 的值　 　.（从“逐渐增大”，“逐渐减小”“先增大后减小”，“先减小后增大”中选一个进行填空） 22．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试． （1）如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少． （2）不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？ 六、解答题（本大题共12分） 23．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ） 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十九章 投影与视图（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．由6个同样的立方体摆出从正面看是 的几何体，下面摆法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、主视图得到两行两列，故A不符合题意 B、主视图是，故B符合题意 C、主视图是两行三列，且第一二列都是两个，故C不符合题意 D、主视图是两行四列，故D不符合题意 故答案为：B． 2．如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长（　　） A．6-3 B．4 C．6 D．3-2 【答案】B 【解析】解：第一次观察到的影子长为6×cot60°=2（米）； 第二次观察到的影子长为6×cot30°=6（米）． 两次观察到的影子长的差=6﹣2=4（米）． 故选B． 3．明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） ​ A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面． 故答案为：B． 4．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点 出发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形 ，则线段 为所求的最短路程． 设 ． ， 即 ． 为弧 中点， ， ， 最短路线长为 ． 故答案为： ． 5．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD-EFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且FP=2PB，GQ=，若将这个正方体纸盒沿折线AP-PQ-QH裁剪并展开，得到的平面图形是（　　） A．一个六边形 B．一个平行四边形 C．两个直角三角形 D．一个直角三角形和一个直角梯形 【答案】B 【解析】四个侧面除AEDH没有剪开，其它三个面都剪开，将剪开图形展开即可判断。 依题意可知，BP= BF= DH，CQ=CG= DH， 又∵PB∥CQ∥DH， ∴△APB∽△AQC∽△AHD， ∴A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图) 故选B． 6．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（　　） A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3 【答案】B 【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6cm，6cm，3cm的长方体截去一个三条侧棱长分别为4cm，4cm，3cm的一个三棱锥（长方体的一个角）后的图形，如图所示． ∴该几何体的体积V=6×6×3-=100（cm3）． 故答案为B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的主视图的面积为　 　． 【答案】5 【解析】解：主视图如图所示， ∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体， ∴主视图的面积为5×12=5， 故答案为5． 8．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树 的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子离 为2m，那么这棵大树高　 　m． 【答案】9 【解析】解：延长AD交BC延长线于E， 根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4， ∵CD=2m， ∴CE= m， ∴BE=BC+CE=5+ = m， ∴BE：AB=1：1.4， ∴AB=9m． 故答案为：9． 9． 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长米，它的影长FD是3米，同一时刻测得OA是274米，则金字塔的高度BO是　 　米． 【答案】137 【解析】解：由题意，得：， 即：， ∴； 故答案为：137． 10．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点 处吃食物，那么它爬行的最短路程是　 　. 【答案】5 【解析】解：分三种情况：如图1， ， 如图2， ， 如图3， ， ， 它爬行的最短路程为5， 故答案为：5. 11．如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝12米，BC＝20米，CD的坡度为i＝1：2；且此时测得1米杆在地面上的影长为2米，则电线杆的高度为　 　米. 【答案】 【解析】解：如图，延长与的延长线交于 过作于 设 则 因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米， 而 同理可得： 故答案为：. 12．墙角处有若干大小相同的小正方体堆成如图所示的立体图形，如果你打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后从正面、从上面、从右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，那么你最多可以搬走　 　 个小正方体． 【答案】27 【解析】解：第1列最多可以搬走9个小正方体； 第2列最多可以搬走8个小正方体； 第3列最多可以搬走3个小正方体； 第4列最多可以搬走5个小正方体； 第5列最多可以搬走2个小正方体． 9+8+3+5+2=27个． 故最多可以搬走27个小正方体． 故答案为：27． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成． （1）从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． （2）这个几何体的表面积为　 　cm2． 【答案】（1）解：如图： （2）26 【解析】解：（1）根据从不同方向看的形状图的要求画图即可： （1）根据题意，得每个小正方形的面积为， 所以几何体的表面积为： 故答案为： 14．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积． 【答案】解：设宽为x cm，则长为（x+4）cm，高为 （18-x）， 由题意得：2（x+4）+x+ （18-x）=37， 解得：x=8． 则x+4=12， （18-x）=5，8×5×12=480（cm3）． 答：这种药品包装盒的体积为480 cm3． 15．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 【答案】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F， 在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°， 则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm）， 由题意得：=，即=， 解得：EF=135， ∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm， 则=， 解得：AB=170+60， 答：立柱AB的高度为(170+60)cm． 16．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB=6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC=3m． （1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长． 【答案】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图； （2）∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE． ∵∠ABC=∠DEF=90°， ∴△ABC∽△DEF， ∴=，即= ∴DE=12（m）． 17．如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度． 【答案】解：如图， ∵AD∥PH，∴△ADB∽△HPB；△AMC∽△HPC（M是AD的中点），∴AB：HB=AD：PH，AC：AM=HC：PH，即2.4：（2.4+AH）=1.6：PH，1.05：0.8=（1.05+HA）：PH，解得：AH=8.4，PH=7.2． 答：路灯的高度为7.2m． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2 米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值） 【答案】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形． 在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x， ∵QN2=EN2+QE2， ∴20=5x2， ∵x＞0， ∴x=2， ∴EN=2，EQ=MF=4， ∵MN=3， ∴FQ=EM=1， 在Rt△PFM中，PF=FM•tan60°=4 ， ∴PQ=PF+FQ=4 +1 19．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（ 取1.73） （1）求楼房的高度约为多少米？ （2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由． 【答案】（1）解：当α=60°时，在Rt△ABE中， ∵tan60°= = ， ∴AB=10•tan60°=10 ≈10×1.73=17.3米． 即楼房的高度约为17.3米； （2）解：当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下： 假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H． ∵∠BFA=45°， ∴tan45°= =1， 此时的影长AF=AB=17.3米， ∴CF=AF﹣AC=17.3﹣17.2=0.1米， ∴CH=CF=0.1米， ∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上， ∴小猫仍可以晒到太阳． 【解析】（1）在Rt△ABE中，由tan60°= = ，即可求出AB=10•tan60°=17.3米；（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳． 20．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． （1）该小组的同学在这里利用的是　 　 投影的有关知识进行计算的； （2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程。 【答案】（1）平行 （2）解：过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N． 则MB=EF=2，ND=GH=3，ME=BF=10，NG=DH=5．所以AM=10﹣2=8，由平行投影可知，，即， 解得CD=7，即电线杆的高度为7米． 【解析】（1）这是利用了平行投影的有关知识； 该小组的同学在这里利用的是 平行投影的有关知识进行计算的； 故答案是：平行； （2）过点E作EM⊥AB于M，过点G作GN⊥CD于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式：，即，由此求得CD即电线杆的高度即可． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图1是边长为 的正方形薄铁片，小明将其四角各剪去一个相同的小正方形（图中阴影部分）后，发现剩余的部分能折成一个无盖的长方体盒子，图2为盒子的示意图（铁片的厚度忽略不计）. （1）设剪去的小正方形的边长为 ，折成的长方体盒子的容积为 ，直接写出用只含字母 的式子表示这个盒子的高为　 　 ，底面积为　 　 ，盒子的容积 为　 　 ， （2）为探究盒子的体积与剪去的小正方形的边长 之间的关系，小明列表分析： 1 2 3 4 5 6 7 8 324 588 576 500 252 128 填空：①　 　， 　 　； ②由表格中的数据观察可知当 的值逐渐增大时， 的值　 　.（从“逐渐增大”，“逐渐减小”“先增大后减小”，“先减小后增大”中选一个进行填空） 【答案】（1）x；； （2）512；384；先增大后减小 【解析】（1）由小正方形的边长可知这个盒子的高为xcm，底面积为 的正方形，所以底面积为 ，盒子的容积 为 ； （2）①将 代入 得 ，将 代入 得 ； ②观察表格可知 的值先增大到588随后开始减小，所以当 的值逐渐增大时， 的值先增大后减小. 22．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置于是，他们做了以下尝试． （1）如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为那么灯泡离地面的高度为多少． （2）不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？ 【答案】（1）解：， ，． ∽． 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； （2）解：设横向影子，的长度和为ycm， 同理可得， 解得． 即横向影子，的长度和为． 六、解答题（本大题共12分） 23．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表 AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37° ，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，tan84°≈ ） 【答案】（1）解：∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°， ∴∠BAD＝∠ADC－∠ABC， ∴∠BAD＝47°． 答：∠BAD的度数是47°． （2）解：在Rt△ABC中， ， ∴ ． 同理，在Rt△ADC中，有 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴ (米)． 答：表AC的长是3.3米． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$