专题03利用空间向量解决最值范围问题 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题03 利用空间向量解决最值/范围问题 第一章　空间向量的应用 ·人教版2019· 高中数学教研组 一、内容检索 01 PART 课前必备知识 02 PART 空间角的最值/范围问题 03 PART 空间距离的最值/范围问题 04 PART 面积、体积的最值/范围问题 05 PART 数量积的最值/范围问题 课前 必备知识 PART 01 第一部分 WRI课前 必备知识 01 一、立体几何中的最值范围问题解题思路 1.函数法，利用空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 2.根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 3.将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. WRI课前 必备知识 01 二、解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：建成函数，用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，要分析透彻动与不动的关系，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 课堂 空间角的最值/范围问题 PART 02 第二部分 W课堂 题型1 异面直线的最值范围问题 02 W课堂 题型2 线面角的最值范围问题 02 直线与平面所成角 W课堂 题型2 线面角的最值范围问题 02 直线与平面所成角 W课堂 题型2 线面角的最值范围问题 02 直线与平面所成角 W课堂 题型3 面面角的最值范围问题 02 平面与平面所成角 W课堂 题型3 面面角的最值范围问题 02 W课堂 题型3 面面角的最值范围问题 02 W课堂 题型3 面面角的最值范围问题 02 课堂 空间距离的最值/范围问题 PART 03 第三部分 W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 U W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 W课堂 题型2：空间距离的最值/范围问题 02 课堂 面积、体积的最值/范围问题 PART 04 第四部分 W课堂 题型3 面积、体积的最值/范围问题 04 C W课堂 题型3 面积、体积的最值/范围问题 04 W课堂 题型3 面积、体积的最值/范围问题 04 W课堂 题型3 面积、体积的最值/范围问题 04 W课堂 题型3 面积、体积的最值/范围问题 04 课堂 数量积的最值/范围问题 PART 05 第五部分 W课堂 题型4 数量积的最值/范围问题 05 A W课堂 题型4 数量积的最值/范围问题 05 W课堂 题型4 数量积的最值/范围问题 05 总结 课堂小结 作业 作业布置 PART 06 第六部分 POWERPOINT TEMPLATE We have many PowerPoint templates that has been specifically designed to help anyone that is stepping into the world of PowerPoint for the very first time. 祝大家学业有成， 同学们再见！ 可得 ， ， 故所求角的余弦值为 ，当 时取“ ”． D 例1．正三棱柱 的所有棱长均相等，E，F分别是棱 上的两个动点，且 ，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【解析】 设 ，以A为原点， 方向分别为x，z轴正方向 建立空间直角坐标系， 【例2】在 中， ， ．若空间点 满足 ，则直线 与平面 所成角的正切的最大值为 . 【解析】点 作 与点 ，过点 作 与点 ， 设 ，则 ， 又 ，则 ， 则点 在以 为旋转轴，底面圆半径为 的圆柱上， 如图所示：以 所在平面为 ，建立 空间直角坐标， 则平面 的法向量为： ， ，设 ，则 ， 记直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则 ， 则 ， ， 又 ，在 上单调递减.在 上单调递增，则 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 又 ，所以直线 与平面 所成角的最大值为 ， 此时 .故答案为： . 【例3】如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， ， ， 分别是线段 ， 的中点， 在平面 内的射影为 .若点 为线段 上的动点（不包括端点），锐二面角 余弦值的取值范围为 . 【解析】连接 ，因为 在平面 内的射影为 ， 所以 垂直于平面 内 这两条线段， 又因为底面是边长为2的等边三角形， 是线段 中点，所以 ， 因此建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设 ， ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 因此有 ， 设平面 的法向量为 ， 因此有 ， 令 ， 所以 ， 设 ， 则 , 二次函数 的开口向上，对称轴为 ， 所以当 时，该二次函数单调递增， 所以当 时，该二次函数有最小值 ， 当 时，该二次函数有最大值 ， 所以 ，即 ， 故答案为： . 【例1】如图，在棱长为1的正方体 中， ， ，若 平面 ，则线段 的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系. 则有 , 依题意， ， , 于是， . 又因 EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 平面 ,则 , 又 , 平面 ，故 平面 , 故平面 的法向量可取为 ， 因 平面 ，故 ，即 . 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 因 ，故当 时， .故选：D. 【例2】如图，在直三棱柱 中， ，已知 与 分别为 和 的中点， 与 分别为线 和 上的动点（不包括端点），若 ，求线段 长度的取值范围. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，设点 坐标为 ， ， 故 ，因为 ， 故可得 ，则 ，由 可得 ， 又 ，故 , 故当 时， 取得最小值 ； 又当 时， ，但无法取到 ，则 无法取到 ； 综上，线段DF长度的取值范围为 . 【例3】已知四棱锥 的底面是边长为2的正方形， 是以AD为斜边的等腰直角三角形， 平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为 ，求线段AF长的取值范围. 【解析】设O是AD的中点，则 ，由于 平面PAD， 平面PAD， 所以 ，由于 ， 平面ABCD， 所以 平面ABCD，由于 平面PAD，所以平面 平面ABCD， 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ，设 ， ；设 ， ， 则 ，设PA与EF所成角为 ， ， 整理得 ，函数 的开口向下，对称轴为 ， 所以函数 在 上递增，所以 ， 而 ， ，所以 ，解得 .所以AF的取值范围是 . 【例1】如图，正方体 的棱长为2，点 为底面 的中心，点 在侧面 的边界及其内部运动.若 ，则 面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， 设 ，其中 ，所以 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ， 由 可得 ，所以 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， 取得最大值 ， 所以 . 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 【例2】如图，在棱长为1的正方体 中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且 ． (1)求证： ； (2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面BEF的夹角的正弦值． 【解析】（1） 、 、 两两垂直， 以 为原点， 、 、 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由于 ，设 ，则 ，其中 ， 则 ， 所以 ， ， 则 ，故 ． （2）要使三棱锥 的体积取得最大值，只要 的面积最大即可， 由题意知 ， 当 时，即E，F分别为AB，BC中点时 的面积最大， 则 ， ，设平面 的法向量为 ， 又 ， ， 则 ， 令 得 ， 又正方体 中 平面 ， 所以 为平面 的一个法向量， 所以 ， 则 ， 所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 ． 【例1】正方体 的棱长为2，若动点 在线段 上运动，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】以 为原点，以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ， ， ， ， ， 可得 ， ， ， 因为点 在线段 上运动，设 ，且 ， 所以 ，可得 ， 又因为 ，所以 ，即 . 【例2】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑 中， 平面 ， ， ，E是BC的中点，H是 内的动点（含边界），且 平面 ，求 的取值范围. 【解析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得 ， ， ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 同理 平面 ， 又因为 平面 ， ，所以平面 平面 . 因为 平面 ，所以H为线段FG上的点. 由 平面 ， 平面 ，得 又 ，则 ， 由 平面 ，得 平面 ， 因为 ，所以 平面 ， ， . 因为 ， 所以 ， ， . 所以 . 因为 ，所以 . $$