第08讲 矩形的性质与判定（3个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第08讲 矩形的性质与判定（3个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01： 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02： 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【核心考点一 矩形性质理解】 【例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列选项中，矩形不具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角互补 【例2】（24-25八年级下·福建三明·期中）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某单位要在一个矩形广场上布置花坛美化环境，计划将鲜花摆成两条对角线，如图．如果一条对角线用了75盆鲜花，则另一条对角线还需要鲜花盆数是（   ） A．72 B．73 C．74 D．75 【例3】（23-24八年级下·河南平顶山·开学考试）如图，带阴影的矩形面积是 ． 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，．给出以下结论：①；②；③若，则，其中正确结论的序号是 ． 【例5】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，D、E、F分别是三边中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的长． 【核心考点二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点O． 若 、则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在边上，且平分，若，则的度数为 ． 【例4】（24-25八年级下·全国·期中）如图，矩形的对角线相交于点，若， 则的度数是 ． 【例5】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【核心考点三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）已知矩形的顶点A、B、C 的坐标分别为，将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形，则点的坐标为 （      ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，则的值是（    ）    A．0.5 B．2 C． D．2.5 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，连接．若，，则的周长是 ． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点M从点D出发，以的速度向点C运动，同时点N从点B出发，以的速度向点A运动，点N到达点A停止，同时点M也停止，当点M运动多长时间时，四边形为矩形． 【核心考点四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·广东广州·期末）若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为 ． 【例4】（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【例5】（24-25八年级下·福建三明·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：，（ ① ＋ ② ） 又， ③ ＝ ④ ， ⑤ ＝ ⑥ ． ． 【核心考点五 利用矩形的性质证明】 【例1】（2024·河南南阳·二模）如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 【例3】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在矩形中，E是上一点，，过点D作于点F，若，则四边形的面积为 ．    【例4】（23-24八年级下·四川凉山·期末）如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．若，，则线段的长为 ．    【例5】（23-24八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：． 【核心考点六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（2024·天津和平·三模）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【例3】（2024·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为 ． 【例4】（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ． 【例5】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此时边OA'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q． (1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标． (2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积． (3)如图2，连接AQ，以AQ为斜边向上作等腰直角△AQM，请直接写出在旋转过程中CM的最小值． 【核心考点七 矩形与折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．3 B． C．2或3 D．3或 【例2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【例3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，把一张矩形的纸片沿折叠，若，则的面积 ． 【例4】（23-24八年级下·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【例5】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【核心考点八 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，是边的中点，若，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，是斜边的中线，，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，，则的长为 ． 【例5】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且．求证： (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 【核心考点九 矩形的判定定理理解】 【例1】（2024·山东临沂·模拟预测）小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A．度量窗户的两个角是否是 B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 【例2】（23-24八年级下·浙江金华·期末）要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东德州·期末）工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理： ． 【例4】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ． 【例5】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合． (1)若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值． 【核心考点十 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（2024·广东广州·二模）在四边形中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形是平行四边形，是它的两条对角线，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，添加一个条件 （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何辅助线与字母），则四边形为矩形． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【例5】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 【核心考点十一 证明四边形是矩形】 【例1】（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，在中，，相交于点，请你添加一个条件，使是矩形，以下条件符合的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（   ）    A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形． 【例4】（23-24八年级下·宁夏银川·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 【例5】（2024·全国·模拟预测）阅读下列材料，解决问题． 如图1，已知正六边形，要求在正六边形的内部作一个矩形，且矩形的顶点在正六边形的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示． (1)请你根据小明的作图思路，补画出矩形； (2)在（1）的基础上，连接，若，则线段的长为 ，依据是 ； (3)如图3，已知正五边形，在其内部作一个矩形，使得点 ，分别在边，上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【核心考点十二 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【例2】（23-24八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图是一个平行四边形，当∠α的度数为 度时，两条对角线长度相等． 【例4】（2024·广西贵港·一模）如图，已知长方形纸片的一条边经过一个含角的直角三角尺的直角顶点，长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，，则的度数是 ． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【核心考点十三 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【例2】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【例3】（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    【例4】（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图1，位于河南伏羲山红石林景区的“悬崖秋千”为机械式秋千．如图2，秋千静止时位于铅垂线上，秋千座椅到平台的距离．当秋千摆动的水平距离时，秋千座椅到平台所在平面的距离，则该秋千的摆臂长为 m． 【例5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品，当人（或动物）移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便，如图，有一个由传感器A控制的灯安装在门的上方，离地面高米的墙壁上，当人移至距离传感器A控制的灯5米及5米以内时，灯就会自动点亮，如果一个身高米的人走到点D处时，米，传感器A控制的灯刚好亮，求此时人到门的距离的长． 【核心考点十四 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【例3】（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为 ． 【例4】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【例5】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：点在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接和，交于点，若，于点，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【变式训练1 矩形性质理解】 1．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在数轴上，点是原点，点表示的数是3，在数轴上方以为边作矩形，以点为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点，则点表示的数是（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是 ． 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，和都是边长为1的等边三角形，点在边上，将沿方向平移到的位置．当四边形为矩形时，平移距离 ．    5．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若且，，求四边形的面积． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期中）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ） 【变式训练2 利用矩形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·四川·期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝ °． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）两个矩形的位置如图所示，若，则 ． 5．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 6．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数． 【变式训练3 根据矩形的性质求线段长】 1．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为（    ）    A．5 B．10 C．15 D．20 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为 ． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知矩形的长，宽，将矩形先向上平移，再向右平移得到矩形，连接，连接交于点，则图中面积为的三角形为 ． 5．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，求矩形对角线的长． 6．（23-24八年级下·北京房山·期末）如图，在中，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，作的平分线交于点，求的长． 【变式训练4 根据矩形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．18 C．12 D．15 2．（2024·甘肃天水·一模）如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ． 4．（2024·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ． 5．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）在矩形中，，，求矩形的面积．    6（2024·湖北随州·模拟预测 ）如图，矩形的对角线，相交于点O，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式训练5 利用矩形的性质证明】 1．（23-24八年级下·江西宜春·开学考试）如图，是一块长为2，宽为1的矩形纸板，先将矩形纸板沿对角线剪开，再将得到的两部分重新拼接，则拼接后能得到不同形状的四边形（不含矩形）有（     ）      A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ） A．任意四边形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，若，则的大小是 ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为 ． 5．（2024·湖北襄阳·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O ， ，．求证：四边形是菱形． 6．（2024·吉林·二模）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作射线平分，且点在格点上． (2)在图2中，作线段平分，且点在格点上． (3)在图3中，作直线垂直，且点在格点上． 【变式训练6 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 4．（23-24八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·广东中山·阶段练习）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2．在坐标系中画出矩形P2M2O2N2，并求出直线P1P2的解析式． 6．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题： （1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标； （2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标； （3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标； （4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明） 【变式训练7 矩形与折叠问题】 1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，把矩形沿折叠，若，则 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在矩形中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在上，，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ．    4（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，将长方形纸片沿线段折叠到的位置，若，则的度数为 ． 5．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 点坐标为． 【变式训练8 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（2024年浙江省嘉兴市八年级模拟预测三模数学试题）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 2．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是斜边上的中线，度，则 度． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知在中，斜边上的中线，求斜边的长． 6．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 【变式训练9 矩形的判定定理理解】 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（    ） A．测量两组对角是否互补 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 2．（23-24八年级下·河南信阳·期中）下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．用曲尺测量对角线是否互相垂直 C．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D．测量两条对角线是否平分 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为 ． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是 . 5．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）请利用尺规作图，以Rt△ABC为依托，作一个矩形，并叙述作图过程（保留作图痕迹）． 6．（23-24八年级下·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【变式训练10 添一条件使四边形是矩形】 1．（2024·四川泸州·模拟预测 ）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 6．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点． （1）求证：F是AB的中点； （2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由． 【变式训练11 证明四边形是矩形】 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是 ．（填“平行四边形”或“矩形”）    5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形． 6．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证，四边形是矩形； （2）若，．求的面积． 【变式训练12 根据矩形的性质与判定求角度】 1．（23-24八年级下·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，矩形中于，若，则 度． 5．（20243·湖南长沙·模拟预测 ）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 6．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 【变式训练13 根据矩形的性质与判定求线段长】 1．（23-24八年级下·山西太原·期中）已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北唐山·开学考试）如图，在矩形中，点E是上一动点，连接、，以、为边作，在点E从点B运动到点C的过程中，的面积（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．保持不变 D．一直变大 3．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当是 度时，两条对角线长度相等． 4．（23-24八年级下·山东·单元测试）中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．    5．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 6．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，为矩形对角线的交点，， ．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的周长和面积． 【变式训练14 根据矩形的性质与判定求面积】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为 ． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 1．（2024·福建泉州·二模）如图，矩形由个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·三模）如图，点P在正六边形的对角线BF上，记图中6个三角形的面积分别为，，，，，．若，则的值是（    ）    A．10 B．16 C．24 D．随点P位置而变化 6．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 8．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 9．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 10．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上（点不与、重合）且，于点，交于点，于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 11．（23-24八年级下·四川成都·开学考试）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米． 12．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 13．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在四边形中，．点E、F、G分别在边、、上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足怎样的关系时，四边形是矩形，请说明理由． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    15．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 矩形的性质与判定（3个知识点+14大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01： 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02： 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03：矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【核心考点一 矩形性质理解】 【例1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列选项中，矩形不具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角互补 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质．根据矩形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意； B、矩形的对边相等，故选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，故选项不符合题意；     D、矩形的对角互补，故选项不符合题意； 故选：A 【例2】（24-25八年级下·福建三明·期中）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某单位要在一个矩形广场上布置花坛美化环境，计划将鲜花摆成两条对角线，如图．如果一条对角线用了75盆鲜花，则另一条对角线还需要鲜花盆数是（   ） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质．根据矩形的对角线互相平分且相等，即可得出结果． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等， 一条对角线用了75盆鲜花，中间一盆为对角线交点，，还需要鲜花74盆； 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·河南平顶山·开学考试）如图，带阴影的矩形面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，矩形的面积公式，勾股定理的应用等知识点，首先根据勾股定理推出直角三角形斜边的长度为，然后根据矩形的面积公式即可推出结果．关键在于正确的运用勾股定理求出斜边的长度． 【详解】解：如图，由勾股定理知：阴影部分的长为：， 故带阴影的矩形面积是：． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，P是矩形内的任意一点，连接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，．给出以下结论：①；②；③若，则，其中正确结论的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①②；根据三角形的面积公式即可判断③． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 设点到、、、的距离分别为、、、， ∴， 不能得出，故①错误，②正确； 根据，能得出，不能推出，即不能推出，故③错误； 故答案为：②． 【例5】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，D、E、F分别是三边中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是矩形，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形； （2）先由矩形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据三角形中位线定理即可得到． 【详解】（1）证明：∵D、E、F分别是三边中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接， ∵若四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 【核心考点二 利用矩形的性质求角度】 【例1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，矩形的对角线交于点O． 若 、则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等得到，则，据此根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵矩形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 作，证明，根据平行线的性质与矩形性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【例3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，点在边上，且平分，若，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】先证明，再进一步的利用三角形的内角和定理可得答案．本题考查的是等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：矩形中，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·全国·期中）如图，矩形的对角线相交于点，若， 则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的对角线相等且平分，得到，进而推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）根据题意得，结合即可求解； （2）根据题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 的周长， 故答案为：． 【核心考点三 根据矩形的性质求线段长】 【例1】（24-25八年级下·河南周口·期中）已知矩形的顶点A、B、C 的坐标分别为，将该矩形向右平移3个单位长度得到矩形，则点的坐标为 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的平移及矩形的性质；先由矩形的性质及A、B、C三点的坐标特点，确定点D的坐标，再根据平移即可确定点的坐标； 【详解】解：由A、B坐标知，轴，；由B、C坐标知，轴，； ∵四边形为矩形， ∴轴，轴，，， ∴； ∵矩形向右平移3个单位长度得到矩形， ∴； 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，则的值是（    ）    A．0.5 B．2 C． D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理等，利用矩形的性质得出，，，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 【例3】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由条件可求得为等边三角形，得到，则可求得的长． 【详解】解：， ， 四边形为矩形 ， 为等边三角形， ， ． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，以矩形的顶点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点，连接．若，，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查矩形的性质及角平分线的尺规作图，熟练掌握矩形的性质及角平分线的尺规作图是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 由题意得平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为12． 【例5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点M从点D出发，以的速度向点C运动，同时点N从点B出发，以的速度向点A运动，点N到达点A停止，同时点M也停止，当点M运动多长时间时，四边形为矩形． 【答案】当点M运动秒时，四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键；设点N运动的时间为t，由题意易得，然后可得方程，进而问题可求解． 【详解】解：设点N运动的时间为t，由题意得， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， ∴当点M运动秒时，四边形是矩形． 【核心考点四 根据矩形的性质求面积】 【例1】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得矩形的长为，进而根据矩形性质，即可求解． 【详解】解：根据图中数据可得，矩形的边长为 ∴矩形的面积为， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·广东广州·期末）若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及求平方根，熟练求解平方根是解题的关键，设这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个矩形的长为，宽为，由题意可得： ，即， 解得：， ∵， ∴， ∴该矩形的长为：，宽为：． ∴该矩形的周长为 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得，，，由题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∵，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ，， ， 故答案为：． 【例5】（24-25八年级下·福建三明·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证． 请根据该图完成这个推论的证明过程． 证明：，（ ① ＋ ② ） 又， ③ ＝ ④ ， ⑤ ＝ ⑥ ． ． 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥ 【分析】本题考查矩形的性质，由题意可得四边形和四边形均为矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】证明：， 又，，． ． 故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥． 【核心考点五 利用矩形的性质证明】 【例1】（2024·河南南阳·二模）如图，将一个装有水的矩形量杯如图放置，使得杯内水面刚好经过点，若 ，则水杯底面与水平面夹角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，平行公理，平角的定义，掌握平行线的性质及矩形的性质是解题的关键．根据平行公理得到，再利用平行线的性质得到，最后利用矩形的性质及平行线的性质即可解答． 【详解】解：过点作， ∵是水平面， ∴， ∴， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选．    【例2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案． 【详解】解：由矩形的性质可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意， 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在矩形中，E是上一点，，过点D作于点F，若，则四边形的面积为 ．    【答案】3 【分析】连接，推出，证明，得到，求出，再根据求出答案． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为：3．    【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握矩形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·四川凉山·期末）如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．若，，则线段的长为 ．    【答案】// 【分析】根据题意得，由折叠的性质得到，设，则，在中，利用勾股定理构造方程即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·吉林延边·阶段练习）如图，在矩形中，对角线与交于点，，，垂足分别为、．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【核心考点六 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（2024·天津和平·三模）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，轴，轴，则可求点坐标． 【详解】解：四边形是矩形 ，，，，且轴， 轴，轴， ，，， 点横坐标为3，点纵坐标为2， 点坐标为， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 【例2】（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，3） C．（，3） D．（） 【答案】A 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可． 【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P， ∴∠A'OB=∠AOB， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠A'OB， ∴OP=BP， ∵点B的坐标为（6，3）， ∴AB=OC=3，OA=BC=6， 设OP=BP=x，则PC=6﹣x， 在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2， ∴32+（6﹣x）2=x2， 解得：x=， ∴PC=6﹣=， ∴P（，3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 【例3】（2024·湖南长沙·一模）在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，轴，轴，则可求点D坐标． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ， 且轴， 轴，轴， ， 点C横坐标为3，点A纵坐标为2， 点D坐标为， 【点睛】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练运用矩形性质是本题的关键． 【例4】（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是 ． 【答案】（，0） 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解． 【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1， ∵OB＝＝＝， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 【例5】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，O为坐标原点，矩形OABC的顶点A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转一定的角度α得到矩形OA'B'C′，此时边OA'、直线B'C'分别与直线BC交于点P、Q． (1)连接AP，在旋转过程中，当∠PAO＝∠POA时，求点P坐标． (2)连接OQ，当α＜90°时，若P为线段BQ中点，求△OPQ的面积． (3)如图2，连接AQ，以AQ为斜边向上作等腰直角△AQM，请直接写出在旋转过程中CM的最小值． 【答案】(1)P（﹣4，6） (2)S△POQ＝ (3)4 【分析】（1）如图1中，过点P作PH⊥OA于H．证明PA=PO，利用等腰三角形的性质以及矩形的性质，求出OH，PH即可． （2）如图-1中，延长交x轴于J．设PB=PQ=x．想办法证明OP=PQ，在Rt△POC中，利用勾股定理构建方程求解即可． （3）如图2中，过点M作MF⊥BC于F，ME⊥AB交AB的延长线于E．想办法证明∠MBC=45°，推出点M的运动轨迹是直线BM，根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】（1）如图1中，过点P作PH⊥OA于H． ∵A（﹣8，0），C（0，6）， ∴OA＝8，OC＝6， ∵∠PAO＝∠POA， ∴PA＝PO， ∵PH⊥OA， ∴AH＝OH＝4， ∵PH＝OC＝6， ∴P（﹣4，6）． （2）如图1﹣1中，延长交x轴于J．设PB＝PQ＝x． ∵PQOJ，QJOP， ∴四边形OPQJ是平行四边形， ∴PQ＝OJ， ∵∠CPO＝∠AOP＝∠OJQ，∠PCO＝∠OJ＝90°，OC＝O， ∴△OCP≌△OJ（AAS）， ∴OP＝OJ＝PQ＝x， 在Rt△POC中，∵， ∴， ∴x＝， ∴S△POQ＝•PQ•OC＝××6＝． （3）如图2中，过点M作MF⊥BC于F，ME⊥AB交AB的延长线于E． ∵∠MFB＝∠MEB＝∠EBF＝90°， ∴四边形MEBF是矩形， ∴∠EMF＝∠AMQ＝90°， ∴∠EMA＝∠QMF， ∵∠E＝∠MFQ＝90°，MA＝MQ， ∴△AEM≌△QFM（AAS）， ∴ME＝MF， ∴四边形BEMF是正方形， ∴∠MBF＝45°， ∴点M的运动轨迹是直线BM， ∴当CM⊥BM时，CM的值最小，此时是等腰直角三角形， ＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【核心考点七 矩形与折叠问题】 【例1】（24-25八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．3 B． C．2或3 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先利用勾股定理求出，再分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时，    矩形中，， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， 设，则： 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 如图，当时，    ∴， 由折叠性质可得：， ∴四边形为正方形， ∴， 综上，或， 故选．D． 【例2】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，已知矩形中，，，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】设，则，首先得到，然后利用勾股定理求解即可． 此题考查了矩形和折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】解：设，则 由折叠可得， ∵四边形是矩形 ∴ ∴，即 解得 ∴的长为4． 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，把一张矩形的纸片沿折叠，若，则的面积 ． 【答案】40 【分析】由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，得出，由等角对等边得出，的面积，即可得出结果．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、三角形面积的计算；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 【详解】解：由折叠的性质得：， 四边形是矩形， ， ， ， ， 的面积； 故答案为：40． 【例4】（23-24八年级下·北京顺义·期中）有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 【例5】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【答案】(1)15 (2)①2；②的长为或． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果； ②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠知， ∴， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ； 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 【核心考点八 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在中，是斜边上的中线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边对等角，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得,再由三角形的性质得到，再由，即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， ， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，在中，，是边的中点，若，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据可得的长为． 【详解】解：在中，，是边的中点， ， ， ． 故选：C． 【例3】（24-25八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，是斜边的中线，，则的长为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，因为在中，是斜边的中线，所以，即可作答． 【详解】解：∵在中，是斜边的中线，， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，勾股定理，根据斜边上的中线，得到，进而得到，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； 故答案为：4． 【例5】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且．求证： (1)求证：点D在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接．运用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，则，再进行线段的等量代换，证明即可作答． （2）利用等边对等角，得出，，根据外角性质得 结合，解得，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， 是边上的高， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． （2）解：， ， ． ， ∵， ， ∵， 即， ， 解得， 即． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【核心考点九 矩形的判定定理理解】 【例1】（2024·山东临沂·模拟预测）小颖和小亮参加数学实践活动，检验一个用断桥铝制作的窗户是否为矩形，下面的测量方法正确的是（　　） A．度量窗户的两个角是否是 B．测量窗户两组对边是否分别相等 C．测量窗户两条对角线是否相等 D．测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形判定的应用，掌握矩形判定方法是关键；根据矩形的判定即可解答． 【详解】解：A、度量窗户的两个角是否是，不能保证窗户是矩形； B、测量窗户两组对边是否分别相等，只能保证是平行四边形，不能保证是矩形； C、测量窗户两条对角线是否相等，无法保证是矩形； D、测量窗户两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，根据对角线相互平分且相等的四边形是矩形，保证是矩形； 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·浙江金华·期末）要求加工4个长为、宽为的矩形零件．陈师傅对4个零件进行了检测．根据零件的检测结果，图中不一定能合格的零件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答即可．熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意； B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意； C、一组对角为直角的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意； D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·山东德州·期末）工人师傅在制作门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请根据所学知识，写出其中应用的矩形的判定定理： ． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定． 【例4】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是 ． 【答案】对角线相等的平行四边形为矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 【详解】解：依题意，∵两组对边分别相等， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 【例5】（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合． (1)若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值． 【答案】(1)见解析 (2)1s或7s 【分析】（1）判断四边形DEBF是否为平行四边形，需证明其对角线是否相互平分；已知四边形ABCD是平行四边形，故OB=OD；又因为AE=CF，所以可得OE=OF，即可得出结论； （2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则必有BD=EF，可求出时间t的值． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵AE= CF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形， 则BD=EF=12， ∴OE=OD=6， 由题意得AO=OC=8， ∴AE=2或AE =14， ∵点E，F的运动速度均为2cm/s， ∴t的值为1s或7s． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形、矩形的性质是解答此题的关键． 【核心考点十 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（2024·广东广州·二模）在四边形中，，，如果再添加一个条件，可得出四边形是矩形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．根据“有一个是直角的平行四边形是矩形”可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 若添加，则该四边形是矩形． 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，已知四边形是平行四边形，是它的两条对角线，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 根据矩形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，故A符合要求； ，不能判定平行四边形为矩形，故B不符合要求； ，不能判定平行四边形为矩形，故C不符合要求； ，不能判定平行四边形为矩形，故D不符合要求； 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，添加一个条件 （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何辅助线与字母），则四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形为矩形． 【详解】解：添加， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 故答案为：． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，四边形中，，相交于点O，O是的中点，． (1)请你添加一个条件（不另加辅助线）要使四边形是矩形，还添加的一个条件是_________； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)（或或，，） (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定方法添加条件即可； （2）证明，得到，从而证明四边形是平行四边形，再利用添加的条件证明即可． 【详解】（1）解：添加：（或或，，）； （2）证明：证明：∵， ∴， ∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【核心考点十一 证明四边形是矩形】 【例1】（23-24八年级下·北京房山·期中）如图，在中，，相交于点，请你添加一个条件，使是矩形，以下条件符合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得，但四边形不一定是矩形，可判断A不符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是矩形，可判断B符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断C不符合题意；由四边形是平行四边形，，可证明四边形是菱形，但不一定是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定定理、菱形的判定定理等知识，正确理解矩形与菱形之间的联系与区别是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，，相交于点， ，但四边形不一定是矩形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 故B符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故C不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，但不一定是矩形， 故D不符合题意， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，先证明，得出，然后根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故B不符合题意； C．根据不能判定四边形为矩形，故C不符合题意； D．∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故D不符合题意． 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是 形． 【答案】矩 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．先证四边形为平行四边形，，从而得四边形为矩形． 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 【例4】（23-24八年级下·宁夏银川·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 【例5】（2024·全国·模拟预测）阅读下列材料，解决问题． 如图1，已知正六边形，要求在正六边形的内部作一个矩形，且矩形的顶点在正六边形的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示． (1)请你根据小明的作图思路，补画出矩形； (2)在（1）的基础上，连接，若，则线段的长为 ，依据是 ； (3)如图3，已知正五边形，在其内部作一个矩形，使得点 ，分别在边，上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)，三角形中位线的性质定理 (3)见解析 【分析】本题主要考查了多边形的性质，熟练掌握矩形的性质、尺规作图以及正五边形和正六边形的性质是本题解题的关键． （1）再找出和的中点，即可构造矩形； （2）根据三角形中位线定理求解即可； （3）分别过，作的垂线，与以及的交点，即为，． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图， ∵是的中点，是的中点， ∴，， 故答案为：，三角形中位线的性质定理； （3）解：如图： 【核心考点十二 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】取AB中点E，连接OE、CE，求出OE和CE值，利用三角形三边关系分析出当O、E、C三点共线时，OC最大为OE＋CE． 【详解】解：取AB中点E，连接OE、CE，如图所示： 则BE＝AB＝3， ∵∠MON＝90°， ∴OE＝AB＝3． 在Rt△BCE中，利用勾股定理可得CE＝＝5． 在△OCE中，根据三角形三边关系可知CE+OE＞OC， ∴当O、E、C三点共线时，OC最大为OE+CE＝3+5＝8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 【例2】（23-24八年级下·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 【例3】（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图是一个平行四边形，当∠α的度数为 度时，两条对角线长度相等． 【答案】90 【详解】设∠α的度数为m度时，该平行四边形的两条对角线长度相等. ∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴当∠α的度数为m度时，该平行四边形应为矩形， ∵该平行四边形为矩形 ∴∠α的度数应为90°， ∴m=90. 故本题应填90. 【例4】（2024·广西贵港·一模）如图，已知长方形纸片的一条边经过一个含角的直角三角尺的直角顶点，长方形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，，则的度数是 ． 【答案】/85度 【分析】如图所示（见详解），，在中，根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的外角知识，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？ 【答案】能，见解析． 【分析】先根据平行四边形的判定方法，用测量边长的方法判定书架是否为平行四边形，再根据矩形的判定定理，测量书架的对角线判定平行四边形是否为矩形，最后根据矩形的性质即可得． 【详解】解：能．理由如下： 先用绳子量出书架的两组对边是否相等，若两组对边相等，则说明此书架为平行四边形；再用绳子量出书架的对角线是否相等，若对角线相等，则说明书架是矩形； 由于矩形的四个角都是直角，说明书架的内角为直角，因此可以说明书架的侧边与上、下底都垂直，反之书架的侧边与上、下底就不垂直． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识点． 【核心考点十三 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识．由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 如图，连接AD，则， ∴当时，的值最小，此时，的面积， ∴， ∴的最小值为； ∴的最小值为； 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，过点D作于点E，根据矩形的性质分别求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：．    【例4】（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图1，位于河南伏羲山红石林景区的“悬崖秋千”为机械式秋千．如图2，秋千静止时位于铅垂线上，秋千座椅到平台的距离．当秋千摆动的水平距离时，秋千座椅到平台所在平面的距离，则该秋千的摆臂长为 m． 【答案】20 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，再结合线段的关系，则，，然后再在中，把数值代入，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴四边形是矩形 ∴ ∵ ∴， ∴在中， 解得 故答案为：20 【例5】（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品，当人（或动物）移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便，如图，有一个由传感器A控制的灯安装在门的上方，离地面高米的墙壁上，当人移至距离传感器A控制的灯5米及5米以内时，灯就会自动点亮，如果一个身高米的人走到点D处时，米，传感器A控制的灯刚好亮，求此时人到门的距离的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．过人的头顶点C作于点E，则，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出． 【详解】解：过人的头顶点C作于点E，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴． 【核心考点十四 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质推出，得到平行四边形，推出，，同理得到，，推出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接、， ∵矩形， ∴，， ∵H、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形的面积是 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出、的长和是解此题的关键． 【例2】（23-24八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【例3】（23-24八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，的坐标分别为，，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据已知得出四边形是矩形，进而即可求解． 【详解】解：∵点，，，的坐标分别为，，，，，，， ∴的纵坐标相同，的纵坐标相同，则轴， 又的横坐标相同，的横坐标相同，则轴，，则 ∴四边形是平行四边， 又， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质与判定，根据题意得出四边形是矩形是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 【例5】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知：点在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接和，交于点，若，于点，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)、、、 【分析】（1）利用证明，推出，根据平行线的判定定理即可证明； （2）先证明四边形是矩形，推出是等边三角形，得到，同理得到，推出，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵于点， ∴， 同理，， ∴， ∴、、、； 故，图中是面积3倍的所有三角形有、、、． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【变式训练1 矩形性质理解】 1．（23-24八年级下·甘肃定西·期末）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，可得，解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，在数轴上，点是原点，点表示的数是3，在数轴上方以为边作矩形，以点为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点，则点表示的数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，利用勾股定理可以求出的长度即可求解．此题主要考查了勾股定理，同时也利用了实数与数轴的关系，解题的关键是把线段的长度转换为坐标． 【详解】解：如图，连接， 依题意，， ， 点表示的数是． 故选：D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，是一张等腰直角三角形彩色纸，，将斜边上的高五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是 ． 【答案】160 【分析】先求出，进而得，依题意得纸条的宽度为，证明都是等腰直角三角形，运用面积差可求出4张纸条的面积和．此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：相交于一点N 是等腰直角三角形，， 由勾股定理得：， 为等腰斜边上的高， ， 依题意得纸条的宽度为：， ∴都是等腰直角三角形 则 ∵4张宽度相等的长方形纸条 ∴个小等腰直角三角形都是全等三角形 ∴ ∴这4张纸条的面积和是 故答案为：160 4．（2024·江苏泰州·二模）如图，和都是边长为1的等边三角形，点在边上，将沿方向平移到的位置．当四边形为矩形时，平移距离 ．    【答案】1 【分析】本题考查了矩形的性质，平移的性质以及等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为等，边三角形的性质得出，结合矩形的性质，则，因为，得出，即可作答． 【详解】解：∵和都是边长为1的等边三角形，且沿方向平移到的位置． ∴ ∵四边形为矩形 ∴ ∵ 则 ∴ ∴平移距离 故答案为：1 5．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在矩形中，为对角线的中点，过点作直线分别与矩形的边，交于、两点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若且，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据矩形的性质和题意，可以证明和全等，即可得到，再根据，即可证明结论成立； （2）根据矩形的性质和勾股定理可以得到的值，然后即可计算出四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知：四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， 四边形是矩形，，， ，， 设的长度为，则，， ， ， ， 解得， 即， ． 6．（24-25八年级下·吉林长春·期中）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位，经测量， ，是一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．求其中一个停车位矩形的周长．（结果精确到．参考数据 ） 【答案】一个停车位矩形的周长约为． 【分析】本题考查了矩形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，先根据矩形性质得，结合，得出，，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则， 即一个停车位矩形的周长约为． 【变式训练2 利用矩形的性质求角度】 1．（23-24八年级下·四川·期末）将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵折叠 ∴，AB=AB’ ∵CD∥AB ∴ ∴ ∴AE=EC， ∴DE=EB’ ∵=3DE=DE+EC= DE+AE ∴AE=2DE ∵ ∴= 故选C． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质． 2．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（  ） A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠ACB=30°， ∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°． 故选B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF＝DC，若∠ADF＝25°，则∠ECD＝ °． 【答案】57.5． 【分析】根据矩形的性质由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ECD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°， ∵∠ADF=25°， ∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°， ∵DF=DC， ∴∠ECD=， 故答案为：57.5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出∠CDF．是一道中考常考的简单题． 4．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）两个矩形的位置如图所示，若，则 ． 【答案】117 【分析】本题主要考查矩形的性质及平行线的性质等知识．利用矩形的性质和余角的性质可得，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形、都是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：117． 5．（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键． 6．（23-24八年级下·上海·期中）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，求的度数． 【答案】 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，，证明三角形AOB是等边三角形即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的判定，解题关键是根据矩形的性质证明等边三角形． 【变式训练3 根据矩形的性质求线段长】 1．（23-24八年级下·甘肃白银·期中）已知矩形的对角线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，且对角线， ， 故选D． 2．（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，，则的长为（    ）    A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】根据矩形性质，对角线相等即可得到答案． 【详解】解：矩形的对角线相交于点，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形性质求线段长，熟记矩形对角线相等是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 4．（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知矩形的长，宽，将矩形先向上平移，再向右平移得到矩形，连接，连接交于点，则图中面积为的三角形为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、平移的性质及三角形的面积计算．熟知矩形及平移的性质是正确解决本题的关键． 找到图中面积接近的各三角形的底和高计算面积即可得出答案． 【详解】解：由平移及题意可知，底为m，高为，面积为； 底为m，高为，面积为； 底为m，高为，面积为； 底为n，高为m，面积为； 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，求矩形对角线的长． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·北京房山·期末）如图，在中，对角线，交于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，作的平分线交于点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， 平行四边形为矩形； （2）如图， 四边形是矩形， ，． 为的平分线， ． ，，， ， ， ，， ， ． 【变式训练4 根据矩形的性质求面积】 1．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．18 C．12 D．15 【答案】A 【详解】因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积等于矩形面积的一半． 因为矩形的面积为18，所以其面积为9． 故选A． 2．（2024·甘肃天水·一模）如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质以及三角形面积；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质得，推出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，、相交于点， ，，， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴对角线、相等且互相平分，， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴矩形的面积是． 故答案为： 4．（2024·江苏宿迁·二模）已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】97 【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．令其中2个部分的面积分别为、，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，令其中2个部分的面积分别为、， 矩形面积的一半，矩形面积的一半， ， ， 故答案为：97． 5．（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）在矩形中，，，求矩形的面积．    【答案】矩形的面积为 【分析】利用矩形的性质、等边三角形的判定及性质和矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 矩形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键． 6（2024·湖北随州·模拟预测）如图，矩形的对角线，相交于点O，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为， ∴的面积为， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 【变式训练5 利用矩形的性质证明】 1．（23-24八年级下·江西宜春·开学考试）如图，是一块长为2，宽为1的矩形纸板，先将矩形纸板沿对角线剪开，再将得到的两部分重新拼接，则拼接后能得到不同形状的四边形（不含矩形）有（     ）      A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】由图知，两三角形全等，将对应相等的边重合，其中，不同形状的四边形有三个． 【详解】解：将对应相等的边重合，知可得到三个不同形状的四边形，分别形如：，，． 故选：B．    【点睛】本题考查全等三角形，矩形的性质，图形的变换，理解图形变换的主要形式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（    ） A．任意四边形 B．对角线相等的四边形 C．平行四边形 D．对角线互相垂直的四边形 【答案】D 【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解． 【详解】解：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，    由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， 根据三角形中位线定理得：，； ∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG， ∴AC⊥BD． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，若，则的大小是 ． 【答案】/60度 【分析】根据矩形的性质可得，再由，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】首先由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，可得，即可判定四边形是菱形，继而求得答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质，证得四边形是菱形是解此题的关键． 5．（2024·湖北襄阳·一模）如图，矩形的对角线，相交于点O ， ，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 首先证明出四边形是平行四边形，然后由矩形的性质得到，即可证明出四边形是菱形． 【详解】∵ ， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是矩形 ∴ ∴平行四边形是菱形． 6．（2024·吉林·二模）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，作射线平分，且点在格点上． (2)在图2中，作线段平分，且点在格点上． (3)在图3中，作直线垂直，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】 本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及矩形的性质是截图的关键． （1）根据网格线的特点作图； （2）根据网格线的特点及矩形的性质作图； （3）根据网格线的特点作图； 【详解】（1） 如图：射线即为所求； （2）如图：线段即为所求；    （3）如图：直线即为所求．    【变式训练6 求矩形在坐标系中的坐标】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 3．（23-24八年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 4．（23-24八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东中山·阶段练习）已知矩形PMON的边OM、ON分别在x、y轴上，O为坐标原点，且点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1再将矩形P1M1O1N1绕着点O1旋转90°得到矩形P2M2O2N2．在坐标系中画出矩形P2M2O2N2，并求出直线P1P2的解析式． 【答案】矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝﹣x +；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7. 【分析】由点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1，得到P1的坐标为（2，3）．将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，得P2的坐标为（7，2）；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，得P2的坐标为（1，﹣2），然后利用待定系数法分别求出它们的直线解析式． 【详解】解：如图： 当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2． ∵点P的坐标为（﹣2，3）．将矩形PMON沿x轴正方向平移4个单位，得到矩形P1M1O1N1， ∴P1的坐标为（2，3）， ∵将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2． ∴P2的坐标为（7，2）， 设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（7，2）代入得，2k+b＝3①，7k+b＝2②， 解由①②组成的方程组得，k＝﹣ ，b＝ ． 所以直线P1P2的解析式为y＝﹣x + ； 当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2．如图， ∴P2的坐标为（1，﹣2）， 设P1P2的解析式为：y＝kx+b，把P1（2，3），P2（1，﹣2）代入得，2k+b＝3①，k+b＝﹣2②， 解由①②组成的方程组得，k＝5，b＝﹣7． 所以直线P1P2的解析式为y＝5x﹣7； 故答案为矩形P2M2O2N2见解析；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1顺时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝﹣x +；当将矩形P1M1O1N1绕着点O1逆时针旋转90°得到矩形P2M2O2N2，直线P1P2的解析式为：y＝5x﹣7. 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了图形的平移和矩形的性质以及用待定系数法求直线解析式． 6．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)．请标出点A，并回答下列问题： （1）作AM⊥x轴于M，并延长AM至点B，使BM=AM，直接写出点B的坐标； （2）作AN⊥y轴于N，并延长AN至点D，使DN=AN，直接写出点D的坐标； （3）连接AO并延长至点C，使得CO=AO，直接写出点C的坐标； （4）直接说出四边形ABCD的形状．（不需要证明） 【答案】（1）图见解析，B(3，-2)；（2）图见解析，(-3，2)；（3）图见解析，(-3，-2)；（4）四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据题意作图； （2）根据题意作图； （3）根据题意作图； （4）根据有一个直角的平行四边形是矩形解题． 【详解】解：(1) 如图，B(3，-2) ； (2)如图，D(-3，2)； (3)如图，C(-3，-2)； (4)由图可知：AD=BD，AB=BC 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、矩形的判定等知识，基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练7 矩形与折叠问题】 1．（2024·安徽阜阳·三模）如图，把矩形沿折叠，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质， 解题时注意： 折叠前后的图形全等， 找出图中相等的角是解答此题的关键． 根据折叠的性质及可求出的度数， 再由平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 四边形是四边形折叠而成， ，． ，， ， 又， ， ． 故选C． 2．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在矩形中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点的对应点落在上，，，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 由翻折变换可知，，，得出，所以， 在中，，即可求出答案． 【详解】解：由翻折变换可知，，， ∵，在中， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选：D． 3．（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 4（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，将长方形纸片沿线段折叠到的位置，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质等知识点，由，求出，由折叠的性质可求出，四边形是长方形，得，进而即可求解，熟练掌握平行线的性质，折叠的性质并能够灵活运用是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 由翻折知， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质即可求解； （2）利用翻折变换的性质即可求解． 【详解】（1）是直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴是直角三角形； （2）∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： (1)求的坐标； (2)求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； （2），， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 【变式训练8 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（2024年浙江省嘉兴市八年级中考三模数学试题）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（    ） A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线， 当斜边为时，中线， ∴斜边的长为或， 故选：A． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，是斜边上的中线，度，则 度． 【答案】70 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在中，根据是斜边上的中线，得，可求出即可解决问题． 【详解】解：在中， 是斜边上的中线， ， ， ， 故答案为：70． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定义斜边一半的性质是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知在中，斜边上的中线，求斜边的长． 【答案】 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可进行解答． 【详解】解：∵在中，斜边上的中线， ∴． 【点睛】本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，解题的关键是熟练掌握相关内容． 6．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握这个性质是解题的关键． 【变式训练9 矩形的判定定理理解】 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（    ） A．测量两组对角是否互补 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：A、测量两组对角是否互补，不能判定四边形的形状，故本选项不符合题意； B、对角线相等的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意； C、测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，不一定是矩形，故本选项不符合题意； D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南信阳·期中）下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（    ） A．测量两条对角线是否相等 B．用曲尺测量对角线是否互相垂直 C．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D．测量两条对角线是否平分 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，解题的关键是记住矩形的三种判定方法①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 根据矩形的判定方法即可判断． 【详解】解：因为有三个角是直角的四边形是矩形， 所以用曲尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故选：C． 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可． 【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN， ∴S△DFP=S△PBE=×2×5=5， ∴S阴=5+5=10， 故答案为10． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期中）工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是 . 【答案】三个角都是直角的四边形是矩形 【分析】直角尺的角度是90°，门框四个角，利用“三个角都是90°的四边形是矩形”这一判定方法 【详解】用直角尺判定门框的三个角是否都为90°，故采用的判定方法是三个角都是直角的四边形是矩形， 故答案为：三个角都是直角的四边形是矩形 【点睛】本题考查矩形的判定，熟悉矩形的判定方法是解题关键 5．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）请利用尺规作图，以Rt△ABC为依托，作一个矩形，并叙述作图过程（保留作图痕迹）． 【答案】见解析. 【分析】根据矩形的判定：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，作线段AC的垂直平分线交AC与点O，连接BO并延长使OD=OB，四边形ABCD即所求作的矩形. 【详解】 作作法：如图， （1）分别以点A，点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧交于点E、F，连接EF交AC与点O， （2）连接BO并延长，使得OD=OB， （3）连接AD、CD，四边形ABCD即所求作的矩形. 【点睛】本题考查矩形的判定，基本尺规作图，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 6．（23-24八年级下·河南郑州·期末）小明家新装修了房子，他不确定新安装的门框是不是矩形，请你帮助他检查门框是不是矩形，设计你的方案，并说明道理． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定（有两组对边分别相等的四边形是平行四边形）判断是否是平行四边形，再根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形是矩形）判断是否是矩形． 【详解】解：①先用线测量，，则四边形是平行四边形， ②再用线测量， 则四边形就是矩形，否则就不是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和矩形的判定，注意：有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式训练10 添一条件使四边形是矩形】 1．（2024·四川泸州·模拟预测）已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 【详解】解：如图， A、，能判定为矩形，本选项不符合题意； B、∵，，∴，能判定为矩形，本选项不符合题意； C、，能判定为矩形，本选项不符合题意； D、，能判定为菱形，不能判定为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）在四边形中，对角线相交于点O，下列选项中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的判定方法．根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：A、，根据对角线相等且平分的四边形是矩形，能判定四边形是矩形，本选项符合题意； B、，，能判定四边形是平行四边形，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； C、，，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； D、，不能判定四边形是矩形，本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等判定方法一一判定即可． 【详解】解：①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形常见的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 【答案】能．理由见解析 【分析】根据这一个角为直角的平行四边形，即矩形判断即可． 【详解】能，如图， 依题意,,， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，理解矩形的性质与判定是解题的关键． 6．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点． （1）求证：F是AB的中点； （2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）添加AB＝BC； 【分析】（1）根据已知条件证明四边形ADBE是平行四边形即可求解； （2）根据矩形的判定定理即可求解. 【详解】证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC ∴四边形DBCE是平行四边形 ∴DB＝EC， ∵E是AC中点 ∴AE＝EC ∵AE＝EC＝DB，AC∥DB ∴四边形ADBE是平行四边形 ∴AF＝BF，即F是AB中点． （2）添加AB＝BC ∵AB＝BC，AE＝EC ∴BE⊥AC ∴平行四边形DBEA是矩形． 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的判定定理. 【变式训练11 证明四边形是矩形】 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形，故选项A符合题意； B、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、由四边形是平行四边形，，不能判定四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形，，平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形， ∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误； ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平形四边形为矩形； 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【详解】本题考查了勾股定理逆定理在实际中的应用以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法． 解：∵， 即：， ∴， 同理：， ∴四边形是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）数学实践活动课上，小明用细木条制作了一个四边形木框（如图所示），经测量得知该木框的两组对边长度相等，且有一个内角是直角，则该木框是 ．（填“平行四边形”或“矩形”）    【答案】矩形 【分析】 本题主要考查平行四边形的判定和矩形的判定，根据它们的判定方法直接进行判断即可． 【详解】解：由两组对边长度相等可得这个木框的形状是平行四边形； 再由有一个内角是直角的平行四边形可知它是矩形， 故答案为：矩形． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据O为AC的中点， OD＝OB，可得四边形 是平行四边形，再由∠B＝90°，即可求证． 【详解】证明：如图， ∵O为AC的中点， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证，四边形是矩形； （2）若，．求的面积． 【答案】(1)证明见详解；（2）12 【分析】(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，求得∠DAO=∠ADO，推出AC=BD，于是得到四边形ABCD是矩形； (2)根据，设AB=3x，则AD=4x,求出x的值，再求的面积即可. 【详解】(1)证明：∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴AO=DO， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形； (2)解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10， ∵， ∴设AB=3x，则AD=4x, ∴(3x)2+(4x)2=102， 解得x=2或x=-2(舍去) ∴AB=6，AD=8 ∴S△ABO=S△ABD=××6×8=12． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，三角函数的定义，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键． 【变式训练12 根据矩形的性质与判定求角度】 1．（23-24八年级下·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 2．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为 ． 【答案】75° 【分析】根据四边形ABCD为矩形,利用矩形的对角线互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形,进而求出∠ACB为30°,由DE为直角的角平分线,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC为等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代换可得EC=OC,即三角形OEC为等腰三角形,由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数. 【详解】∵四边形ABCD是矩形, ∴AO=CO=BO=OD,（矩形的对角线相等且互相平分） ∵∠AOB=60°, ∴∠COD=60°,（对顶角相等） ∴△AOB和△COD为等边三角形,（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）, ∴∠BAC=60°,CD=OC, 则∠ACB=30°,（直角三角形两锐角互余） ∵DE平分∠ADC, ∴∠EDC=45°, 可得△DCE为等腰直角三角形, ∴CD=EC, ∴EC=OC,（等量代换） ∴∠COE=∠CEO, ∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）. 故答案为75°. 【点睛】解决本题的关键是得到所求角所在的三角形的形状及相应的角的度数. 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，矩形中于，若，则 度． 【答案】 【分析】根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数．然后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB=90°， ∵∠DCE=3∠ECB， ∴∠DCE= ×90°=67.5°，∠ECB=22.5°， ∴∠EBC=∠ACB=90°－∠ECB=67.5°， ∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=67.5°－22.5°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查的是矩形的性质以及三角形内角和定理的有关知识.本题属于基础题，难度一般，应该根据图形来理解. 5．（20243·湖南长沙·模拟预测）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2）是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 6．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，已知平行四边形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题； （2）只要证明AC＝EF即可解决问题． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE，AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． （2）∵∠FOC＝∠OEC＋∠OCE＝2∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OC，OE＝OF， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式训练13 根据矩形的性质与判定求线段长】 1．（23-24八年级下·山西太原·期中）已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质．熟练掌握有三个角均为的四边形是矩形，矩形对角线相等，是解题的关键． 根据矩形的判定与性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 2．（23-24八年级下·河北唐山·开学考试）如图，在矩形中，点E是上一动点，连接、，以、为边作，在点E从点B运动到点C的过程中，的面积（　　）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．保持不变 D．一直变大 【答案】C 【分析】过点E作于G，证四边形是矩形，得出EG=AB， ，即可得出结论． 【详解】解：过点E作于G，如图所示：    则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 即的面积保持不变，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的性质，证出，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当是 度时，两条对角线长度相等． 【答案】90 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，根据矩形的对角线相等，且有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到答案． 【详解】解：∵在平行四边形中只有矩形和正方形的对角线相等， ∴时，即四边形是平行四边形时，两条对角线长度相等， 故答案为：90． 4．（23-24八年级下·山东·单元测试）中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，可推出四边形是矩形，可得；当时，线段有最小值，此时也有最小值． 【详解】解：∵ ∴四边形是矩形 连接，则过点M，且    当时，线段有最小值，此时也有最小值 ∵ ∴ 则有 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等．确定是解题关键． 5．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，，连结，，已知，，． (1)请问点C什么位置时的值最小？最小值为多少？ (2)设，则可表示为，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)点C在线段和交点处时最小为10 (2)10 【分析】本题主要考查勾股定理及矩形的判定，熟练掌握勾股定理及矩形的性质与判定是解题的关键； （1）根据两点之间线段最短及结合勾股定理可进行求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可知：当A、C、E三点共线时，即点C在线段和交点处时的值最小，如图所示： 过点A、D分别作，，交于一点F， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10； （2）解：由（1）可知：的最小值为10； 故答案为10． 6．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，为矩形对角线的交点，， ．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)周长是，面积是 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据， 可得四边形是平行四边形，根据菱形的判定方法是即可求证； （2）根据矩形的性质，勾股定理可求出的长，的面积，由此可求出菱形的周长，和面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 又∵，， ∴在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的周长， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与菱形的综合，掌握矩形的性质，菱形的性质及周长、面积的计算方法是解题的关键． 【变式训练14 根据矩形的性质与判定求面积】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为（    ） A．60 B．30 C．90 D．96 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理，先证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求得即可．证明四边形是矩形是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，运用已知条件证明与面积相等，则将阴影部分面积转化为求的面积即可，解答本题的关键在于证明两个三角形全等． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， （两直线平行内错角相等）， 在与中， ∴（） ∴ ． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为 ． 【答案】S1=S2 【分析】由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵，， ∴四边形和四边形都是矩形． ∵，，四边形为矩形， ∴四边形和四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ∵点E是的中点，点H为的中点， ∴，， 四边形的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积． 6．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、均在格点上，仅用无刻度的直尺完成画图，请按步骤完成下列问题． （1）______； （2）在格点上找到点，，连接，，，使四边形是长与宽之比为2∶1的矩形； （3）在格点上找一点，连接，使得过的直线平分矩形的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据格点的特点及矩形的性质即可作图； （3）连接对角线交于O点，再连接OM,交BC与N点，即可求解． 【详解】（1）= 故答案为：； （2）四边形 ABCD 是长与宽之比为2∶1的矩形，AB=，BC=2=，点B向右平移6个格，再向上平移2个格为点C，连结BC，点C向上平移3个格，再向左1个格得点D，连结AD，CD， 如图，四边形为所求； （3）连结AC，BD交于O，连结MO，并延长交网格于N， 如图，直线为所求． 【点睛】此题主要考查几何作图，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 1．（2024·福建泉州·二模）如图，矩形由个小正方形组成，此图中不是正方形的矩形有（    ）    A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】分类讨论长宽即可得到答案. 【详解】解：当以第一列的每一个正方形的长为长方形的宽有：， 当以第二列的每一个正方形的长为长方形的宽有：， 当以第三列的每一个正方形的长为长方形的宽有：， 当以第一列的相邻两个正方形的长为宽时：， 当以第二列的相邻两个正方形的长为宽时：， 当以第三列的相邻两个正方形为宽时：， 当以第四列的相邻两个正方形为宽时：， 当以第一列的三个正方形为宽时：， 当以第二列的三个正方形为宽时：2， 当以第三列的三个正方形为宽时：2， 当以第四列的三个正方形为宽时：1， 总共：个矩形， 故选：D； 【点睛】本题考查矩形的定义，解题的关键是分类讨论． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质得出：，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形的面积，证明四边形是矩形得到是解答的关键．先根据矩形的性质和勾股定理得到，，再证明四边形是矩形得到，由垂线段最短得到当时，线段最短，即线段最小，利用三角形的等面积求解即可． 【详解】解：连接 ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段最短，即线段最小， 此时，由得， ∴线段长的最小值为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，延长交于点，作，垂足为，由勾股定理得，根据直角三角形的斜边中线的性质得，再通过等面积法求出，由翻折的性质可知，，则，，然后等腰三角形的性质得出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，解得， 由翻折的性质可知：，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 5．（2024·河北沧州·三模）如图，点P在正六边形的对角线BF上，记图中6个三角形的面积分别为，，，，，．若，则的值是（    ）    A．10 B．16 C．24 D．随点P位置而变化 【答案】B 【分析】连接，过点A作于点N，过点P作于点M，证明，可得，证明 【详解】解：连接，过点A作于点N，过点P作于点M， ∵六边形是正六边形，四边形和四边形是矩形，可得，从而可得，再由即可求解． ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查正六多边形的内角和面积、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的面积，正确作出辅助线，证明、是解题的关键． 6．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等即可得到答案． 【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花， 第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点， 故还需要盆； 如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花； 第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等， 故还需要运来24盆花． 故答案为：，． 7．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA 在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形，则点 P的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案． 【详解】∵对角线 AC的垂直平分线交AB 于点E， ∴AE=CE， ∵OA=1，OC=2， ∴AB=OC=2，BC=OA=1， ∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m， ∴在Rt∆BCE中，BE2+ BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2， 解得：m=， ∴E（1，）， 设点P坐标为（0，y）， ∵△AEP是以为 AE 为腰的等腰三角形， 当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， 当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2= (1-1)2+(0-)2，解得：y=， ∴点 P的坐标为，，， 故答案是：，，． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键． 9．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H，交于G， ∵四边形是矩形，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， ，，，，， ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积和为， 故填：． 10．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上（点不与、重合）且，于点，交于点，于点，交于点．给出下面四个结论：①；②；③四边形是矩形；④平分四边形的周长．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等．根据矩形对边相等及勾股定理可判断①；根据矩形的判定定理可判断③；先证，推出，再证，推出，可判断④． 【详解】解：矩形中，，， ，， ， 故①正确； ，，， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， 故③正确； 矩形中，，， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， 如图，设、分别交于J，K， ， ， 又，， ， ， 四边形是矩形， ，， 平分四边形的周长． 故④正确； 现有条件不能证明②； 综上可知，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 11．（23-24八年级下·四川成都·开学考试）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米． 【答案】阴影部分的面积是15平方厘米 【分析】本题考查了三角形的面积，长方形的性质，熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键． 先证，再证得，根据长方形的面积即可求出的面积，从而求出阴影部分的面积． 【详解】解：因为与同底等高，所以， 则，即， 所以． 又， 所以（平方厘米）． 答：阴影部分的面积是15平方厘米． 12．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，，M是上一点，连结，． (1)求证：M是中点； (2)在的另一侧取点D，使得，连结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，准确识图，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据得，再根据得，则，进而得，由此可以得出结论； （2）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴    ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 即M是的中点 ， （2）证明：∵，M是的中点， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，在四边形中，．点E、F、G分别在边、、上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足怎样的关系时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，从而得出，推出，即可得证； （2）由三角形内角和定理得出，推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：当时，四边形是矩形， 理由：∵，，， ∴， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 15．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：小红在学习了图形的折叠相关知识后，对矩形的折叠进行了探究，已知矩形中，，，为上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． (1)【动手操作】 当点落在边上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形（即的位置，不写作法，保留作图痕迹），此时________________； (2)【问题探究】 如图②，与相交于点，与相交于点，且，求证：； (3)【拓展延伸】 已知为射线上的一个动点，将沿翻折，点恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)作图见解析，6； (2)见解析； (3)4或16． 【分析】本题主要考查矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握矩形与折叠的性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的对应点在上，可得折线是的垂直平分线，由此可作图，根据矩形的性质，折叠的性质可得，由勾股定理即可求解； （2）由翻折的性质得，，，设，则，，可得，，，，在中，由勾股定理 解得，，由此即可求解； （3）分两种情况：如解图所示，点在线段上时；如解图所示，点在延长线上时；根据矩形、折叠，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如图所示，将沿直线翻折至的位置（点落在点处），点落在边上， ∴即为所求的三角形， ∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：6． （2）证明：由翻折的性质得，，， ， 设，则， 在和中， ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得，， 解得，即， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如解图所示，点在线段上时， 由翻折的性质得，，，， ， , 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 如解图所示，点在延长线上时， 由翻折的性质得，，， , 设，则，， ， , 在中，由勾股定理得，， 解得，即， 综上所述，的长为4或16． 学科网（北京）股份有限公司 $$