7.2.4 诱导公式-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第三册同步练测（人教B版2019）

跟踪训练 7.2.4 诱导公式 两边平方得(sina+cosan)-(-)”, 第1课时 诱导公式(一) 【自主学习探新知】 3 10 知识点 1.(1)相等 (2)sina cosa tana 2.x轴 (2)因为(cos a-sina)-1-2sin acos a-1+1-10 616 一sina cos a 3. y轴 sina -cos a -tan a 4.原点 一sina -cosa tana 所以cos a-sina-士4 微练习 10 1.解析 对于A.令a-,得sin(x-a)-sin-1≠ 因为吾<a<n,所以sina→0,cosa<o, 则cos a-sin---20 -sin,所以A错误;对于C,令a-0,得cosa=cos0 10 5。 -1sin0,所以C错误. 11cos a-sina4v10 即n cosa sin acos a 答案 BD 2.解析 (1)sin(1+x)=-sin 1. 探究四 (2)cos210-cos(180*+30)--cos30. [例4] [解] 因为a是第二象限角,所以sina0,cosa 0. (③)tan 1#7_tan(2x+5-)-tan5-- tan(n-) #_nn△# =tana~ 答案(1)-sin1(2)-cos 30° (3)-tanπ sina cosasina. =tanasincosa 【互动探究解疑难】 探究一 -sin.-cos__-1. [例1][解](1)sin(-1200”)=-sin1200* cosa sina --sin(3×360”+120”)--sin 120{--sin(180*-60) 跟踪训练 sina+cos'a-2sina cos"g-sin'g cos'a+sin"a.cos'g-1+1-2. (2)tan945*-tan(2×360{*+225*})-tan225" cosa-sin'a cos{ -tan(180*+45*)-tan45*-1. 【随堂巩固促应用】 19 cos 20x-)-cos(-)-cos 1 (3)cos 1.解析 因为a是第四象限角,且sina=一 答案C 跟踪训练 1.解 (1)方法-:sin1320{-sin(3×360*+240) 2.解析 因为sine-cos θ-,所以(sinθ-cos θ)-1 所以 sin]8+cos' -2sin eos o-,所以1-2sin ocoso} -sin 240”-sin(180*+60”)--sin 60*-- 方法二;sin 1320{-sin(4×360*-120”)-sin(-120* 8 答案 B (2)方法-co(-31)-co31-cos(4x+7) 3.解析 原式-(1+sin'g)cos'a-cos”g+sin'a-1. cos{a 答案 C #o#(+)-0-# cosa 方法二:cos(-31)-cos(-6x+5)-cos(-) #E(o,).sina-1-()-2 . tana-sin_2/. cosa (3)tan(-945”)--tan945*--tan(225*+2×360) 答案 D =-tan225^{--tan(180”+45*)--tan45{=-1. 1 探究二 [例2] [解](1)原式--tanasin(一a)cos(一a) cos(x-a)sin(π-a) --sin g(-sin g)cos _ sin g-tan a. -3,,tan(π-a)=-tana=3. 答案 3 cosa(一cos a)sina cosa (2)原式-1+2sin(360”-70”)cos(360”+70°) 【随堂巩固促应用】 sin(180”+70”)+cos(720”+70*) 1.解析 sin 690 -sin(720”-30*)--sin30-- -1-2sin 70'cos 70{ 1cos 70*-sin70°l -sin 70+c0s 70 cos 70-sin700 答案C - sin 70*-cos 70* 2.解析 .+=180”,.a=180*-8.由cosa=cos(180} c0s 70-sin870--1. -=-cosB,故A错误,B正确;由sina=sin(180*-$ 跟踪训练 2.解析 当k 为偶数时,A- sin cos tang3当k 一sinB,故C错误,D错误,故选B tana sina cos a 答案 B sing cos a tan a --1. 答案 B 答案 AD 3.解析 因为角a终边与半径为1的相交于点4.解析 sin(2--x)#=sin(πn--x)#-sin(+y) P(-.),所以tana-- 3. 3. # 答案 sin[2n十(n十a)][-sin(n十a)] sin(-a+2x)cos(a+4r) _ sin(+g) sing__sin gsing-tan a. 第2课时 诱导公式(二) sin(-a)cos a -sin acos a 以n一 【自主学习探新知】 4. 知识点一 cosa sina -sina 微判断 (1)(×)(2)()(3)() 探究三 知识点二 sina -cosa [例3][解](1)因为cos(5+a)-cos[n-(-。)] -sina -cosa 微练习 -o(一)-#.# 1.解析 ·'sin(+3-)--cosoo.:.cos )<o.cos(-) sin”(a-)-sin-(-。)]-sin”(-。) 一sin00,0为第二象限角. 答案 B 1-cos{#(-。)-一1-(6)-# 2.解析 cos(3--a)-cos(+。)--sin a+sin a-. #所以co(+) -n(-)--一 答案0 2## 【互动探究解疑难】 探究一 (2)cos(#-。)-sin(c-13m) [例1] [解](1)f(a)_ sin acosg(-sina)-cos a. sin asin a -cos[+(-a)]-sin[(-)-2=*] (2):co(-3-)-sin-. sin-1. -co(-)-sin(-)-3--3gy2 又'a为第三象限角,v.cos a=-1-sin-2- 跟踪训练 (2# 4.解析 因为sin({n-。-sinn-(+a) sin(}+)-. (3)f(-31)--cos(-31)--cos(-6x2+5-$ 答案 ) 跟踪练 【随堂巩固促应用】 1.解 cos(x+a)=-cos a=-.cos a=,若为第一 1.解析 sin(3x-)=sin(π-x)=sinz,sin = sin()-cos.cos(+3x)-cos(+3x) #o#()# -sin 3x,cos(3-+2x)-sin 2x,故选AB. 探究二 答案 AB [例2] [证明] 左边一 sin(-a)cos(n-a)-sin a(-cos a)-sina= 2.解析 sin(-) -cosθ cosf cosa -cos 6cos 0+cos0 cos g(-cos0-1) #故选D. 1+cos 8+1-cos9 =1-cos1+cos(1-cos 8)(1+cos0)1-cos 2 右边,原式成立. 答案 D sin) 3.解析 因为已知角8的终边过点(1,-1),所以sin8 跟踪训练 -1 tan(-a)sin(一a)cos(-a) 2.证明 左边一- 1+(-1) sin 2x-(-。)]co 2--(-。)] 答案 B (-tana)(-sina)cos a :4.解析 由tana=2,则sin(a-x) sin(3-+a)= -sin(-。)cos(-。) -sin a(-cos a)-sin gcos-tan_- -_ tan asin acos a_-tan a-右边. sin{a+cos{a tan'+1-. cos asin a 答案 D 因此,原等式成立. 7.3 探究三 三角函数的性质与图象 [例3] [解] (1)根据三角函数的基本关系式, 7.3.1 正弦函数的性质与图象 (2)由(1)知tana-2, 第1课时 正弦函数的性质 cos(4r-a)sin(a-) cos(a+3) 又由一 【自主学习探新知】 sin(+a)sin(-a) 知识点 1.sinx 2.每一个x f(x) 非零常数T -cos a(-cos g)sing_cos d. 微练习 cosa(-sina) 1.解析 周期1-2-二,故选A. cos(4r-a)sin(a-)cos(a+3) 答案 A 所以- sin(+a)sin(-a) 2.解析 在[0,-],[n,2n]上y=sinx不是单调函数,排除A D;在[3上y-sin:是单调通减画数,排除B,故选C. 跟踪训练 3.解 因为3cos(n-)-4cos(r+a)-0., 答案C 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析] (1)因为y=sinx-|sinxl 2 5-(一-) 5cosa-sina 5-tan a (0,sinx>0. 2sinx,sinx<o. (2)4sin'-3sin acos 4sin'g-3sin agcos a 而sinx<0时,-1<sinx<0,即-2<2sinx0,于是得-2 sin②a十cosa <y 0,所以函数y=sinx-sinxl的值域是[-2,0]. 4tan”g-3tan a_4. (2)画数y-cos'$+2sinx-5.xe[一-哥]. tan{a十1 。第七章 三角函数。 3.化简：(1+tan2a)cos2a等于 ( A.-1 B.0 A 4 B号 C.1 D.2 C.√2 D.2√2 4.已知a∈(0,2），tana=3sina,则tana=( 提示请完成《素能提升训练)训练五 7.2.4 诱导公式 第1课时 诱导公式（一） [学习任务] 1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点诱导公式①~④ 3.诱导公式③ 1.诱导公式① 终边关系 图示 (1)语言表示：终边相同的角，同名三角函数 角π一a与角a的终 值 边关于 sin(a+k·2r)=, 对称 (2)式子表示：{cos(a+k·2x)= ,其中 tan(a+k·2π)=， sin(xa)=」 k∈Z. 公式 cos(n-a)= (3)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将 tan(π-a)= 重复出现. 4.诱导公式④ 2.诱导公式② 终边关系 图示 终边关系 图示 y 角π十a与角a的终 +a 角一a与角a的终边 边关于。对称 关于 对称 a P sin(x十a)= sin(-a)= 公式 cos(r十a) 公式 c0s(-a)= tan(r十a) tan(一a)=-tana 15 高中数学·必修第三册(RJB) 赵微练习 2.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填 1.（多选)下列式子中正确的是 在题中横线上 A.sin(π-a)=-sina (1)sin(1十π)= B.cos(r十a)=-cosa (2)c0s210°= C.cos a=sin a 17元= (3)tan D.sin(2r十a)=sina 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一利用诱导公式给角求值 ☑跟踪训练 [例1门求下列三角函数值： 1,求下列各三角函数式的值： (1)sin(-1200); (1)sin1320°； (2)tan945°； (2)cos(-3: (3)c0s 119π (3)tan(-945). 6 探究二利用诱导公式化简求值 [例2]化简下列各式： (1)tan(2x-a)sin(-2x-a)cos(6n-a) cos(a-π)sin(5r-a) (2)1+2sin290cos430 sin250°+cos790° 1规律方法川 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 “负化正”用公式①或②来转化 ■大化小日-用公式①将角化为0°到360°同的角 "小化锐用公式③减④将大于90°的角转化为悦角 巴锐求值可得到锐角的三角函数后求值 16 第七章三角函数。 川规律方法川 (1)cos(+a)-sin'(a-)i 利用诱导公式①一④化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从雨达到 统一角的目的， (2)cos(-a)-sin(a-) (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的 符号有没有改变， (3)同时有切（正切）与弦（正弦，余弦）的式子化筒， 般采用切化弦，有时也将弦化切， 。跟踪训练 2.(多选)已知A=sin(十@2+os(kr十+ sin a cos a tan(kr十a(k∈eZ,则A的值可以是（） tan a A.3 B.-3 C.1 D.-1 川规律方法川 3.已知角a终边与半径为1的圆相交于点 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所 P一告》，则化简。铜 sin(3x+a)sin(xa) 求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及 联系。 (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所 求式进行变形向已知式转化. 探究三利用诱导公式给值（式）求值 口跟踪训练 [例3] 已知os(悟-a)=号，求下列各式 4若sin(答+a-号则sm(-a)= 的值： 5.已知na二cos。-=2,则tan(x-a)= sina十c0sa 随堂巩固促应用 验证反镀迁移运用 1.sin690°的值为 ) 3.已知sina= 2则sm(180°-a)=(） A号 A.1 B司 c-号 D.-/3 2.如果a+B=180°，那么下列等式中成立的是 c D. 4.已知sin(x+)=,则sm(5-x)= A.cos a=cos B B.cos a=-cos B C.sin a=-sin B 提示、请完成《素能提升训练》训练六 D.sina=cosβ 17 高中数学·必修第三阳(RJB) 第2课时诱导公式（二） [学习任务] 1.在诱导公式①~④的基础上，掌握诱导公式⑤~⑧的推导. 2.能够利用诱导公式解决简单的化简、求值与证明问题.」 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一 诱导公式⑤和⑥ 知识点二 诱导公式⑦和⑧ (受-a) cos(受+a)= 公式⑦ 公式⑤ sin(暨+a)= in(号+a）=ma 公式⑥ co(3+a归 cos(3-a)- 公式⑧ 《微判断 sin(z-a小= 公式①一⑧都称为诱导公式. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 赵微练习 (1)cos(a-2)-cosa. 1.若sim(0+)>0,cos(登-0)>0，则角0的 (2)若cos10°=a,则sin100°=a. 终边位于 () A.第一象限 B.第二象限 (3)若a为第二象限角，则sim(a一)=-cosa. C.第三象限 D.第四象限 2.化简：cos(经-。）-cos(受+e)= 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一利用诱导公式求值 川规律方法川 [例1]已知f(a) 化筒求值的方法 解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三 sim(=-a)cos(2x-a)cos(-a+) 角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式 变形求解。 cos(经-a)sin(-r-a） 口跟踪训练 (1)化简f(a): (2)若e为第三象限角，且cos(。-受)=号， 1.已知cos(x+a)=-7,求cos(受+a)的值， 求f(a)的值； (3)若a=一3，求fa)的值。 18 第七章三角函数4 探究二利用诱导公式证明恒等式 探究三 诱导公式的综合应用 [例2]求证： [例3] 已知2cosa+sinc=4. cos(2π-0) sin a-cos a cos(x+0)sin(+0)-sin(0) (1)求tana的值； (2)若π<a<2x,求 cos(-0) 2 cossin(8x-)-1可 sin0 os(4r一a)sin(a一5)cos(a十2的值， sin(g+a)sin(-a） 川规律方法川 川规律方法川 利用游导公式证明等式问题，关健在于公式的灵活 综合应用诱导公式化简求值的方法 应用，其证明的常用方法有： (1)对于三角函数式的化筒求值何题，一数遵循诱 (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁 导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角 到简， 的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少， (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个 式子 (2)对于x士e和受士a这两套诱导公式，切记运用 (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变 前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名， 形，以消除差异。 (3)注意恰当地应用三角函数基本关系式. 口跟踪训练 口跟踪训练 2.求证：tan(2r-a)sin-2m-a)cos(6m-a）_ 3.已知3cos(a-）-4cos(x十a)=0,求下列 sin(a+)os(e+） 各式的值。 -tan a. (1)sin a+2cosa 5cos a-sin a' (2)4sin'a-3sin acos a. 19 高中数学·必修第三阳(RJB) 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是 3.已知角0的终边过点(1，-1)，则c0s(5+0)= ( A.sin(3x-x)=sin x () B.sin22=cos号 A. 2 2 ? C.cos(受+3)=im3 c.- D.cos(+)=-sin 2x 4.若ana=2,则sin(a一xsin(经+a)的值为 2已知na=g,则血二s红-o= () () sin(2-a) A- B-号 A-着 B青 C.- 或号 2 D号 c. D 提示请完成《素能提升训练》训练七 7.3三角函数的性质与图象 7.3.1正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 [学习任务] 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.掌握函数y=sinx的单调性、奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点正弦函数的性质 满足f(x+T)= ,那么就称函数f(x) 1.正弦函数 为周期函数， 称为这个函数的周期. 对于任意一个角x,都有唯一确定的正 3.函数y=sinx的性质 弦 与之对应，因此y=sinx是一个 定义 最小 银调性 零点 正周 函数，一般称为正弦函数 送出音字 2.周期 y- 2 2x QEZ 一般地，对于函数f(x),如果存在一个 -1,1] 减区间，十受2红+受 (EZ) 非零常数T,使得对定义域内的 ,都 (∈D 20