第4章 一元一次方程 重难点复习（7大题型）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024）

第4章 一元一次方程重难点复习 思维导图 题型一 等式与方程 1．下列各式中，属于方程的是　　 A． B． C． D． 2．下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列各数，是方程的解的是　　 A．0 B．1 C． D． 题型二 一元一次方程的定义及求参 1．下列等式中，一元一次方程有　　 ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是关于的一元一次方程，则等于　　 A．1 B．2 C．1或2 D．0 题型三 解一元一次方程 1．将方程中分母化为整数，正确的是　　 A． B． C． D． 2．下列方程的解法中，错误的个数是　　 ①方程，移项，得； ②方程，去括号，得 ； ③方程去分母，得：； ④方程，系数化为1，得：． A．1 B．2 C．3 D．4 3．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为　　 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 4．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 5．七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． （1）请你帮小红求出“”处的数字． （2）请你正确地解出原方程． 6．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 7．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） （1）　　． （2）将化成分数形式，并写出推理过程． （3）若，则　　． 题型四 根据一元一次方程的解的情况求参 1．若关于的方程有无数个解，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．实数是关于的方程的解，若，，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 3．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为　　 A． B． C． D． 4．已知关于的一元一次方程的解是，则的值为　　． 5．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　　． 6．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则　　． 7．已知：方程①是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）若上述方程①的解与关于的方程②的解互为相反数，求的值． 题型五 一元一次方程的实际应用———小题 1．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空：二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程　　 A． B． C． D． 2．在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务：他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定的值为　　 A．9 B．7 C．6 D．4 3．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是　　 A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第2024次相遇是在　　 A．边上 B．点 C．边上 D．点 5．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是　　 A． B． C． D． 6．整理一批图书，由一个人完成需要．现计划由一部分人先整理，然后增加4人与他们一起整理，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了　　人． 7．一种商品每件按进价的1.5倍标价，再降价20元售出后每件可以获得的利润，那么该商品每件的进价为　　元． 8．如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 　　个单位长度秒． 题型六 一元一次方程的实际应用———大题 1．用方程解决实际问题： 已知两地相距150千米，甲车的速度为每小时90千米，乙车的速度为每小时60千米． （1）若两车分别从、两地同时同向而行，问经过多长时间甲车追上乙车？ 设经小时甲车追上乙车，根据题意，可列出方程是：　　； （2）若两车同时从、两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？ 2．小王在某网店中选中，两款玩具，决定从该网店进货并销售两款玩具的进货价和销售价如表： 价格 类别 款玩具 款玩具 销售价（元个） 56 42 进货价（元个） 40 30 （1）第1次小王用1700元购进了、两款玩具共50个，求两款玩具各购进多少个？ （2）小王第二次进货时，决定购进两款玩具共80个，当他这两次购进的玩具全部售完后，获得的利润为1780元，则他第二次进货时，款玩具购进了多少个？ 3．某工厂需要在20天内生产1200台电子产品．已知每台电子产品由4个装置和3个装置配套组成．工厂现有80名工人，每名工人每天能生产6个装置或者3个装置． （1）该工厂安排多少名工人生产装置，剩余工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套？ （2）工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立生产装置，且每人每天只能生产4个装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 4．已知在数字上、两个点对应的数分别是，，且满足．点为数轴上的一动点，其对应的数为． （1）填空：　　，　　； （2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当点从点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒5个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点到点，的距离相等？ 题型七 新定义问题 1．新定义一种运算：△．例如：3△． （1）求5△的值； （2）解方程：2△△． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程是“成双方程”．例如：方程和是“成双方程”． （1）请判断方程与方程是否是“成双方程”； （2）若关于的方程与方程是“成双方程”，求的值． 3．如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． （1）若方程是方程的“稻香方程”，则　　； （2）若关于的方程是关于的方程的“稻香方程” ，求的值； （3）当时，如果关于方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程重难点复习 思维导图 题型一 等式与方程 1．下列各式中，属于方程的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：、不含未知数，不是方程，不合题意； 、不是等式，故不是方程，不合题意； 、不是等式，故不是方程，不合题意； 、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故本题选：． 2．下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】解：若，则，则不合题意； 若，两边同时减去2得，则符合题意； 若，则，则不合题意； 若，当时，与不一定相等，则不合题意． 故本题选：． 3．下列各数，是方程的解的是　　 A．0 B．1 C． D． 【详解】解：．将代入，左边，右边， 左边右边，不是方程的解，故此选项不合题意； ．将代入，左边，右边， 左边右边，不是方程的解，故此选项不合题意； ．将代入，左边，右边， 左边右边，是方程的解，故此选项符合题意； ．将代入，左边，右边， 左边右边，不是方程的解，故此选项不合题意． 故本题选：． 题型二 一元一次方程的定义及求参 1．下列等式中，一元一次方程有　　 ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：①，是一元一次方程； ②，不是一元一次方程； ③，含有两个未知数，不是一元一次方程； ④，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； ⑤，是一元一次方程； ∴一元一次方程有2个． 故本题选：． 2．若是关于的一元一次方程，则等于　　 A．1 B．2 C．1或2 D．0 【详解】解：由题意可知：是关于的一元一次方程， ，解得：或， 又，解得：， ∴． 故本题选：． 题型三 解一元一次方程 1．将方程中分母化为整数，正确的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：方程整理得：． 故本题选：． 2．下列方程的解法中，错误的个数是　　 ①方程，移项，得； ②方程，去括号，得 ； ③方程去分母，得：； ④方程，系数化为1，得：． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①方程，移项应得，即，该项错误，符合题意； ②方程，去括号应得，该项正确，不合题意； ③方程去分母，应得，即，该项错误，符合题意； ④方程，系数化为1应得，该项错误，符合题意； 综上，错误的个数是3个． 故本题选：． 3．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为　　 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【详解】解：由表格可得：当时，， 等式两边同乘得：， ∴关于的方程的解为． 故本题选：． 4．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在中，“”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为　　 A． B． C． D．2 【详解】解：设， 则， ，解得：． 故本题选：． 5．七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程时，把“”抄成了“”，解得，而且“”处的数字也模糊不清了． （1）请你帮小红求出“”处的数字． （2）请你正确地解出原方程． 【详解】解：（1）由题意将代入中得：， 即，解得：， “”处的数字为2； （2）将代入原方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 6．解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【详解】解：（1）， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：； （2）， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：； （3）， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：； （4）， 整理得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：． 7．我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将化为分数形式， 由于，设，① 得，② ②①得，解得，于是得． 同理可得，． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） （1）　　． （2）将化成分数形式，并写出推理过程． （3）若，则　　． 【详解】解：（1）， ， 故本题答案为：； （2）设，则， ，解得：； （3）， ， 故本题答案为：． 题型四 根据一元一次方程的解的情况求参 1．若关于的方程有无数个解，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】解：， ， ， 关于的方程有无数个解， 且，解得：， 故本题选：． 2．实数是关于的方程的解，若，，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【详解】解：实数是关于的方程的解， ， ， ， ． 故本题选：． 3．已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为　　 A． B． C． D． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：， 是非负整数解， 取，，， 或，时，的解都是非负整数， ∴． 故本题选：． 4．已知关于的一元一次方程的解是，则的值为　　． 【详解】解：将代入方程中得：，即， ∴． 故本题答案为：0． 5．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为　　． 【详解】解：方程变形得：， 方程的解为， 是方程的解， ． 故本题答案为：． 6．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则　　． 【详解】解：将代入方程得： ， ， ， ， ， 无论为何值，它的解总是1， ，，解得：，， ∴． 故本题答案为：0． 7．已知：方程①是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）若上述方程①的解与关于的方程②的解互为相反数，求的值． 【详解】解：（1）方程①是关于的一元一次方程， ，且，解得：； （2）当时，原方程变形为，解得：， 方程①的解与关于的方程②的解互为相反数， 方程②的解为， 方程去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， ． 题型五 一元一次方程的实际应用———小题 1．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空：二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程　　 A． B． C． D． 【详解】解：由题意可列出方程：． 故本题选：． 2．在一堂充满探索与创意的“幻方”与“幻圆”活动课上，一个小组的同学勇敢地挑战了一项任务：他们试图将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这12个数字巧妙地填入“六角幻星”图中．这个图形的魅力在于，它的6条边上的四个数字之和必须完全相同．如图．部分数字已经被填入图中的圆圈内，请你确定的值为　　 A．9 B．7 C．6 D．4 【详解】解：如图，在图中添加字母，， 由题意可得：，即，解得：， ， ． 故本题选：． 3．如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是　　 A． B． C． D． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为， 由图（1）得：， 由图（2）得：，， ， ， 图（1）中阴影部分的周长为：， 图（2）中阴影部分的周长为：， 阴影部分的周长之差为：． 故本题选：． 4．如图，正方形的边长为6，甲、乙两动点分别从正方形的顶点，同时沿正方形的边开始运动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若甲的速度是乙速度的2倍，则它们第2024次相遇是在　　 A．边上 B．点 C．边上 D．点 【详解】解：设乙的速度为，则甲的速度为，正方形的边长为6，需要秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为12，其余次相遇，每次相遇的路程和为24， 由题意可得：，解得：， 而， 表明甲与乙第2024次相遇点为运动674圈加12，因乙是逆时针移动，则此时乙移动到了点处． 故本题选：． 5．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是　　 A． B． C． D． 【详解】解：（一）如图4，若给定，则②， ②， 每一行的和， ， ，， ③， ③， ③， 每一行的和， ①，，，，即如图5所示； （二）如图6，若给定，则②， ②， ， ， ②， ②， 每一行的值， ，，①，③，即如图7所示； （三）如图8，若给定，则， ， ， ， 每一行的值， ，①，③，，②， 即如图9所示； （四）如图10，若给定，则每一行的值， ③，①， ①，③， ①③， ， ， ②，， 给定的值不能补全图3． 故本题选：． 6．整理一批图书，由一个人完成需要．现计划由一部分人先整理，然后增加4人与他们一起整理，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了　　人． 【详解】解：设先安排了人， 由题意可得：，解得：， 先安排了2人． 故本题答案为：2． 7．一种商品每件按进价的1.5倍标价，再降价20元售出后每件可以获得的利润，那么该商品每件的进价为　　元． 【详解】解：设该商品每件的进价为元， 由题意可得：，解得：， 答：该商品每件的进价为200元． 故本题答案为：200． 8．如图，已知数轴上有三点，，，，，点对应的数是20．动点，同时从点，出发向右运动，同时动点从点出发向左运动，已知点的速度是点的速度的3倍，点的速度是点速度的2倍，经过2秒，点，之间的距离与点，之间的距离相等，动点的速度为 　　个单位长度秒． 【详解】解：数轴上有三点，，，，，点对应的数是20． ， 点对应的数是20， 点对应的数是， 假设点的速度为个单位长度秒，则点的速度是个单位长度秒，点的速度是个单位长度秒， 秒后点表示的数为，点表示的数为：， 点表示的数为：，，， 当时，， 由题意可得：，解得：或， ∴或． 故本题答案为：60或． 题型六 一元一次方程的实际应用———大题 1．用方程解决实际问题： 已知两地相距150千米，甲车的速度为每小时90千米，乙车的速度为每小时60千米． （1）若两车分别从、两地同时同向而行，问经过多长时间甲车追上乙车？ 设经小时甲车追上乙车，根据题意，可列出方程是：　　； （2）若两车同时从、两地相向而行，问经过多长时间两车相距60千米？ 【详解】解：（1）设经过小时甲车追上乙车， 由题意可得：， 故本题答案为：； （2）设经过小时两车相距60千米， 由题意可得：或，解得：或， 答：经过小时或小时两车相距60千米． 2．小王在某网店中选中，两款玩具，决定从该网店进货并销售两款玩具的进货价和销售价如表： 价格 类别 款玩具 款玩具 销售价（元个） 56 42 进货价（元个） 40 30 （1）第1次小王用1700元购进了、两款玩具共50个，求两款玩具各购进多少个？ （2）小王第二次进货时，决定购进两款玩具共80个，当他这两次购进的玩具全部售完后，获得的利润为1780元，则他第二次进货时，款玩具购进了多少个？ 【详解】解：（1）设购进款玩具个，则购进款玩具个， 由题意可得：，解得：， （个）， 答：购进款玩具20个，购进款玩具30个； （2）设第二次购进款玩具个，则购进款玩具个， 则第一次购进的利润为（元）， 第二次购进的利润为（元）， 由题意可得：，解得：， 答：他第二次进货时，款玩具购进了35个． 3．某工厂需要在20天内生产1200台电子产品．已知每台电子产品由4个装置和3个装置配套组成．工厂现有80名工人，每名工人每天能生产6个装置或者3个装置． （1）该工厂安排多少名工人生产装置，剩余工人生产装置，才能使每天生产的、装置刚好配套？ （2）工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立生产装置，且每人每天只能生产4个装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？ 【详解】解：（1）设安排名工人生产装置，则安排名工人生产装置， 由题意可得：，解得：， ∴， 答：安排32名工人生产装置，则安排48名工人生产装置； （2）设安排名工人生产装置，则安排名工人及40名新工人生产装置， 由题意可得：，解得：， ． ， 补充新工人后20天内能完成总任务， 答：补充新工人后每天能配套生产64套产品，补充新工人后20天内能完成总任务． 4．已知在数字上、两个点对应的数分别是，，且满足．点为数轴上的一动点，其对应的数为． （1）填空：　　，　　； （2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当点从点以每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向左运动，点以每秒5个单位长度的速度向左运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点到点，的距离相等？ 【详解】解：（1）， ，，解得：，， 故本题答案为：；3； （2），， 点，表示的数分别为、3， ①当在之间，（不可能有）， ②当在的左侧，，解得：， ③当在的右侧，，解得：， 综上，或4； （3）秒后点，，表示的数分别为，，， ①当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离， 则，解得：， ②当点在右侧时，此时、重合， 则，解得：， 答：当或时，点到点，的距离相等． 题型七 新定义问题 1．新定义一种运算：△．例如：3△． （1）求5△的值； （2）解方程：2△△． 【详解】解：（1）5△； （2）△△， △， ，，，，解得：． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程是“成双方程”．例如：方程和是“成双方程”． （1）请判断方程与方程是否是“成双方程”； （2）若关于的方程与方程是“成双方程”，求的值． 【详解】解：（1）方程与方程不是“成双方程”，理由如下： ，，解得：， ，解得：， ， 与方程不是“成双方程”； （2），，解得：， ，，，解得：， 由题意可得：，解得：． 3．如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． （1）若方程是方程的“稻香方程”，则　　； （2）若关于的方程是关于的方程的“稻香方程” ，求的值； （3）当时，如果关于方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【详解】解：（1）∵， ， 又∵， ， 方程是方程的“稻香方程”， ， 故本题答案为：2； （2）解关于方程得：， 解关于的方程得：， ∵关于的方程是关于的方程的“稻香方程” ， ，整理得：， 又∵， ， ； （3）， 关于方程的解是，关于方程的解是， 关于方程是方程的“稻香方程”， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$