第06讲 勾股定理的逆定理（1个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三）-（寒假衔接课堂）2025年八年级数学寒假衔接讲义（人教版）

第06讲 勾股定理的逆定理（1个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的综合问题 知识点01 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【核心考点一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）下列数据分别是三角形的边长，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．9，12，13 D．13，14，15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理来进行判定：如果三角形中较短的两边的平方和等于较长的一边的平方，则这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、由于，不能够构成三角形，本选项不符合题意； B、由于，能够构成直角三角形，本选项符合题意； C、由于，不能够构成直角三角形，本选项不符合题意； D、由于，不能够构成直角三角形，本选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．13，14，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可判断． 【详解】解：A、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴组成的三角形是直角三角形，故不符合题意； D、∵，∴组成的三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·全国·期末）三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 【例4】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵，， 即，， 故用三根长度分别为、、长的木棍不能围成一个直角三角形． 故答案为：不能． 【例5】（23-24八年级下·广东中山·期末）如图，中，，长为，点是上的一点，， (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理. （1）根据，可求得； （2）设，则，根据，可得关于的一元二次方程． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴． 【核心考点二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例1】（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【答案】B 【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解． 【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误； ∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确； ∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90º，∴C错误； ∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90º，∴b为斜边，∴，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键． 【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 【例4】（23-24八年级下·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【例5】（23-24八年级下·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【核心考点三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图所示的网格是正方形网格，（    ）°．（点A，B，C，D，P是网格线交点） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理．连接，，由图可知，，则，然后根据勾股定理可以求得、、的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以得到的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：连接，， ∵，，， ∴， ∴， 故， 设正方形网格的边长为，则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（   ） A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答的关键．根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 【详解】解：A、，，， ∴，故该选项错误； B、，，， ∴，故该选项错误； C、，，， ∴，故该选项正确； D、，，， ∴，故该选项错误； 故选：C． 【例3】（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 【例5】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在图①中画一条线段，使； (2)在图②中画一个直角，使三边长都为无理数，且各边都不相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键． （1）根据网格特点和勾股定理画图即可； （2）根据网格特点，先利用勾股定理求解，然后根据勾股定理的逆定理判断得到直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1，，则线段即为所求作； （2）解：如图2，，，， ∵， ∴是直角三角形，即即为所求作． 如图3，同理，即为所求作． 【核心考点四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，已知△ABC中，AB=10 ，AC=8 ，BC = 6 ，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D ，交AC于点E ，连接CD ，则CD的长度为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【答案】D 【详解】已知AB=10,AC=8,BC=8,根据勾股定理的逆定理可判定△ABC为直角三角形，又因DE为AC边的中垂线，可得DE⊥AC，AE=CE=4，所以DE为三角形ABC 的中位线，即可得DE==3,再根据勾股定理求出CD=5，故答案选D. 考点：勾股定理及逆定理;中位线定理;中垂线的性质. 【例2】（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断剪掉的三角形三边是否符合勾股定理，根据勾股定理的逆定理解题． 【详解】解：A.， ， 故A不符合题意； B. ， 故B符合题意； C. ， 故C不符合题意； D. ， 故D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中， 于点D，若，，，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】先由勾股定理的逆定理得，从而利用面积公式即可计算的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【例4】（23-24八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质可知，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：，，， ， ， 过作于， 平分， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【例5】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，垂足为D．如果，，．    (1)求、的长度； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（2）知，， 因为，， ∴， ∴是直角三角形， 即． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【核心考点五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，为旋转角，可利用的三边关系解答． 【详解】解：如图，    设小方格的边长为1，得 ， ∵ ∴ 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形． ∴ 即旋转的角度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何图形的旋转，涉及勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键利用勾股定理的逆定理求得． 【例2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个选项中只有B选项可以通过垂线段最短来说明． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∴CA＞CB（直线外一点与直线上各点的连线段中，垂线段最短）， 即：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短的应用，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 【例3】（23-24八年级下·广西桂林·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意得，（海里），（海里） 又∵海里， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 则另一艘舰艇的航行方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东 度． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算出AO、BO的路程，再根据勾股定理逆定理证明∠AOB=90°，进而可得答案． 【详解】解：由题意得： 甲船的路程：AO=8×2=16， 乙船的路程：BO=15×2=30， ∵302+162=342， ∴∠AOB=90°， ∵AO是北偏东60°方向， ∴BO是南偏东30°． 故答案为：30． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，甲、乙两船从港☐A同时出发，甲船以16海里/小时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/小时的速度向另一方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距60海里，则乙船航行的角度是北偏东多少度？ 【答案】乙船航行的角度是北偏东． 【分析】求出、、的长度，可以判断的形状，从而求出的度数． 【详解】解：由已知可得：（海里）， （海里），（海里）， 为直角三角形，且． ， ． 乙船航行的角度是北偏东． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，求方位角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【核心考点六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： ，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题利用了勾股定理和它的逆定理及直角三角形的面积公式求解．连接，知四边形的面积是和的面积和，由已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形．则四边形面积可求． 【详解】解：连接， 则， ，即， 为直角三角形， 四边形的面积， 故答案为：36． 【例4】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，以的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则这个三角形的面积 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据正方形面积为4，9，13，可得这个三角形边长之间的关系，依据勾股定理的逆定理可得这个三角形形状，进而得出其面积． 【详解】解：由题可得，， ， 是直角三角形，且， 又，， 的面积． 故答案为：3． 【例5】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． （1）已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出； （2）在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【核心考点七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·四川成都·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确两条较小边的平方之和与最长边的平方之间的关系，判断出三角形的形状．先设出每两个结之间的距离为a，然后即可表示出各段对应的长度，然后根据两条较小边的平方之和与最长边的平方之间的关系，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：设每两个结之间的距离为a，则三段的长度为， ， 此时形成的三角形是钝角三角形， 故选：． 【例3】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为， ∴， ∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边， ∴电线杆与地面垂直， 故答案为：垂直． 【例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 【例5】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【核心考点八 勾股定理逆定理的综合问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 【例2】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 【例3】（23-24八年级下·四川·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【例4】（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 【例5】（23-24八年级下·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 【变式训练1 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 1．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）下列条件：①；②；③；④．其中能判定是直角三角形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴能判定是直角三角形； ②∵， ∵， ∴能判定是直角三角形； ③∵， ∴， ∴， ∴能判定是直角三角形； ④∵，， ∴， ∴能判定是直角三角形； 综上所述，能判定是直角三角形的有4个． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，． (1)试说明：； (2)若于D，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积关系，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答即可； （2）根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个． 【详解】∵点A，B的纵坐标相等， ∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10， ∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 【点睛】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 2．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【答案】为直角三角形，理由详见解析. 【分析】根据勾股定理逆定理和勾股定理进行判断即可. 【详解】解：如图所示. 如图1，在中， ，， 因为， 所以， 即为直角三角形. 如图2，在中， . 在中，. 在中，. 所以， 所以，即为直角三角形. 【点睛】考核知识点：根据勾股定理逆定理画直角三角形.掌握勾股定理逆定理并会运用是关键. 【变式训练3 在网格中判断直角三角形】 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．以及勾股定理的逆定理，根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、∵，本选项结论正确，不符合题意； B、∵，本选项结论正确，不符合题意； C、∵，本选项结论错误，符合题意； D、∵ ∴， ∴是直角三角形，且，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并数形结合．在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点，得到，推出，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，结合，即可求解． 【详解】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式训练4 利用勾股定理的逆定理求长度】 1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　） A．90米 B．120米 C．140米 D．150米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理证出，再利用勾股定理求出DC的长，然后加上BD的长就可以求出BC的长． 【详解】解：如图，在，， ， ，即， 在中，AC=150，， ∴BC=BD+DC=50+90=140 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确理解勾股定理及逆定理是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为 ． 【答案】5 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出∠ADB=∠ADC=90°，再根据勾股定理求出AC即可． 【详解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4， ∴AD2+BD2=25=AB2， ∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC， ∵点D为BC边上的中点， ∴CD=BD=4， ∴在Rt△ADC中，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、线段中点有关计算，利用勾股定理的逆定理证得∠ADC=90°是解答的关键． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，． （1）求证：； （2）已知，，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）先证明再结合证明 从而可得结论； （2）先证明 再证明 从而利用等面积法可得的长度. 【详解】解：（1） ， 而 （2） ，，， 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，勾股定理的逆定理的应用，证明是解本题的关键. 【变式训练5 利用勾股定理的逆定理求角度】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（    ） A．北偏西50° B．南偏西50° C．南偏东40° D．北偏西40° 【答案】A 【分析】根据题意可得海里，海里，然后利用勾股定理的逆定理求出，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：（海里），（海里）， ，， ， ， ， 另一艘轮船的航行的方向是：北偏西， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ． 【答案】北偏东 【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可． 【详解】由题意得，（海里），（海里）， 又∵海里， ∵， 即 ∴， ∵， ∴， 则B舰艇的航行方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）【综合与实践】 建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案： 小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则．      小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则． 问题解决： (1)填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是 ； (2)根据小智的方案，证明：； (3)工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由． 【答案】(1)勾股定理的逆定理 (2)见解析 (3)见解析，理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，三角形内角和定理以及垂直平分线的性质等知识． （1）由可判断是直角三角形，且，由此可知得出依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理； （2）由操作得出和为等腰三角形，得到，再由三角形内角和定理可得出，得，从而可得出； （3）利用“工具绳”画出的垂直平分线即可． 【详解】（1）∵， ∴是直角三角形，且， 依据的一个数学定理是：勾股定理的逆定理， 故答案为：勾股定理的逆定理； （2）∵为的中点， ∴， 由旋转得， ∴, ∴和为等腰三角形， ∴， 又， ∴ ∴ ∴； （3）如图，    将工具绳置于处， 1.先以P点为圆心，为半径画一个圆 ， 2.再以Q点为圆心，为半径画一个圆 ， 3.两圆会有两个交点，用直尺连接， 4.观察连线与是否重合 理由：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【变式训练6 利用勾股定理的逆定理求面积】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 ．    【答案】/ 【分析】连接，判定是等腰直角三角形，再根据勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，且，依据三角形面积计算公式，即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出是等腰直角三角形，再求出． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴． 【变式训练7 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．进行证明设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为，根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为， ∵， 所以以为边长的三角形是直角三角形． 即这样做的道理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 故选：D 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【详解】如图所示，连接， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴（）． 【变式训练8 勾股定理逆定理的综合问题】 1．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：A、∵三个内角之比为，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故不符合题意； B、∵三边之比为， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； D、∵三边长分别为，2，， ∴， ∴三角形为直角三角形， 故D不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 【答案】6 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 根据勾股数是正整数以及勾股定理的逆定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A、， 不能组成三角形，故A选项错误； B、， 不能作为直角三角形三边长，故B选项错误； C、， 能作为直角三角形三边长，故C选项正确； D、， 不能作为直角三角形三边长，故D选项错误． 故选：C． 2．（2024八年级下·四川眉山·竞赛）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）在由边长为1的小正方形组成的大正方形网格中各有一个三角形，下列四个三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：设网格中每个小正方形的边长是1． A、三角形各边长为、、5，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； B、三角形各边长为、、，，故该三角形不是直角三角形，符合题意； C、三角形各边长为、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、三角形各边长为2、4、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理及全等三角形的性质，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．先运用全等得出，，从而，得出是等边三角形，，，再运用勾股定理逆定理得出，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， 则， 又， 则，，故A正确， 是正三角形， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，故B正确， 又是正三角形， ， ，故C正确， ∵， ∴，故D错误． 故选：D． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点到的距离为，由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积求出即可． 【详解】解：设点到的距离为， 由勾股定理得： ， 是直角三角形，且， ， ， 即点到的距离等于； 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 【详解】解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 10．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴修建的公路的长是． 故答案为：12． 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 【答案】四边形草地的面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． 连接，由，利用勾股定理可求得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形且，最后根据四边形草地的面积为以及直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵，，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形且， ∴四边形草地的面积为． 答：四边形草地的面积为． 12．（24-25八年级下·浙江·期中）如果我们称正方形网格中的交点为格点．如图，已知，两个格点． (1)在图1中找出两个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点； (2)在图2中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)图见解析（答案不唯一），， 【分析】（1）根据等腰三角形的定义和勾股定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的定义，勾股定理解及其逆定理答即可． 【详解】（1）解：如图所示，（画出图中六个点中的任意两个）， 如：， ∴是等腰三角形； （2）解：如图， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 13．（24-25八年级下·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间 【详解】（1）解：海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （2）解：当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， (小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 14．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】(1) (2)学校需要投入元买草皮 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； （2）解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）运用证明解题即可； （2）利用勾股定理求出长，然后利用勾股定理的逆定理得到，解题即可； （3）过点作于点，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 在中，， ， ， ． （3）解：过点作于点， ， ， ， ， 由勾股定理可得，即， 解得：或（舍去）， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 勾股定理的逆定理（1个知识点+8大核心考点+变式训练+举一反三） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的综合问题 知识点01 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【核心考点一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）下列数据分别是三角形的边长，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．9，12，13 D．13，14，15 【例2】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）由以下线段组成的三角形不是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．13，14，15 【例3】（24-25八年级下·全国·期末）三角形的三边长分别为6，8，10，这个三角形的形状是 三角形． 【例4】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）用三根长度分别为、、长的木棍 围成一个直角三角形（填“能”或者“不能”）． 【例5】（23-24八年级下·广东中山·期末）如图，中，，长为，点是上的一点，， (1)求证：； (2)求线段的长． 【核心考点二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例1】（23-24八年级下·陕西榆林·阶段练习）下列叙述中，正确的是 A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90º D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90º，则 【例2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（23-24八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【例4】（23-24八年级下·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【例5】（23-24八年级下·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【核心考点三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图所示的网格是正方形网格，（    ）°．（点A，B，C，D，P是网格线交点） A．15 B．30 C．45 D．60 【例2】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（   ） A．点A、点B、点C B．点A、点D、点G C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E 【例3】（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 【例5】（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在图①中画一条线段，使； (2)在图②中画一个直角，使三边长都为无理数，且各边都不相等． 【核心考点四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例1】（2024·广东广州·模拟预测）如图，已知△ABC中，AB=10 ，AC=8 ，BC = 6 ，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D ，交AC于点E ，连接CD ，则CD的长度为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【例2】（23-24八年级下·河北石家庄·阶段练习）在长为，宽为的长方形硬纸板中剪掉一个直角三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所示的数据（单位：）不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，中， 于点D，若，，，则线段的长度是 ． 【例4】（23-24八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为 ．    【例5】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，垂足为D．如果，，．    (1)求、的长度； (2)求证：． 【核心考点五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例1】（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）在下列三角形中能从几何角度验证的图(不添加任何辅助线)是（  ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·广西桂林·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行；同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是 ． 【例4】（2024八年级下·全国·专题练习）在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东 度． 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）如图，甲、乙两船从港☐A同时出发，甲船以16海里/小时的速度向南偏东40°的方向航行，乙船以12海里/小时的速度向另一方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距60海里，则乙船航行的角度是北偏东多少度？ 【核心考点六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【例3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是 ． 【例4】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，以的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则这个三角形的面积 ． 【例5】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 【核心考点七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·四川成都·期中）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【例3】（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【例4】（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【例5】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【核心考点八 勾股定理逆定理的综合问题】 【例1】（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A．B．C．D． 【例2】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【例3】（23-24八年级下·四川·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【例4】（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【例5】（23-24八年级下·贵州·期中）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【变式训练1 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 1．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）下列条件：①；②；③；④．其中能判定是直角三角形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，． (1)试说明：； (2)若于D，求的长． 【变式训练2 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 2．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点，在小正方形的顶点上，在图中画（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形，并说明理由.（要求画出两个，且两个三角形不全等）    【变式训练3 在网格中判断直角三角形】 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·全国·期中）如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 3．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【变式训练4 利用勾股定理的逆定理求长度】 1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为（　　） A．90米 B．120米 C．140米 D．150米 2．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为 ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）已知，如图，，C为上一点，与相交于点F，连接．，． （1）求证：； （2）已知，，，求的长度． 【变式训练5 利用勾股定理的逆定理求角度】 1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（    ） A．北偏西50° B．南偏西50° C．南偏东40° D．北偏西40° 2．（23-24八年级下·山东青岛·期中）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是 ． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）【综合与实践】 建筑工地上工人师傅经常需画直角或判定一个角是否是直角，现仅有一根绳子，请帮助工人师傅完成此项工作．数学活动课上，小歌、小智两名同学经过讨论，在绳子上打13个等距的绳结，做成如图①所示的“工具绳”．他们利用此“工具绳”分别设计了以下方案： 小歌的方案：如图②，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将绳结点C、D固定，拉直、分别绕绳结点C、D旋转，使绳结点A、B在点E处重合，画出，则．      小智的方案：如图③，将“工具绳”拉直放置在地面上，并将中点O固定，拉直绕点O旋转一定的角度（小于）到的位置，画出，则． 问题解决： (1)填空：在小歌的方案中，依据的一个数学定理是 ； (2)根据小智的方案，证明：； (3)工地上有一扇如图④所示的窗户，利用“工具绳”设计一个与小歌、小智不一样的方案，检验窗户横档与竖档是否垂直．画出简图，并说明理由． 【变式训练6 利用勾股定理的逆定理求面积】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 ．    3．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【变式训练7 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段练习）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，这样做的道理是(　 　)    A．直角三角形两个锐角互余 B．三角形内角和等于 C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 3．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【变式训练8 勾股定理逆定理的综合问题】 1．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）三角形满足下列条件，不能判断它是直角三角形的是（） A．三个内角度数之比为 B．三边之比为 C．一个内角等于另外两个内角之差 D．三边长分别为，2， 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 . 3．（23-24八年级下·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）下列各组数据，能作为直角三角形三边长的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·四川眉山·竞赛）如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 4．（2024八年级下·全国·专题练习）在由边长为1的小正方形组成的大正方形网格中各有一个三角形，下列四个三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是（　　） A． B．是直角三角形 C． D． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为 ． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 8．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 9．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 10．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 11．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，一块四边形草地，测得，，，，．求该四边形草地的面积． 12．（24-25八年级下·浙江·期中）如果我们称正方形网格中的交点为格点．如图，已知，两个格点． (1)在图1中找出两个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，并画出点； (2)在图2中找到一个格点，并画出，使得是等腰直角三角形，若每个小正方形的边长为1，求的面积． 13．（24-25八年级下·全国·期末）号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 14．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 15．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，已知等腰和等腰，，点在内部，连接，，，其中，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$