专题06 双曲线8种常见考法归类-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题06 双曲线8种常见考法归类 求双曲线的标准方程 1．（2023秋•昭阳区期末）请写出一个焦点在轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程：　　． 2．（2023秋•昭阳区校级期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 　　． 3．（2023秋•玉溪期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，，为双曲线上支上的动点，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若，求． 双曲线的定义的应用 4．（2023秋•兴化市校级期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 5．【多选】（2023秋•昭阳区期末）已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是　　 A． B．的离心率为 C． D．的渐近线方程为 6．【多选】（2024春•会泽县期末）已知点在左、右焦点分别为，的双曲线上，，则　　 A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 双曲线的渐近线 7．（2024春•楚雄州期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 8．（2024春•普洱期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为　　 A．2 B． C．4 D． 9．（2023秋•楚雄州期末）双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•昭阳区校级期末）已知双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为　　 A．2 B．3 C．4 D．6 11．（2022秋•泸西县校级期末）若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为　　 A．2 B．4 C． D． 12．（2022秋•保山期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到的一条渐近线的距离为1，则的渐近线方程为 　　． 13．（2023秋•五华区校级期末）若双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的焦距为 　　． 双曲线的离心率 14．（2023春•临翔区校级期末）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　　 A． B．2 C． D．4 15．（2023春•保山期末）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为，．若，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•楚雄州期末）已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•玉溪期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 18．（2023秋•西山区期末）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与轴交于点，点在上，且满足，，则双曲线的离心率为 　　． 19．（2024春•云县期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为　　 A． B．2 C．2或 D．2或 20．（2023秋•五华区校级期末）已知双曲线，，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D．2或 21．（2024春•昭通期末）如图所示，已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线于，两点，过点作直线的垂线交双曲线于点，，且三点，，共线（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为 　　． 22．（2023秋•禄劝县校级期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 　　． 23．（2023秋•西山区校级期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 　　． 24．（2022秋•临翔区校级期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是 　　． 25．（2022秋•保山期末）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 26．（2023秋•沾益区校级期末）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 直线与双曲线的位置关系 27．【多选】（2022秋•西山区校级期末）已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是　　 A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是 C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点 28．（2023春•昆明期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，，若的外接圆圆心在轴上，求直线的方程． 29．（2022秋•东川区校级期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求证：． 双曲线的向量问题 30．（2023秋•麒麟区校级期末）过双曲线的右焦点且倾斜角等于的直线与双曲线的渐近线相交于，两点，是坐标原点，则数量积　　 A． B． C． D． 31．（2024春•师宗县期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为3． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 32．（2023秋•西山区校级期末）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作直线与双曲线右支交于，两点，若，求直线的方程． 33．（2023秋•大理州期末）已知，是双曲线上的一点，，分别是的左、右焦点，若． （1）求双曲线的离心率； （2）当时，求的取值范围． 双曲线的最值问题 34．（2023秋•楚雄州期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是　　 A．7 B．6 C．5 D． 35．【多选】（2024春•昆明期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，则下列说法正确的是　　 A．若△的周长为24，则△的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是，， 36．（2023秋•昭阳区校级期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则下列说法正确的是　　 A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为4 双曲线的定点、定值问题 37．（2023春•玉溪期末）已知双曲线的右焦点为，，渐近线与抛物线交于点． （1）求，的方程； （2）设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，，使得．求证：直线过定点． 38．（2023秋•官渡区期末）已知离心率为2的双曲线经过点． （1）求的方程； （2）如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值． 39．（2024春•昭通期末）已知双曲线经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：为定值； （3）试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由． 40．【多选】（2024春•红塔区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，，则　　 A．的最小值为8 B．若直线经过点，且与双曲线交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线与双曲线相切，则点，的纵坐标之积为 41．（2023秋•楚雄州期末）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且点是上一点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且的中点在直线上，证明：直线的斜率为定值． 42．（2024春•官渡区校级期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设，是双曲线上不同的两点，是的中点，直线、的斜率分别为、， 证明：为定值； （3）直线与双曲线的右支交于点，在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点，在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：，，，共线． 43．（2022秋•官渡区期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是　　 A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 44．【多选】（2024春•麒麟区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则　　 A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 45．【多选】（2023秋•昆明期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过、作渐近线的垂线，垂足分别为、，若，则下列选项正确的是　　 A． B．△的面积为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为 46．（2023秋•保山期末）已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知△的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 47．【多选】（2022秋•五华区校级期末）下列关于双曲线的结论中，正确的是　　 A．离心率为 B．焦距为 C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1 48．（2023秋•保山期末）已知双曲线，是坐标原点，，分别是的左、右焦点，点是上任意一点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，则的长为 　　；过作角平分线的垂线，垂足为，则的长为 　　． 49．【多选】（2023秋•云南期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于、两点．若四边形为矩形，且，则下列正确的是　　 A． B．双曲线的离心率为 C．矩形的面积为 D．双曲线的渐近线方程为 50．（2024春•保山期末）设点，在曲线上，在曲线上，且满足 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）点在上，过点的直线与的渐近线交于，两点，且是，的中点，求为坐标原点）的面积； （Ⅲ）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． 51．（2023春•楚雄州期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与在第二象限内相交于点，与的渐近线在第一象限内相交于点，且，则的离心率为 　　，若的面积为4，则的方程为 　　 52．【多选】（2022秋•丽江期末）设，为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是　　 A．直线倾斜角的余弦值为 B．若，则的离心率 C．若，则的离心率 D．△不可能是等边三角形 53．【多选】（2023春•富源县期末）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，为上一点，下列说法正确的是　　 A．的离心率为 B．的最小值为 C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为 D．设的左焦点为，若△的面积为，则 54．【多选】（2022秋•玉溪期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，记为双曲线的离心率，为△的周长，若直线与另一条渐近线交于点，且，则　　 A． B． C． D． 55．（2022秋•西山区期末）已知双曲线的右焦点为，点，分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，设直线，的斜率分别为，，且． （1）求双曲线的方程； （2）当点在第一象限，且时，求直线的方程． 56．（2023春•大理州期末）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于，两点，曲线的虚轴的端点与其焦点的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）当时，求直线的方程． 57．（2022秋•丽江期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程与离心率； （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 双曲线8种常见考法归类 求双曲线的标准方程 1．（2023秋•昭阳区期末）请写出一个焦点在轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程：　　． 【解析】设焦点在轴上的双曲线的标准方程为，， 该双曲线的渐近线方程为， 又该双曲线与直线没有交点， ， ， 取，， 则可得满足题意的一个双曲线方程为， 故答案为：（答案不唯一，满足的焦点在轴上的标准方程均可）． 2．（2023秋•昭阳区校级期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 　　． 【解析】根据题意，双曲线的右焦点为，则双曲线焦点在轴上，且， 又由，所以，， 则双曲线的标准方程为． 故答案为： 3．（2023秋•玉溪期末）已知双曲线的上、下焦点分别是，，为双曲线上支上的动点，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若，求． 【解析】（Ⅰ），得， ， 所以双曲线； （Ⅱ）设，则， 在△中，由余弦定理得， ，解得或（舍， 故． 双曲线的定义的应用 4．（2023秋•兴化市校级期末）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可得，解得， 故选：． 5．【多选】（2023秋•昭阳区期末）已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是　　 A． B．的离心率为 C． D．的渐近线方程为 【解析】由题意得，，，则，故正确； 的离心率，故正确； 由双曲线的定义或，故错误； 的渐近线方程为，即，故错误． 故选：． 6．【多选】（2024春•会泽县期末）已知点在左、右焦点分别为，的双曲线上，，则　　 A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【解析】因为，，所以的渐近线方程为，离心率， 故错误，正确． 不妨设点在的右支上，则．因为， 所以，．在△中，， 则， 所以△的面积， 故，正确． 故选：． 双曲线的渐近线 7．（2024春•楚雄州期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【解析】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：． 8．（2024春•普洱期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为　　 A．2 B． C．4 D． 【解析】由题设双曲线化为标准方程为且，故， 所以，双曲线渐近线为，其中一条与平行， 所以，则． 故选：． 9．（2023秋•楚雄州期末）双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为　　 A． B． C． D． 【解析】因为双曲线的左顶点为，渐近线方程为， 所以双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为． 故选：． 10．（2023秋•昭阳区校级期末）已知双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为　　 A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】由题双曲线方程为，得：其焦点坐标为，，，．渐近线方程为， 所以焦点到其渐近线的距离． 故选：． 11．（2022秋•泸西县校级期末）若双曲线的焦距为，则的一个焦点到一条渐近线的距离为　　 A．2 B．4 C． D． 【解析】双曲线的焦距为，可得，解得， 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于， 故选：． 12．（2022秋•保山期末）已知双曲线的焦距为4，焦点到的一条渐近线的距离为1，则的渐近线方程为 　　． 【解析】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为，即，焦点为， 则焦点到渐近线的距离， 由焦距为4得，故， 故的渐近线方程为． 故答案为：． 13．（2023秋•五华区校级期末）若双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，若，则的焦距为 　　． 【解析】圆的半径为，圆心为， 由双曲线的一条渐近线与圆交于，两点，且， 可得圆心到渐近线的距离． 而渐近线方程为，即， 可得，解得， 故，焦距为． 故答案为：． 双曲线的离心率 14．（2023春•临翔区校级期末）双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为　　 A． B．2 C． D．4 【解析】双曲线的一条渐近线与直线垂直， ， ，． 故选：． 15．（2023春•保山期末）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为，．若，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，，所以三角形为正三角形， 所以到直线的距离为，所以， 因为，所以，所以，所以． 故选：． 16．（2023秋•楚雄州期末）已知双曲线的两个焦点为，，为上一点，，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取线段的中点，连接， 因为，，所以，且， 所以， 设，则， 所以的离心率 ． 故选：． 17．（2024春•玉溪期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】由，，得， 由双曲线定义得， 所以，， 又， 由勾股定理得，即，整理得， 故离心率． 故选：． 18．（2023秋•西山区期末）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与轴交于点，点在上，且满足，，则双曲线的离心率为 　　． 【解析】不妨设，，，，， 因为， 所以，，， 即， 解得， 所以，， 因为， 所以， 整理得，① 因为点在上， 所以，② 又，，③ 联立①②③，解得， 即， 因为， 所以， 解得． 故答案为：． 19．（2024春•云县期末）已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为　　 A． B．2 C．2或 D．2或 【解析】当焦点在轴上时，可得， 则； 当焦点在轴上时，可得， 则． 故选：． 20．（2023秋•五华区校级期末）已知双曲线，，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为　　 A． B． C．2 D．2或 【解析】双曲线的两条渐近线的夹角为，且渐近线关于、轴对称， 若夹角在轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为，，斜率为； 若夹角在轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为，，斜率为． 或， 或， 或， 或． 故选：． 21．（2024春•昭通期末）如图所示，已知双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线于，两点，过点作直线的垂线交双曲线于点，，且三点，，共线（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为 　　． 【解析】设另一个焦点，连接，，，设，则， 再根据双曲线的定义可知：，， 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：． 故答案为：． 22．（2023秋•禄劝县校级期末）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 　　． 【解析】设双曲线的一条渐近线为， 圆的圆心为，半径， 则圆心到渐近线的距离为， 所以弦长， 化简得：，即，解得， 所以． 故答案为：． 23．（2023秋•西山区校级期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 　　． 【解析】双曲线的焦点在轴上， 双曲线的标准方程为：，且，， 故，， 离心率． 故答案为：． 24．（2022秋•临翔区校级期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是 　　． 【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：， 直线， 为双曲线的通径， 由可得， 则， 由可得， 则， 由得：， 即， 所以， 所以离心率． 故答案为：． 25．（2022秋•保山期末）已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】设△的内切圆的半径为， 则， 因为， 所以， 由双曲线的定义可知，， 所以，即，又由， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故选：． 26．（2023秋•沾益区校级期末）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点． （1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； （2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【解析】（1）点是双曲线的一个焦点，， 又且，解得， 双曲线的方程为， 双曲线的渐近线方程为； （2）设直线的方程为且，， 联立，可得， ，， ， ， 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 直线与双曲线的位置关系 27．【多选】（2022秋•西山区校级期末）已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是　　 A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是 C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点 【解析】由，可得，可设双曲线的方程为，由双曲线经过点， 可得，即，所以双曲线的方程为，故正确； 所以，， 由双曲线的方程可得，，，则，故正确； 的最小值为到渐近线的距离，设到渐近线的距离为，则，故错误； 联立，解得，可得直线和双曲线只有一个公共点，，故错误． 故选：． 28．（2023春•昆明期末）已知双曲线过点，一条渐近线方程为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，，若的外接圆圆心在轴上，求直线的方程． 【解析】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为， 所以，① 因为双曲线过点， 所以，② 联立①②，解得，， 则的方程为； （2）因为过的右焦点的直线与的右支交于，两点， 不妨设，，，， 若的外接圆圆心在轴上， 设， 易知， 即， 又，， 整理得， 所以，为方程的两根， 易知， 不妨设， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得， 所以， 解得， 故直线的方程为或． 29．（2022秋•东川区校级期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． （1）求双曲线的方程； （2）经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求证：． 【解析】（1）由题意得，，， 解得，， 所以双曲线的方程为：． （2）证明：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，， 设，，，， 联立，整理可得，， 所以 所以， 直线与双曲线右支有两个交点，所以 所以，设，， 所以． 双曲线的向量问题 30．（2023秋•麒麟区校级期末）过双曲线的右焦点且倾斜角等于的直线与双曲线的渐近线相交于，两点，是坐标原点，则数量积　　 A． B． C． D． 【解析】双曲线，即，其右焦点为，渐近线方程为， 因为直线过双曲线的右焦点且倾斜角等于的直线与双曲线的渐近线相交于，两点， 可得直线的方程为：， 联立：，解得，， 联立：，解得，， 故． 故选：． 31．（2024春•师宗县期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为3． （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【解析】（1）易知双曲线的左、右顶点分别为，， 所以， 解得， 因为点在双曲线上， 所以， 解得， 则双曲线方程为； （2）设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 此时， 解得， 此时， 解得， 因为的重心在轴上， 所以， 所以， 代入双曲线得． 故或． 32．（2023秋•西山区校级期末）已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作直线与双曲线右支交于，两点，若，求直线的方程． 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，左焦点为． ，解答，，， 双曲线标准方程为． （2）设直线的方程为，，，，， 若，①， 联立直线与双曲线方程，化简整理，可得， 由韦达定理，可得②，③， 由①②③得，此时检验得△， 直线方程为． 33．（2023秋•大理州期末）已知，是双曲线上的一点，，分别是的左、右焦点，若． （1）求双曲线的离心率； （2）当时，求的取值范围． 【解析】（1），分别是双曲线的左、右焦点， 又，是双曲线上的一点，且， ，，又，， 双曲线的离心率为； （2）由（1）可知，，，， ，， 又，是双曲线上的一点， ，， ， ，， ， 故的取值范围为，． 双曲线的最值问题 34．（2023秋•楚雄州期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是　　 A．7 B．6 C．5 D． 【解析】点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点， 可化为， 则，半径为1， 设是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 即的最小值是6． 故选：． 35．【多选】（2024春•昆明期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，则下列说法正确的是　　 A．若△的周长为24，则△的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是，， 【解析】易知， 所以， 因为点在双曲线的右支上， 所以， 对于选项：若△ 的周长为24， 此时， 解得， 所以，， 可得， 则△的面积，故选项错误， 对于选项：因为， 当在右顶点时，等号成立， 所以，故选项正确； 对于选项：易知双曲线在一、三象限的渐近线方程为， 所以， 因为当点在右顶点时，， 所以，故选项正确； 对于选项：设，， 易知，， 所以，， 此时 ， 解得或，故选项错误． 故选：． 36．（2023秋•昭阳区校级期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点，则下列说法正确的是　　 A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为 C．点的坐标为 D．四边形面积的最小值为4 【解析】由，得， ，故错误； 双曲线的渐近线方程为，故错误； 由，，得的方程为， 即，令，得，故错误； ， 当且仅当，即时，等号成立． 四边形面积的最小值为4，故正确． 故选：． 双曲线的定点、定值问题 37．（2023春•玉溪期末）已知双曲线的右焦点为，，渐近线与抛物线交于点． （1）求，的方程； （2）设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，，使得．求证：直线过定点． 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：， 双曲线的右焦点为，， 则，解得， 则，由抛物线过，得，则， 所以，的方程分别为，． （2）证明：由于点，在双曲线左右两支上，则直线的斜率存在，设的方程为，，，，， 由消去得：，△， 即，则，， ， 由，解得，于是，， 由，得，即 ， 整理得：，即， 显然不在直线上，即，于是，满足△， 因此直线的方程为，即，恒过定点， 所以直线过定点． 38．（2023秋•官渡区期末）已知离心率为2的双曲线经过点． （1）求的方程； （2）如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值． 【解析】（1）由题意可得，，即有，， 则双曲线的方程为； （2）证明：设，可得， 由双曲线的渐近线方程， 可得过平行于渐近线的直线方程为， 联立，解得，， 则， 渐近线和直线的距离为， 则平行四边形的面积为，即为定值． 39．（2024春•昭通期末）已知双曲线经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：为定值； （3）试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由． 【解析】（1）因为双曲线经过点和， 所以， 解得， 则双曲线方程为； （2）证明：设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，， 所以， 解得， 由韦达定理得， 所以 ， 则为定值； （3）设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得， 因为， 结合（2）可知， 则 因为， 所以， 解得或， 当时，直线过点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令， 解得． 故直线过定点． 40．【多选】（2024春•红塔区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，，则　　 A．的最小值为8 B．若直线经过点，且与双曲线交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若直线与双曲线相切，则点，的纵坐标之积为 【解析】易知，， 所以， 即，， 此时，渐近线方程为， 设，，， 因为点是双曲线的右支上一点， 所以， 对于选项，故选项正确； 对于选项：若在双曲线的右支， 此时通径最短，通径长为； 若在双曲线的左支， 此时实轴最短，实轴长为，故选项错误； 对于选项 ， 则为定值，定值为2，故选项正确； 对于选项：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 若直线与双曲线相切， 此时△， 即， 由韦达定理得，故选项正确． 故选：． 41．（2023秋•楚雄州期末）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且点是上一点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且的中点在直线上，证明：直线的斜率为定值． 【解析】（1）解：由题意可设双曲线的方程为， 将点 代入上式，得， 所以双曲线的方程为． （2）证明：设，，，，则的中点坐标为， 因为的中点在直线上，所以， 因为，，两式相减得， 所以，则直线的斜率为4，为定值． 42．（2024春•官渡区校级期末）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设，是双曲线上不同的两点，是的中点，直线、的斜率分别为、， 证明：为定值； （3）直线与双曲线的右支交于点，在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点，在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：，，，共线． 【解析】（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，， 所以， 解得，， 则双曲线的标准方程为； （2）证明：设，，，，， 因为，为双曲线上的两点， 所以， 两式相减得， 整理得， 则， 故为定值，定值为4； （3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，， 联立，消去并整理得， 因为该方程有两个正根， 解得， 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为， 即，① 直线的方程为， 因为， 即，② 联立①②， 两式相加得， 所以， 因为， 所以， 则，，，都在直线上． 故，，，共线． 43．（2022秋•官渡区期末）已知双曲线与椭圆焦点相同，则下列结论正确的是　　 A．双曲线的焦点坐标为， B．双曲线的渐近线方程为 C．双曲线的离心率 D．双曲线的实轴长为1 【解析】根据题意可得： 两焦点坐标为，，，，且，， 双曲线方程为， ，， 该双曲线的渐近线方程为，离心率为，实轴长为， 故选项正确，，，选项错误． 故选：． 44．【多选】（2024春•麒麟区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则　　 A． B． C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4 【解析】因为， 设，， 因为， 所以， 则，， 又， 解得， 所以，， 对于选项，故选项错误； 对于选项，易知， 所以，故选项正确； 对于选项：令， 在△中，由， 可得， 则，， 解得， 所以双曲线的渐近线方程为，故选项正确； 对于选项：因为， 由对称性可得，，位置可互换， 则直线的斜率为，故选项错误． 故选：． 45．【多选】（2023秋•昆明期末）已知、分别为双曲线的左、右焦点，过、作渐近线的垂线，垂足分别为、，若，则下列选项正确的是　　 A． B．△的面积为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为 【解析】对于，设，， 则，，故项正确； 对于，，又， ， 在△ 中，， ，故项错误； 对于，，， ，即， 双曲线的渐近线方程为，故项正确； 对于，， ，故项正确． 故选：． 46．（2023秋•保山期末）已知双曲线实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知△的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由． 【解析】（1）设直线的方程为， 联立，得， 又，，代入上式得 所以，即， 所以，解得， 所以，， 所以椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得的，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，， 联立得， 所以，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 所以， 两边平方得， 又因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去）， 所以定直线方程为． 47．【多选】（2022秋•五华区校级期末）下列关于双曲线的结论中，正确的是　　 A．离心率为 B．焦距为 C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1 【解析】由双曲线，可得此双曲线为等轴双曲线，，， ，焦距，渐近线与相互垂直，焦点到渐近线的距离为． 因此只有正确． 故选：． 48．（2023秋•保山期末）已知双曲线，是坐标原点，，分别是的左、右焦点，点是上任意一点，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，则的长为 　　；过作角平分线的垂线，垂足为，则的长为 　　． 【解析】双曲线， 则，，， 故双曲线的一条渐近线为， 由题意知 的坐 标为， 所以点到渐近线的距离， 如图所示： 延长，两直线交于点，由，且是的角平分线， 所以△是等腰三角形，且，， 又有为△的中位线， 所以． 故答案为：；2． 49．【多选】（2023秋•云南期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线交于、两点．若四边形为矩形，且，则下列正确的是　　 A． B．双曲线的离心率为 C．矩形的面积为 D．双曲线的渐近线方程为 【解析】不妨设点在第一象限，如图所示， 由题意可得：四边形为平行四边形， 由双曲线的定义可得：， 所以，则， 对：因为四边形为矩形，则，故正确； 对：由选项可得：，，故正确； 对：矩形的面积为，故错误； 对：因为，所以，， 则的渐近线方程为，故错误． 故选：． 50．（2024春•保山期末）设点，在曲线上，在曲线上，且满足 （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）点在上，过点的直线与的渐近线交于，两点，且是，的中点，求为坐标原点）的面积； （Ⅲ）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线． 【解析】（Ⅰ）因为点，在曲线上， 所以， 将代入中， 解得， 则的方程为； （Ⅱ）易知直线不与轴垂直， 设直线的方程为， 易知双曲线的渐近线为， 联立， 解得， 所以， 则， 联立， 解得， 所以， 则， 因为是，的中点， 所以，， 因为点在双曲线上， 所以， 整理得， 因为， 所以， 易知直线与轴的交点为， 所以， 因为， 所以； （Ⅲ）证明：设方程上任意一点，，， 此时 ， 当时，， 所以， 当时，， 所以． 由双曲线的定义得，方程的图象是焦点在直线上的双曲线． 51．（2023春•楚雄州期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与在第二象限内相交于点，与的渐近线在第一象限内相交于点，且，则的离心率为 　　，若的面积为4，则的方程为 　　 【解析】如图，因为，所以． 又，，所以，， 则，所以，则，所以． 因为到渐近线的距离为， 因为，所以点到的距离为， 所以， 所以，，则的方程为． 故答案为：；． 52．【多选】（2022秋•丽江期末）设，为双曲线的左、右焦点，过左焦点且斜率为的直线与在第一象限相交于一点，则下列说法正确的是　　 A．直线倾斜角的余弦值为 B．若，则的离心率 C．若，则的离心率 D．△不可能是等边三角形 【解析】设直线的倾斜角为，由题意可得为锐角，且， 由，解得，故正确； 由在第一象限内，若，则，， 由余弦定理可得，结合， 整理可得，解得舍去），故错误； 若，则，， 由余弦定理可得，结合， 整理可得， 解得或（舍去），故错误； 由可得△不可能为等边三角形，故正确． 故选：． 53．【多选】（2023春•富源县期末）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为1，为上一点，下列说法正确的是　　 A．的离心率为 B．的最小值为 C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为 D．设的左焦点为，若△的面积为，则 【解析】由已知可得，，所以， 则的方程为，离心率为，正确； 因为的最小值为，所以错误； 设，，则，， ，所以正确； 设，由， 可得，得， 则，所以正确． 故选：． 54．【多选】（2022秋•玉溪期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，记为双曲线的离心率，为△的周长，若直线与另一条渐近线交于点，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】双曲线的渐近线方程为，， 不妨设垂足在第二象限，即点在直线上， 则， 因为，所以为的中点， 又因为的中点，所以， 则，即，所以， 故， 所以， 所以，则， 在△中，， 则， 所以， 所以△的周长． 故选：． 55．（2022秋•西山区期末）已知双曲线的右焦点为，点，分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，设直线，的斜率分别为，，且． （1）求双曲线的方程； （2）当点在第一象限，且时，求直线的方程． 【解析】（1）由双曲线，知左右顶点，的坐标为，， 设，则，，， 又，， ，， 双曲线的方程为； （2）设直线的方程为，，，，， ， 同理可得，又，，， 由，消去得， ，， ，，，解得或（舍去）， 直线的方程为，即． 56．（2023春•大理州期末）设，分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于，两点，曲线的虚轴的端点与其焦点的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）当时，求直线的方程． 【解析】（1）由题意可得，， 解得，，， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，，则， 因为直线过点， 所以，即， 由，， 则， 在△中，由余弦定理得， 所以， 则， 由图象可知，直线的斜率为， 所以，即， 即直线的方程为． 57．（2022秋•丽江期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． （1）求双曲线的标准方程与离心率； （2）已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积． 【解析】（1）设双曲线的焦点，则到直线的距离为1， 则，则， 双曲线渐近线的斜率，又， 所以，， 所以双曲线的方程：； 双曲线的离心率； （2）设直线，，，，， 联立，消去，整理得， 则△，所以，， 所以， 解得或（舍去）， 所以，， 由直线的方程：，令，， 所以， 所以， 所以的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$