专题08 等差数列5种常见考法归类-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题08 等差数列5种常见考法归类 等差数列通项与前n项和的计算 1．（2023秋•西山区校级期末）设为等差数列的前项和，若，，则的值为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 【解析】设等差数列的公差为， 由，，知，， 解得，． 故选：． 2．（2023秋•官渡区期末）已知等差数列，，，，则下列属于该数列的项的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设该数列为，其前几项为，，，， 则该数列首项为，公差为，故， 由此分析选项： 对于，若，没有正整数解，不符合题意； 对于，若，没有正整数解，不符合题意； 对于，若，解可得，符合题意； 对于，若，没有正整数解，不符合题意． 故选：． 3．（2023秋•五华区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　 A．20 B．15 C．10 D．5 【解析】设等差数列的公差为，则， ． 故选：． 4．（2023秋•西山区期末）设为等差数列的前项和．若，，则　　． 【解析】因为等差数列中，，， 所以，，即， 则． 故答案为：15． 5．（2023秋•保山期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则　　． 【解析】等差数列的前项和为，且满足，， ，解得， 则． 故答案为：17.5． 6．（2023秋•昆明期末）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求． 【解析】（1）因为等差数列中，，， 所以，解得，， 故； （2）． 7．（2022秋•西山区期末）已知等差数列的前项和为，且，，则　　 A．7 B．5 C．4 D． 【解析】等差数列的前项和为，且，则 ①． 根据，即 ②， 由①②求得，，， 故选：． 等差数列的性质 8．（2023秋•昭阳区期末）若在等差数列中，，，则　　． 【解析】根据题意，在等差数列中，有， 又，则有，变形可得． 故答案为：7． 9．（2023秋•昭阳区校级期末）已知数列为等差数列，，，，都是正整数，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】若数列为等差数列，若，则成立， 若，当满足时，不一定成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：． 等差数列前n项和的性质 10．（2022秋•保山期末）已知等差数列的前项和为且满足，则　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】因为， 所以． 故选：． 11．（2024春•大理州期末）已知等差数列的前项和为，若，，则　　 A．34 B．39 C．42 D．45 【解析】由，，成等差数列， 则，即，故． 故选：． 12．（2024春•昭通期末）已知为等差数列的前项和，，则　　 A．27 B． C．54 D．108 【解析】由等差数列的性质可得：， 则． 故选：． 13．（2023春•麒麟区校级期末）已知是等差数列的前项和，且，则　　 A．30 B．60 C．90 D．180 【解析】等差数列中，， 解得， 所以． 故选：． 14．（2023秋•楚雄州期末）设为等差数列的前项和，若，则　　 A．51 B． C．17 D．34 【解析】由，可得， 所以． 故选：． 15．（2023春•富源县期末）等差数列的前项和为，若，，则　　． 【解析】等差数列中，，， 解得，， 则． 故答案为：15． 16．（2024春•昭通期末）已知等差数列的前项和为，若，，则　　 A．288 B．144 C．96 D．25 【解析】设公差为，则：，解得， ． 故选：． 等差数列的最值问题 17．（2022秋•五华区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　 A．6 B．12 C．78 D．156 【解析】等差数列的前项和为，且， 则， 故选：． 18．（2023秋•沾益区校级期末）已知各项均为正数的递增等差数列，其前项和为，公差为，若数列也是等差数列，则的最小值为 　　． 【解析】根据题意，设等差数列的首项为，公差为， 则，则有， 若数列也是等差数列，必有， 则，当且仅当时等号成立， 故的最小值为3； 故答案为：3． 19．【多选】（2023秋•西山区校级期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则数列的前17项和为 D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为2023 【解析】选项，在中，令，得， 由，知，即错误； 选项，令，则，所以，， 所以当时，取得最小值，为，即正确； 选项，设数列的前项和为， 则，即正确； 选项，因为数列为等差数列，且，， 所以，， 所以， 所以当时，的最大值为2022，即错误． 故选：． 20．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是　　 A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25 【解析】对于：因为等差数列的前项和为，公差为，且，， 所以， 所以，因为，所以，数列是递增数列，正确； 对于：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，错误； 对于：因为，，所以当或时，取最小值，正确； 对于：由不等式， 可得，又因为，所以满足的的最大值为24，错误． 故选：． 21．（2023秋•昭阳区期末）在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记为等差数列的前项和，求使不等式成立的的最小值． 【解析】（1）设数列的公差为， ，， ，解得， 故； （2）， 令，即，解得， 故的最小值为26． 22．【多选】（2024春•师宗县期末）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是　　 A． B．为递减数列 C． D． 【解析】因为，， 所以，解得， 所以，故正确； 因为，所以为递增数列，故错误； 由，，有，故错误； ，故正确． 故选：． 23．（2023秋•西山区校级期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 　　． 【解析】数列的前六项分别为1，3，6，10，15，21， 依题知，，，，， 叠加可得， 整理得， 当时，，满足， ， ， 当且仅当时，即时，等号成立， ，等号取不到，最小值在时得到， 当时，，的最小值为1． 故答案为：1． 24．【多选】（2024春•红塔区校级期末）设数列是等差数列，是其前项和，，且，则　　 A． B． C． D．或为的最大值 【解析】由等差数列满足，得， 所以，选项正确； 又，，得，选项正确； 由，得，故，选项不正确； 由，得，又是首项为正数的递减数列， 所以或为的最大值，选项正确． 故选：． 25．【多选】（2022秋•保山期末）设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的有　　 A． B． C．数列单调递增 D．对任意，有 【解析】， ，正确； 而，故无法判断的正负，错误； ，数列单调递减，错误； 当时，有最大值，正确， 故选：． 26．【多选】（2023秋•沾益区校级期末）在等差数列中，其前的和是，若，，则　　 A．是递增数列 B．其通项公式是 C．当取最小值时，的值只能是3 D．的最小值是 【解析】由，可知等差数列为递增数列，正确； 由题设，，正确； 令，解得，且当且仅当时，，故当或4时，取最小值且为，故错误，正确． 故选：． 等差数列与数学文化 27．（2023秋•迪庆州期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由”， 和求各项的问题，如九儿问甲歌；“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207．只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来．则该问题中老人长子的岁数为　　 A．27 B．31 C．35 D．39 【解析】由题意得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设首项为， 则由等差数列的求和公式可得，， 解得． 故选：． 28．（2022秋•官渡区期末）某中学的“帮困助学”爱心募捐小组暑假期间走上街头进行了一次为期7天的募捐活动，共收到捐款1400元，由于采取了积极措施，每天收到的捐款依次构成等差数列，则第4天收到的捐款是　　（单位：元） A．100 B．200 C．300 D．400 【解析】设每天收到的捐款为数列，前项和为， 由题意可知，，解得， 故第4天收到的捐款是200元． 故选：． 29．（2023春•昆明期末）《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂若32个人的年龄（都为整数）依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为 　　岁． 【解析】由题知，一遂， 个人的年龄（都为整数）从小到大依次成等差数列， 设该等差数列为，其公差为，前项和为， ，即， ，， ，且， 当时，， 当时，，此时． 故答案为：94． 30．（2022秋•西山区校级期末）我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为　　 A．0.5尺 B．1尺 C．1.5尺 D．2尺 【解析】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气， 其晷长依次成等差数列， 经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺， ，， 解得，． 夏至的晷长为1.5尺． 故选：． 31．（2022秋•丽江期末）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 【解析】等差数列中，、是方程的两根， 所以， 所以． 故选：． 32．（2022秋•保山期末）已知数列是等差数列，且，，则　　 A．3 B．4 C．7 D．8 【解析】设等差数列的公差为，，， ，， 解得，， 则． 故选：． 33．（2023春•麒麟区校级期末）在等差数列中，若，则　　． 【解析】等差数列中，，所以，解得， 所以． 故答案为：24． 34．【多选】（2023春•大理州期末）记为等差数列的前项和，已知，，则　　 A． B． C． D． 【解析】设等差数列的公差为． ，，，且，解得：，， ，． 故选：． 35．（2022秋•西山区校级期末）设为等差数列的前项和，若，则的值为　　 A．14 B．28 C．36 D．48 【解析】为等差数列的前项和，， ． 故选：． 36．（2024春•官渡区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，，则　　． 【解析】等差数列的前项和为，若，， ， 解得，， 则． 故答案为：16． 37．（2024春•楚雄州期末）设是等差数列的前项和，且为常数，则　　． 【解析】当时， ，即，即， 为常数①， 当时，②， 两式相减可得，， 则，两式相减可得，， 故等差数列的公差为2， 则， 故，解得． 故答案为：2． 38．（2022秋•西山区校级期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项的和为　　． 【解析】等差数列的首项为1，公差不为0， ，，成等比数列， ， ， 解得， 数列的前6项的和为： ． 故答案为：． 39．（2022秋•东川区校级期末）设为等差数列的前项和．已知，，则　　 A．为递减数列 B． C．有最大值 D． 【解析】数列为等差数列，，， ，， ， ，，数列为递增数列，错误， ，，正确， ，数列为递增数列，无最大值，错误， ，，错误， 故选：． 40．（2022秋•西山区校级期末）已知数列是等差数列，是的前项和，，_____． 从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答． （1）判断2022是否是数列中的项，并说明理由； （2）求的最小值． 【解析】（1）若选①， 设公差为，则，解得． 所以． 令，得，所以2022不是数列中的项． 若选②， 设公差为，则，解得． 所以． 令，解得，所以2022是数列的第1017项． （2）若选①， 令，解得．所以当时，． 故当时，取到最小值，为． 若选②， 令，得．所以当时，． 故当或时，取到最小值，为． 41．（2023春•楚雄州期末）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有． 【解析】（1）设等差数列的公差为，则 解得，， 故； （2）由（1）可知，， 当时，取得最小值， 由恒成立，得，解得， 因为，所以或10或11． 42．（2022秋•泸西县校级期末）在等差数列中，，，若，则数列的最大值是　　 A． B． C．1 D．3 【解析】因为，所以，即， 又，所以公差， 所以， 即， 因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且． 所以数列的最大值是，且， 所以数列的最大值是3． 故选：． 43．（2023春•麒麟区校级期末）若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项． （1）求和1的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式． 【解析】设和1的调和中项为，依题意得：3、、1依次成等差数列， 所以，即； （2）依题意，是等差数列，设其公差为， ， 所以， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等差数列5种常见考法归类 等差数列通项与前n项和的计算 1．（2023秋•西山区校级期末）设为等差数列的前项和，若，，则的值为　　 A．18 B．20 C．22 D．24 2．（2023秋•官渡区期末）已知等差数列，，，，则下列属于该数列的项的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•五华区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　 A．20 B．15 C．10 D．5 4．（2023秋•西山区期末）设为等差数列的前项和．若，，则　　． 5．（2023秋•保山期末）已知等差数列的前项和为，且满足，，则　　． 6．（2023秋•昆明期末）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求． 7．（2022秋•西山区期末）已知等差数列的前项和为，且，，则　　 A．7 B．5 C．4 D． 等差数列的性质 8．（2023秋•昭阳区期末）若在等差数列中，，，则　　． 9．（2023秋•昭阳区校级期末）已知数列为等差数列，，，，都是正整数，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 等差数列前n项和的性质 10．（2022秋•保山期末）已知等差数列的前项和为且满足，则　　 A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2024春•大理州期末）已知等差数列的前项和为，若，，则　　 A．34 B．39 C．42 D．45 12．（2024春•昭通期末）已知为等差数列的前项和，，则　　 A．27 B． C．54 D．108 13．（2023春•麒麟区校级期末）已知是等差数列的前项和，且，则　　 A．30 B．60 C．90 D．180 14．（2023秋•楚雄州期末）设为等差数列的前项和，若，则　　 A．51 B． C．17 D．34 15．（2023春•富源县期末）等差数列的前项和为，若，，则　　． 16．（2024春•昭通期末）已知等差数列的前项和为，若，，则　　 A．288 B．144 C．96 D．25 等差数列的最值问题 17．（2022秋•五华区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　 A．6 B．12 C．78 D．156 18．（2023秋•沾益区校级期末）已知各项均为正数的递增等差数列，其前项和为，公差为，若数列也是等差数列，则的最小值为 　　． 19．【多选】（2023秋•西山区校级期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则的最小值为 C．若，则数列的前17项和为 D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为2023 20．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是　　 A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25 21．（2023秋•昭阳区期末）在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记为等差数列的前项和，求使不等式成立的的最小值． 22．【多选】（2024春•师宗县期末）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是　　 A． B．为递减数列 C． D． 23．（2023秋•西山区校级期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则的最小值为 　　． 24．【多选】（2024春•红塔区校级期末）设数列是等差数列，是其前项和，，且，则　　 A． B． C． D．或为的最大值 25．【多选】（2022秋•保山期末）设等差数列的前项和为，且，，则下列结论正确的有　　 A． B． C．数列单调递增 D．对任意，有 26．【多选】（2023秋•沾益区校级期末）在等差数列中，其前的和是，若，，则　　 A．是递增数列 B．其通项公式是 C．当取最小值时，的值只能是3 D．的最小值是 等差数列与数学文化 27．（2023秋•迪庆州期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由”， 和求各项的问题，如九儿问甲歌；“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207．只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来．则该问题中老人长子的岁数为　　 A．27 B．31 C．35 D．39 28．（2022秋•官渡区期末）某中学的“帮困助学”爱心募捐小组暑假期间走上街头进行了一次为期7天的募捐活动，共收到捐款1400元，由于采取了积极措施，每天收到的捐款依次构成等差数列，则第4天收到的捐款是　　（单位：元） A．100 B．200 C．300 D．400 29．（2023春•昆明期末）《周髀算经》是中国十部古算经之一，其中记载有：阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，二十蔀为一遂若32个人的年龄（都为整数）依次成等差数列，他们的年龄之和恰好为“一遂”，其中年龄最小者不超过30岁，则年龄最大者为 　　岁． 30．（2022秋•西山区校级期末）我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器．晷长即为所测量影子的长度）．夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为　　 A．0.5尺 B．1尺 C．1.5尺 D．2尺 31．（2022秋•丽江期末）在等差数列中，、是方程的两根，则的值为　　 A．2 B．3 C． D． 32．（2022秋•保山期末）已知数列是等差数列，且，，则　　 A．3 B．4 C．7 D．8 33．（2023春•麒麟区校级期末）在等差数列中，若，则　　． 34．【多选】（2023春•大理州期末）记为等差数列的前项和，已知，，则　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•西山区校级期末）设为等差数列的前项和，若，则的值为　　 A．14 B．28 C．36 D．48 36．（2024春•官渡区校级期末）已知等差数列的前项和为，若，，则　　． 37．（2024春•楚雄州期末）设是等差数列的前项和，且为常数，则　　． 38．（2022秋•西山区校级期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项的和为　　． 39．（2022秋•东川区校级期末）设为等差数列的前项和．已知，，则　　 A．为递减数列 B． C．有最大值 D． 40．（2022秋•西山区校级期末）已知数列是等差数列，是的前项和，，_____． 从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答． （1）判断2022是否是数列中的项，并说明理由； （2）求的最小值． 41．（2023春•楚雄州期末）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有． 42．（2022秋•泸西县校级期末）在等差数列中，，，若，则数列的最大值是　　 A． B． C．1 D．3 43．（2023春•麒麟区校级期末）若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项． （1）求和1的调和中项； （2）已知调和数列，，，求的通项公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$