精品解析：河北省邢台市质检联盟2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

2024—2025学年高三（上）质检联盟第三次月考 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何、直线与圆的方程、概率与统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解，确定，再由交集运算即可求解； 【详解】因为，，所以． 故选：A 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算法则可求得，进而可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限． 故选：C. 3. 已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的有关判定、性质定理，可得正确结论. 【详解】因为，，所以. 又，，所以，， ，平行或异面. 故选：A 4. 若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的运算律，整理等式，可得答案. 【详解】由，得． 因为为单位向量，所以化简可得：，解得， 则与夹角的余弦值为． 故选：D. 5. 如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的体积公式计算即可. 【详解】设侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积． 侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的体积． 由题可知，从而． 故选：D. 6. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点，然后计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直， 故，. 从而，，故，即或. 但不重合，故，所以，从而，即. 而，，故. 根据对称性，光线经过的路程即为. 故选：C. 7. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解. 【详解】因为为等差数列，所以，， 则， 所以， 从而， 故， 故选：C. 8. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，根据题意作出图形，可得出关于实数的不等式（组），由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，显然恒成立． 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）． 当时，由的图象可知， ，则，解得； 当时，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数， 对任意的且时，，恒成立. 综上所述，的取值范围为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是要作出图形，将题目中的不等关系利用图象直观地显示出来，结合图形求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直四棱柱的几何性质，结合空间向量的线性运算以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】对于A，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， 所以，故A正确； 对于B，由为的中点，则， 在直四棱柱中，易知， ，故B错误； 对于C，由题意可得与的夹角为，且， 则 ，故C正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AB 【解析】 【分析】由函数奇偶性、周期性、对称性的概念可判断ACD,由结合对勾函数的单调性可判断B； 【详解】，则， 所以为奇函数，A正确． ，所以的最小正周期不是，C不正确． ，所以的图象不关于直线对称，D不正确． ，显然，且，当时，， 由，及对勾函数的单调性可得，所以． 当时，，所以的最大值为，B正确． 故选：AB 11. 已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（ ） A. m的取值范围为 B. n的取值范围为 C. 的最大值为7 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：与：， 由， 得表示点到直线和的距离和的倍， 对于AB，若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间， 当与该曲线相切时，，解得， 则的取值范围为， 当经过点时，，解得， 则的取值范围为，故A正确，B错误； 对于C，由图知，当点的坐标为时， 点到直线的距离最大，为， 所以的最大值为7，故C正确； 对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时， 点到直线和的距离和最小， 此时， 则点到直线和的距离和最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到直线和的距离和的倍，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知递增的等比数列满足，，则的前3项和______． 【答案】21 【解析】 【分析】根据是等比数列，结合条件求得即可. 【详解】因为是等比数列， 所以．又， 所以或（舍去）， 则的公比，， 从而． 故答案为：21 13. 已知，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据差角公式化简，得，代入的展开式，结合基本不等式即可求. 【详解】由，得，即， 则． 因为，所以，则， 当且仅当时，等号成立，从而的最大值为． 故答案为：． 14. 在四面体中，，，且，，，，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】把四棱锥补成一个直三棱柱，进而可求外接球的半径. 【详解】如图，过点作且，连接， 过点作且，连接，得到三棱柱． 因为，，所以三棱柱为直三棱柱． 由，得，则， 从而，则三棱柱外接球的半径， 表面积，即该四面体的外接球的表面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知，且． （1）若，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合已知可得，进而利用余弦定理可求得； （2）结合（1）可得，根据为锐角三角形，可得，求解即可. 【小问1详解】 由，得． 因为，所以，即． 所以． 【小问2详解】 由，得， 因为为锐角三角形，所以， 则，解得，即的取值范围为． 16. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． （1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）的分布列为 15 25 35 45 ；期望为【解析】 【分析】（1）通过互斥事件的概率加法公式可求得答案； （2）的所有可能取值为15，25，35，45，进而通过独立事件与互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望. 【小问1详解】 若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率． 若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率． 故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率． 【小问2详解】 记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则． 由题可知，，， ，， 则，，，． 的分布列为 15 25 35 45 ． 17. 如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，． 因为为等腰直角三角形，且，所以． 又平面平面，平面平面，所以平面． 因为平面，平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 因为，所以，又， 所以四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面，所以平面． 又，平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合直角三角形性质利用面面平行的性质定理得平面，再根据线面平行的判定定理得平面，从而利用面面平行的判定定理和性质定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则由得 令，得． 设平面的法向量为， 则由得 令，得． 所以，则平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集． （1）求函数在上的不动点集； （2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围； （3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，求方程的根即可得解， （2）构造函数，求导，结合余弦函数的有界性，对讨论，根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求解， （3）根据方程的三个根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 解得或， 故在上的不动点集为． 【小问2详解】 由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根． 令，则． 若，则在上恒成立，在上单调递增． 因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点． 若，则在上恒成立，在上单调递减． 因为，所以在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点． 若，易知是上的偶函数，且在上单调递增． 因为，所以存在，使得， 则当和时，单调递增，当时，，单调递减． 因为，所以要使得在上有且只有一个实数根，则解得． 综上可得或 【小问3详解】 由题可知，方程在上存在3个实数根， 则， 从而 令，则，当和时，单调递增，当时，单调递减， 则解得． 因为， 所以的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． （1）求点的坐标； （2）设，求数列的前项和； （3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 【答案】（1）， （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据特征方程和特征根的定义求解即可； （2）由（1）知，化简，再利用裂项相消法求解即可； （3）求得，设，分别求出，再根据特征方程和特征根的定义即可得出答案. 【小问1详解】 因为点列的特征根为和， 所以点列的特征方程为， 所以， 则，即， 所以， 所以的坐标为， 由， 得，即， 所以， 所以的坐标为； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 所以， 设， 则， ， ， 设， 则①， ②， 由①②得，即， 将代入②得， 因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数， 所以， 又，所以，得， 又， 所以点列的特征方程为，特征根为和. 【点睛】关键点点睛：理解特征方程和特征根的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三（上）质检联盟第三次月考 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、立体几何、直线与圆的方程、概率与统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若两个单位向量满足，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，侧面展开图为扇形的圆锥和侧面展开图为扇环的圆台的体积相等，且，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 6. 一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 7. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的最大值为 C. 的最小正周期为 D. 的图象关于直线对称 11. 已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（ ） A. m的取值范围为 B. n的取值范围为 C. 的最大值为7 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知递增的等比数列满足，，则的前3项和______． 13. 已知，且，则的最大值为______． 14. 在四面体中，，，且，，，，则该四面体的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知，且． （1）若，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． （1）求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 17. 如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数的定义域为，区间，若，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集． （1）求函数在上的不动点集； （2）若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围； （3）若函数在上的不动点集为，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和． （1）求点的坐标； （2）设，求数列的前项和； （3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $