(讲本)18.1.2 平行四边形的判定-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

【方法点拨】根据平行四边形的性质得到AC 18.1.2平行四边形的判定 =2AO=6,根据平行四边形的面积=底X 第1课时 平行四边形的判定(1) 高即可得到结论 【例3】如图，□ABCD的对角线AC,BD相 A 知识梳理 交于点O,EF,GH过点O,且点E,H在边 平行四边形的判定定理 AB上，点G,F在边CD上，则阴影部分的 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四 面积与口ABCD的面积比值是 边形； (2)两组对边分别 的四边形是平行 四边形： (3)两组对角分别 的四边形是平行 A B. 四边形： (4)对角线 的四边形是平行四 D.3 边形. 【方法点拨】掌握平行四边形的中心对称性 B例题导学 质，证出S阴影部分=S么MOB= 4SD是解题 知识点1 由边、角的关系判定四边形 的关键. 是平行四边形 【变式练习】 【例1】如图，点A,F,C,D在同一直线上，点 4.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 B和点E分别在直线AD的两侧，且AB= 交于点O,过点O的直线EF交AB于点 DE,∠A=∠D,AF=DC 求证：四边形BCEF是平行四边形. E,交CD于点F,且BE=3AB.若 SawD=16,则阴影部分的面积是( C.2 D.3 【方法点拨】由边的关系说明四边形是平行 四边形，可以证明四边形的两组对边分别相 等，也可以证明两组对边分别平行.平行四 边形的定义可以看作平行四边形的性质，也 (第4题图) (第5题图) 可以看作平行四边形的判定， 5.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点 O,△AOB是等边三角形，AB=2,则 □ABCD的面积为 A.45 B.4② C.33 D.8 ·28 【变式练习】 【方法点拨】从对角线的角度判定平行四边 1.下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B, 形，只要证明四边形的对角线互相平分 ∠C,∠D的度数之比，其中能判定四边形 即可. ABCD是平行四边形的是 ( A.3:4:3:4 B.3:3:4:4 C.2:3:4:5 D.3:4:4:3 2.如果AD=9,AB=5,那么当BC= CD= 时，四边形ABCD是平行四 边形. 3.如图，在□ABCD中，AF=CH,DE= BG.求证：EG和HF互相平分. 【变式练习】 4.如图，四边形ABCD的两条对角线相交 于点O,AB∥CD,且BO=DO,S△B=8, 则四边形ABCD的面积为 5.如图，AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO= BO,E,F分别是OC,OD的中点. 求证：四边形AFBE是平行四边形 知识点2由对角线互相平分判定平 行四边形 【例2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, E为CD的中点，连接BE并延长，交AD的 延长线于点F,连接CF,BD 求证：四边形DBCF为平行四边形 ·29. 第2课时 平行四边形的判定(2) 【变式练习】 1.如图，在□ABCD中，F是AB的中点，连 A知识梳理 接DF并延长，交CB的延长线于点E,连 1.平行四边形的判定 接AE 组对边 的四边形是平行 (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； 四边形. (2)若BD=BC=5,CD=6,求四边形 2.平行四边形判定方法的灵活选用 AEBD的面积. 已知条件 判定方法 一组对 两组对边分别相等或一组对边 边相等 平行且相等证明平行四边形 边 一组对 两组对边分别平行或一组对边 边平行 平行且相等证明平行四边形 一组对 两组对角分别相等证明平行四 角 角相等 边形 对角线 对角线互相平分证明平行四边形 B例题导学 知识点① 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 【例1】如图，四边形 ABCD中，AD∥BC, AE⊥AD交BD于点 E,CF⊥BC交BD于点F,AE=CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形 【方法点拨】已知一组对边平行时，可寻找证 明这一组对边相等的条件，由“一组对边平 行且相等的四边形是平行四边形”证明」 知识点2 平行四边形判定方法的灵 活选用 【例2】如图，在□ABCD中，延长AB到点 E,延长CD到点F,使得BE=DF,试猜测 线段AC与EF之间有什么关系，并加以 证明 ·30- ∠EDO=∠FBO. OD=OB, 【方法点拨】结合图形猜测AC,EF互相平分， ,∴.△DEO≌△BFO(ASA), 紧扣“平行四边形对角线互相平分”这一特征， 将问题转化为证明平行四边形问题，而证明平 .OA=OC, 行四边形的方法有多种，且都是相通的，只需 .四边形AFCE是平行四边形( 灵活选取一种最简单的证明方法即可。 第3课时 三角形的中位线 【变式练习】 2.如图，小明以△ABC的两边AB和BC为 A知识梳理 邻边，用尺规作一个平行四边形ABCD. 1.三角形中位线的定义 小明的作法是先用尺规作AC的垂直平 连接三角形 叫做三角 分线，垂足为O:过点B,O作射线BE,在 形的中位线。 射线OE上截取OD=OB.连接AD,CD. 2.三角形的中位线定理 在小明的作法中，可直接判定四边形 三角形的中位线 ABCD为平行四边形的条件是 于三角形的第三边，并且 A.两组对边分别平行 第三边的一半 B.对角线互相平分 符号语言表示为：如图，在△ABC中， C.两组对边分别相等 ,CD=AD,CE=BE,.DE∥ D.一组对边平行且相等 且DE= 3.四边形ABCD为平行四边形，对角线 B例题导学 AC,BD交于点O. 知识点1) 利用三角形的中位线定理 (1)尺规作图：过点O作AD的垂线，分别交 AD,BC于点E,F;(只保留作图痕迹) 进行证明 (2)在(1)所作的图形中，连接AF,CE,求 【例1】如图，在四边形ABCD 证：四边形AFCE为平行四边形. 中，E,F,G,H分别是边 证明：四边形ABCD为平行四边形， AB,BC,CD,DA的中点， .OA=OC.OB=OD. 连接EF,FG,GH,HE,得 ∴.∠ADO=∠CBO 到四边形EFGH. 在△DEO和△BFO中， 求证：四边形EFGH是平行四边形， ·31。 【方法点拨】当题目中有中，点时，特别是有两 【方法点拨】有角平分线及垂直等条件，可联 个中点时，如果中点都在一个三角形中，直 想“三线合一”，故延长AG交BC于点M.由 接用三角形中位线定理；如果不在一个三角 角平分线的对称性可证明△ABG≌ 形中，就需要作辅助线，构造三角形的中位 △MBG,从而G是AM的中点.同样，延长 线，然后利用三角形中位线定理解题， AH交BC于，点N,H是AN的中点，从而 GH就是△AMN的中位线，所以GH∥BC 且GH=MN,进而利用△ABC的三边长 可求出GH的长度 【变式练习】 1.如图，E为□ABCD中DC边的延长线上 一点，且CE=DC,连接AE,分别交BC, BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连 接OF.求证：AB=2OF 【变式练习】 2.如图，在四边形ABCD中，P是对角线 BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点， AD=BC,∠EPF=140°，则∠EFP的度 知识点2 利用三角形的中位线定理 数是 进行计算 【例2】如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB 的平分线BE,CF相交于点O,AG⊥BE于 (第2题图) (第3题图) 点G,AH⊥CF于点H,连接HG. 3.如图，在△ABC中，D,E,F分别是边 (1)求证：GH∥BC; AB,BC,AC的中点.若△ABC的周长为 (2)AB=9 cm,AC=14 cm,BC=18 cm, 12,则△DEF的周长为 求GH的长. 4.如图，在△ABC中，D,E, F分别是边AB,BC,CA 的中点.若四边形BEFD 的周长为28，则AB+BC的长为 ·32·234(m②),打造费用为234×1000=234000(元). 例题导学 ·234000 240000...这块地打造成“口袋公园”政府投 【例1】解:在二ABCD中,OA=OC.·△AOB的周长比 人的费用够用. ABOC的周长大2...(OA+OB十AB)-(OB十OC+BC) 第十八章 平行四边形 AB-BC-2,设BC=,则AB-+2...AB+BC-+ 18.1 平行四边形 $+40-2,解得x-9...AB=11...ABCD的一组邻 18.1.1 平行四边形的性质 边的长为11,9.【例2】A【例3】C 第1课时 平行四边形的边、角性质 【变式练习】 知识梳理 1.D 2.4 3.证明:.O是AC的中点,*'AO-C0.在 1.分别平行 2.相等 相等 3.(1)另一条直线 ABCD中,AD/BC,AD=BC,..FAC=ECA.在 (2)相等 乙FAO-乙ECO. △AOF和△COE 中.AO-CO. 例题导学 .△AOF: 【例1】解:(1)设 A=5x.B=4x,在ABCD中.AD/ 乙AOF-COE. B$C.A+B-180*,'5x+4x=180,解得x-20. △COE(ASA). 4.B 5.A ' A- C-100*.B- D-80*};(2)设AB-2xcm. 18.1.2 平行四边形的判定 BC=8rcm.'2x+8x=40-2,解得x=2.AB=CD 第1课时 平行四边形的判定(1) 4cm.AD-BC-16cm. 【例2】证明:(1)在□ABCD中. 知识梳理 AB/DF... B= FCE..E是BC的中点...BE-CE (2)相等(3)相等 (4)互相平分 [B-乙FCE, 例题导学 在△ABE和△FCE中,BE=CE. .△ABE AB-DE. BEA-CEF. 【例1】证明:在△ABF和△DEC中,A=D. △FCE(ASA)...AB=CF:(2)由(1)得AB=FC=CD. AF-DC, '$DF-2AB..AD=2AB,.'AD=DF..△ABE '.ABF2DEC(SAS)...BF=CE.同理可证ABC △FCE,.'.AE-EF,.'.DEAF.【例3】解:(1)如图,线 △DEF(SAS)...BC=EF...四边形BCEF是平行四边 段 BE和线段BF即为所求; 形。 【例2】证明:.AD//BC...CBE=DFE..E为 CD的中点,..CE=DE. 在△BEC和△FED中 /CBE-/DFE, (2)"'Sc=CD·BE=AD·BF,AD=BC=3.BF=4. BEC=FED...△BEC△FED(AAS)...BE CD-AB-6..'$6BE-3X4..'BE-2..'AB与CD之间的 CE-DE. 距离为2. 【变式练习】 FE .'CE-DE,.'.四边形 DBCF为平行四边形 【变式练习】 1.(1)100*(2)34 2.12 3.解:(1).四边形ABCD为平 1.A 2.9 5 3.证明:在/ ABCD中.A-C.B 行四边形..'AB-CD.AD//BE.DAE-/E·:BE CD=AB..BAE=E. BAE=DAE,即AE平 D,AD-BC,AB=DC.又'AF-CH,DE-BG.'AE AF-CH. 分之BAD;(2)四边形ABCD为平行四边形,:.AD BC.AD/BE' D=/FCE. DAF=/E. 'BC=CE CG.FB=DH.在△AEF 和△CGH中,A=C. *AD=EC...△ADF△ECF(ASA)...AF-EF=4.即 AE-CG. F是AE的中点..BC=CE-3..'AB=BE=6..F是 '.△AEF△CGH(SAS)...EF=GH.同理可证EH= AE的中点,.'BF1AE,.'BF=AB-AF= 6-4^ FG.'.四边形EFGH是平行四边形,'EG和HF互相平 =2v5.'S△*=AB·FG=AF·BF. FG= 分. 4.32 5.证明:'AC/BD...C=D.CAO= (C-D. AF·BF4×2v54v5 4.C 5.12 DBO. 在△AOC 和△BOD中,CAO=DBO. AB 3。 AO-BO. 第2课时 平行四边形对角线的性质 '.△AOC△BOD(AAS),..CO=DO..E.F分别是 知识梳理 1.互相平分 OC OB 2.△CBA △CBD △CBO △COD .AO一BO...四边形AFBE是平行四边形. 参考答案 第5页(共55页) 第2课时 乎行四边形的判定(2) $ ABM,BG | AM.'$ ABG$= $MBG. $AGB= M$GB$ 知识梳理 -90{*}文BG=BG..'$ ABG 2△MBG(ASA)..'$AG= 1.平行且相等 GM.AB=BM.同理可得 AH=HN.AC=CN..'.GH/ 例题导学 MN.即GH/BC:(2)由(1)知.AB-BM-9 cm.AC-C 【例1】证明:.AEAD.CF BC.. EAD-FCB 90}. .AD/BC...ADE三CBF.在AED和CFB 乙ADE-CBF. 18-14-4(cm)..'MN-BM-BN-9-4-5(cm)..'.GH -#MN-m.# 中,EAD=乙FCB..△AED△CFB(AAS).'AD= AE-CF: 【变式练习】 BC..AD//BC。..四边形ABCD是平行四边形, 【例2】 1.证明:在CABCD中,AB=DC,AB//DC.DA=DC 解:AC与EF互相平分,证明如下:连接AF,CE.在 .CE-DC,AB-DC...AB=CE. '.AB//DC.'. BAE ABCD中,DC//AB.DC=AB..DF=BE..'.DF+DC -E.ABF=ECF...△ABF△ECF(ASA)..'BF BE+AB,即CF-AE.又·.CF/AE,..四边形AECF是 =CF,即F是BC的中点.又:OA-OC.:.OF-AB, 平行四边形,*线段AC与EF互相平分. 【变式练习】 '.AB-20F. 2.20* 3.6 4.28 1.解:(1)在CABCD中,AD/BC,AD=BC...ADF 18.2 特殊的平行四边形 BEF..F是AB的中点,..AF=BF.在△ADF和 18.2.1矩形 ADF-BEF: 第1课时 矩形的性质 △BEF中. AFD= BFE...△ADF△BEF(AAS). AF-BF, 知识梳理 1.直角 2.(2)相等 (③)直角 '.AD-BE.又'·AD/BE...四边形AEBD是平行四边 (4)两 3.斜边的一半 形;(2)过点D作DGIBC于点G,过点B作BH1CD于 例题导学 【例1】解:(1):四边形ABCD是矩形,..AO=BO-OC 点H.·BD-BC=5.CD=6..CH=DH-CD-3, OD. BAD= ABC=90。.AE平分 BAD..BAE .BH- BC-CH- 5-3-4.:S$n=- BC. 3 BAD=45”·CAE-15”,..BAO- BAE十 BC CAE-60{},..△ABO是等边三角形,'AO-AB-2, 四边形AEBD是平行四边形,.'.BE一AD..'.BE一BC=5. '.AC-2AO-4.BC=AC-AB=4-2-23. .Snarn=BE·DG-5×24-24. *.矩形ABCD的面积为AB·BC=2X23-43; 5 2.B 3.解:(1)如图. (2)?△ABO是等边三角形,..BO=AB. ABO=60{ 直线EF即为所求: (2)AD/BC .BAE-45*, ABC-90{}.' AEB-90*-BAE # $$ $ *- BAE..'AB=BE.BO=BE.OBE= AB$C $7$ *}.'OFE= OBE+ BEF-30*+45^{*=75*$$ DOE=BOF OE=OF 对角线互相平分的四边形是 '.OFE-BOE...OE=FE. 【例2】证明:连接BD. 平行四边形 CF.BD与AC交于点O..CE=CA,F是AE的中点, 第3课时 三角形的中位线 *.CF AE,即 AFC-90*在矩形ABCD中,AC=BD 知识梳理 ABC- ABE-90$OA-OB.$CAB- DBA.·F AB 1.两边中点的线段 2.平行 等于 AB 是AE的中点...BF=AF,. FAB= FBA..$FAE 十CAB=FBA+DBA,. FAC=FBD. 例题导学 '.△AFC△BFD(SAS)..'. BFD= AFC-90*,即BF 【例1】证明:连接BD..E,H分别是AB,AD的中点, [FD. $EH/BD,EH-BD.同理FG/BD,FG=BD, 【变式练习】 ·EH/FG。',四边形EFGH是平行四边形。【例2】解: 1.C 2. A 3.解:(1)在矩形ABCD中,D=90*,DC/ (1)分别延长AG.AH交BC于点M,N.·BG平分 AB.' BAN= AMD.'BN1AM,.BNA=90 参考答案 第6页(共55页)