(讲本)18.2.3 正方形&专题突破(六)正方形中的折叠问题-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

【变式练习】 B例题导学 3.如图，在△ABC中，AB=AC=6,∠A 知识点1 正方形的性质 120°，过点A作AD⊥BC于点D,延长 【例1】如图，在正方形ABCD中，E为BC边 AD至点N,使得AD=DN,在平面上有 上一点，连接AE,作AE的垂直平分线交 一动点M,使∠AMN=90°，连接BM,则 AB于点G,交CD于点F.若DF=2,BG= BM的最小值为 4,则AE的长为 A.3 B.3 【方法点拨】“十字架”模型中，适当添加辅助 C.33-3 D.3√5+3 线，构造全等三角形，最后将问题转化在直 角三角形中，利用勾股定理解决， 18.2.3 正方形 【例2】如图，在正方形ABCD中，点E,F分 别在边BC,CD上，∠BAE+∠DAF=45°. A知识梳理 若DF=2BE=2,则EF的长为 1.正方形的定义 有一组邻边相等的矩形是正方形；或有一 个角是直角的菱形是正方形 2.正方形的性质 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊 【方法点拨】常见的“半角”模型中，作线段相 的矩形和菱形，因此它具有平行四边形、 等和旋转都可构造全等三角形，将未知线段 矩形和菱形的所有性质 转化为两条已知线段的和. 正方形的四条边 四个角都是 【变式练习】 ;正方形的对角线 且 1.如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐 标为（一1,0），点B,C,D都在坐标轴上， 3.正方形的对称性 则正方形的周长是 ( 正方形是轴对称图形，两条对角线所在的 A.4 B.3√2 C.4V2 D.2 直线以及过每一组对边中点的直线都是 它的对称轴.正方形也是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点. 4.正方形的判定 D (1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形 (第1题图)》 (第2题图) 有一组邻边相等或对角线互相垂直： 2.如图，以AD为一边在正方形ABCD的外 (2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱 侧作等边三角形ADE,连接BE,则 形有一个角是直角或对角线相等， ∠AEB的度数为 ·46。 3.如图，在正方形ABCD中，M,N是对角线 【变式练习】 BD上的两点，且∠MAV=45°.若BM=2, 5.矩形各角的平分线相交围成的四边形 DN=3,则MN的长为 是 ( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 6.如图，四边形ABCD是菱形，点E,F分别 在边BC,CD上，且BE=DF,过点F作 (第3题图) (第4题图) AE的平行线交对角线AC的延长线于点 4.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是 G,连接AF,EG. AD,CD边上的点，且AE=DF,连接 (1)求证：四边形AEGF是菱形； BE,AF交于点M,连接BF,N是BF的 (2)若∠B=∠BAE=30°，求证：四边形 中点，连接MN.若AB=10,AE=4,则 AEGF是正方形 MN的长为 知识点2正方形的判定 【例3】如图，在□ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,且∠OBC=∠OCB. (1)求证：□ABCD是矩形： (2)请添加一个条件，使矩形ABCD成为正 方形，并说明理由. 【方法点拨】由矩形证明正方形的两种思路： (1)证明有一组邻边相等；(2)证明对角线互 相垂直 ·47 专题突破（六） 正方形中的折叠问题 A专题概逃 【例2】如图，正方形ABCD的边长为9，将正 正方形的折叠问题，主要是折叠性质的 方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E 应用，即折叠前后是全等图形，对应点的连 处，折痕为GH.若BE:EC=2:1,求线段 线被折痕垂直平分，在求线段长时通常要利 CH的长。 用勾股定理构建方程。 B例题导学 【例1】如图，在四边形纸片ABCD中，∠B 【方法点拨】利用折叠的性质求线段或角之 ∠D=90°，点E,F分别在边BC,CD上，将 间的关系，再利用勾股定理构建方程求出线 AB,AD分别沿AE,AF折叠，点B,D恰好 段的长 都和点G重合，∠EAF=45°. 求证：四边形ABCD是正方形 4 【方法点拨】利用折叠的性质及角的度数得 出四边形为矩形，再通过线段之间的等量代 换得出一组邻边相等，可求证四边形为正 方形. 【变式练习】 1.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是 CD的中点，将△BCE沿BE翻折得到 △BFE,连接DF,则DF的长为( A⑤ B2⑤ C.3⑤ D4⑤ 5 5 5 (第1题图)》 (第2题图) 2.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E 为AD边的中点.将△ABE沿BE翻折， 使点A落在点A'处，作射线EA',交BC 的延长线于点F,则CF的长为 ·48。=AE=GE,,.BG=CE.又，CF=AE,,.GE=CF.又 =BF,,.BO⊥EF,∠ABO=∠FBO,,∴.∠ABO=∠BAC :∠BGE=∠ECF=60°，，△BGE≌△ECF(SAS),∴.BE ∠FBO,设∠ABO=x°，，∠BEF=2∠BAC,∴∠BEF= =EF. 4.B 5.A6 2x,∴.2x+x=90°，解得x=30°，.∠ABF=60°，∴.∠FBC =30°，CF=2,.BF=BE=2CF=4,.AB=BE+AE= 第2课时 菱形的判定 6们【例2】D[解析：连接AC,则AC必过点O.,四边形 知识梳理 ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴.∠BAD=60°，AC⊥BD, (1)邻边(2)互相垂直(3)相等 例题导学 ∴∠OAB=之∠BAD=30.在R△AOB中.则有B0 【例1】16【例2】解：当AB=AC时，四边形AEDF是菱 之AB,即AB=2B0,“A0+B0=AB,即A0+BC= 形.理由如下：，'AD⊥BC,AB=AC,.∠DAE=∠DAF. :DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边形， (2BO)2,∴.AO=√3OB.易得AC=2AO,BD=2BO,∴.AC ∠ADE=∠DAF,,∠DAE=∠ADE,.AE=ED,.四边 =√5BD,即BD=AC.:菱形ABCD的面积为243， 3 形AEDF是菱形.【例3】证明：(1)在口ABCD中，AD∥ BC,AD=BC,∴∠EAM=∠FCV.:E,F分别为AD,BC 六2ACBD-243,7×9AC-215.∴AC=12. 3 的中点，∴.AE=DE=BF=CF,在△AEM和△CFN中， AE=CF. :在R△ABC中，OE是斜边上的中线，∴OE=号AC=6] ∠EAM=∠FCN,∴.△AEM≌△CFN(SAS),∴.EM= 【例3】D[解析：连接DE,DF,BD.:在□ABCD中，AB AM=CN. =AD=6,平行四边形ABCD为菱形.点D与点B关 FN,∠AME=∠CNF,∴.∠EMN=∠FNM,.EM∥FN. 于AC对称.BF=DF.EF+BF=EF+DF,当点D, :EM=FN,∴.四边形EMFN是平行四边形：(2)连接 F,E共线时，EF十BF有最小值，最小值为DE的长.E EF,交AC于点O.由(1)得AE∥BF,AE=BF,∴.四边形 为AB中点，∴.AE=3.又∠DAB=60,AD=AB AEFB是平行四边形，∴.AB∥EF.,AB⊥AC,∴EF⊥ .△ADB是等边三角形.E为AB中点，.DE LAB. MN,.四边形EMFN是菱形， ∴.DE=√AD-A=√6-3=3√3J 【变式练习】 【变式练习】 L.D2.AD=BC3.证明：(1)在□ABCD中，AB∥CD, 1.A2.30°3.C AB=CD.:E,F分别是AB,CD的中点BE=号AB, 18.2.3正方形 知识梳理 DF=CD,BE=DF.BE∥DF,四边形DEBF是 2.相等直角相等互相垂直平分 平行四边形，∴DE∥BF:(2):∠G=90°，AG∥BD,AD∥ 例题导学 CG,∴.四边形AGBD是矩形，∠ADB=90°.在R△ADB 【例1】3√10【例2】3【例3】解：(1)在☐ABCD中，OA 中，，E为AB的中点，BE=DE,,四边形DEBF是平 =OC,OB=OD.∠OBC=∠OCB,.OB=OC,∴.AC 行四边形，∴.四边形DEBF是菱形.4.C5.解：(1)四 BD,□ABCD是矩形：(2)AB=AD.理由如下：，四边形 边形ABCD为平行四边形，AB∥DF,AD∥BC,AB= ABCD是矩形，且AB=AD,∴.四边形ABCD是正方形. CD.,CF=CD,.CF=AB..四边形ABFC为平行四边 (答案不唯一)》 形.：AD∥BC,AF⊥AD.AF⊥BC..四边形ABFC为 【变式练习】 菱形：(2)：AD∥BC,∠ADC=25,.∠BCF=∠ADC= 1.C2.153.√134.√345.D6.证明：(1)：四边 25°.：四边形ABFC为菱形，.FB=FC..∠CBF= 形ABCD是菱形，∴.AB=AD,∠B=∠D,∠BAC= ∠BCF=25°.∴.∠DFG=∠CBF+∠BCF=50°.：DG⊥ AB-AD. BG,∴∠DGF=90°..∠FDG=90°-∠DFG=90°-50 ∠DAC.在△ABE和△ADF中，∠B=∠D,·△ABE≌ =40° BE=DF. 专题突破（五）特殊平行四边形与60度角 △ADF(SAS),∴.AE=AF,∠BAE=∠DAF,.∠EAG= 例题导学 ∠FAG.FG∥AE,.∠EAG=∠FGA,∴.∠FAG= 【例1】D[解析：连接OB,四边形ABCD是矩形，.AE ∠FGA,,,FG=AF=AE.,FG∥AE,∴.四边形AEGF是 ∥CF,∠ABC=∠BCF=90°.∴.∠EAO=∠FCO,∠AEO 平行四边形.又，AF=AE,.四边形AEGF是菱形：(2)在 =∠CFO,,AE=CF,.△AOE≌△COF(ASA),.OE= 菱形ABCD中，BC∥AD,.∠B+∠BAD=180°， OF,OA=OC.∴.OA=OB=OC,∴.∠ABO=∠BAC.:BE∴.∠BAD=180°-∠B=150°.由(1)知△ABE≌△ADF, 参考答案第9页（共55页） .∠DAF=∠BAE=30°，.∠EAF=∠BAD-∠BAE- ∠A=90.在菱形EFGH中，HG=HE.,'AH=2,DG ∠DAF=150°-30°-30°=90°.又：四边形AEGF是菱 2,.AH=DG.在Rt△DHG和Rt△AHE中，∠D=∠A 形，∴，四边形AGF是正方形。 =90.:HG=HE,DG=AH=2,.Rt△DHG≌ 专题突破（六）正方形中的折叠问题 R△AEH(HL),.∠DGH=∠AHE.又：∠DGH+ 例题导学 ∠DHG=90°..∠AHE+∠DHG=90°.∴∠GHE=90°， 【例1】证明：由折叠的性质，得∠BAE=∠EAG,∠DAF= ∴.四边形EFGH是正方形：(2)过点F作FM⊥DC,交DC ∠FAG,AB=AG,AD=AG,∴.AB=AD.∠EAF=45, 延长线于M,连接EG.:AB∥CD,∴.∠MGE=∠AEG.在 ∴.∠BAD=2∠EAG+2∠FAG=2∠EAF=90°.：∠B= 菱形EFGH中，HE∥FG,HE=FG,.∠FGE=∠HEG, ∠D=90°.∴四边形ABCD是矩形.：AB=AD,.四边形 ∴.∠MGF=∠AEH,在△AHE和△MFG中，∠A=∠M =90°，∠AEH=∠MGF,HE=FG,∴.△AHE≌△MFG ABCD是正方形.【例2】解：设CH=x,则DH=EH=9 (AAS),∴.MF=AH=2.DC=7,DG=6,∴.CG=DC- -x:BE:BC=21,BC=9.CE=号BC=3.在正方 DG=7-6=1.dSam=2CG·MF=号X1X2=1 形ABCD中，∠C=90°，∴.在Rt△ECH中，根据勾股定理， 【例5】证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥ 得EH=CE+CF,即(9-x)2=3十x2,解得x=4,即 CD.:EQ∥AD,.四边形ADEQ是平行四边形.：AD= CH=4. ED,.四边形ADEQ是菱形，.AD=ED=EQ=AQ 【变式练习】 :∠A=60°，.△ADQ,△DEQ都是等边三角形， 1.D2.1 '.∠DQA=∠EDQ=∠DEQ=60°，DQ=AD=DE.在 第十八章整合与提升 DQ=DE. 考点突破 △DGQ和△DFE中，J∠DQG=∠DEF,∴.△DGQ≌ 【例1】证明：(1)在□ABCD中，AD∥BC.AB=CD,∠BAD GQ-FE. =∠DCB,∠B=∠D,.∠DAE=∠AEB,∠DFC= △DFE(SAS):(2)连接GF.△DGQ≌△DFE,∴.∠QDG ∠BCF.,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,∴·∠BAE =∠EDF,DF=DG,.∠QDG+∠FDQ=∠EDF+ ∠DAE=是∠BAD,∠BCF=∠DCF=∠DCB. ∠FDQ-∠EDQ=60°，即∠GDF-60°，∴.△GDF是等边 CD-CG. .∠BAE=∠DCF,△BAE2△DCF(ASA),.BE= 三角形，∴.DF=GF.在△CDF和△CGF中，DF=GF, DF:(2)由(1)知△BAE≌△DCF,∴.AE=CF,又，M,N CF=CF. 是AE,CF的中点，ME=号AE,FN=CF,ME= ∴.△CDF≌△CGF(SSS),.∠DCF=∠GCF,即CF平分 FN.:∠BAD=∠BCD,AE,CF是角平分线，·∠EAD= ∠DCG. Z∠BAD,∠FCB=∠BCD.∠EAD=∠FCB.:AD 第十九章 一次函数 19.1函数 ∥BC,.∠EAD=∠AEB,∴.∠FCB=∠AEB,.AE∥ 19.1.1变量与函数 CF.又：ME=FN,.四边形FMEN是平行四边形 第1课时常量与变量 【例23【例3】解：(1)：∠ABC=90°，M为AC的中点， 知识梳理 ∴BM=号AC.:M为AC的中点，N为DC的中点， 数值发生变化数值始终不变 ∴MN为△ACD的中位线MN=号AD,:AD=AC 例题导学 【例1】解：(1)y与n之间的关系式为y=0.4n,其中常量为 ∴.BM=MN:(2):∠BAD=60°.AC平分∠BAD, ∴∠DAC=∠CAB=30°.：M为AC的中点，∠ABC= 0.4,变量为y与：(21与0之间的关系式为1-g,其中 常量为400，变量为t与u:(3)S与x之间的关系式为S 90.BM=AM=2AC=1,·∠MAB=∠MBA=30, x(30-x),其中常量为30，变量为S与x. 【例2】解： .∠CMB=60°.M,N分别为AC,CD的中点，.MN∥ (1)反映了剩余长度与燃烧时间之间的关系.由表知每分钟 AD.MN=2AD=2AC=1..∠NMC=∠DAC=30 蜡烛减少的长度是号cm,当燃烧时间为0©m时，蜡烛长 .∠NMB=∠NMC+∠CMB=30°+60°=90°.在 度为20cm,放1=-子1十20.其中11是变量：-号，20是 Rt△BMN中，根据勾股定理，得BN=√MN+BM= √+严=√2.【例4】解：(1)在矩形ABCD中，∠D= 常量：(2)当1=21mim时，=-号×21+20=6.当燃烧 参考答案第10页（共55页）》