第二十八章锐角三角函数（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是 A． B． C． D． 2．如图是的高，，，，则的长为（　　）. A． B． C． D． 第2题图 第3题图 3．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（　　） A． B． C． D． 4．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 第4题图 第5题图 第6题图 5．如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知中，，，，那么的长是 　 　． 8．关于x的一元二次方程 +tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α =　 　． 9．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 　． 第9题图 第10题图 第11题图 10．如图，在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米 (结果保留根号)． 11．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，连接，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是　 　． 12．如图，在 中， ，点 在 边上， ，点E在 边上， ，点F为 上一点， ，若 ， ，则 的长为　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算： （1） 。 （2） 。 14． 先化简，再求值：，其中 15．已知在直角中，，，，求和大小． 16．如图，在 中， ，垂足为D， . （1）求 的值； （2）过点B作 ，若 ，求 的长. 17．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图所示，小明到某景区参观大佛（AB），他在E点直立测得大佛顶端的仰角为 ，当其再次前行6. 43米在G点测得大佛顶端的仰角为 ，若已知大佛（AB）的高度为21米，请你依据数据计算小明同学的身高为多少米?（结果精确到0. 1米） （参考数据： ） 19．如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 . （1）求证：四边形ADBE是菱形； （2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长 20．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且，垂足为E，连接AD，BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径为4，求BF的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，＝　 　° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少? （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少?（参考数据：） 22．阅读材料，回答问题： 小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系． 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，已知二次函数的图象交轴分别于，两点，交轴于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）求； （3）在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过A作AD⊥BC， ∵AB=AC， ∴BD=DC=BC=3， 在Rt△ABD中，AB=4，BD=3， ∴cosB==． 故选C． 2．如图是的高，，，，则的长为（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°， ∴， ∴， ∴. ∵，即， ∴， 解得：， ∴. 故答案为：C. 3．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC，sin∠AOB＝，则tanC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设AB=3m，则BC=3m， sin∠AOB＝， OB=7m， 故答案为：B. 4．图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支樟杆的端点离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵OB=OD，∠BOD=70°， ∴∠OBD=∠ODB=55°， ∵OB=50cm，OA=80cm， ∴AB=OA+OB=130cm， ∵， ∴AE=AB·sin55°=130sin55°cm. 故答案为：B. 5．如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接BI， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵弧CD=弧CD， ∴∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴ID=BD， ∴设ID =BD=x， ∵AB是⊙O的直径， ∴BD⊥AD， ∴∠BDA=90°， ∵OI⊥AD， ∴AI=DI， ∴AD=2DI=2x， ∴AB= ， ∵弧BD=弧BD， ∴∠BCD=∠BAD， ∴ ， 故答案为：D. 6．如图，在矩形中，交于点，点在上，连接分别交，于点，．若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：连接BD交AC于点O，连接OG， ∵BG=GF=DF， ∴∠FGD=∠FDG. ∵四边形ABCD为矩形， ∴OB=OD，AB=CD，∠ABC=∠BCD=90°， ∴OG为△BDF的中位线， ∴OG∥DC，DF=BG=GF=2OG， ∴∠ACD=∠COG. ∵∠FGD+∠OHG=90°，∠ACD+∠FDG=90°， ∴∠OHG=∠ACD. ∵∠OHG=∠CHF， ∴∠OHG=∠CHF=∠ACD=∠COG， ∴OG=GM，MF=FC. 设OG=GH=x，则DF=GF=2x， ∴HF=FC=GF-GH=x，CD=DF+CF=3x， ∴sin∠FBC=. 故答案为：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知中，，，，那么的长是 　 　． 【答案】10 【解析】解：在中， ，， ， 故答案为：． 8．关于x的一元二次方程 +tanα=0有两个相等的实数根，则锐角α =　 　． 【答案】45° 【解析】解：∵方程x2-2x+=0有两个相等的实数根， ∴△=（-2）2-4=0， ∴=1， ∴=45°. 故答案为：45°. 9．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 　． 【答案】 【解析】解：由题意可知，AB=2，AO= =2 ，BO= =2 ， ∵S△ABO= AB•h= AO•BO•sin∠AOB， ∴ ×2×2= ×2 ×2 ×sin∠AOB， ∴sin∠AOB= ， 故答案为： ． 10．如图，在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　 　米 (结果保留根号)． 【答案】 【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F． ∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE=CF，在Rt△CFB中，CF=BC·sin45°=(米)， ∴DE=CF=(米)，在Rt△ADE中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴AD=2DE=(米)， ． 因此本题答案为： 11．如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，连接，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是　 　． 【答案】 【解析】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得 设，则BC=t，AB=BD=t 所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t 所以． 故答案为． 12．如图，在 中， ，点 在 边上， ，点E在 边上， ，点F为 上一点， ，若 ， ，则 的长为　 　． 【答案】4 【解析】解：过点F作FG⊥FD交AB于点G 设∠BCD=α，∠BAE=β，AD=x 则∠ADF=2α，∠B=2β，AC=AD=x，AB=AD＋BD=x＋1 ∴∠ADC=∠ACD=∠ACB－∠BCD=90°－α ∵∠ADC=∠BCD＋∠B ∴90°－α=α＋2β 整理可得：2α＋2β=90° 在Rt△DFG中，∠FGD=90°－∠FDG=90°－2α=2β 即∠FGD=∠B ∵sin∠B= ，sin∠FGD= ∴ 解得：DG= ∴AG=AD－DG= ∵∠FGD=2β，∠BAE=β ∴∠GFA=∠FGD－∠BAE=β=∠BAE ∴GF=AG 在Rt△DFG中，GF2＋DF2=DG2 即AG2＋4=（x－AG）2 整理，得x2－2x·AG=4 ∴x2－2x· =4 整理，得x2－4x=0 解得：x1=4，x2=0（不符合实际，舍去） 即AD=4 故答案为：4． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算： （1） 。 （2） 。 【答案】（1）解：原式= =0 （2）解：原式= = =5. 14． 先化简，再求值：，其中 【答案】解：原式， ， ； ∵， ∴原式． 15．已知在直角中，，，，求和大小． 【答案】解：∵在直角中，，，，， ∴，，即， ∴， 16．如图，在 中， ，垂足为D， . （1）求 的值； （2）过点B作 ，若 ，求 的长. 【答案】（1）解：在Rt△ADC中 ∵ ∴CD=4 ∴BD=12－4=8 在Rt△ABD中，根据勾股定理可得 ∴ （2）解：作AF⊥BE于点F ∵ ， ∴四边形ADBF是矩形 ∴AF=BD=8，AD=BF=6 ∴EF=10－6=4 在Rt△AEF中，根据勾股定理可得 17．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75 【答案】解：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AC＝80海里， 则CD＝AC＝×80＝40（海里）， 在Rt△BDC中，∠BCD＝37°， ∵tan∠BCD＝， ∴BD＝CD•tan∠BCD≈40×0.75＝30（海里）， 答：还需航行的距离BD的长约为30海里． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图所示，小明到某景区参观大佛（AB），他在E点直立测得大佛顶端的仰角为 ，当其再次前行6. 43米在G点测得大佛顶端的仰角为 ，若已知大佛（AB）的高度为21米，请你依据数据计算小明同学的身高为多少米?（结果精确到0. 1米） （参考数据： ） 【答案】解：作 ，由题意可得，DH必过点F 则有 ， ， 米， 设小明同学的身高为 米，则 米 ∴ 米 在Rt 中 ∵ ∴ 米 ∴ 米 在Rt 中 ∵ 解之得： 答：小明同学的身高约为1.7米. 19．如图， 在 Rt 中， 是 A C 边上一点， 连接 B D， E 是 外一点且满足 平分 ， 连接 D E 交 A B 于点 . （1）求证：四边形ADBE是菱形； （2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，，求 O C 的长 【答案】（1）证明：， 四边形 A D B E 是平行四边形 ∵AB平分 AE=BE 四边形ADBE是菱形. （2）解：∵菱形ADBE的周长为20， ∴AD=BD=5，AE∥BD， ， ， 即 ∴CD=3 在 Rt 中， ， 在 Rt 中， ， ， 20．如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且，垂足为E，连接AD，BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，⊙O的半径为4，求BF的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接OD， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵CD平分∠OCB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵OD是半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴ ∵⊙O的半径为4， ∴AB＝8 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴△OBD为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，＝　 　° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少? （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少?（参考数据：） 【答案】（1）58 （2）解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴90°， ∵148° ∴58° 在中90° ∵∴ ∴ （3）解：过作，， ∴ 在中＝90° ∴60° ∵58°∴32° ∴60°－32°＝28° 【解析】过点B作直线MN∥l，如图， CD//l， MN//l， MN//CD， 故答案为： 22．阅读材料，回答问题：小聪学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠=30°，BC═a=1，AC=b= ，AB=c=2，那么 = =2．通过上网查阅资料，他又知“sin90°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 = = 的关系． 这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=C，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？ （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，请判断此时“ = = ”的关系是否成立？并证明你的判断．（提示：过点C作CD⊥AB于D，过点A作AH⊥BC，再结合定义或其它方法证明）． 【答案】（1）解： ∵ =c， =c， =c， ∴“ = = ”成立， 故答案为成立． （2）解： 作CD⊥AB于D． ∵在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90°， ∴sinA= ，sinB= ， ∴ = ， = ， ∴ = ， 同理，作AH⊥BC于H，可证 = ， ∴ = = ． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图，已知二次函数的图象交轴分别于，两点，交轴于点，顶点为． （1）求抛物线的对称轴； （2）求； （3）在轴上是否存在一点，使得以，，三点为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：二次函数， 抛物线的对称轴， 抛物线的对称轴； （2）解：二次函数， ，， 把代入， 解得：，， ，， 过点作轴，垂足为点， 则，， ，， 又， ，， ， 又，， ； （3）解：存在，，， 当点在原点时，，， ， 则∽； 在中，，， ， 在中，，， ， 当时，设点的坐标为， 若，则，即， 解得， 点的坐标为， 当的坐标为或时，以、、三点为顶点的三角形与相似． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$