(讲本)16.1 二次根式-PDF部分书稿【精英新课堂·三点分层作业】2024-2025学年八年级下册数学（人教版 重庆专版）

第十六章二次根式 16.1二次根式 第1课时二次根式的概念 A知识梳理 知识点2 二次根式有意义的条件 1.二次根式的定义 【例2】当x满足什么条件时，下列各式在实 般地，把形如 的式子叫做 数范围内有意义？ 二次根式，“√”称为 (1)√/x+3; (2)√-x2; 二次根式有两个判断标准： 2 ①根指数是2；②被开方数是非负数， (31-x (4)√x2+2x+1; 2.二次根式√a(a>0)具有双重非负性 (5)√x+2+√4-x; (1)√a是非负数，即 (6)√J3-x+(x-2)° (2)√a的被开方数是非负数，即 【方法点拨】二次根式有意义的条件：(1)被 B例题导学 开方数是非负数；(2)如果是分式，则分母不 知识点①二次根式的概念 能为0；(3)0指数幂或负指数幂的底数不能 【例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些 为0.当限定条件有多个时，字母的取值范围 不是二次根式？ 必须使这几个限定条件同时成立 (1)√一4：(2)√49：(3)√-3)严：(4)10： (5)x-2x+1;(6)√2.x(x≥0)： (7)√-x2-1. 【方法点拨】判断一个式子是否为二次根式， 一定要紧扣二次根式的定义，判断所给式子 是否同时具备二次根式的两个特征 【变式练习】 1.下列各式中，一定是二次根式的是( A.√-2 B.√3元 C.x2+1 D.27 2.下列说法正确的是 A.带根号的式子一定是二次根式 B.式子√4a+1一定是二次根式 C.式子√(m+2)一定是二次根式 D.二次根式的值必定是无理数 【变式练习】 知识点3二次根式的非负性 在实数范围内有意义，则x 【例3】若15十a|+√4-b=0,则(a+b)22s 的取值范围是 的值是 A.x>-1 【方法点拨】二次根式非负性，常与绝对值 B.x≥-1且x≠0 C.x>-1且x≠0 D.x≠0 偶次方相结合.若a十√b=0或a+|b=0 4.(1)若x一4+√4一x在实数范围内有意 或√a+b=0,则a=0,b=0. 义，则x的取值范围是 【变式练习】 6.已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且 (2)若√J一4x+5在实数范围内有意义， 则x的取值范围是 a,b满足√2a-3b+5+(2a+3b-13)2= 0,则此等腰三角形的周长为 (3)若/2一x一(x十2)1在实数范围内有意 A.7或8 B.6或10 义，则x的取值范围是 C.6或7 D.7或10 5.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 7.已知实数x,y满足√1一x十√y十I=0, 围内有意义？ 则(xy)2025的值是 (1)√/x2+3; 8.已知√x-2+√2-x=y+4,则y的平 方根为 9.已知x,y是实数，且(x十y-1)2与 √2x一y+4互为相反数，求实数y的 倒数. (3)√5-x+√x-3: (4)x+4 (5)√-2x-7+(x十3)°. ·2 第2课时二次根式的性质 A知识梳理 【变式练习】 1.二次根式的性质 1.计算： (1)(a)2= (a≥0)： -(-5 (2)√= (2)(√3.x-2)2 注意：√a与(Va)2的区别与联系： 知识点2 √a=a的运用 ①a的取值范围不同，Va中的a≥0，√a 中的a为任意值； 【例2计算-，-√信.的 ②当a≥0时，(Wa)2=√a=a;当a<0 值，并根据计算结果，解答下列问题 时，（√a)2无意义，√a2=-a. (1)一定等于a吗？你发现其中的规律 2.二次根式√a的双重非负性 了吗？请你用自己的语言描述出来； 当题目中出现“a”,并且没有说明a的取 (2)利用你总结的规律进行计算： 值时，√a都是有意义的.当√a有意义时， ①若x<2,则√(x-2)= ②W/(3.14-π)7= ①a是被开方数，所以a 0;②a表 【方法点拨】计算√a一般有两步：(I)去掉根 示a的算术平方根，所以√a 0. 号及被开方数的指数，写成绝对值的形式； 3.代数式的定义 用基本运算符号（基本运算包括加、减、 (2)根据绝对值的意义进行简化.即√a= 乘、除、乘方和开方)把 或 a(a≥0)， a 连接起来的式子称为代数式， -a(a<0). B例题导学 知识点① (√a)2=a(a≥0)的运用 【例1】计算： (1)(-√5)2； 23: (3)(√a2+1)2: (4)(√a-I)2. 【方法点拨】计算时直接运用(Wa)=a,题目中 若没有说明a的取值范围时，√a总有意义， 【变式练习】 2.计算： (1)-(-3.7)2= (2)√(5-3)2= ·3 3.若√(a-2)2=2-a,则a的取值范围 16.2二次根式的乘除 是 第1课时二次根式的乘法 A.a>2 B.a2 C.a<2 D.a≤2 A 知识梳理 4.实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简 1.二次根式的乘法法则 √(a+1)下+√(b-1)严-√(a-b)的结果 √a·√b=√ab(a≥0，b>0),即二次根式相 是 乘，把被开方数相乘，根指数不变，该性质 还可以推广到多个非负数的情况.如： A.-2 B.0 (1)Wa√b·=√ab(a>0,b>0,c≥0)： C.-2a D.26 (2)ma·nb=mm√ab(a≥0，b≥0). 知识点3 代数式 2.二次根式的乘法法则的逆用 【例3】下列各式中，不是代数式的是( Vab- (a≥0，b≥0)，即积的算 A.-3 B.a2-2a 术平方根等于积中各因式的算术平方根 C.2x+3=0 n号 的积。 B例题导学 【方法点拨】代数式是用基本运算符号（加、 减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字 知识点1) √a·√b=√ab(a≥0，b>0) 母连接起来的式子，根据代数式的定义逐项 【例1】计算： 判断即可. (1)W2×√6： 【变式练习】 (2)-√15×√5； 5.“m与n的差的3倍”用代数式可以表示 为 ( (3)-22写×(-31)： A.3m-n B.m-3n C.3(n-m) D.3(m-n) ④2·层 6.下列代数式符合书写要求的是( 【方法点拨】二次根式的乘法计算，将系数相 B.ab÷c2 乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被 开方数，能开方的应开方后移到根号外，同 C. D.m· 3 y 时也要注意运算的灵活性，含有字母的要注 7.下列式子：号+b,S=ab0,d,8+ym+1= 意字母的符号 2,号>号，其中是代数式的有 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个讲本答案 【变式练习】 第十六章二次根式 1.(1)-10(2)3x-22.(1)-3.7(2)3-/53.D 4.A5.D6.C7.C 16.1二次根式 16.2二次根式的乘除 第1课时二次根式的概念 第1课时二次根式的乘法 知识梳理 知识梳理 1.a(a≥0) 二次根号2.(1)Wa≥0(2)a≥0 2.va·6 例题导学 例题导学 【例1】解：(2)(3)(5)(6)是二次根式：(1)(4)(7)不是二次 【例1】解：(1)原式=√2×6=√2义3=23：(2)原式= 根式.【例2】解：(1)：√x+3有意义，x十3≥0，解得 15X5=-V5×3=-53:(3)原式=2× x≥-3：(2)√一x有意义，∴.-x2≥0，解得x=0: （3√已有意义名>0，且1-≠0，解得<1 3√写×号=6v,40原式=2√b·石=2瓜.【例2】 解：(1)原式=√25×√64=5×8=40：(2)原式=√②0×5 (4),√+2r+I=√(r十1)厂有意义，.x可取全体实 =√20×5=20v5:(3)原式=√4X9=√T×√5=2×3= 数：(5)：√T+2与√4-x有意义.∴x+2>0且4-x≥0， 6:(4)原式=√7xy·x=√7xy·√E=7xy√. 解得-2≤x≤4：(6)：√3-x十(x-2)”有意义，∴.3-x≥ 【例3】解：(1)：(2√6)2=24，(6√2)=72,24<72，.2√6 0且x-2≠0，解得x≤3且x≠2.【例3】-1 【变式练习】 <6V2:(2):(-2√1T)2=44,(-35)2=45,44<45. 1.C2.C3.C4.(1).x=4(2)全体实数(3)x≤2且 -21Π<0，-35<0，.-2√1Π>-3v5. x中-25.解：1)x为任意实数：(2)由≥0且x≠0，得 【变式练习】 1.D2.解：(1)原式=-√6×15=-3√10：(2)原式=3 x>0:(3)由5-x≥0且x-3≥0，得3≤x≤5：(4)由x+ 4>0且x一4≠0，得x≥一4且x≠4：(5)由 ×2 6X3 =62:(3)原式=2×（-)× -2.x-7≥0， x十3≠0， 得≤-且x≠-3<-名6A 6 5 ×3x10=-6:(4)原式=2√5a·吉ab=2a6, 7.一18.士49.解：：(x十y-1)2与√2x-y+4互为相 6原式=V2·8=V16了=：(6)原式=一是 反数.∴.(x+y-1)+√2x-y+4=0.又：(x+y-1)2> 0,V2x-y+4≥0，∴. x+y-1=0, 解得/1， 2x-y+4=0, y=2. 5.解：(1)原式=√25×√36=5×6=30：(2)原式 y=21= 2心y的倒数是2. √6X16=√16×6=4√6：(3)原式=√4X2mm=√4× v2X√mn=2√2n.6.(1)<(2)< 第2课时二次根式的性质 第2课时二次根式的除法 知识梳理 知识梳理 a(a≥0)， 1.(1)a(2)a 2.≥≥3.数表示 1.被开方数2.分子分母3.不含分母因数或因式 a(a<0) 例题导学 数的字母 例题导学 【例】解：(1)原式=√之 /108 =54=3√6：(2)原式= 【例11解：1(-5=5：(2)(3√层)=8×（√号） 9 2 3 =-√6：(3)原式=15√8 =15×3=45: =9× =6:(3)(√a+1)2=a2+1(4)(a-)2=a 2 (4)原式= =√21'a=21a. 【例2】解： 1.【例2】解：V不=4：-=5：-（）=-： 0=0.(1)不一定：当a≥0时，√a=a:当a<0时， a=-a:(2)①2-x②x-3.14【例3】C 号：3)原式=严-24)原式=y /9a 3a 9x 参考答案 第1页（共55页）