7.3.2 正弦型函数的性质与图象-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

第七章三角函数 7.3.2正弦型函数的性质与图象 第1课时 正弦型函数的性质与图象（一） [学习任务] 1.会用五点法画出y=Asin(w.x十p)的图象 2.理解参数A,w,p对函数y=Asin(x十g)的图象的影响. 3.能用图象变换画y一Asin(ax十g)的简图. 自主学习探新知 谋前预习双基落实 知识点一正弦型函数图象的变换及性质 赵微判断 1,正弦型函数 判断正误（正确的画“√”，错误的画“X”). 一般地，形如 的函数称为正弦型： (1)把函数y-sinx的图象向右平移3个单 函数，其中A,,g都是常数，且A≠0，o≠0. 位得到函数y=sin(x+3)的图象.() 2.A(A>0)对y=Asin(.x十o)的图象的影响 (2)把函数y=sinx的图象向左平移2π个单 位后得到的图象与原图象重合 A>1时 到 =in(wx+》的图像 上所有点的纵标 0cA<1时 到 (3)函数y=2sin(2x+)+1的最大值为3. () =Asin(x+g)的图像 原米的A倍 横燥标不变 知识点二A,,p的物理意义 一般地，函数y=Asin x(A≠0)的定义域为 当函数y=Asin(m.x十)表示一个物体 ,值域为 ,周期是 做简谐运动时的位移时， 3.g对函数y=sin(x十g),x∈R的图象的影响 (1)川A|表示物体能偏离平衡位置的最大距 y=sin x 学>0时向 离，称为 的图像 个单留 y=si加(x+o)的阁像 学时向 变换 长度 (2)g在决定x=0时物体的位置（即Asin o) 中起关键作用，称为 般地，函数y=sin(x十o)的定义域为 (3)周期T= 表示物体完成一次运 ,值域为 ,周期是 动所需要的时间.∫ 表示 4,w(w>0)对函数y=sin(x十g)的图象的影响 单位时间内能够完成的运动次数，称为频率。 w>1时到 赵微练习 y=sin(x+的图像 上所有点的横坐标 0k<1时 到 1.函数f)-sin(分x+)的周期、振幅，初 1 y=sin(彻x+)的图像 原来的一件。 换 相分别是 纵坐标不变 1元 般地，函数y=sin.x(ω≠0)的定义域 A.r,24 B4,-2,-至 为R,值域为[一1,1]，周期是 5.一般地，正弦型函数y=Asin(ar十p)(A≠0，w≠ C.4π，24 D.2x,2,8 0)的定义域为 ,值域为 ,周期 2.如果音叉发出的声波可以用函数「(x)= 是 ,而且函数的图象可通过对正弦 0.001sin420πx描述，那么音叉声波的频率 是 曲线进行平移、伸缩得到. 25 高中数学·必修第三册(RJB) 互动探究解疑难 要点归纳菊滩突骇 探究一 五点法作函数y一Asin(w.x十g)的 探究二三角函数图象的平移变换 图象 工例2] (I)为了得到函数y=sin(2x一)的 [例1] 已知函数y=-2sim(3x+牙)+1，求： 图象，可以将函数y=sin2x的图象() (1)函数周期、振幅： (2)作出函数一个周期的图象. A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移晋个单位长度 D,向左平移个单位长度 (2)(多选)将函数y=sin(2x十9)的图象沿 x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数 I川规律方法川 的图象，则的一个可能取值为 () 用五点法作函数y=Asin(mx十g)的图象关键是抓 住五个关键点，即三个“平衡点”（即十华分别取0，， 2x时x所对应的点)、一个“泼蜂点“（即十华取交时 A B x所对应的点)、一个“波谷点“（即十中取受x时x所 C.0 D.- 对应的点)同时也要注意五点法的逆用，即由y= 1规律方法川 Asin(mr十g)的图象反过来确定z十g的值 三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y=sinx的图象经过变换后图象对应 跟踪训练 的解析式，关健是明确左右平移的方向，按“左加右减” 的原则进行， 1,已知函数f(x)=2sim(2x-牙).用五点法画 (2)已知两个丽数解析式判断其困单可的平移关系 时，首先要将解析式化为同名三角通数形式，然后再确 出长度为一个周期的闭区间上的简图. 定平移方向和平侈距离， 跟踪训练 2.把函数y=sin2x的图象向左平移答个单位， 得到的函数是 3.(2022·武汉开学考试)把函数f(x)= sin(2x十p)(-受≤p≤受)的图象上所有的 点向右平移石个单位长度后，所得图象与函 数g(x)=sin(2x-)的图象重合， 则o= 26 第七章三角函数 探究三三角函数图象的伸缩、平移变换 跟踪训练 4.(多选)以下四种变换方式，能将函数y= [例3]（)（多选）要得到函数y=sm(一2x+) sinx的图象变换成函数y=sin(2x+)的图 的图象，只需将函数y=sim(2x+)的图象 象的是 ( A.作关于y轴对称图形即可 A.向左平移无个单位长度，再将每个点的横 B.向左平移个单位即可 坐标缩短为原来的号 C.向左平移否个单位即可 B向右平移8个单位长度，再将每个点的横 D.向右平移个单位即可 坐标缩短为原来的号 (2)若函数∫(x)图象上每一个点的纵坐标保 持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将 C,将每个点的横坐标缩短为原来的)，再向 整个图象沿x轴向右平移乏个单位，向下平 右平移个单位长度 移3个单位，恰好得到y= 2sinx的图象，则 D,将每个点的横坐标缩短为原来的二，再向 f(x)= 川规律方法川 左平移答个单位长度 三角函数图象变换的法一（先平移后伸缩）和法二 5.将函数f(x)=sinx图象上每一点的横坐标 (先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位长废不同，分别是和 缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 是，但平移方向是一致的。 否个单位长度得到函数g(x)的图象，则g( (2)虽然两种平移单位长度不同，但平移时平移的 对象已有变化，所以得到的结果是一致的， 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 L.用五点法作函数f(x)=sin(2x-)的图象 D.(,0(段0)(，0)，(，-1) 时，所取的“五点”是 唔0 A(语.(0.(.(-1 2.为了得到函数y=sin(x+T)的图象，只需要 (o) 将y=sinx的图象 B(g,0)小.（受1，（经0(-1。 A向上平移开个单位 (.0) B.向左平移开个单位 C.向下平移平个单位 C.(o.1.,.(-1.o) D.向右平移不个单位 27 高中数学·必修第三册(RJB) 3.(2022·上海高一期末)函数y=2sim(号x-) 4.要得到y=sin千的图象，只需把y=sinx的 的周期、振幅、初相分别是 图象上的所有点 () A.2x,-2, A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的子，纵坐标不变 B,-2,开 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 C.2x2-牙 D.纵坐标缩短到原来的}，横坐标不变 D.4,2,一买 提示，请完成《素能提升训练》训练十 第2课时 正弦型函数的性质与图象（二） [学习任务] l.能根据y=Asin(z十o)的部分图象确定其解析式， 2.整体把握函数y=Asin(ax十e)的图象与性质，并能解决有关问题. 自主学习探新知 保前预习双基落实 知识点函数y=Asin(m.x+0)(A>0,w>0): 赵微思考 的有关性质 [思考1]如何由函数y=Asin(amx十p)的部 名称 性质 分图象确定A,仙，9的值？ 定义城 值域 周期性 T= 对称中心 (r二型，0)(k∈D 对称轴 x=+229(k∈D 2如 [思考2]如何求函数f(x)=Asin(w.x+e) 当华一 时是奇函数： 奇偶性 的单调区间、最值、对称轴和对称中心呢？ 当华 时是偶函数 由2kx- 号≤mr十g≤2kx十受，k∈乙，解得 单调性 区间：由2kx十登<十9≤2kx十 3x.k∈Z,解得 区间 28 第七章三角函数。 互动探究解疑难 要点归纳重难突骇 探究一 由图象求函数的解析式 川规律方法川 1,确定正弦型函数的单澜性时，要注意使用复合函 [例1如图是函数y=Asin(wx十g)(A>0,w 数单调性的判新方法来判断，即用整体替换法求函数y =Asin(十p》的单词区同.如果式子中x的系数为负 >0,9<受)的图象的一 数，先利用语导公式将工的系数变为正数再求其单阔区 部分，求此函数的解析式 阿，求单调区同时，需将最终结果写成区间形式， 2,已知三角函数单调区间求参数取值范国的方法 (1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区 间是该区间的子集，列不等式（组）求解， (2)反子集法：由所给区问求出整体角的取值范图， 由该取值范圈是某相应正、余兹函数的某个单调区间的 子集，列不等式（组）求解， (3)周期法：由所给区问的两个端点到其相应对 称中心的横向距离不超过四分之一周期列不等式 川规律方法川 (组)求解， 给出y=Asin(ar十p)的图象的一都分，确定A,m, 9的方法： (1)第一零点法：如果从国象可直接确定A和仙，则 。跟踪训练 选取“第一零点”（即五点法作图中的第一个点）的数据 代入“x十中=0”（要注意正确判新哪一点是“第一零 点”)求得 2.函数y=sin(2.x+)在区间[-元，0)上的单 (2)特殊值法：通过若干特殊点代入西数式，可以艰 得相关待定系数A仙，口，这里需要注意的是，要认清所 调递减区间是 选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式， 3.(2022·临沂高一期末)已知函数f(x)= (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数 的基本解析式y一Asin r,再根据图象平移规律确定相 关的参数 sin(oa+)(w>0)在[0，]上单调递增，则 跟踪训练 实数仙的值可以是 1.已知函数f(x)=Asin(x+9)(A>0,w>0, (填写一个符合题意的值即可) |p<)的图象如图所示，则函数f(x)的解 探究三 正弦型函数的值域（最值）和周期 例3](1)(2022·曲靖高一月考)已知函数 析式为 313 f)=sin(ox+）(w>0)在(0.）上单调 递增，在（子）上单调递减，则f(x)的最小 正周期为 () 探究二 正弦型函数y=Asin(.x十g)的单 调性 A.2π B.4π 已知函数fx)=-2sin(分x-晋)，则 C.6π D.8π [例2] 函数的单调递减区间是 (2)函数f(x)=2sin(x-)在区间 (2)若函数f(x)=2sin(ar+)(w>0)在 []上的最大值为 [一吾，]上单调递增，则“的取值范围 A.-2 B.1 是 C.3 D.2 29 高中数学·必修第三册(RJB) (3)已知fx)=2sin(2x+)-1,若fx)- 当A>0时，sin(mx十g)最大时，y=Asin(r十g)就 最大，sin(ox十p)最小时，y=Asin(er十g)就最小. 2m+1=0在闭区间向[一若，]上有两个不同 当A<0时，sin(amr十g)最大时，y=Asin(x十g)就 最小，sin(ux十p)最小时，y=Asin(r十c)就最大， 的解，则实数m的取值范围是 跟踪训练 川规律方法 1.求三角酒数周期的方法 4.若函数f(x)=sin(+其中x∈ (1)定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x 判箭是否存在非零常教T,使f(x+T)=f(x),若存在， 则T是它的一个周期， [一]若fx)的值域是[-1小，则实 (2)公式法：正弦型函数y=Asin(r十g)(其中A, 数α的取值范围是 9为常数，且A≠0，@≠0)的周期T=2江 5.(2022·义乌高一期中)函数f(x)=2sin(m.x 2.求函数y=Asin(ar十p)的值域与最值时，要在x 取值范围的差础上，把m十9看成整体，通过正弦函数 +)(w>0)在区间[0,20]上有50个最大 的最值情况成单调性来求解， 值，则ω的取值范围是 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1,函数f(x)=、3sin(2x-)-1的最小值和 B[2a+8,2a+keZ 最小正周期分别是 c[ka+86a+对]，bez A.-3-1,x B.-√3+1，π D[2m-吾2x+],k∈z C.-5,π 4.已知函数f(x)=Asin(mx十g)(A>0,w> D.-√3-1,2x 0,<)的图象如图所示，则f(p)= 2.已知函数f(x)=5sim(4r+号)(0<9<2x) 为偶函数，则等于 A. B. 4 C.x n受 3.函数y=√2sin(不-2x)的单调递减区间为 A.0 B.A A C. 提示请完成《素能提升训练》训练十一 307.3.2正弦型函数的性质与图象 第1课时正弦型函数的性质与图象（一） 【自主学习探新知】 知识点一1.y=Asin(r十g)2.伸长缩短R[一A, 1A门2x3.左右g1R[-1,1门2π4.缩短 伸长语5R[-A.A门 2π 探究二 微判断 (1)(×)(2)(√)(3)(V) [例2][解析] 1)函数y=sin(2x-）=sin2( 知识点二(1)振幅(2)初相(3)2气 1 o lo T 2x 微练习 小 1.解析画数x)=名m(宁十)的周期为T=红 ·为了得到函数y=si血(2：一哥)的困象，可以将函数 4红，振幅为A=号初相为9=子 y=sin2r的图象向右单移个单位长度， 6 答案C 2解新尚超可得青又声成的同期为T一品。品所以 (2)由题知，函数平移后变为y=sim2(x+晋）十p]= 音又声波的频率为了==210， sin(2x十p十开）小，因其为偶函数，则9十牙=受+， 答案210 【互动探究解疑难】 ∈，即g=至十m,k∈么，对选项一一分析可得，当k 探究一 -1时g=一是当=0时9-子AB将合条件，C, [例1门[解] 由T-吾-音-学所以高数的最小 3 D不符合条件，故进AB 正周期为行，函教的振幅为1A=2. [答案](1)A(2)AB (2)列表如下： 跟踪训练 3元 5元 x 12 亚 12 12 12 2解析把画数)一si加2江的图象向左平移否个单位，得 3x+ 0 3x 3 到的函数是y=sin2(x+）=sim(2z+）】 2sm(3x+平）+1 1 答案y=m(2x+晋) 函数y= 2sin(3r十于)+1在一个周期内的图象3解析图为函数f)=sim(2x+p(-受≤g≤受)的 如图： 图象上所有的点向右平移晋个单位长度后，得到的图象 与函数g(r)=sin(2x-)的图象重合，所以函数g(x) =sin(2一)的图象上所有的点向左平移个单位长 12 度后，得到的图象与函数fx)=sin2x十p(一受≤p≤ 跟踪训练 1.解根据五点法列表如下： 登）的图泉重合，即g(女+）=m[2(x+晋）-若] 2x一 0 x 2 2π =sin(2x+君）=sin(2x十g),所以g=若+2kr,k∈Z. x 5π Ix 9π 国为一受<≤受，所以9=吾 0 -2 0 答案晋 13 探究三 2.解析根据平移规律可知，y=sinx只需向左平移牙个 [例3][解析](1)对于A,关于y轴对称，则得到的函数图 象上任意一点(xy)关于y轴对称点（一x,y)必在函数y 单位得到y=im(x十平）】 im(2x+号)的国象上，即y=sin(-2z+号）A正确：对 答案B 子B向左争移号个单位，脚y=m[2(+晋)+管] 3.解析根据题意可得，画数y=2sn(分x-于)的网期 sin(2x+x)=一sin2x,B不正确：对于C,向左平移若个 T=语=标：旅格为2：初相为一于 单位，即y=m[2(+晋）+]=sm(2红+） 答案D 4.解析四从1变为子，三角函数周期变为原来的4倍，故 sin[x-(-2r+)门=sin(-2r+音).C正确：对于 y=sinx横坐标仲长到原来的4倍，纵坐标不变得到y= D.向右平移晋个单位，即y=sim[2(x-）+否] sin千 m(2红-）=-如(-2)=-m[x+(-2r+5）)】 答案A sin(-2x+5）D正确， 第2课时正弦型函数的性质与图象（二） 【自主学习探新知】 (2)依题意将函数y=2snx的国象向上平移3个单位， 知识点R[-A,A]Fkxk∈力标十受（∈Z刀 得到y=25血x十3的图象，再将所得圈象向左平移受 单调递增单调递诚 个单位，得到y=名m(x+受）十3=2osr+3的国 微思考 [提示1]在观察图象的基础上，A一→由图象上的最大 象，再将所得图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标 (小)值确定：一一由T=2红确定，相邻的两对称轴（中 缩短到原未的7，得到y=?0s2:十3的因象，所以 f)=os2x+3. 心)同的距离为号，相年的对称中心与对称轴之同的距离为 T [答案](DACD(2)os2r+3 9一→由五点法中的点作为突破口，要从园象的升降情 况找准第一个点的位置， 跟踪训练 [提示2]一般将似x十华看作一个整体，然后借助正弦函 4.解析A,D中的变换方式满足要求.B中的变换得到y 数的性质求解，求单调区间时，若w<0,则需利用诱导公式 =in(2x-吾)的图象：C中的变换得到y= 化为正值，求最值时，应先确定十中的范围，再结合图象 求解 sin(2x-）的图象，故选AD. 【互动探究解疑难】 答案AD 探究一 5.解析将函数f(x)一smx图象上每一点的横坐标缩短[例1门[解]方法一：（逐一定参法）由图象知A=3,T= 为原来的一半，纵坐标不变，得到y=sin2x,再向右平移 吾个单位长度得到函数g(x)的国象，则g(x)= 晋-(-若）=w-9=2y=3n(2r+g. “点(-若，0）在函数图象上，0=3sim(-吾×2+9) sin2(x-晋）=sin(2x-子） 答案sin(2x-) :-若×2+p=2kxk∈Z0,得p=5+2kxk∈Z》. 【随堂巩固促应用】 9l<受9=牙六y=3sim(2z+5） 1.解析令2x一号=0可得x=吾，又函数的最小正网期 方法二：（待定系数法）由图象知A=3. 为T=经-x,则}T=至，所以五点的坐标狼次是 :国象过点（子，0）和(0小， (晋（小（学（豐-（紧 婴+g w=2, 解得 答案A +p=2 14 方法三：（图象变换法）由A=3.T=,点(-吾，0)在图a解析令1=0以十号(m>0,则1[子+晋]，则y 象上，可知函数图泉由y=3sin2x向左平移个单位长 =如1在[+]上单调适增，所以平+<受 度而得，所以y=3sin2(x+若)，即y=3sim(2红+哥）： 解得0<w<号，所以m的位可以是(0，号]内的任行一 跟踪训练 个值 1k解斩根据图象的最大位可知，A=2,由子T=贵-音 答案 号(0，号]内的任何-个值均可) -头可得T=,所以。-经-2，再由（晋）-2，得2 探究三 [例3】[解析])由题意可知x=时，fr)取得最大 ×晋十4=受+2kxk∈2，所以p=晋+2kxk∈Z.国 位，则行+晋-受十2x∈Z,解得w=号十3次：由于 为p<受，所以9=晋，故画数f(x)的解析式为f(x) 君>经则0C<号女。名最小三同期T=标 =2sim(2r+吾）)】 2当r[受受]时-[吾] 答案f(x)=2sin(2x+答) 探究二 <sm(x-吾)长号所以1长2sin(x-吾)长， C例2][解析](1)：-sinx的减区间是2kx-受，2kx 所以高餐)=2si加(e一看)在区间[吾，受]上的最大 +]e 值为5」 8)若xe[-吾]则2x+若∈[-吾] 解得一晋<Ka+号：∈乙。 由2+百=受，得x=吾， 六)的单调递减区间是[-晋+h,要+r],kE乙 所以在[看音]上x)率调递增，[-2,1. 在区闲看，晋]上fx)单满递减，)e[-1l, (2)因为-哥<r≤子>0， 若化)-2m十1=0在闭区间[一音，受]上有两个不同 的解， 因为高数=2an(r+）w>0)在[-晋·号]上 则需要2m-1∈[5-1，.解得m∈[.) 单调递增， [答案](1)B(2)C 骨+<+2kx e[) 所以 k∈Z, 跟踪训练 -+≥-受+2k 解折周为)=sn(e十吾)的值城是[一名] 解得 所以由通载的图象和性质可如受<a十晋<管，解得@ ≤5-12k. 因为w>0,所以当长=0时上式有解，所以0<0≤ e[晋] [答案] [-吾+4，要+4]kez②o2] 答案 [] 跟踪训练 5.解析国为函数f(x)=2sim(or十子)(w>0)在区同 2解折令+2<2+<+2，∈乙解得十 [0,20]上有50个最大值， ≤r<登+，te五.所以是+a≤r≤侵+a, 第一个最大值为r十吾-受： 「11 第二个最大值为十音-受十2x, 第三个最大值为十音-登十， 15 第50个最大值为ar+晋-受十9×2x <<值为[-] 第51个最大位为r+号=受+50×2x, 2 答案[-合] 所以登十49×2x≤20w+吾<受+50×2x 2 知识点二 余弦曲线 解得高+警<<高+5 微思考 「589π601x1 综上，m的范国是120,120 [提示]平移法作余孩函数图象主要依据济导公式圆： sim(x+受）=cosx,显然在诱导公式⑤：sim(受-） 答案 T589x601x L120120/ O5x中，两个函数的解析式中自变量的系数符号相反， 【随堂巩固促应用】 所以不能利用该公式确定平移方向和单位长度 1,.解析由-1≤sim(2x-)≤l.得函数f(x)的最小值 【互动探究解疑难】 为一厅-1，最小正周期为受- 探究一 答案A [例1][解] 国为f(r)=4os(2x-哥），所以列表 2.解析“画数f(,x)=5sin(4r+号)(0<9<2m)为偶画 如下： 数，号=受+x,k∈五又0<<2x9=元 2x- 5x 3 答案C 0 5π 2x 11元 6 1 12 3解析由随设，有y=一2in(2x一子）2km一2≤ 2 4 0 4 0 2 2红一不≤2k红十受时函数单调适减，即k红一晋≤x≤k如 +Z 答案A .解析由国象可得x)的最小正周期T=4(径一晋) =w=9=2 由2·登+-要+2kkeZ解得g-青+2k,k∈Z。 跟踪训练 由g<受得g=青f)=Asin(2r+）, 1.解用五点法作图.列表如下： ∴f八g)=f(牙）=Asin x=0,故选A 0 3π 2 2元 答案A x 11元 3 3 7.3.3余弦函数的性质与图象 2 0 0 【自主学习探新知】 知识点一2.R[一1,1门T=2kπ2x偶函数[-开 描点，连线，得y=一20(一晋）在[，]上的象 +2kπ，2kx][2kπ，T十2kx]1一1kπ 如图所示： 微练习 ↑y 1解折最小正月期为T-行-受-元故选位 答案B 2解折0受“<十<。 16