检测1空间向量与立体几何基础卷-2024-2025学年高二上学期数学寒假作业之单元检测（人教2019A版专用）

检测1空间向量与立体几何基础卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则z等于（    ） A． B．9 C． D．5 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在上的投影向量为 B．若空间向量满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（    ） A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值 B．对于任意，平面 C．动点到直线的距离最小值为 D．满足的的轨迹长度为 11．（2024高二·全国·专题练习）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，且共面，则 . 13．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 16. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：面； 17. (15分) （24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18. (17分) （24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .    (1)求证: 平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. (17分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B D D B C ACD ACD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 2．A 【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】连接，， 则 . 故选：A    3．A 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 4．B 【分析】根据点法式方程的定义即可求解. 【详解】根据题意可得， 化简得， 故选：B 5．D 【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 6．D 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 7．B 【分析】根据共面列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值. 【详解】向量，，， 由于共面，所以存在，使得， 即， 所以，解得：，所以. 故选：B. 8．C 【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果. 【详解】解法一：作于点C，且，连接，，   ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 9．ACD 【分析】对于A，根据投影向量的定义列式运算得解；对于B，当，同向共线时也成立可判断；对于C，由空间向量共面的推论判断；对于D，由可判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C，在中，故四点共面，故C正确； 对于D，由，即，故，故D正确. 故选：ACD. 10．ACD 【分析】由正方体中平面平面可得到平面的距离为定值即可判断A；由点运动到点时不垂直于可判断B；建系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，可得的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径可判断D． 【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确； 对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误； 对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确； 对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确． 故选：ACD． 11．BD 【分析】利用空间向量夹角公式计算判断A；利用向量垂直的充要条件计算判断B；利用投影向量计算公式判断C；利用共面向量基本定理判断D. 【详解】对于A，，则， 而，因此，A错误； 对于B，，则，，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误； 对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确. 故选：BD 12．5 【分析】利用向量共面的性质求解即可. 【详解】由题可知，， 故答案为：5 13． 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可. 【详解】由题意得，, ∴向量在向量上的投影向量为 ． 故答案为：. 14． 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 15．证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和面即可推得面. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则 则-           由     可得，得证. （2）设面的法向量为，因    则，令，可得                因，故得，         又面，所以，面. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）由题知面，又面，所以， 又，，面，所以面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，得到， 又，面，所以平面. （2）如图，建立空间直角坐标系，因为， 则，， 得到，，， 直线与平面所成角为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）    因平面，且,故可以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 则. 于是，, 设平面的法向量为， 则，令，可得； 又，显然，，故得平面； （2）由（1）建系，则， 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面所成夹角为， 因， 则. 即平面与平面所成夹角的正弦值为 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取为中点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明结论； （2）由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）假设存在点满足条件，且，，求平面平面的法向量，结合假设列方程求可得结论. 【详解】（1）取为中点，连接，，又为的中点. ∴，又， 故， 又为等腰直角三角形，， ∴， 又，平面， 则平面，又平面， ∴.    （2）因为平面平面，平面平面， 由（1），又平面， 所以平面， 以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，   ， 则， ， ， 若为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故为平面的一个法向量， 又为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）假设存在使得平面平面，且，， 由（2）知： ，， 则， ， 若是平面的一个法向量， 则， ， 令，  则，， 所以为平面的一个法向量，， 所以 ， 所以 存在使得平面平面，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测1空间向量与立体几何基础卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则z等于（    ） A． B．9 C． D．5 8．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，则在上的投影向量为 B．若空间向量满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 10．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（    ） A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值 B．对于任意，平面 C．动点到直线的距离最小值为 D．满足的的轨迹长度为 11．（2024高二·全国·专题练习）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，且共面，则 . 13．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 16. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：面； 17. (15分) （24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18. (17分) （24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .    (1)求证: 平面； (2)求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. (17分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$