第二十八章锐角三角函数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 2．某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（　　） A．1000 m B．500 m C．500m D．m 3．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（　　） A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18 5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（　　） A．或 B．2或 C．或 D．或3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知是锐角，，则的值为　 　． 8．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为　 　．（结果保留小数点后1位）（参考数据：） 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为　 　米．（，结果精确到0.1） 10．如图，在 中， ， ， .将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，连接 ．则 　 　． 11．如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是　 　． 12．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算 . 14．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 15．如图，在中，于点D，，，，求的长． 16．如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，CD=12，tanA= ，求sinC的值． 17．如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： （1）观察图①~图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是　 　. （2）如图⑤，在 中，已知 ， ， ，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据： ， ， ） 19．如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）作射线交的延长线于点F，若，，求的长． 20．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）． （1）求楼的高； （2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，　 　；当时，　 　； （2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为　 　． 22．如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为． （1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； （2）当旋转角为时，连接，求的值． （3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 六、解答题（本大题共12分） 23．在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化． （1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是　 　，与的位置关系是　 　； （2）若，当点在线段的延长线上时， ①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由； ②如图，连接，若，，求线段的长． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4， ∴sinA==， 故选：C． 2．某人沿着坡度为1∶的山坡前进了1000 m，则这个人所在的位置升高了（　　） A．1000 m B．500 m C．500m D．m 【答案】B 【解析】解：如图所示： 由题意得，AE=1000米，tanA=1：， ∴∠A=30°. ∴EF=AE⋅sinA=1000×sin30°=1000×=500(m) 故答案为：B. 3．由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接AC，过C作CD⊥AB于点D. 观察易发现，AC=BC， ∴△ABC是等腰三角形. ∵CD⊥AB， ∴AD=BD，D点在格点上， ∴CD=，BD==. ∴tan∠ABC===. 故答案为：C. 4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为30，则k的值等于（　　） A．﹣48 B．48 C．﹣36 D．﹣18 【答案】C 【解析】解：如图，过点D作DE//AO，过点C作CF⊥AO，设CF=4x ∵四边形OABC为菱形， ∴AB//CO， AO//BC， ∵DE//AO 所以 同理 ∵ ∴， ∵ tan∠AOC＝ ∴OF=3x ∴OC=5x， ∴OA=OC=5x， ， ∴OF=，CF=， ∴点C坐标为(，)， 反比例函数y=的图象经过点C，代入点C得：k=-36 故答案为：C. 5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=10，即可求sin∠ABD的值． ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴弧AC=弧AD， ∴∠ABD=∠ABC． 根据勾股定理求得AB=10， ∴sin∠ABD=sin∠ABC=． 故选C． 6．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（　　） A．或 B．2或 C．或 D．或3 【答案】A 【解析】解：由题意得分两种情况： ①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于， ， 四边形是矩形， ，， ，即， 设，， ， 由平移得：， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； ②如图2，，延长交于，则， ， 由平移得：， 同理设，，则， ， ，， ， ， ， ，即， ， ； 综上，的值是或． 故答案为：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．已知是锐角，，则的值为　 　． 【答案】 【解析】解：∵ ， ∴-15°=30°， ∴=45°， ∴ =sin 45°=， 故答案为：. 8．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若，的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度为　 　．（结果保留小数点后1位）（参考数据：） 【答案】1.2 【解析】解：∵在中，根据正弦函数的定义有： 即 故答案为：. 9．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为　 　米．（，结果精确到0.1） 【答案】4.4 【解析】解：在直角三角形DCF中， ∵CD＝5.4，∠DCF＝30°， ∴sin∠DCF＝， ∴DF＝2.7， ∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°， ∴∠ADE＝∠DCF， ∵AD＝BC＝2， ∴cos∠ADE＝， ∴DE＝， ∴EF＝ED+DF＝2.7+1.732≈4.4（米）． 故答案为： 4.4． 10．如图，在 中， ， ， .将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，连接 ．则 　 　． 【答案】 【解析】解：∵将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ， ∴AC´=AC，∠CAC´=60°， 在 中， ， ， ， ∴AC=AB cos∠BAC=4×cos30°=4× = ， ∠BAC´=∠BAC+∠CAC´=90°， ∴AC´= ， 在Rt△BAC´中，∠BAC´=90°，AB=4，AC´= ， ． 故答案为： ． 11．如图，点D是等边△ABC内部的一点，∠ADC＝120°，AB2＝19，，则线段BD的长度是　 　． 【答案】 【解析】解：过点C作交AD延长线于H，将绕点A顺时针旋转，得到，过点D作于点N， 设AD=2x，则CD=3x， 已知 ∠ADC＝120° ，得 ∠CDH ＝60°，∴∠DCH ＝30°， ，， ∴， 在等边△ABC中，AB=AC， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：x=1， 即AD=2，CD=3， 由旋转性质得：AD=AG，， ∴是等边三角形， ∴， 已知 ∠ADC＝120° ， ∴， ， ∴， ∴， 由旋转性质得：BG=CD=3， ∴BN=BG-GN=3-1=2， 在△BND中，由勾股定理得：. 故答案为： . 12．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为　 　. 【答案】（ ） 【解析】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2）， ∴OB＝OC ∴∠OBC＝45°， 如图， 过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G， ∴∠COB＝∠MGB＝90° ∴∠CBO+∠MBG＝90° ∴∠MBG＝45° ∴MG＝BG ∴△OCB∽△GBM ∴ ＝ ∵tan∠DCB＝ ＝3 ∴ ∴BG＝6 ∴MG＝6 ∴M（8，6） 设直线CM解析式为y＝kx+b， 把C（0，2），M（8，6）代入， 解得k＝ ，b＝2 所以直线CM的解析式为y＝ +2 联立 解得 ， ∴D（ ） 故答案为：（ ）. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．计算 . 【答案】解： . 14．已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 【答案】解：（1）∵（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0， ∴tanA=1，sinB=， ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，或者∠A=45°，∠B=120°，∠C=180°﹣45°﹣120°=15°， ∴△ABC是锐角三角形或钝角三角形； （2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴原式=（1+）2﹣2﹣1， =． 15．如图，在中，于点D，，，，求的长． 【答案】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 16．如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，CD=12，tanA= ，求sinC的值． 【答案】解：∵∠ADB=∠DBC=90°，AD=6，tanA= ，tanA= ， ∴BD=4.8． ∵CD=12， ∴sinC= ． 17．如图，在中，，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求的值． 【答案】解：过点C作交AD于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 在中， ∵，即， 设，则， ∴， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： （1）观察图①~图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是　 　. （2）如图⑤，在 中，已知 ， ， ，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据： ， ， ） 【答案】（1）③④ （2）解：如图，作CD⊥AB于D， ∴∠ADC=90°， ∵AC=10，∠A=37°， ∴CD=AC·sin37°=10×0.6=6，AD=AC·cos37°=10×0.8=8， ∵AB=12， ∴BD=12-8=4， ∴BC= = = . ∴能求出BC的长，BC= . 【解析】解：（1）①只有一个角和一条边不能求出其它元素； ②只有三个角，没有已知边，不能求出其它三条边； ③如图，作CD⊥AB于D， ∵∠A=37°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-37°-60°=83°， 设AC=x， ∵∠A=37°，CD⊥AB， ∴CD=AC·sin37°=0.6x，AD=0.8x， ∵AB=12， ∴BD=12-x， ∵∠B=60°， ∴tan60°= = ，即 ， 解得：x= ，即AC= . ∴BC= = = . ④如图，作CD⊥AB于D， ∵∠A=37°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-37°-60°=83°， ∵∠A=37°，CD⊥AB，AC=10， ∴CD=AC·sin37°=6，AD=AC·cos37°=8， ∵∠B=60°， ∴tan60°= = ， ∴BD=2 ， ∴AB=AD+BD=8+2 ，BC= =4 . 综上所述：可以求出其余未知元素是③④， 故答案为：③④ 19．如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）作射线交的延长线于点F，若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接OC ∵AB为直径，C为上一点， ∴，∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵DP是的切线，D为切点， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图补全图形， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵矩形DECP对边平行， ∴， ∴， ∴． 20．如图所示，无人机在生活中的使用越来越广泛，小明用无人机测量大楼的高度．无人机悬停在空中处，测得楼楼顶的俯角是，楼的楼顶的俯角是，已知两楼间的距离米，楼的高为10米，从楼的处测得楼的处的仰角是、、、、在同一平面内）． （1）求楼的高； （2）小明发现无人机电量不足，仅能维持60秒的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在点的小明马上控制无人机从处匀速以5米秒的速度沿方向返航，无人机能安全返航吗？ 【答案】（1）解：过点A作AF⊥CD，垂足为F， 由题意得：四边形ABDF是矩形， ∴米，米， 在中，， （米）， （米）， 楼CD的高为110米； （2）解：无人机能安全返航， 理由：如图： 在中，，米， （米）， 由题意得：， ， ， ， ， ， ， 米， 无人机从E处匀速以5米/秒的速度沿EA方向返航， 无人机返航需要的时间（秒）， 秒秒， 无人机能安全返航． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，　 　；当时，　 　； （2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为　 　． 【答案】（1）2；30或210 （2）解：当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即两块三角板重叠部分图形的面积为． （3） 【解析】解：（1）如图， ∵∠ADB=∠A′D′C=90°，∠ABD=30°， ∴∠BAD=∠D′AC=90°-30°=60°， 当α=60°时，点A，D′，B共线，点A，D，C共线， ∴AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2； ∵AB=AC=2， 当AD，AD′在∠BAC的内部时， 过点A作AH⊥BC于点H， ∴∠AHC=90°， ∵AC=AB， ∴， ∴， ∴∠ACH=45°， ∴∠HAC=90°-45°=45°， ∴∠BAC=45°+45°=90°， 图1中， ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°， ∴α=120°-90°=30°； 当AD，AD′在∠BAC的外部时， 如图，过点A作AH⊥BC于点H， 同理可证∠BAC=90°， ∵∠CAD′=∠ABD=60°， ∴α=90°+60°+60°=210°； ∴当时α=30°或210°. 故答案为：2，30或210 （3）连接AF， ∵点F为BC的中点，AB=AC， ∴∠AFB=90°， ∴AB是直径， ∴点F的运动轨迹是以AB为直径的圆， ∴点F的运动路径长为. 故答案为： 22．如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为． （1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； （2）当旋转角为时，连接，求的值． （3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 【答案】（1）过点作于， 由题意， ， ， ； （2）过点作于，如图②， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ； （3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，． 过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ∴， ， ，，， ． 六、解答题（本大题共12分） 23．在菱形中，，点是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，，点的位置随着点的位置变化而变化． （1）如图，若，当点在菱形内时，连接，与的数量关系是　 　，与的位置关系是　 　； （2）若，当点在线段的延长线上时， ①如图，与有何数量关系，与有何位置关系？请说明理由； ②如图，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）； （2）解：①BP与CE的数量关系：，CE与AD的位置关系：． 理由如下： 如图，连接AC交BD于点O，延长AD交CE于点F，过点P作PG⊥AE于点G， ∵菱形ABCD中，，， ∴，，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， ， ∵平分， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接AC，CE， ∵四边形ABCD是菱形，，，， ∴，BD平分，AC平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由①知， ∴，， ∵AC平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】解：（1）如图，连接AC，延长CE交AD于点F， ∵菱形ABCD中，∠ABC=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°， ∴△ABC与△ACD都是等边三角形， ∴AB=AC，AC=CD，∠BAC=∠ACD=60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP=AE，∠PAE=60°， ∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠EAC，即∠BAP=∠CAE， 在△BAP与△CAE中， ∵AB=AC，∠BAP=∠CAE，AP=AE， ∴△BAP≌△CAE（SAS）， ∴BP=CE，∠ABP=∠ACE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ACE=∠ABP=∠ABC=30°， ∴CE平分∠ACD， ∴CE⊥AD； 故答案为：BP=CE，CE⊥AD； 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$