(讲本)16.2 二次根式的乘除-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

3.若√(a-2)2=2-a,则a的取值范围 16.2二次根式的乘除 是 第1课时二次根式的乘法 A.a>2 B.a2 C.a<2 D.a≤2 A 知识梳理 4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简 1.二次根式的乘法法则 √(a+1)下+√(b-1)严-√(a-b)的结果 √a·√b=√ab(a≥0，b>0),即二次根式相 是 乘，把被开方数相乘，根指数不变，该性质 还可以推广到多个非负数的情况.如： A.-2 B.0 (1)Wa√b·=√ab(a>0,b>0,c≥0)： C.-2a D.26 (2)ma·nb=mm√ab(a≥0，b≥0). 知识点3 代数式 2.二次根式的乘法法则的逆用 【例3】下列各式中，不是代数式的是( Vab- (a≥0，b≥0)，即积的算 A.-3 B.a2-2a 术平方根等于积中各因式的算术平方根 C.2x+3=0 n号 的积。 B例题导学 【方法点拨】代数式是用基本运算符号（加、 减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字 知识点1) √a·√b=√ab(a≥0，b>0) 母连接起来的式子，根据代数式的定义逐项 【例1】计算： 判断即可. (1)W2×√6： 【变式练习】 (2)-√15×√5； 5.“m与n的差的3倍”用代数式可以表示 为 ( (3)-22写×(-31)： A.3m-n B.m-3n C.3(n-m) D.3(m-n) ④2·层 6.下列代数式符合书写要求的是( 【方法点拨】二次根式的乘法计算，将系数相 B.ab÷c2 乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被 开方数，能开方的应开方后移到根号外，同 C. D.m· 3 y 时也要注意运算的灵活性，含有字母的要注 7.下列式子：号+b,S=ab0,d,8+ym+1= 意字母的符号 2,号>号，其中是代数式的有 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【变式练习】 知识点2√ab=a·√b(a>0,b>0) 1.计算√3×√2的结果是 【例2】化简： A.3 B.32 C.23 D.√6 (1)25×64; 2.计算与化简： (2)/2000; (1)√6×(-15)； (3)√/-4)X(-9); (4)W49xy(x>0,y>0). 【方法点拨】(1)直接用积的算术平方根的性 质计算；(2)先把被开方数化成一个数的平 (2)36×2 方与另一个数的积，再用积的算术平方根的 性质计算；(3)把两个负数的积转化为两个 正数的积，再用积的算术平方根的性质计 算：(4)因为x>0,y>0,所以xy可转化为 xy·x,再进行化简. 3,1号×2X(-2而)： 【变式练习】 (4)25a· 5ab; 3.化简√18的结果是 A.45 B.2√5 C.3√2 D.2√6 4.化简√（一7）×7的结果是 A.-7√7 B.7√7 (5)√2xy·√8.x(y>0): C.±7√7 D.√/343 5.化简： (1)√25X36: (2)(-6)X(-16): 6网·（是列）·月 (3)√J8mn2(m>0,n>0). ·5· 知识点3比较二次根式的大小 B例题导学 【例3】比较大小： 知识点① (1)26与6√2； -a≥0.b0 (2)-2√11与-35. 【例1】计算： 【方法点拨】比较二次根式的大小，一般常用 (1)v108 以下方法：①将根号外的数移到根号内，再 √2 比较被开方数的大小；②平方比较法，先算 (2) 出每个数的平方，再比较大小.除此之外还 有近似计算比较法、求差法、求商法等 (3)-5√72÷(-38)： (4)√/21ab÷ V 21a (a>0,b>0) 【方法点拨】利用二次根式的除法法则进行计 算时，被开方数相除可用“除以一个不为零的 【变式练习】 数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简.相除 6.比较大小： 时，可类比单项式除以单项进行计算 (1)3√5 7 (2)W6+√2 5+5. 第2课时 二次根式的除法 A 知识梳理 1.二次根式的除法法则 【变式练习】 g(a≥0，b>0),即两个二次根式 1.下列计算结果正确的是 A.√48÷√12=4 B.3√2÷2√2=1 相除，把 相除，根指数不变. 2.二次根式的除法法则的逆用 C.√24÷6=2 D得÷=2 2-(a≥0.6>0)，即商的算术平方根等 x十1 1- 成立，则x的取值范围 于 的算术平方根除以 的算 是 术平方根。 3.计算： 3.最简二次根式 (1)26÷2√2= 如果一个二次根式满足以下两个条件： ①被开方数 (2)-√24÷√12= :②被开方数中不 含能开得尽方的 ,我们称这 (3)-3√12：(-2√3)= 样的二次根式为最简二次根式 (4)6√ab÷(-3ab)= ·6。 a=a(a≥0，b>0) 5.计算与化简： 知识点2 【例2】化简： a9压÷×(-2)： (2)入 -16 -25 46 11y2 3)V9最(a>0:(④√9(x>00). 【方法点拨】利用商的算术平方根的性质进行 化简时，若被开方数是带分数，先化成假分数， 再化简；若被开方数含有字母，一定要根据字 母的取值范围来确定化简结果的符号. 2云a(2a0÷3层 【变式练习】 4.化简： 知识点3 最简二次根式 (1) 36×9 【例3】下列二次根式中，哪些是最简二次根 1449 式？哪些不是最简二次根式？ 而，⑧.0.2a,a,√g. +是+u, ab' 【方法点拨】按照最简二次根式必须满足的 5(x>0,a>0,b>0). (2)λN64z2 两个条件逐一判断即可 7 【变式练习】 (2)合并同类二次根式与整式中的合并同 6.有下列=次根式.①m:②/0，③，2号 类项类似，只需把同类二次根式前面的有 理数（或有理式）相加减。 ④√50；⑤√54；⑥√13(x+y).其中，是 B例题导学 最简二次根式的有 .(填序号)》 知识点1 二次根式合并的条件 7.化简-2a- 的结果是 8.将下列各式化简成最简二次根式： 【例】在⑧√7，巨中，可以合并的是 1 【方法点拨】先把三个二次根式化成最简二 次根式，再根据被开方数进行判断： 【变式练习】 1.化成最简二次根式后与√2的被开方数相 同的二次根式是 A.2 B.√20 c眉 D./32 2.如果最简二次根式√1一a与√4+2a可以 合并，那么a= 16.3二次根式的加减 知识点2 二次根式的加减 第1课时二次根式的加减 【例2】计算： √48 A知识梳理 1)212+27 2 1.二次根式合并的条件 26+√)×- 几个二次根式化成 二次根式以 【方法点拨】先把二次根式化成最简二次根 后，如果 相同，那么这几个二 式，再进行同类二次根式的合并， 次根式就能合并， 2.二次根式的加减运算 (1)法则：二次根式加减时，可以先将二次 根式化成最简二次根式，再将被开方 数相同的二次根式进行合并， (2)步骤：①先化简，②再合并（被开方数 相同的二次根式). 注意：(1)在进行二次根式的加减运算的 时候，首先要将不是最简二次根式的化简 为最简二次根式： ·8。讲本答案 【变式练习】 第十六章二次根式 1.(1)-10(2)3.x-22.(1)-3.7(2)3-√53.D 4.A5.D6.C7.C 16.1二次根式 16.2二次根式的乘除 第1课时二次根式的概念 第1课时二次根式的乘法 知识梳理 知识梳理 L.a(a≥0) 二次根号2.(1)Wa≥0(2)a≥0 2.va. 例题导学 例题导学 【例1】解：(2)(3)(5)(6)是二次根式：(1)(4)(7)不是二次 【例1】解：(1)原式=√2×6=√2×3=23：(2)原式= 根式.【例2】解：(1)，√x+3有意义，.x十3≥0，解得 15x5=-√X3=-55:(3)原式=2× x≥-3：(2)，√r有意义，∴.一x2≥0，解得x=0: （3)√产有意义子>0，且1-≠0，解得<1 3√写×号=640原式=2Vb:言=2瓜.【例2】 解：(1)原式=√25×√64=5×8=40：(2)原式=√20×5 (4):√+2x+I=√x十1)F有意义，∴x可取全体实 =√20×5=20√5：(3)原式=/4×9=4×√5=2×3= 数：(5)：√+2与√4-x有意义，.x+2≥0且4-x≥0， 6:(4)原式=/7xy·x=√7xy·F=7x2y√ 解得-2≤x≤4：(6)√3-x十(x-2)有意义，∴3-x≥ 0且x-2≠0，解得x≤3且x≠2.【例3】-1 【例3】解：(1)(2√6)2=24，(62)=72,24<72，.26 【变式练习】 <6√2：(2)：(-2T)2=44,(-35)2=45,44<45, L.C2.C3.C4.(1)x=4(2)全体实数(3)x≤2且 -21T<0,-35<0,.-2T>-35. x≠-25.解：1)x为任意实数：(2)由≥0且x≠0，得 【变式练习】 1.D2.解：(1)原式=-√6X15=-3√0：(2)原式=3 x>0:(3)由5-x≥0且x-3≥>0，得3≤x≤5：(4)由x十 ×2 V6x=6E:(3)原式=2×(-)× 1 4≥0且x-4≠0，得x≥-4且x≠4：(5)由 -2x-7≥0， x十3≠0. 0得≤-子且x≠-3.∴≤-子，6A ×3X10=-6:(40原式=2√6a·方a6=2a6: 5 7.一18.士49.解：：(x十y-1)与√2x一y+4互为相 （6)原式=V2·证=6了=：(6)原式=-是 反数..(x+y-1)2+√/2x-y+4=0.又，(x+y-1)≥ 0,/2x-y+4≥0，∴ x+y-1=0, 3V…-器-w.3.4B 2x-y+4=0, 解得/不1， y=2. 5.解：(1)原式=√25×√36=5×6=30：(2)原式= y=2-1= 之心y的倒数是2. /6X16=√16X6=4√6：(3)原式=/4×2mm=√× 2×√mn=22mm.6.(1)<(2)< 第2课时二次根式的性质 第2课时二次根式的除法 知识梳理 知识梳理 a(a≥0)， 1.(1)a(2)a| 2.≥≥3.数表示 1.被开方数2.分子分母3.不含分母因数或因式 a(a<0) 例题导学 数的字母 例题导学 【例】解：1)原式=√==36：2)原式 【例1解：-=5：2(3√层)=×（√写） 4×9=-6:(3)原式=15 72 =15×3=45: =9× 号=6：(3)(V)=+1:(40(aT)=a ()原式=√21ab.2=2a=21a. 【例2】解： 【例2解=4:可-5：-√)=- 1. /=0.(1)不一定：当a≥0时，√a=a:当a<0时， 4 √=-a:(2)①2-x②π-3.14【例3】C ：)原式=-24)原式=严- 9a 3a 3x 参考答案 第1页（共55页） 【例3】解：√而，√而，√+y,-是最简二次根式， -3√30：(3)原式=(60√6-166+2√6)÷2√6=46√6 ab ÷2√6=23.【例2】1)3+2(2)厅-2【例3】解： 瓜，a√后后a+可不是 (1)原式=8-46+3=11-4√6：(2)原式=5-3=2： 最简二次根式。 (3)原式=(5-26)(5+26)=25-24=1：(4)原式 【变式练习】 [W2+1)-3[(W2+1)+√3]=W2+1)2-3=2+2√2+ 1.C2.-1≤x<13.(13(2)-√2(3)3(4)-2√ab 1-3=22 4解式=沿-管-e服大=晨 【变式练习】 /64x =密瓜.5解：(1)原式=(9X号×)× 1.C2解：1)原式=(2-5V同)×6=-号5×6 √45x5x=-3×106=-30：(2)原式 号×6=-：(2)原式=(5-4月÷-3 (-3)÷5-3√2=-3-3√2.3.解：(1)原式= √/1+23+3=√1+23+(W3)=√(1+3)=1+ 方·a'6Vad=-a'bai.6.①⑥7.√-6a 5:(2)原式=√1-22+2=√P-22+(W2)= 8解：1原式=√=(2)原式=√层-√ /(1-2)=√2-1.4.解：(1)原式=1-12+3-2√5+ -V30 1=-7-25:(2)原式=√2×3十√27×号+12-1=9 6 +3+12-1=23:(3)原式=(5-√6+32)(5-√6 16.3二次根式的加减 32)=(3-6)-(3√2)=3-62+6-18=-9 第1课时二次根式的加减 62:(4)原式=[（√10-T)(√/10+√I)]2·(√/10 知识梳理 1.最简被开方数 -√T)=(10-11)(√0-√/T)=0-√/. 例题导学 5.解：x=3+√7，y=3-√7，.x十y=6,xy=2.(1)原式 【倒V和√ 【例2】解：0)原式=45+3-后 =(x+)-2xy=6-2×2=32,(2)原式=y+x= xy 2 99:(2原式=后×5+誓×厅-4反=3厄+厄 =93 =16. 专题突破（一）二次根式的性质及 42=0. 常用的化简求值方法 【变式练习】 例题导学 1kD2.-13.解：1)原式=号++26-= 【例1】解：原式=(x十1)2=(3-1+1)=（√5）=3. +86 ,2)原式=45-√厄-5+22-35+2：(3)原 【例2】解：原式=(x-)(x+D千市一(x-)(x+万 式=62-52-3V+3匹=-匹.4.解 生六当：=6+1时，原式与号 -√+丽=2-E+E=2-2E. 【倒3】解：由题可知，之-≥0且一号≥0，解得x=之 √4+号=a十b，a,6为有理数，a=2,6 将x=2代人求得y>1,则1x-11--1)下 瓜-6=-√=E-号号 2五=1x-11-x-1川-y卫=-y y-1 y-1 y-1 第2课时二次根式的混合运算 =-1 y-1 知识梳理 【变式练习】 1.乘除加减2.a-ba士2√ad+b 1.1422.解："x=E-原，y=2+5,∴x十y=(W2 例题导学 3)+(W2+3)=22,x-y=(W2-5)-(W2+3)=-25 【例1】解：(1)原式=35-32-35=-3√2：(2)原式= 原式=√(x+)+(x-y)-4=√(22)十(-23)-4 (26-3+4)×=4-3vm+85-20 3 √4-25=√5-1.3.解：由题意可知：4x-1≥0,1-4x 参考答案第2页（共55页）