期末精确押题之解答题训练【31题】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

期末精确押题之解答题训练 一、常用逻辑用语 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知全集为，，． (1)求； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据补集与交集的定义，计算即可； （2）根据得，由此列出不等式组求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，， 所以或， 所以； （2）因为，所以， 又因为， 时，，解得； 时，，解得， 综上，实数的取值范围是． 2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求出集合，利用集合的并集运算从而可求解. （2）由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解. 【详解】（1）由题意知，当，得， 因为，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据且列不等式组求解； （2）由求解． 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 4．（24-25高一上·江苏·期末）已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解； （2）分“p真q假”和“p假q真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解. 【详解】（1）命题为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：， 故，解得或 由于与有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 二、基本不等式 5．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【答案】(1)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. (2)（i）；（ii）9 【分析】（1）根据和分类讨论解不等式即可. （2）（i）由题意m，n分别是方程的两根，利用韦达定理即可得解； （ii）结合（i）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】（1）不等式，整理得， 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或； 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）（i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知，所以. （ii）由（i）知，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 7．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数． (1)若，且，，求的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简不等式，根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解； （2）由一元二次不等式的解集求出，再由均值不等式求最小值即可. 【详解】（1）当时，，则，， 即恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. （2）由可得， 因为不等式的解集为， 所以由根与系数关系可得， 解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即所求函数的最小值为. 三、函数的应用 8．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案. （2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值. 【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 9．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当游客量为60万台时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式； （2）当时，由函数单调性求出最大值，当时，由基本不等式求出最大值，比较后得到结论. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当万人时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当游客量为60万人时，该项目年利润最大，最大利润为350万元. 10．（24-25高一上·四川宜宾·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时的比率减少.现有甲、乙两位驾驶员停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降的比率分别为和. (1)若驾驶员甲停止喝酒后，测得他每血液中酒精含量为，经过两小时后，测得他每血液中酒精含量为，求的值； (2)若甲、乙两位驾驶员停止喝酒后测得两人体内每血液中酒精含量分别为和，请计算经过几小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等.（精确到0.01） 参考值：， 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合等衰减率衰减模型求两小时后甲每100mL血液中酒精含量，由条件列方程求； （2）设所需时间为小时，由条件关系列方程可得，解方程可得结论. 【详解】（1）因为甲停止喝酒后，每血液中酒精含量为， 两小时后，每100mL血液中酒精含量为， 甲驾驶员血液中酒精含量每小时下降的比率为， 所以两小时后甲驾驶员每100mL血液中酒精含量为， 由已知， 所以， （2）设经过小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等， 因为甲、乙两位驾驶员停止喝酒后两人体内每血液中酒精含量分别为80mg和50mg， 甲、乙两位驾驶员停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降的比率分别为和， 所以， 所以，故， 所以，故， 又， 所以， 所以， 所以约经过小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等. 四、函数及其性质 11．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断的奇偶性； （2）根据函数的奇偶性单调性将不等式化为，平方后，解二次不等式即可求解. （3）将不等式化为，分类讨论结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）是偶函数，理由如下： 因为函数的定义域为R, ， 所以是偶函数； （2）因为在都是增函数， 所以在是增函数， 因为是偶函数， 所以等价于， 所以， ， 可得，所以不等式的解集是 （3）因为，所以， 化为且不等于， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，原不等式化为，不等式解集为. 综上所述，当时不等式解集为； 当时不等式解集为. 当时不等式解集为. 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数对于任意实数，，都有，且. (1)求，的值； (2)证明：点是曲线的一个对称中心； (3)求的值. 【答案】(1)2； (2)证明见解析 (3)8098 【分析】（1）令、即可求解； （2）令，即可求解； （3）由（2）知，即可求解. 【详解】（1）令，有，得； 令有，又，所以； （2）令，则有即， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为； （3）由（2）知， 所以 . 13．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，也即求得的解析式. （2）先判断的单调性，根据单调性和奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 14．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【详解】（1）∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3）∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 15．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值，并猜想函数的单调性； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；猜想函数为上单调递增函数 (2) 【分析】（1）由可求出的值，再根据指数的性质可猜想函数的单调性； （2）利用函数的单调性的定义，先证得为上单调递增，然后结合奇函数的性质将问题转化为对任意实数恒成立，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为函数为定义在上的奇函数， 所以，得，经检验符合题意，所以； 所以， 因为在上单调递增， 所以猜想函数为上单调递增函数； （2）根据（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由函数为上单调递增的奇函数， ，即， 即， 则， 所以对任意实数恒成立， 当时，，显然成立； 当时，，解得， 综上可知，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性和单调性的综合问题，第（2）问解题的关键是利用函数的单调性和奇函数的性质将问题转化为对任意实数恒成立，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值，判断函数的函数单调性并加以证明； (2)求不等式的解集 【答案】(1)，函数在上是增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，再利用函数单调性定义推理论证单调性. （2）利用已知及（1）的结论脱去法则“f”，再借助一元二次不等式求出解析. 【详解】（1）由函数是奇函数，定义域为， 得，则，， 此时，函数为奇函数， 函数在上是增函数，证明如下： 任取，则， 由，得，则，，，因此， 所以函数在上是增函数. （2）由（1）知，函数在上是单调递增的奇函数， 不等式， 于是，即，解得，即， 所以不等式的解集为. 五、指对幂函数 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）求值：（1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）由根式与指数式的互化、指数幂和对数的运算性质即可求解； （2）先由诱导公式化简，接着由齐次式弦化切即可计算求解. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以. 18．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)是定值，关于x的不等式的解集为 【分析】（1）先求得的解析式，然后根据函数奇偶性的定义来进行判断. （2）是定值，由此化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】（1） ， 是奇函数，证明如下： 的定义域是，， 所以是奇函数. （2）为定值. 所以， 即， 即①， 在上单调递增， ， ，即②， 由①②得，而， 所以关于x的不等式的解集为. 19．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）设函数是R上的奇函数. (1)求a的值； (2)若，解不等式： 【答案】(1)1 (2)答案见解析 【分析】（1）根据奇函数定义列式运算求解； （2）由题意不等式等价为，即，分与大小讨论求解. 【详解】（1）为奇函数，， 即，整理得， 即：， ∴， . （2）不等式 等价于   ， 当，即时，解得， 当，即时，解得. 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 20．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，. (1)求证：为奇函数； (2)解关于的不等式； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案； （2）设，根据在上的单调性可得答案； （3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）函数，即， 可得，解得或， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，则为奇函数. （2）不等式，即为式， 设，即，可得在上单调递减， 所以由，所以，解得， 所以原不等式的解集为. （3）由题意，则，解得， 所以恒成立，即恒成立， 化为，即对恒成立 由， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，即的取值范围是. 21．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (3)若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【详解】（1）因为①， 则②， 故联立上述方程，解得； （2）由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； （3）方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解，而t的每个值对应x的值有2个， 所以，（）有两个不同的正根、， 记， 所以，解得， 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 六、三角函数 22．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设，若图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求c的取值范围. 【答案】(1)，； (2)函数的最大值为，最小值为； (3). 【分析】（1）由题设得函数周期，进而由周期公式即可求，再由对称轴结合函数性质列方程即可求解； （2）由得，再结合正弦函数性质即可得解. （3）由函数性质结合题设得不等式，解该不等式即可求解. 【详解】（1）由题可知，所以， 故， 又函数的图象关于直线对称，所以， 所以，即， 因为，所以. （2）由（1）可得， 当时，，所以，故， 所以函数的最大值为，最小值为. （3）由（1）得， 若，则， 若图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间， 则， 解得， 由，解得，所以，1， 当时，，又，所以； 当时，. 综上，c的取值范围为. 23．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，且为第三象限角． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解； （2）利用诱导公式化简求值. 【详解】（1）因为，， 所以，又为第三象限角， 所以，所以； （2）由诱导公式化简得： . 24．（24-25高一上·四川成都·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解 （2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解. 【详解】（1）由于点的坐标为且在单位圆上，结合，故， 因此， （2）由于，故， 因此，， 又点的坐标为，则点的坐标为 25．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦函数的性质求出解析式. （2）由（1）的结论，利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性求解. 【详解】（1）依题意，， 由函数的最小正周期为，得，解得， 由图象关于直线对称，得，即， 而，因此，所以. （2）由（1）得 ， 令，得， 则函数的单调递增区间为，依题意，， 则，所以实数的最大值是. 26．（24-25高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若A的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先化简，根据A的横坐标为求出余弦值，再分情况讨论求出正弦值，即可求的值； （2）根据求出，将原式变形为，再弦化切即可求得答案. 【详解】（1）由题， 若A的横坐标为，则 当时，； 当时，； （2）因为，所以. 所以. 27．（23-24高一下·北京东城·期末）设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：足的一条对称轴． 【答案】(1)，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出，求函数解析式即可； （2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，依题意． 【详解】（1）因为， 若选①②：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以，此时不存在； 选条件②③：由②在区间上单调递增，有，即， 又且，即，所以， 由③是的一条对称轴，则，， 所以，，所以， 所以，则的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间为； 若选①③：由①函数的图象经过点， 则，，即，， 由③是的一条对称轴，则，，所以，， 此时不存在； （2）由（1）可知， 因为，所以， 所以，， 因为对于任意的，都有，所以， 即的取值范围为． 28．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意可得两条对称轴之间的距离恰好为半个周期，由此求出，再根据“五点法”求出即可得到解析式； （2）先根据变换规律确定，再转化成,即可. 【详解】（1）根据题意可知，， 取,则， 又根据"五点法"可得， ， . （2）将的图象向左平移个单位长度得到的图象, 再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到的图象，故. 对任意的，不等式恒成立. 即对任意的， 即恒成立. 当时，， 当时，不等式恒成立. 当时，， 令， 设，，则 . 令，其值域为， ，即. 综上，的取值范围是. 29．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为． (1)求的解析式及其单调递增区间． (2)若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象若，求的值． 【答案】(1)；单调递增区间为； (2) 【分析】（1）根据三角形的面积可得周期，根据经过点可得即可求解解析式，由整体法即可求解单调区间； （2）根据平移和伸缩变换可得，进而根据同角关系即可求解. 【详解】（1）由题意，可得的高为2，的面积为， 即 ，可得，  则， 所以，解得， 因为图象与y轴交于点，所以，即， 又因为，所以， 故； 由，得 ， 所以的单调递增区间为； （2）若将的图象向右平移个单位长度，得到 的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为 原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以，由可得， 所以， 因为，所以， 所以. 30．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) (3)或 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据得到方程，求出，得到函数解析式，整体法得到函数单调性； （2）根据得到，凑角法，结合正弦和角公式得到答案； （3）根据伸缩和平移变换得到，令，故，令，从而得到，因为，所以当时，，所以，解出答案. 【详解】（1）， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）由，，， 可得，， 所以， 所以. （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 31．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 【答案】(1)是， (2) (3) 【分析】（1）利用题中给出的“重覆盖函数”的定义分析判断即可； （2）由条件可得，对任意，存在3个不同的实数，使得（其中， 即，即对任意有3个实根，进一步讨论求解即可； （3）利用已知条件结合新定义，再利用正弦函数的性质进行分析求解即可. 【详解】（1）因为， 则， 任取，令， 可得， 即或， 可得，或， 所以对于任意，能找到两个，使得， 所以是的“重覆盖函数”，且； （2）可得的定义域为， 即对任意，存在3个不同的实数， 使得（其中）， ，则， ， 即， 即对任意有3个实根， 当时，已有两个根， 故只需时，仅有1个根， 当时，，不符合题意， 当时，，则需满足，解得，此时无解， 当时，抛物线开口向下，由，可得， 所以函数在单调递减， 又， 所以， 所以， 综上，实数的取值范围是； （3）因为， 当时，当时且， 当且仅当时取等号，所以， 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 由函数的图象， 要使要有2024个根， 则， 又，则， 故正实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题对任意，恰好存在个不同的实数，，使得，由于不是同一个变量，所以只需要的值域，再用这个值域中的值去判定中的有几个满足，从而可得为的“重覆盖函数”.然后可利用数形结合，根据的值来确定参数的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末精确押题之解答题训练 一、常用逻辑用语 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知全集为，，． (1)求； (2)若，且，求实数的取值范围． 2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 4．（24-25高一上·江苏·期末）已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 二、基本不等式 5．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，． (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 7．（23-24高一上·湖南湘西·期末）已知函数． (1)若，且，，求的取值范围； (2)若关于的不等式的解集为，求的最小值． 三、函数的应用 8．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 9．（24-25高一上·四川德阳·期末）春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元． (1)求2025年该项目的利润（万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 10．（24-25高一上·四川宜宾·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某人在喝一定量的酒后，如果停止喝酒，血液中的酒精含量会以每小时的比率减少.现有甲、乙两位驾驶员停止喝酒后，血液中酒精含量每小时下降的比率分别为和. (1)若驾驶员甲停止喝酒后，测得他每血液中酒精含量为，经过两小时后，测得他每血液中酒精含量为，求的值； (2)若甲、乙两位驾驶员停止喝酒后测得两人体内每血液中酒精含量分别为和，请计算经过几小时后两人体内每血液中酒精含量恰好相等.（精确到0.01） 参考值：， 四、函数及其性质 11．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集； (3)若，求关于的不等式的解集. 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数对于任意实数，，都有，且. (1)求，的值； (2)证明：点是曲线的一个对称中心； (3)求的值. 13．（23-24高一上·云南德宏·期末）已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 14．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 15．（23-24高一上·新疆克孜勒苏·期末）已知函数为定义在上的奇函数. (1)求的值，并猜想函数的单调性； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数. (1)求的值，判断函数的函数单调性并加以证明； (2)求不等式的解集 五、指对幂函数 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）求值：（1）； （2）已知，求的值. 18．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)判断是否为定值，并求关于x的不等式的解集． 19．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）设函数是R上的奇函数. (1)求a的值； (2)若，解不等式： 20．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，. (1)求证：为奇函数； (2)解关于的不等式； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数满足，函数． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (3)若关于x的方程有四个不同的实数解．求实数m的取值范围． 六、三角函数 22．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为. (1)求和的值； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)设，若图象的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求c的取值范围. 23．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知，且为第三象限角． (1)求、的值； (2)求的值． 24．（24-25高一上·四川成都·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 25．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值. 26．（24-25高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若A的横坐标为，求的值； (2)若，求的值. 27．（23-24高一下·北京东城·期末）设函数．从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函数存在． (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)若对于任意的，都有，求实数的取值范围． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：足的一条对称轴． 28．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数在区间上单调递增，且直线和为函数的图象的两条对称轴． (1)求的一个解析式； (2)将的象先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数p的取值范围． 29．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数的部分图象如图所示.该图象与y轴交于点，与x轴交于B，C两点，D为图象的最高点，且的面积为． (1)求的解析式及其单调递增区间． (2)若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象若，求的值． 30．（23-24高一下·山东威海·期末）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 31．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”. (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由； (2)若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围； (3)若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$