专练04 不等恒（能）成立问题-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019必修第一册）

专题04 不等恒（能）成立问题 黄慧群高中数学辅导资料 专题04 不等恒（能）成立问题 一、核心知识： (一)不等恒成立问题的解法： 1.对于一次函数，则： （1）如果； （2）如果. 2.设， （1）上恒成立或； （2）上恒成立或； 3.设一元二次函数 （1）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. （2）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. 4.不等恒成立问题常用转化方法： （1）若函数在区间上存在最小值或最大值，则： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. （2）若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则： ①不等式（或）在区间上恒成立； ②不等式（或）在区间上恒成立； （3）在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解， 即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。 （二）不等能成立（有解）问题的解法： 1.若函数在区间上存在最小值或最大值，则： （1）不等式在区间上有解； （2）不等式在区间上有解； （3）不等式在区间上有解； （4）不等式在区间上有解； 2.若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式有解问题有以下结论 （1）不等式（或）在区间上有解； （2）不等式（或）在区间上有解； （三）双条件不等恒（能）成立问题的解法： 对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. （1）对任意，总存在，使得； （2）若存在，对任意，使得； （3）对任意，任意，使得； （3）若存在，存在，使得. 二、热门考点： 考点一： 无界恒成立问题 经典例题： 1．已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 2.关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 . 3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________． 4. （多选）命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1.不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________． 3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 4.若命题“”是真命题，则的取值范围为 . 5．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 6．若不等式：的解集为空集，则实数的取值范围是__________. 7． “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 8.已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 10．（多选）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）“，”为真命题的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 考点二：有界恒成立问题 经典例题： 1．已知函数，若对于任意的，均有，则实数的取值范围是__________． 2.若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 3．若 ，不等式恒成立，则的取值范围为 . 4．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 6．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 培优题组： 1．已知时，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 2． “”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在上的图象恒在轴上方，则的取值范围是________． 题组三：不等能成立问题 经典例题： 1．若命题为真命题，则m的取值范围为 . 2．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 3．命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 强化训练： 1.写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值： ． 2．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 3．若存在实数x∈[2，4]，使不等式x2-2x-2-m<0成立，则m的取值范围为 . 4．若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 培优题组： 1．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______. 2．若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是__________． 3．若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ． 题组四：双条件恒（能）成立问题 经典例题： 1．已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 . 2．若对，，使不等式成立，则a的取值范围是 ． 3．若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 4．已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 强化训练： 1．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 4．（多选）函数，若对任意，存在，使得，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 5．设奇函数在上是单调函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是（    ） A． B．或或 C． D．或或 6．已知函数，，若，，使得，则的取值范围是 ． 题组五：解答题 经典例题： 1.已知二次函数.(1)若，求的值；(2)若二次函数的图像恒在轴的上方，求的取值范围. 2.设．(1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 3．已知二次函数满足，，且在上的最小值为.(1)求的解析式； (2)求在上的最小值；(3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 强化训练： 1．设函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 2．（1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围． 3．已知函数（且）.(1)当时，求的最大值；(2)若对任意，均有，求的最大值；(3)若对任意，均有，求的取值范围. 4．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有． (1)求的解析式；(2)求在区间上的最小值；(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 5．已知是定义在上的函数，若满足且．(1)求的解析式；(2)判断在区间的单调性并用定义证明；(3)设函数，若对，都有 成立，求的取值范围. 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 不等恒（能）成立问题 黄慧群高中数学辅导资料 专题04 不等恒（能）成立问题 一、核心知识： (一)不等恒成立问题的解法： 1.对于一次函数，则： （1）如果； （2）如果. 2.设， （1）上恒成立或； （2）上恒成立或； 3.设一元二次函数 （1）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. （2）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. 4.不等恒成立问题常用转化方法： （1）若函数在区间上存在最小值或最大值，则： ① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ② 数形结合( 图象在 上方即可)； ③ 讨论最值或恒成立. （2）若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则： ①不等式（或）在区间上恒成立； ②不等式（或）在区间上恒成立； （3）在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解， 即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。 （二）不等能成立（有解）问题的解法： 1.若函数在区间上存在最小值或最大值，则： （1）不等式在区间上有解； （2）不等式在区间上有解； （3）不等式在区间上有解； （4）不等式在区间上有解； 2.若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式有解问题有以下结论 （1）不等式（或）在区间上有解； （2）不等式（或）在区间上有解； （三）双变量不等恒（能）成立问题的解法： 对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. （1）对任意，总存在，使得； （2）若存在，对任意，使得； （3）对任意，任意，使得； （3）若存在，存在，使得. 二、热门考点： 考点一： 无界恒成立问题 经典例题： 1．已知不等式对于任意实数x恒成立，实数a的取值范围 ． 【答案】 【详解】由不等式对于任意实数恒成立，可得，即，解得. 故答案为：. 2.关于的不等式对于任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】显然当时不等式恒成立；当时，要满足题意则需； 综上.故答案为： 3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由题设可得，解之得，应填答案。 4. （多选）命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】命题：“，”的否定为“，”， 当时，恒成立，符合题意；当时，， 综上，，故选：AB 5．函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得恒成立，当时, 恒成立，满足题意；当时, ,解得,综上.故选:C. 强化训练： 1.不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，恒成立，当时，则，解得， 综上所述，.故选：A. 2．若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式成立，否则应有： ， 解得 或，综上可得实数的取值范围是. 3．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，，不满足题意；当时，,所以， 综上，实数的取值范围为.故答案为： 4.若命题“”是真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，当时，恒成立，当时，，解得，综上，的取值范围是.故答案为： 5．若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为命题：“，”为假命题，所以“，” 为真命题，即恒成立，所以，解得，故实数的取值范围为. 6．若不等式：的解集为空集，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当， ， ，符合要求；当时，因为关于的不等式的解集为空集，即所对应图象均在轴上方，故须，综上满足要求的实数的取值范围是，故答案为. 7． “不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】显然不满足题意，所以，解得，则“不等式在上恒成立”等价于，故要找的必要不充分条件需要被推出. 对于A，是充要条件，故A错误；对于B，因为推不出，故B错误； 对于C，因为，反之不能推出，故C正确；对于D，因为推不出，故D错误． 故选：C． 8.已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，，即；又由“”为真命题当且仅当，即，解得：或，即或.所以是的充分不必要条件.故选：A. 9．（多选）已知关于的不等式对恒成立，则实数的可取值是（    ） A．-2 B．0 C．3 D．7 【答案】BCD 【详解】当时，恒成立，满足要求，当时，需满足，解得， 故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确.故选：BCD 10．（多选）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时，不等式为，满足题意；当时，则必有且，解之得，综上a的取值范围为，显然及均为的真子集，即选项B，C满足条件．故选：BC 11．（多选）“，”为真命题的充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，由于和均为的真子集，故AB正确，CD不合要求. 故选：AB 考点二：有界恒成立问题 经典例题： 1．已知函数，若对于任意的，均有，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】若，对于任意的，均有，则， 解得：，故：实数的取值范围是． 2.若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】我们可以用改变主元的办法，将视为主元，原不等式化为：， 令，则时，恒成立，所以只需 即，所以的范围是. 3．若 ，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，不等式 恒成立，则，即，恒成立， 令，由图知在上单调递减，在上单调递增，又，故，则.故答案为： .     4．已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为且，所以，当且仅当时取等号．因为不等式恒成立， 所以，解得．故答案为：. 5．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由得，所以，所以，所以，当且仅当，时，等号成立，所以， 所以恒成立，可化为，即，解得. 故答案为； 6．若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正实数、满足，即，所以，所以，当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：B． 强化训练： 1．若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由“，”是真命题可知，不等式，恒成立，因此只需，，易知函数在上的最小值为1，所以.即实数m的取值范围是.故选：C. 2．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令函数，显然在上单调递减，，因为任意，不等式恒成立，于是，所以.故选：A 3．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式恒成立，当时，满足不等式恒成立；当时，令，则在上恒成立，函数的图像抛物线对称轴为，时，在上单调递减，在上单调递增，则有，解得；时，在上单调递增，在上单调递减，则有，解得.综上可知，的取值范围是.故选：D. 4．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为不等式恒成立，则，因为，，由可得，所以，当且仅当，即，时取等号，故，所以，即，解得，则实数的取值范围是．故选：B． 5．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为即且，所以，当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范围为.故选：A 培优题组： 1．已知时，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】当时，不等式恒成立， 时， 成立；即有在恒成立，由，即有最大值为1，则①；由在递增，即有最小值为，则有 ②；由①②可得， ，故答案为. 2． “”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数的定义域为,则恒成立，即，解得，故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.故选：B 3．已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，令，因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立，又，当且仅当时，等号成立，故，所以.故选B 4．已知，，，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则，所以，又，可得，令，则原题意等价于，，即，，当时，取到最大值，所以实数m的取值范围是．故选：C 5．已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得原不等式可化为，因，所以在上恒成立，又函数在上单调递增，且，当时，；当时，．于是且，于是，，，故选：D． 6．已知函数在上的图象恒在轴上方，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】令，则，且， 由题意可知，对任意， 恒成立，则，令，所以，又，当，即时，取到，则，即的取值范围是。 题组三：不等能成立问题 经典例题： 1．若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解，设，则函数图象开口向上，要使不等式有解，则函数图象与轴有交点，则，化简得，解得或． 2．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数的对称轴为，所以当时，该二次函数单调递增，所以，因为存在，使得不等式成立，所以有，或，因此实数的取值范围为，故答案为： 3．命题，若是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若是假命题，则为真命题，故，只需，设，则在上单调递减，在上单调递增，其中，故，所以,即实数的取值范围是,故答案为: 强化训练： 1.写出一个使得命题“恒成立”是假命题的实数的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】依题意，“恒成立”是假命题，当时，恒成立，不符合题意. 当时，可以为负数，符合题意.当时，，解得. 综上所述，或.故答案为：（答案不唯一） 2．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式以及可得，依题意可知即可，令，又，由可得，利用二次函数性质可知，即可得；即实数的取值范围是.故答案为： 3．若存在实数x∈[2，4]，使不等式x2-2x-2-m<0成立，则m的取值范围为 . 【答案】. 4．若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以，当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.故选：C. 5．已知，且为真命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，，即；又由“”为真命题当且仅当，即，解得：或，即或.所以是的充分不必要条件.故选：A. 6．设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件.故选:D. 培优题组： 1．已知不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】不等式对一切恒成立，等价于 ，因为，所以 ，所以，所以 实数的取值范围是，故答案为. 2．若在定义域内存在实数，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】即方程 有解，令 ，则 ，所以 在上有解,因此 ，解得. 3．若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，即，若存在实数使得上式成立，则，且，即，可得，则，解得，由题意可知：，所以的最大值为.故答案为：. 题组四：双条件恒（能）成立问题 经典例题： 1．已知，若，对均有成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，因为，对均有成立， 所以，因为，所以函数在上单调递增， 所以当时，，当时，在上单调递增，所以，所以，所以；当时，在上恒成立，所以，所以，符合题意；当时，在上单调递减，所以，所以，所以.综上，满足题意的实数m的取值范围为.故答案为：. 2．若对，，使不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以，由已知，设，当且仅当时，等号成立，所以即，恒成立，所以，所以.故答案为：. 3．若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图所示，若存在实数，对任意实数， 不等式恒成立， 则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合），又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意，由，得，此时直线为，则，即对恒成立，则，则，即实数m的取值范围是.故答案为： 4．已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意在中，对称轴，函数在上单调减，在上单调增，，因为对于，均有成立，即对于，均有恒成立，在中，对称轴，函数在上单调减，在上单调增，当即时， 函数在上单调减，函数在上单调减， ，所以，解得; 当，即时，函数在上单调减，在上单调增，函数在上单调减，所以，，所以，解得； 当，即时，，函数在上单调增，函数在上单调减， 所以，，所以，故不符题意，舍去； 当即时，函数在上单调增，，函数在上单调减，在上单调增，，所以，解得； 当即时，函数在上单调增，，函数在上单调减，在上单调增，，此时，，所以符合题意，当时， 函数在上单调增，函数在上单调增，所以 ，此时，所以符合题意 综上，实数的取值范围是.故选：C. 5．已知对一切，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，，则，所以，，又不等式恒成立，且，可得，令，则原题意等价于对一切，恒成立，当时，，故实数的取值范围是.故答案为：. 强化训练： 1．已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，使得成立，，又由在上单调递增，，即对恒成立，， 即对恒成立，，又由在上单调递增， 时，时，，.故选：B． 2．已知函数，.若“，，使得成立”为真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，有.，，使得成立， 等价于，.即在上恒成立，参变分离可得. 当，，当且仅当时取等号，所以，故选:C. 3．已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当，有，则，，使得成立， 等价于，，即，在上恒成立，参变分离可得，，而当，，当且仅当，即时取等号，所以. 4．（多选）函数，若对任意，存在，使得，则实数可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对任意，存在，使得，只需在上值域是在上值域的子集或，在上单调递增，故， 开口向下且对称轴：当时，，此时恒成立；当时，，此时即可，可得.综上，.故选：ABC 5．设奇函数在上是单调函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是（    ） A． B．或或 C． D．或或 【答案】B 【详解】由题意得，所以奇函数在上是单调增函数，因此，依题意，，恒成立， 则有，解得或或，所以t的取值范围是或或. 故选：B 6．已知函数，，若，，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，设，因为，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，，∴在上的最大值为5，又在上的最大值是或，由的开口向上，对称轴为，可得，，整理得，解得即，或，整理得，解得，所以.故答案为：． 题组五：解答题 经典例题： 1.已知二次函数.(1)若，求的值；(2)若二次函数的图像恒在轴的上方，求的取值范围. 【详解】（1），， ，或； （2）恒成立，，，， 的取值范围为. 2.设．(1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【详解】（1）因为，所以不等式可化为， 若对于任意，不等式恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则必有且,解得，所以实数a的取值范围为. （2）不等式化为，即，， 因为，所以当，即时，解得或，不等式的解集为或; 当，即时，不等式恒成立，解集为；当，即时，解得或， 不等式的解集为或. 3．已知二次函数满足，，且在上的最小值为.(1)求的解析式； (2)求在上的最小值；(3)设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）由可知关于对称，且在上的最小值为； 故可设，由可得，； 所以函数的解析式为； （2）由（1）可知 ①当时，，此时在区间上单调递减，可得， ②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得， ③当时，此时在区间上单调递增，； 综上可得； （3）由题知，当时，； 即求对任意，存在，使得， 令，当时，，即对于，使得恒成立， 也即对于，使得恒成立，可得， 令，所以， 因为在区间上单调递增，所以当时，；因此可得. 强化训练： 1．设函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 【详解】（1）当，，不等式即为，解得或， 所以的解集为或． （2）因为，所以不等式可化为， 依题意对，恒成立．所以当时，，不符合要求；         当时，由一元二次函数性质，可知，即，解得， 因此实数的取值范围是． 2．（1）已知函数，求函数的解析式； （2）已知关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围． 【详解】解：（1）令，则， 所以，所以． （2）由关于x的不等式在上有解，可转化为在上有解， 设，则，又由，当且仅当时取等号， 则，所以，所以实数m的取值范围是． 3．已知函数（且）. (1)当时，求的最大值； (2)若对任意，均有，求的最大值； (3)若对任意，均有，求的取值范围. 【详解】（1）当时，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为1. （2）因为，所以， 由题“”即：“，均有” 当且仅当时等号成立，故，即的最大值为4 （3）令，则，令， ①当时，由，则，则在上单调递减， 又，,所以，依题意， 故； ②当时，由，则， 1）当时，在上单调递减， 所以恒成立，符合题意； 2）当时，在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，故， 综上可得，的取值范围是. 4．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有． (1)求的解析式；(2)求在区间上的最小值；(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 【详解】（1）因为对都有，所以的图象关于直线对称， 又因为二次函数的最小值为，所以可设二次函数的解析式为， 又因为是其一个零点，所以，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 当时，，. （3）因为关于的不等式在区间上有解， 即不等式在上有解，所以， 记，因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为4，所以，即， 故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为. 5．已知是定义在上的函数，若满足且．(1)求的解析式；(2)判断在区间的单调性并用定义证明；(3)设函数，若对，都有 成立，求的取值范围. 【详解】（1）因为是定义在上的函数，若满足， 所以函数为奇函数，所以，解得，所以，                     又因为，可得，解得，所以， 此时满足，所以函数的解析式为. （2）在区间上为增函数，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以，所以，即， 所以函数在上为单调递增 （3）对，都有成立，即为， 由（2）可知在单调递增，则,又由在上恒成立， 只需在上恒成立，令， 所以在在单调递减，在上单调递增， 又，，所以，所以. 所以实数的取值范围为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$