(练本)16.3 二次根式的加减-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

) ! 芝麻助优 三点 分层作业 数学 八年级下册 人教版 !"!$ ! 二次根式的加减 第 ! 课时 ! 二次根式的加减 ! 二次根式合并的条件 !! ! "#"$ !长寿区校级期中"下列根式中#能与 槡)合并的二次根式是 !!%!" &'槡1 %'槡!" *'#!槡 , +' ! 槡, #! ! "#"$ !渝北区期末"若最简二次根式槡"与)槡) 是同类二次根式#则整数 " 的值是 !!!! ! /变式0如果槡&与槡4可以合并#那么&的最 小正整数值是 ! ! + ! " &'4 %'$ *') +'" $! 有下列二次根式& "槡"# ! " 槡4## ! 槡"#$ #!槡 .,# ! " #!槡 "! !"能与槡)合并的是!!!!!!( ! " "能与槡,合并的是!!!!!!! ! 二次根式的加减 %! 计算槡!"(槡)的结果是 !!&!" &'槡) %'"槡) *') +'$槡) &! ! "#"$ !开州区期中"有下列算式&!"槡"- 槡,2槡.(!"",槡#("槡#2)槡#(!)" 槡4-槡,# " 2 槡$-槡",2.(!$") )槡"- ".槡 "21 )槡"#其 中正确的是 ! ! % ! " &' !"和! ) " %' ! " "和! $ " *' ! ) "和! $ " +' !"和! $ " "! !渝北区期末"估算 "槡4(槡!4-!的值 在 ! ! * ! " &'# 和 ! 之间 %'! 和 " 之间 *'" 和 ) 之间 +') 和 $ 之间 )! 计算& !"! "#"$ !巴南区期末"槡)"(槡!42!!!!( ! " "! "#"$ !渝中区校级月考"槡.,() ! 槡)2 !!!! ! *! 计算& !"槡"( 槡" " ( 解&原式 2 )槡" " ( ! " " $槡#- !1槡 #( 解&原式 2"槡#-$槡# 21槡#( ! ) "! "#"$ !江津区期中"槡3-槡!"(槡$4! 解&原式 2)-"槡)($槡) 2)("槡)! +! 计算&槡!4-槡".-槡,#! 解&原式 2)槡"-)槡)-,槡""第一步 24槡"-)槡)"第二步 2 ! 4-) "槡"-)"第三步 2!!槡,!"第四步 !"以上解答过程中#从第 !!!! 步开始 出现错误( ! " "请写出本题的正确解答过程 ! 解&!"三 ! ! " "原式 2)槡"-)槡)-,槡" 24槡"-)槡) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ! 第十六章 ! 二次根式 !* ! !,! 若等腰三角形的两边长分别为槡4和 !# ! 槡"#则这个三角形的周长为 !!*!" &'.槡" %'3槡" *'!"槡" +'.槡"或!"槡" !!! 定义关于- - .的新运算&当 " $ $ 时# " - $2"-$ (当 " # $ 时# " - $2"( $ #其他运算符号的意义不变 ! 按上述定义#计 算!槡)-!"(!槡)-""的值为!!!!! !#! 一个三角形的三边长分别为 , # 槡,# "#槡 # " # , $ # $ ,槡#! !"求它的周长(!要求结果化简" ! " "请你给出一个适当的 # 值#使它的周长 为整数#并求出此时三角形的周长 ! 解&! ! "周长为 , # 槡, - "#槡 # " - , $ # $ ,槡#2 ,槡#- ,槡#- ,槡# " 2 , ,槡# " ( ! " "当 #2"# 时#周长为, " 槡,7"#2",!!答案不 唯一#符合题意即可" !$! 是否存在整数 " # $ ! " % $ "#使其满足槡"- 槡$2槡!$#$' 若存在#求出"#$的值(若不 存在#请说明理由 ! 解&存在 ! 6槡"-槡$2槡!$#$21槡)3#"#$为非负整数#" % $! 5 当 "2# 时# $2!$#$ ( 当槡"2槡)3时#槡$2,槡)3#则"2)3#$23.,( 当槡"2"槡)3时#槡$2$槡)3#则"2!,1#$21"$! 综上所述# "2# # $2!$#$ 或 "2)3 # $23., 或 "2 !,1 # $21"$! !%! 基本事实&如果两个实数相等#那么它们的 有理数部分和无理数部分必然分别相等 ! !"已知 " # $ 均为有理数#且 "-)槡"2.- 槡$#则"2!!!!#$2!!!!( ! " "已知 " # $ 均为有理数#若!槡"(槡"""2 !$(槡$#求"-$的值( ! ) "已知 " # $ 均为有理数#且槡4-槡!4- ! 槡4-!"()槡"" " 2"-$槡"#求"-$的值! 解&!" . ! !4 ! ! " " 6" # $ 均为有理数#!槡"(槡"""2!$(槡$# 5"(" "槡"-"2!$(槡$! 5 "-"2!$ # " "槡"2槡$ ' ( ) # 解得 "2!" # $231 ' ( ) ! 5"-$2!"-312!#4 ( ! ) " 6" # $ 均为有理数#槡4-槡!4- ! 槡4-!"( )槡"""2"-$槡"# 5"-$槡"2"槡"-)槡"- 槡" $ -$(!"槡"-!42 ""( ".槡" $ ! 5"2"" # $2( ". $ ! 5"-$2""- ( ". ! " $ 2 1! $ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ! !! 芝麻助优 三点 分层作业 数学 八年级下册 人教版 第 " 课时 ! 二次根式的混合运算 ! 二次根式的混合运算 !! !九龙坡区期中"下列计算正确的是 ! ! + ! " &'槡"-槡)2槡, %'槡!,9槡,2) *'"槡)7)槡)21槡) +'槡)(槡!"2(槡) #! 若 "2槡"7!槡.(槡""#则表示实数"的点会 落在如图所示的数轴的 ! ! % ! " &' 段 " 上 %' 段 # 上 *' 段 $ 上 +' 段 % 上 $! ! "#"$ !潼南区校级月考"计算&槡,7 $ 槡,( ! (! " # 2 !!!! ! %! 计算& !"! "#"$ !甘肃"槡!4(槡!"7 ) 槡"( 解&原式 2)槡"()槡" 2# ( ! " "! "#"$ !秀山县期末"槡".( 槡"7槡1 槡) ( 解&原式 2)槡)( 槡!" 槡) 2)槡)(槡$ 2)槡)("( ! ) "! "#"$ !大足区期末"槡". ! - ! 槡1-槡"17槡"! 解&原式 2)槡)- 槡1 1 -槡 ! " 1 7槡" 2)槡)- .槡1 1 7槡" 2)槡)- .槡) ) 2 !1槡) ) ! ! 用乘法公式进行二次根式的 混合运算 &! 下列各数中#与 "-槡)的积为有理数的 是 ! ! * ! " &'"槡) %'"-槡) *'("-槡) +'("(槡) "! 若 # 为实数#在-!槡)-!" . # .的- . .中填一种运算符号!在- - # ( # 7 # 9 .中选择"后其运算的结果为有理数# 则 # 不可能是 ! ! * ! " &'槡)-! %'槡)(! *'"槡) +'!(槡) )! 如图#甲,乙,丙三人手中各有一张纸质卡片#卡 片的正面分别写有一个算式#则这三张卡片中# 算式的计算结果是有理数的有 ! ! % ! " &'# 张 %'! 张 *'" 张 +') 张 甲 ! "(槡)"" 乙槡"!槡"(槡4" 丙 槡"$9 !()"槡 " *! 计算& !"! "#"$ !梁平区校级月考"!槡,-""!槡,( " " 2 !!!! ( ! " "! "#"$ !天津"!槡!!-!"!槡!!(!"2 !!!! ! +! 计算& !"!槡1-""!槡1(""( 解&原式 2 !槡1""("" 21($ 2" ( ! " "! "槡)(槡"""! 解&原式 2 ! "槡)""("7"槡)7槡"-!槡""" 2!"($槡1-" 2!$($槡1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ! 第十六章 ! 二次根式 !" ! !,! 设 1(槡!#的整数部分为"#小数部分为$# 则! ""-槡!#"$的值是 !!&!" &'1 %'"槡!# *'!" +'3槡!# !!! 计算!槡,("""#",!槡,-"""#"$的结果是 ! 槡,(" ! ! !#! 如图#某居民小区有一个形状为长方形的 空地#长方形空地的长 *+ 为槡"$)0#宽 )* 为槡!"40!现要在长方形空地中修建 一个长方形花坛!图中阴影部分"#长方形 花坛的长为!槡!$-!"0#宽为!槡!$(!"0! !"求长方形空地 )*+0 的周长( ! " "除去修建花坛的地方#其他地方全修建 成通道#通道的造价为 , 元1 0 " #则修建 通道需要花费多少元' 解&!" 7 !槡"$)-槡!"4"2"7 ! 3槡)-4槡""2!4槡)-!1槡""0! 答&长方形空地 )*+0 的周长是 ! 4槡)-!1槡""0( ! " " ,7 $槡"$)7槡!"4(!槡!$-!"!槡!$(!"%2 ,7 $ ."槡1(!!$(!"%2,7!."槡1(!)"2 ! )1#槡1(1,"元! 答&修建通道需要花费! )1#槡1(1,"元! !$! 观察下列运算& " 由!槡"-!"!槡"(!"2!#得 ! 槡"-! 2槡"(!( # 由!槡)-槡""!槡)(槡""2!#得 ! 槡)-槡" 2槡)(槡"( $ 由!槡$-槡)"!槡$(槡)"2!#得 ! 槡$-槡) 2槡$(槡)( )) !"通过观察#你得出什么规律' 用含 ' 的 式子表示出来( ! " "利用!"中发现的规律计算 ! & ! 槡"-! - ! 槡)-槡" - ! 槡$-槡) - ) - ! 槡"#"$-槡"#") - ! 槡"#",-槡 " "#"$ 7 !槡"#",-!"! 解&!" ! '槡 -!-槡' 2 '槡 -!(槡'!'为正整数"( ! " "原式 2 !槡"(!-槡)(槡"-槡$(槡)-"-槡"#"$( 槡"#")-槡"#",(槡"#"$"7!槡"#",-!" 2 ! (!-槡"#","7!槡"#",-!" 2"#",(! 2"#"$! !%! !江北区校级期中"阅读材料&小敏在学习 二次根式后#发现一些含根号的式子可以写 成另一个式子的平方 ! 例如& )-"槡"2!- 槡"""!善于思考的小敏进行了以下探索&当 " # $ # & # ' 均为整数时#若 "-$槡"2!&- '槡"""#则有"-$槡"2&"-"'"-"&'槡"! "2& " -"' " # $2"&'! 这样小敏就找到了一种 把类似 "-$槡"的式子化为平方式的方法! 请你仿照小敏的方法探索并解答下列问题& !"当 " # $ # & # ' 均为整数时#若 "-$槡,2 ! &-'槡,""#用含&#'的式子分别表示 " # $ #则 "2 !!! # $2 !!! ( ! " "若 "-1槡.2!&-'槡.""#且"#&#'均 为正整数#求 " 的值( ! ) "直接写出式子 $3-"#槡槡 1化简的结果! 解&!" & " -,' " ! "&' ! ! " " 6"-1槡.2!&-'槡.""# 5"-1槡.2&"-.'"-"&'槡.!5 "2& " -.' " # 12"&' ' ( ) ! 6" # & # ' 均为正整数# 5 &2! # ' ' ( ) 2) 或 &2) # '2! ' ( ) ! 当 &2! # '2) 时# "2! " -.7) " 21$ ( 当 &2) # '2! 时# "2) " -.7! " 2!1! 5" 的值为 1$ 或 !1 ( ! ) " ,-"槡1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ! 思维拓展 （1原式=3,2)原式=2F+4万=6E4(3》原式=3 16.解：(1)x=士1(2)(/4+6x-5+√4-2x-5)· 2 (√/4x+6x-5-W4x-2x-5)=(/4x+6x-5)2 +2-4√3=3-2√5.9.解：(1)三(2)原式=3√2+ (/4x-2x-5)2=(4x2+6x-5)-(4x2-2x-5)=8x 3√3+5√2=82+33. 能力提升 :√/4x+6x-5+√4x-2x-5=4x,∴.√/4x+6x-5 √/4x一2x-5=2.将这两式相加可得√4x+6r一5=2x 10,C.32解：D周长为5√后+四+ 十1.将等式两边同时平方，得4x十6x一5=(2x十1)，解 √层-m+后+-5厘(2)当x=0 5 得x=3.经检验，x=3是原方程的解. 2 2 第2课时二次根式的除法 时，周长为号，X20=25,(答案不唯-，符合题意即可 基础过关 13.解：存在.√a+6=√个404=6√39，a,b为非负整 1.A2.C3.(1)2√6(2)64.解：(1)原式= 73 数，a<b.∴当a=0时，b=1404:当√a=√3g时，√B= =-2:(2)原式=√骨÷=√× 5√39，则a=39,b=975:当a=2√/3丽时，W6=4√39，则 a=156,b=624,综上所述，a=0,b=1404或a=39,b=975 32:(3)原式=3× 3 3 ×√20÷2=2×√20×号 或a=156,b=624. 而)原式=√需= 思维拓展 5.C6.解：(1)原式 14.解：(1)718(2)：a,b均为有理数，(W2-√a)2=14 /121 √/100 10 -62-2V2a+a=4-6j2+a=14, 解得 22a=6, =号：4原式= 5(a)T_5a2 7.B /49 /9b √3 36 a=12, ∴.a十b=12十96=108：(3)：a,b均为有理数，√⑧ b=96. 8.239.210.解：(1）)√/4是最简二次根式：(2)√72不 是最简二次根式，√72=6√2：(3)√25a不是最简二次根 ++V+(2-3②=a+bE,a+bE=2E+ 式，√/25a=5aa. 能力提升 32+2+4-122+18=22-27E.a=2.b= A 4 11.B12.37513.解：(1)AB=9,BC=10,CA=11, ÷a+6=22+(平)- a=10,b=11,c=9.p=a+=15.Sm 2 第2课时二次根式的混合运算 √15X(15-10)×(15-11)×(15-9)=30√2：(2)设BC 基础过关 边上的高为，则号×10h=302,解得h=62.:△ABC 1.D2.B3.14.解：(1)原式=3E-3√2=0：(2)原式 的边BC上的高为6√反. =35-严=35-=35-2：(3)原式=35+ 思维拓展 14解：w5-反5≥（②原式=×(T-厅+ (+5)×E-3+25×,E-=35+25-16区 6 3 3 2 -厅++2I-)=号×(-3+11)=4 5.C6.C7.B8.(1)1(2)109.解：(1)原式=(W6) -2=6-4=2:(2)原式=(2√5)2-2×2√5×W2+(2) (3)a= 万E+1a-1=E.∴(a-1)=2,即a =12-4√6+2=14-4√6. -2a十1=2.∴.a2-2a=1..原式=4(a2-2a)十1=4×1 能力提升 十1=5. 10.A11.5-212.解：(1)2×（√243+√128）=2× 16.3二次根式的加减 (9√3+8√②)=(185+16√)m.答：长方形空地ABCD 第1课时二次根式的加减 的周长是(18√3+16√2)m:(2)5×[/243×√128-（√14 基础过关 +1)(14-1)]=5×[72√6-(14-1)]=5×(725-13) 1.B2.3【变式】D3.(1)40.75 (2)8而， =(360√6-65)元.答：修建通道需要花费(360√6-65)元. 是024A5B6C1.4E (2)4√58.解： 13.解：(1) n++后=干-历(m为正整数)：(2)原 参考答案 第22页（共55页） 式=(W2-1+5-√2+√F-5+…+W2024-√/2023+ a](√+T+b)=/a+I-a.∴(a2+1-a)(+I+ √/2025-√/2024)×（√/2025+1）=(-1+√/2025)X )=√a+-a√+1十b=√a+I-a.同理可得 (√2025+1)=2025-1=2024. √a+1+a=√+1-b.两式相加，得a十b=一a一b,∴.a 思维拓展 +b=0. 14.解：(1)m2+5n22m(2)a+6√7=(m+n√/7) 专题突破（一）二次根式的性质及 a十6万=m+7m+2n万.但+7a:n 常用的化简求值方法 6=2mn 1.12.C3.解：x=5+√/7，y=7-5,∴x十y=(5 均为正整数， 1m=3, 或 当m=1,n=3时，a=1日 n=3n=1. +7)+(W7-5)=2√7，xy=(5+7)(7-5)=2. 十7×3=64：当m=3,n=1时，a=32+7×12=16..a的 .x2+y2=(x+y)2-2xy=(2√/7)2-2×2=28-4=24. 值为64或16：(3)5+2√6 4解：原式=(- ）÷x+2)(x-2) x+2 (x十2)2 强化训练一二次根式的混合运算 1.解：(1)原式=2√-3√3+√5=0：(2)原式=20-2√3 ×号罗×当-2当=2+后 x十2 ◆x2 -5+√/5=25-2-5+55=√5+3√5：(3)原式 时，原式=2+厅-2=后或解：原式-名%÷ ab =35-32+√5-22=45-5√2.2.解：(1)原式= =字·当。=尝当a=6+1,6=厅-1时，原式 2 -18√6=-72：(2)原式=- V5÷号=-×号 5+1D(5-1卫=5.1=2.6.D7.解：由数轴，得6a -:(3)原式=√÷=√停×=厄3解： 2 2 <0<c,则a十b<0,c-b>0,a一c<0,原式=-a一b一(c )原式=2X十×V2X3+V246=号×6+=3+2 -b)十a-c=-a一b-t十b十a-c=-2c.8.解：由题意 可知8-x≥0，x-8>0,.x=8..y=2.(1)当x=8y=2 =5:(2)原式=(5√/2+4√2-32)÷22=6√2÷2√/反 3:(3)原式=9-8-√=9-8-3=-2：(4)原式=√48÷3 时网==42)√++2-√+兰-2 -2√写×30+4+4+3)=压-26+(7+4®)= 十y+2xy E+y2= /十 y ry 4-26+7+45=11-2√6+45.4.(1)二次根式除 =尘-义.“x=8,y=2,>y.原式= 法法则(2)二括号前是负号，去括号后第二项没有变号 √xy (3)-33,厘5.解：(1)原式=3-1+2-22+1=5 =+y+=2义=2x2 =1.9.解： 2 ry y√/8X2 22:(2)原式=(2√2-3)×(2√2+3)×(2E-3) :√a-2+b+6b+9=0,∴.√a-2+(b+3)2=0. =[(2√2-3)×(2√2+3)]4X(2√2-3)=1×(2√2-3) a-2≥0，(b+3)'≥0，.a-2=0,(b+3)=0,.a -2=0,b+3=0.∴.a=2,b=-3.原式=[(a2+4ab+4) =22-3.6.解：(1)原式=(25)-1+ 4(5+1) (W3-1)(W5+1) +(2a2-3ab-2b6)-26]÷√5a=(a2+4ab+4bw+2a2 =20-1十2(3+1)=20-1+2√5+2=21+23： 3ab-2b-2b)÷√3a=(3a2+ab)÷3a=a(3a+b)÷√3a (2), √202函+√2024 √202店-V√/202脑 (√/2025-√/2024)（√2025+√/2024） 30-5a+号6-月x2+9×(-3)=尽、10.解： 3 3 1 √2025 √/2024， /2024-√2023 (1)x= 3+2W2 3-22.y8-2万3+22.r+y 2024+/2023 =√2024+ =6,xy=1..x2+y2+xy=(x+y)2-xy=6-1=35 (√2024-√/2023)（√/2024+√2023） (2)2<2V2<3,.0<3-2√2<1,5<3+22<6.x 20,·y25-V2m>202-2 1 的小数部分为m,y的小数部分为n,m=3一2√2，n=3十 .√2025-√/2024</2024-√2023：(3)（√/a+I 2√2-5=2√2-2.∴.m+n=3-22+2√2-2=1，m-n +a)(++b)=1,.(a+I+a)(a+I =3-2√2-2√2+2=5-4√2.∴.(m十n)-/(m-n) a)(√B+1+b)=a+I-a.∴.[（√a+I) =(m十n)24-(m-n)=1224-(5-4V②)=4√2-4. 参考答案 第23页（共55页）