专题6.2 平面向量的运算【七大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.2 平面向量的运算【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 向量的加、减运算】 3 【题型2 向量数乘的有关计算】 4 【题型3 平面向量的混合运算】 5 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 6 【题型5 向量共线定理及其应用】 9 【题型6 根据向量关系判断三角形的心】 10 【题型7 向量线性运算的几何应用】 13 【知识点1 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【题型1 向量的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【解答过程】. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【解答过程】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【解答过程】, 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量线性运算法则及平行四边形的性质计算可得. 【解答过程】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； 根据向量减法的三角形法则知，故B正确； ，故C错误； ，故D正确． 故选：C． 【题型2 向量数乘的有关计算】 【例2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，画出草图，可明确两向量的关系. 【解答过程】因为点在线段上，且. 根据题意，可得图形： 可设，则，， 且与方向相反，所以. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·重庆·期末）已知点在线段上，且，若向量，则（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，结合向量的线性表示即可求得. 【解答过程】如图，由，可得，所以，即， 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接根据已知条件以及向量加法和数乘的运算性质得到结果. 【解答过程】由已知有. 故. 故选：A. 【变式2-3】（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】因为点在线段上，且， 所以，，，故A正确，BCD错误. 故选：A. 【题型3 平面向量的混合运算】 【例3】（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则计算即可得到答案. 【解答过程】原式． 故选：D． 【变式3-1】（23-24高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果. 【解答过程】根据向量的四则运算可知， . 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3). 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】（1）. （2） . （3）. 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 【例4】（2024·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可. 【解答过程】 ， 所以，所以. 故选：D. 【变式4-1】（23-24高三上·重庆·期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 因为，所以， 则， 所以，，. 故选：D. 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 1 . 【解题思路】 利用向量线性运算求得，与题干对照即可求解. 【解答过程】 ，则，， 所以. 故答案为：1. 【变式4-3】（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 【解题思路】利用平面向量的线性运算计算即可. 【解答过程】 ， 所以，，. 故答案为：. 【知识点2 向量共线定理】 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型5 向量共线定理及其应用】 【例5】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【解答过程】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，，即 ，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【变式5-1】（23-24高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得. 【解答过程】由A，B，C三点共线，得，共线， 设，而，， 则，又，是平面内两个不共线向量，因此，， 所以. 故选：C. 【变式5-2】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【解题思路】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【解答过程】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D. 【变式5-3】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【解题思路】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解. 【解答过程】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 【题型6 根据向量关系判断三角形的心】 【例6】（24-25高一·全国·课后作业）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解题思路】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【解答过程】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．   ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 【变式6-1】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解题思路】根据的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择. 【解答过程】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 故表示起点为，终点在的平分线上的向量， 又，，与共起点，且为同向的向量， 则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心. 故选：A. 【变式6-2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【解题思路】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【解答过程】记的中点为D，则， 所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线， 所以， 又，即, 故，D正确. 故选：B. 【变式6-3】（2024高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【解题思路】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案. 【解答过程】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心. 故选：A. 【题型7 向量线性运算的几何应用】 【例7】（24-25高一下·上海·课后作业）点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【解题思路】（1）根据、可求解出关于和的表示，利用平行对应的线段比例关系求解出的表示； （2）根据向量的三角不等式求解出的最大值和最小值，注意取等条件说明. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，取等号时三点共线且在中间， 又，取等号时三点共线且在中间， 综上可知，的最大值为，最小值为. 【变式7-1】（24-25高一·全国·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    【解题思路】根据题意结合向量的线性运算分析证明. 【解答过程】由题意可得：，， 所以, 由于与，与分别共线，但与不共线， 所以，，因此N是AC的一个三等分点； 同理可证，因此M也是AC的一个三等分点． 【变式7-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 【变式7-3】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点在线段上的位置； （2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得最小以及相应的值. 【解答过程】（1）过作交于，如图，    因为，所以， 则四边形是平行四边形，故，即是的中点， 所以， 因为，所以， 所以 又因为， 所以，解得， 所以在线段上靠近点的四等分点处； （2）因为，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以当，即时，取得最小值. 所以的最小值为，此时. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 平面向量的运算【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 向量的加、减运算】 3 【题型2 向量数乘的有关计算】 3 【题型3 平面向量的混合运算】 4 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 5 【题型5 向量共线定理及其应用】 6 【题型6 根据向量关系判断三角形的心】 6 【题型7 向量线性运算的几何应用】 7 【知识点1 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 【题型1 向量的加、减运算】 【例1】（24-25高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·湖北咸宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 向量数乘的有关计算】 【例2】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·重庆·期末）已知点在线段上，且，若向量，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·山东济南·期末）在中，记，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·河南郑州·期中）点在线段上，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 平面向量的混合运算】 【例3】（2024高一下·全国·专题练习）化简：（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·重庆綦江·期中）化简为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3). 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 【例4】（2024·山东·模拟预测）在正六边形中，，若，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式4-1】（23-24高三上·重庆·期中）在中， D为AC上一点且满足 若P为BD的中点，且满足 则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上，且满足，若，则 . 【变式4-3】（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则 ． 【知识点2 向量共线定理】 1．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 2．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【题型5 向量共线定理及其应用】 【例5】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式5-1】（23-24高一下·山东潍坊·期中）已知，是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（   ） A． B． C． D．6 【变式5-2】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【变式5-3】（23-24高一下·广东深圳·期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【题型6 根据向量关系判断三角形的心】 【例6】（24-25高一·全国·课后作业）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式6-1】（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式6-2】（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【变式6-3】（2024高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【题型7 向量线性运算的几何应用】 【例7】（24-25高一下·上海·课后作业）点O是梯形对角线的交点，，，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为． （1）用和表示和； （2）若点P在梯形所在平面上运动，且，求的最大值和最小值． 【变式7-1】（24-25高一·全国·课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．    【变式7-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【变式7-3】（23-24高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为的中点，.    (1)若，试确定点在线段上的位置； (2)若，当为何值时，最小? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$