专题07 抛物线9种常见考法归类-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题07 抛物线9种常见考法归类 求抛物线的方程 1．（2023秋•昭阳区期末）设抛物线的焦点为，在上，，则的方程为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•富宁县校级期末）已知抛物线．则抛物线的准线方程为　　． 3．（2023春•保山期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 　　． 4．（2024春•云县期末）已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点，点，为抛物线上两点，且满足，过原点作交于点，若点的坐标为，则抛物线的方程为 　　． 抛物线的焦点、准线问题 5．（2022秋•丽江期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标是 　　． 6．（2024春•麒麟区期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 　　． 7．（2023秋•西山区校级期末）抛物线的准线方程为　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•禄劝县校级期末）抛物线的焦点到准线的距离为　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•楚雄州期末）已知抛物线，的三个顶点都在上，且的重心为的焦点，若，，的面积分别为，，，且，则点到的准线的距离为 　　． 10．【多选】（2023秋•玉溪期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则　　 A． B． C． D． 抛物线定义的应用 11．（2024春•昭通期末）抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为　　 A． B． C．4 D．5 12．（2023秋•大理州期末）已知抛物线的焦点为，，，，是抛物线上两点，若，则的中点到轴距离的最小值为 　　． 13．（2023春•富源县期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，是抛物线上一点，若，则的最小值为　　 A．8 B．6 C．5 D．4 抛物线的弦长问题 14．（2024春•普洱期末）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于，两点，，两点在的准线上的射影分别为，，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截得的弦长为，则的值为 　　． 抛物线的中点弦问题 15．（2024春•会泽县期末）已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，则直线的斜率为　　 A． B． C． D． 抛物线的向量问题 16．（2023秋•保山期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　 A． B．2 C． D．1 17．（2023秋•保山期末）已知抛物线，是坐标原点，过点的直线交于，两点，则的值　　 A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．随着直线的变化而变化 18．（2024春•保山期末）已知点为坐标原点，点是抛物线的焦点，点，分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为，的面积为，若，则的最小值为 　　． 19．（2023秋•昭阳区校级期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为，两点，与轴的交点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求． 20．（2023秋•昭阳区期末）过点作直线与抛物线相交于，两点． （1）若直线的斜率是1，求弦的长度； （2）若，求直线的方程． 抛物线的最值问题 21．（2023秋•五华区校级期末）已知抛物线的焦点为，为上一点，且． （1）求的方程； （2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于． 求点的坐标； 求与面积之和的最小值． 22．【多选】（2024春•官渡区校级期末）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点　　 A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与相切 D．若以为直径的圆与相外切，则 23．（2024春•红河州期末）已知直线与抛物线交于，两点，如图，点为抛物线上的动点，且位于直线的下方，则面积的最大值为 　　． 24．【多选】（2023秋•昭阳区校级期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），，则　　 A． B． C．最小值为4 D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3 25．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于，两点，直线于，则　　 A． B．的最小值为4 C．以为直径的圆与抛物线的准线相离 D．存在定点，使得为定值 26．（2024春•大理州期末）已知定点，直线，动圆过点且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若为正数，圆与曲线只有一个交点，求正数的取值范围； （3）在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆，点，是曲线上一点，且，过作圆的两条切线，分别交轴于，两点，求面积的最小值． 抛物线的定点、定值问题 27．（2024春•曲靖期末）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． （1）求的方程； （2）不过点的直线与交于，两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 28．（2023秋•官渡区期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为，的直线与抛物线交于，两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由． 29．（2023秋•昭阳区校级期末）已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）曲线与轴的两个交点为，点位于轴的负半轴），过点的直线与曲线交于，两点（注：点，与，不重合），设直线，的斜率分别是，，求的值． 30．（2023秋•昆明期末）已知抛物线上的点，到焦点的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点，为坐标原点），且，证明：直线过定点． 31．（2023秋•昭阳区期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，，当直线的倾斜角为时，． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 32．（2024春•楚雄州期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程． （2）设过点的直线交抛物线于，两点，直线，与直线分别交于点．． 证明：直线与的斜率之和为0． 求面积的最大值． 33．（2024春•普洱期末）已知在曲线上，直线交曲线于，两点． （1）当不在直线上时，试问，分别为，的斜率）是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （2）若为坐标原点，，求面积的最小值． 抛物线与圆的综合问题 34．（2024春•昆明期末）已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则　　 A． B． C．1 D． 35．（2023秋•云南期末）已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为、，则的最小值为 　　． 36．（2022秋•西山区校级期末）已知抛物线上一点，到其焦点的距离为5，则实数的值是　　 A． B．2 C．4 D．8 37．（2023春•麒麟区校级期末）若抛物线上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则　　． 38．（2024春•师宗县期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于，两点，且，则直线的方程为 　　． 39．（2022秋•保山期末）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3，则　　 A．2 B．1 C．3 D． 40．【多选】（2024春•大理州期末）已知为坐标原点，曲线图象酷似一颗“红心”（如图）．对于曲线，下列结论正确的是　　 A．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线上存在一点使得 C．曲线上存在一点使得 D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 41．【多选】（2023秋•昭阳区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则平分 D．若，延长交直线于点，则，，三点共线 42．（2024春•玉溪期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程． 43．【多选】（2022秋•临翔区校级期末）已知直线与抛物线相交于，两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．的面积为 44．（2023春•楚雄州期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径．已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则　　 A． B．1 C．2 D．4 45．（2023秋•西山区校级期末）抛物线的准线与轴交于点，过的焦点作斜率为2的直线交于、两点，则　　． 46．【多选】（2024春•师宗县校级期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是　　 A． B． C． D． 47．（2024春•云县期末）已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为，为坐标原点，△的重心为． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于、两点，点，若点恰好是△的垂心，求直线的方程． 48．（2023秋•楚雄州期末）已知点，动点到轴的距离为，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若，，是上不同的两点，点在第一象限，直线的斜率为，且，求． 49．【多选】（2023秋•沾益区校级期末）已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，点，则下列说法正确的是　　 A．抛物线的准线方程为 B．若，则的面积为 C．的最大值为 D．的周长的最小值为 50．【多选】（2023秋•迪庆州期末）设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是　　 A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为7 D．以线段为直径的圆与轴相切 51．【多选】（2023春•大理州期末）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则　　 A．的准线方程是 B．过的焦点的最短弦长为2 C．直线过定点 D．若直线过点，则的面积为24 52．【多选】（2023春•临翔区校级期末）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是　　 A． B．当时， C．当时，直线的斜率为2 D．直线过定点 53．【多选】（2023春•昆明期末）已知抛物线的焦点为，为上一点，则下列命题或结论正确的是　　 A．若与轴垂直，则 B．若点的横坐标为2，则 C．以为直径的圆与轴相切 D．的最小值为2 54．【多选】（2023秋•官渡区期末）过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于，，，两点，下列说法正确的是　　 A．为定值 B．存在直线，使得为坐标原点） C．若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则 D．若，则 55．（2023秋•玉溪期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点．一束平行于轴的光线从点，射入，经过上的点，反射后，再经上另一点，反射后，沿直线射出，经过点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若平分，求点到直线的距离． 56．（2023秋•西山区期末）已知抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，．求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 抛物线9种常见考法归类 求抛物线的方程 1．（2023秋•昭阳区期末）设抛物线的焦点为，在上，，则的方程为　　 A． B． C． D． 【解析】已知抛物线的开口向上， 又在上，且， 所以， 解得， 所以抛物线的方程为， 故选：． 2．（2024秋•富宁县校级期末）已知抛物线．则抛物线的准线方程为　　． 【解析】抛物线．即， 故，即， 故抛物线的准线方程为． 故答案为：． 3．（2023春•保山期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 　　． 【解析】由题意设方程为，则有， 解得：， 所以抛物线的方程为． 故答案为：． 4．（2024春•云县期末）已知抛物线，为坐标原点，为抛物线的焦点，点，为抛物线上两点，且满足，过原点作交于点，若点的坐标为，则抛物线的方程为 　　． 【解析】因为直线的斜率为，且， 所以直线的方程为， 即， 联立，消去并整理得， 设， 由韦达定理得， 因为， 所以， 解得， 则抛物线的方程为． 故答案为：． 抛物线的焦点、准线问题 5．（2022秋•丽江期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点坐标是 　　． 【解析】由，得，， 所以， 所以抛物线的焦点坐标为． 故答案为：． 6．（2024春•麒麟区期末）抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是 　　． 【解析】抛物线的焦点，准线方程为， 设所求点的坐标为，，依题意，，解得，而，则， 所以所求点的坐标为． 故答案为：． 7．（2023秋•西山区校级期末）抛物线的准线方程为　　 A． B． C． D． 【解析】抛物线方程化简，得， ，可得， 因此抛物线的焦点坐标为，准线方程为． 故选：． 8．（2023秋•禄劝县校级期末）抛物线的焦点到准线的距离为　　 A． B． C． D． 【解析】抛物线可化为， 因为，所以， 所以抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：． 9．（2023秋•楚雄州期末）已知抛物线，的三个顶点都在上，且的重心为的焦点，若，，的面积分别为，，，且，则点到的准线的距离为 　　． 【解析】已知抛物线， 则其焦点坐标为，准线方程为， 设，，，，，， 的三个顶点都在上，且的重心为的焦点， 则， 又，，的面积分别为，，，且， 则， 即， 即， 即， 则点到的准线的距离为． 故答案为：． 10．【多选】（2023秋•玉溪期末）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，为坐标原点，且， 抛物线；，即，则焦点为，准线为， 设，则， 由题意，且，故， （舍或， 故． 故选：． 抛物线定义的应用 11．（2024春•昭通期末）抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为　　 A． B． C．4 D．5 【解析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和， 转化为焦点到直线的距离． 故选：． 12．（2023秋•大理州期末）已知抛物线的焦点为，，，，是抛物线上两点，若，则的中点到轴距离的最小值为 　　． 【解析】抛物线的焦点为，准线方程， 过，两点作准线的垂线，垂足分别为，，如图所示， ，， 则，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以， ， 的中点到轴的距离，当且仅当，，三点共线时等号成立， 即的中点到轴距离的最小值为3． 故答案为：3． 13．（2023春•富源县期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为4，是抛物线上一点，若，则的最小值为　　 A．8 B．6 C．5 D．4 【解析】由焦点到其准线的距离为4， 得； 设，在准线上的射影为，， 则， 当且仅当，，共线时取得等号， 所以所求最小值是4． 故选：． 抛物线的弦长问题 14．（2024春•普洱期末）已知抛物线的焦点为，直线经过点交于，两点，，两点在的准线上的射影分别为，，且的面积是的面积的4倍，若轴被以为直径的圆截得的弦长为，则的值为 　　． 【解析】抛物线的焦点为，直线经过点交于，两点，，两点在的准线上的射影分别为，，且的面积是的面积的4倍， 当点在第一象限时，由抛物线的定义可得， ， ， ，． 如图，过点作于点，， ， ，， 直线的斜率． 则直线，与联立得， 解得，，， 以为直径的圆的半径， 圆心到轴的距离， 轴被以为直径的圆截得的弦长为， 弦长为，解得． 当点在第三象限时，由对称性可得． 综上． 故答案为：． 抛物线的中点弦问题 15．（2024春•会泽县期末）已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，则直线的斜率为　　 A． B． C． D． 【解析】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，，， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为． 故选：． 抛物线的向量问题 16．（2023秋•保山期末）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　 A． B．2 C． D．1 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 设直线交轴于，可得， 过作准线的垂线，交于，可得， 若，设，可得，， 由，即，可得，即． 故选：． 17．（2023秋•保山期末）已知抛物线，是坐标原点，过点的直线交于，两点，则的值　　 A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．随着直线的变化而变化 【解析】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，设， ，， 联立，整理可得：， 则， 所以， 所以． 故选：． 18．（2024春•保山期末）已知点为坐标原点，点是抛物线的焦点，点，分别位于轴的两侧且都在抛物线上，记的面积为，的面积为，若，则的最小值为 　　． 【解析】因，分别位于轴的两侧且都在抛物线上， 如图，可设，，且，， 则，， 由，得，解得：， 则的面积， 的面积， 所以，当且仅当时取等号． 故答案为：． 19．（2023秋•昭阳区校级期末）已知抛物线，其焦点到准线的距离为，斜率为的直线与的交点为，两点，与轴的交点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）若，求． 【解析】（1）由题意焦点到准线的距离为， 所以， 所以抛物线的方程为． （2）设，，，，，直线的方程为， 联立，消去得， 则△，即， 由题意得，， 又，则，，，可得， 解得，，代入抛物线方程得，， 所以，，代回直线的方程解得合题意， 所以． 20．（2023秋•昭阳区期末）过点作直线与抛物线相交于，两点． （1）若直线的斜率是1，求弦的长度； （2）若，求直线的方程． 【解析】（1）直线的方程为， 由，得， 设，，，，解得，， 即， 所以． （2）由于直线过且与抛物线相交于，两点， 所以可设直线的方程为， 由，得， △，，， 由，得，，，， 所以，由，解得或， 所以， 所以直线的方程为或， 即或． 抛物线的最值问题 21．（2023秋•五华区校级期末）已知抛物线的焦点为，为上一点，且． （1）求的方程； （2）过且斜率存在的直线与交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于． 求点的坐标； 求与面积之和的最小值． 【解析】（1）由题意可得，解得：， 所以的方程为：； （2）设过点的直线，代入抛物线的方程，可得， 设直线与抛物线的交点，，，，不妨设， 则，，△， 所以直线的方程为：，即， 即，令，可得， 所以，所以， 所以； 如图所示， 可得，， 所以与面积之和， 当且仅当时，即时等号成立， 所以与面积之和的最小值为． 22．【多选】（2024春•官渡区校级期末）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点　　 A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则最小值为1 C．若，则直线与相切 D．若以为直径的圆与相外切，则 【解析】由已知圆的方程化为， 得其圆心，半径， 由于抛物线方程为，其焦点为， 对于选项，若为等边三角形，当且仅当， 若点到点的距离为4， 由抛物线的定义可知，即， 代入抛物线方程可得，故正确； 对于选项，因为点在抛物线上，为上一点， ， 由于为上，设，且， 则， 当且仅当时，原式取得最小值，的最小值，故不正确； 对于选项，设，且， 若，即，得， 解得，所以此时， 不妨取， 此时直线的方程为：，即， 则圆心到该直线的距离为， 所以此时直线与圆相切，同理可证明的情形也成立，故正确； 对于选项，设的中点为，若以为直径的圆与相外切时， 只需保证， 设，且，，得， 得方程：， 其中，反解得：代入上式， 化简可得：， 显然，故不正确． 故选：． 23．（2024春•红河州期末）已知直线与抛物线交于，两点，如图，点为抛物线上的动点，且位于直线的下方，则面积的最大值为 　　． 【解析】当抛物线过点的切线与直线平行时，的面积最大， 设点，，由得：，， 所以切线的斜率：，解得：， 所以，所以， 点到直线的距离， 由，消去得：， 设，，，， 则，， 所以， 所以的面积的最大值为：． 故答案为：． 24．【多选】（2023秋•昭阳区校级期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），，则　　 A． B． C．最小值为4 D．当直线的倾斜角为时，与面积之比为3 【解析】由题意可知，，所以，故错误； 当直线的斜率存在时，设直线，，，，， 联立，得， 其中，， ， 当直线的斜率不存在时，，此时，故正确； 直线的斜率存在时，， 当直线的斜率不存在时，，所以最小值为4，故正确； 设直线， 联立，得，得或， 由题意可知，，， 所以，故正确． 故选：． 25．【多选】（2023秋•五华区校级期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过点的直线交于，两点，直线于，则　　 A． B．的最小值为4 C．以为直径的圆与抛物线的准线相离 D．存在定点，使得为定值 【解析】对于选项：若直线与轴重合， 此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 故可设直线为，且，，，， 联立， 可得， 显然△， 所以，， 所以， ， 所以， 所以，故正确； 对于选项：，故的最小值为5，故错误； 对于选项：设的中点为，则， 结合韦达定理得，， 所以到准线的距离为． 而， 所以， 故以为直径的圆与抛物线的准线相离，故正确； 对于选项：因为直线恒过定点，又直线于， 所以在以为直径的圆上，的中点则为圆心， 所以，故存在定点，使得 为定值，故正确． 故选：． 26．（2024春•大理州期末）已知定点，直线，动圆过点且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若为正数，圆与曲线只有一个交点，求正数的取值范围； （3）在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆，点，是曲线上一点，且，过作圆的两条切线，分别交轴于，两点，求面积的最小值． 【解析】（1）由题意，动圆圆心到点的距离等于到直线的距离， 故曲线是以为焦点，为准线的抛物线，其方程形如：， 因，故曲线的方程为； （2）由题，联立方程， 消去得，解得：，， 由可知，因两曲线只有一个交点， 则必须，即，又因为为正数， 故，； （3）如图，设，， 由，，则直线的方程为， 依题意圆心到的距离为1，即， 化简得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，依题意，则， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最小值8． 抛物线的定点、定值问题 27．（2024春•曲靖期末）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． （1）求的方程； （2）不过点的直线与交于，两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【解析】（1）因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等， 所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， 此时， 则曲线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 设点为的中点， 此时， 所以直线的方程为， 令， 解得． 故点为定点，坐标为． 28．（2023秋•官渡区期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为，的直线与抛物线交于，两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由． 【解析】（1），准线为， 过点分别向轴和准线作垂线，垂足为，， 则，所以， 又点在抛物线上，所以， 即，解得或（舍， 所以抛物线的方程为； （2）点在上，所以， 解得，所以， 设，，，， 则，同理， 所以，即， 设直线为， 则，即， 所以，， 所以， 解得，代入到直线方程， 得，即， 当，即时，， 所以直线过定点． 29．（2023秋•昭阳区校级期末）已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线． （1）求曲线的方程； （2）曲线与轴的两个交点为，点位于轴的负半轴），过点的直线与曲线交于，两点（注：点，与，不重合），设直线，的斜率分别是，，求的值． 【解析】（1）由，得， 所以圆心为，半径为4， 连接，由是线段的中垂线，得， 所以，又， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以，为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以，，， 所求曲线的方程为． （2）由（1）知，， 设过点的直线为，，，，， 联立和， 消去，整理得， △， ， 从而， ． 的值为． 30．（2023秋•昆明期末）已知抛物线上的点，到焦点的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点（第一象限），过点作轴的垂线交于点，直线与直线、分别交于点，为坐标原点），且，证明：直线过定点． 【解析】（1）由抛物线方程得，抛物线准线方程为， 点，到准线的距离为， 则，， 点在抛物线上，， ，． 抛物线的方程为：． （2）证明：在抛物线上， ，，， 的方提为． 显然的斜率一定存在． 设直线的方程为，设，，，， 联立方程组，消去得：， △，即， 由韦达定理得：． 是与直线的交点．，． 直线的方程为，是与的交点，， ，， ，， ， ， ， ， 整理得：，即， 直线的方程为，过定点． 31．（2023秋•昭阳区期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，，当直线的倾斜角为时，． （1）求抛物线的标准方程和准线方程； （2）记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标． 【解析】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为，直线的方程为， 联立抛物线与直线的方程，可得， 设，，，， 由韦达定理可得， 所以， 所以， 所以抛物线的方程为，准线方程为． （2）证明：设直线， 联立直线与抛物线的方程，可得， 所以，， 又，， 所以， 同理可得， 设圆上任意一点为， 则由，可得圆的方程为， 整理可得， 令，可得或， 所以为直径的圆过定点，定点坐标为和． 32．（2024春•楚雄州期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程． （2）设过点的直线交抛物线于，两点，直线，与直线分别交于点．． 证明：直线与的斜率之和为0． 求面积的最大值． 【解析】（1）解：因为点在抛物线上， 所以，① 因为， 所以，② 联立①②， 解得，， 则抛物线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 设直线的方程为，直线的方程为， 此时，， 所以， 则直线与的斜率之和为； 联立， 解得， 同理得， 因为直线与轴交于点， 所以 的面积， 因为， 所以， 则，． 故面积的最大值为12． 33．（2024春•普洱期末）已知在曲线上，直线交曲线于，两点． （1）当不在直线上时，试问，分别为，的斜率）是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． （2）若为坐标原点，，求面积的最小值． 【解析】（1）曲线的方程可变形为， 所以曲线为椭圆 ， 设，，，， 由对称性可得，， 又， 则， 因为， 所以，同理 所以； （2）若，面积， 当时，联立，则， ， 因为，设交椭圆另一个交点为， 所以直线可设为， ，， 面积， 因为，当且仅当，即或时取等号， 所以． 即面积的最小值是． 抛物线与圆的综合问题 34．（2024春•昆明期末）已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，，若，则　　 A． B． C．1 D． 【解析】抛物线的焦点为，， 圆的圆心为， 由切点分别为，， 若， 可得轴，四边形为正方形， 设，，可得正方形的边长为， 即有，即， 解得． 故选：． 35．（2023秋•云南期末）已知动点在抛物线上，过点引圆的切线，切点分别为、，则的最小值为 　　． 【解析】由圆，可得圆心的坐标为，半径， 如图：连接，，，易得，，， 所以四边形的面积为，另外四边形的面积为三角形面积的两倍， 所以，所以． 所以当取得最小时，最小， 设点，则， 所以时，取得最小值为，所以的最小值为． 故答案为：． 36．（2022秋•西山区校级期末）已知抛物线上一点，到其焦点的距离为5，则实数的值是　　 A． B．2 C．4 D．8 【解析】抛物线抛物线上点，到其焦点的距离为5， ，解得， ， 点在抛物线上， ， 又， ． 故选：． 37．（2023春•麒麟区校级期末）若抛物线上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则　　． 【解析】因为抛物线上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3， 所以，解得（负值舍去）． 故答案为：2． 38．（2024春•师宗县期末）已知抛物线，过的直线交抛物线于，两点，且，则直线的方程为 　　． 【解析】因为在抛物线内部，又，所以是的中点． 设，，，，所以，即， 又，，，在抛物线上， 所以，两式作差，得， 所以， 所以直线的方程为，即． 故答案为：． 39．（2022秋•保山期末）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为3，则　　 A．2 B．1 C．3 D． 【解析】由抛物线，可得， 又由圆，可得圆心，半径， 因为与圆上点的距离最小值3，可得，解得． 故选：． 40．【多选】（2024春•大理州期末）已知为坐标原点，曲线图象酷似一颗“红心”（如图）．对于曲线，下列结论正确的是　　 A．曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B．曲线上存在一点使得 C．曲线上存在一点使得 D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3 【解析】对于选项：当时，代入方程中， 解得， 则曲线经过点，， 当时，方程为， 此时△， 解得， 因为， 所以只能取1， 当时， 解得或， 即曲线经过，； 由曲线方程的特征易得曲线关于轴对称， 所以曲线还经过，， 则曲线共经过6个整数点，即选项正确； 对于选项：当时，方程为， 解得或， 即曲线经过点， 此时，故选项正确； 对于选项：当时， 可得， 当且仅当时，等号成立， 解得， 即曲线在轴右侧区域内的任意点，都满足， 根据对称性，曲线上任意一点到原点距离都不超过，故选项错误； 对于选项 因为曲线经过点，，，，， 则曲线所围成的“心形”区域的面积，故选项正确． 故选：． 41．【多选】（2023秋•昭阳区期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则平分 D．若，延长交直线于点，则，，三点共线 【解析】对于选顶，若，则抛物线，的焦点为， 由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确； 对于选项，若，则抛物线，的焦点为， 由已知条件得，直线的方程为，可得， ，选项不正确； 对于选项，时，，， 又，平分，选项正确； 对于选项，若，则抛物线，的焦点为，， 延长交直线于点，则， 由选顶可知，则，，三点共线，故正确； 故选：． 42．（2024春•玉溪期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程． 【解析】（1）设， 因为点到定点与定直线的距离相等， 所以点轨迹为开口向右的抛物线，且， 则点轨迹方程为， 即的方程为； （2）设，， 因为点在上， 解得， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线与相切， 所以， 因为， 所以． 故的方程为． 43．【多选】（2022秋•临翔区校级期末）已知直线与抛物线相交于，两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．的面积为 【解析】直线整理可得，恒过，，即过抛物线的焦点， 所以抛物准线方程为，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，在抛物线的准线上，所以，解得， 所以正确，焦点坐标为，直线整理可得， 设，，，，联立直线与抛物线的方程，整理可得：， ，，，， 由题意可得，即，， 整理可得，代入可得，解得：，解得，所以正确， 所以，， 所以弦长，所以正确； 直线的方程为：，即，所以到直线 的距离， 所以，所以不正确， 故选：． 44．（2023春•楚雄州期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径．已知圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则　　 A． B．1 C．2 D．4 【解析】因为圆的一条通径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条通径与轴垂直， 且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点， 因为圆的圆心为，半径为2，所以该圆与轴垂直的通径的右端点为， 即抛物线经过点，则，即． 故选：． 45．（2023秋•西山区校级期末）抛物线的准线与轴交于点，过的焦点作斜率为2的直线交于、两点，则　　． 【解析】抛物线的焦点，，，，可知方程， 的方程与联立，消去可得， 可得或， ，，，， ，， ． 故答案为：． 46．【多选】（2024春•师宗县校级期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是　　 A． B． C． D． 【解析】选项：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故正确； 选项：由得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，故错误； 选项：由，得，故正确； 选项：由上知，得， 故，故正确． 故选：． 47．（2024春•云县期末）已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为，为坐标原点，△的重心为． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于、两点，点，若点恰好是△的垂心，求直线的方程． 【解析】（1）设，，， 此时，， 因为点为△的重心， 所以，， 即，， 因为点在圆上， 所以， 整理得， 因为， 所以， 则点的轨迹方程为； （2）因为点为△ 的垂心， 所以，， 又， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 此时△， 解得， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 即， 所以， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，满足△． 故直线的方程为． 48．（2023秋•楚雄州期末）已知点，动点到轴的距离为，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若，，是上不同的两点，点在第一象限，直线的斜率为，且，求． 【解析】（1）不妨设， 因为点， 所以， 因为动点到轴的距离为， 所以， 因为， 所以， 整理得， 当时，； 当时，， 则的方程为或； （2）易知在第一象限， 所以， 不妨设点在曲线上， 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 解得， 所以， 因为， 所以， 解得或， 当时，点与点重合，不符合题意； 所以， 此时； 不妨设在曲线上， 此时， 因为， 所以， 解得或（舍去）． 综上，或． 49．【多选】（2023秋•沾益区校级期末）已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，点，则下列说法正确的是　　 A．抛物线的准线方程为 B．若，则的面积为 C．的最大值为 D．的周长的最小值为 【解析】对选项，，，，准线方程为，故正确； 对选项，根据抛物线定义得，， ，轴，当时，， 若点在第一象限时，此时， 故，的高为1， 故， 若点在第四象限，此时， 故，的高为1， 故，故错误； 对选项，， ，故正确； 对选项，连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况， 图对应如下： 过点作准线，垂足为点， 的周长， 若周长最小，则长度和最小， 显然当点，，位于同一条直线上时，的和最小， 此时， 故周长最小值为，故正确． 故选：． 50．【多选】（2023秋•迪庆州期末）设抛物线的焦点为，准线为，点为上一动点，为定点，则下列结论正确的是　　 A．准线的方程是 B．的最大值为2 C．的最小值为7 D．以线段为直径的圆与轴相切 【解析】由题意得，则焦点，准线的方程是，故正确； ， 当点在线段的延长线上时等号成立，的最大值为，故错误； 如图所示，过点，分别作准线的垂线，垂足分别为，， 则，当点在线段上时等号成立， 的最小值为5，故不正确； 设点，，线段的中点为，则， 以线段为直径的圆与轴相切，正确． 故选：． 51．【多选】（2023春•大理州期末）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，，则　　 A．的准线方程是 B．过的焦点的最短弦长为2 C．直线过定点 D．若直线过点，则的面积为24 【解析】将代入抛物线中得，即， 则抛物线为， 所以抛物线的准线方程是，故正确； 抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为， 联立，可得， 设交点为，，，， 则，， 所以，即过的焦点的最短弦长为4，故不正确； 设，，直线为， 联立，可得：， 所以，， 又， 所以， 因为，，即， 所以， 化简整理得， 即，得， 所以直线为， 所以直线过定点，故正确； 若直线过点，则，即，， 所以，， 直线为，即， 所以， 点到直线的距离为， 所以，故不正确． 故选：． 52．【多选】（2023春•临翔区校级期末）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是　　 A． B．当时， C．当时，直线的斜率为2 D．直线过定点 【解析】对于，因为为准线上的点，所以，解得，故不正确； 对于，根据抛物线方程得到，则， 设切点坐标为，，，，则，整理得， 同理得，所以，为方程的解，， 所以，则，故正确； 对于，由得，又，联立得，同理得， 即直线的方程为，故恒过点，故正确； 对于，由得，所以，故不正确． 故选：． 53．【多选】（2023春•昆明期末）已知抛物线的焦点为，为上一点，则下列命题或结论正确的是　　 A．若与轴垂直，则 B．若点的横坐标为2，则 C．以为直径的圆与轴相切 D．的最小值为2 【解析】对选项，与轴垂直，，所以，所以，所以正确； 对选项，点的横坐标为2， 由， 可知正确； 对选项，由抛物线的方程可得焦点，准线方程， 由题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，， 联立，整理可得：， 显然△，，， ，， ， 为直径的圆的圆心的半径为， 而的中点的横坐标为， 到轴的距离等于以为直径的圆的半径，正确； 对选项，，所以的最小值为2，不正确，错误． 故选：． 54．【多选】（2023秋•官渡区期末）过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于，，，两点，下列说法正确的是　　 A．为定值 B．存在直线，使得为坐标原点） C．若经过点和抛物线的顶点的直线交准线于点，则 D．若，则 【解析】对于，依题意，直线的斜率不等于0， 设直线的方程为， 联立直线与抛物线的方程，消去得， 易知△，则， 故， 所以，为定值，故正确； 对于，因为， 所以不可能，故错误； 对于，经过点和抛物线的顶点的直线的方程为， 则其与准线的交点的坐标， 因为，所以，即轴，故正确； 对于，因为， 则，所以， 由，得， 由，得，即， 则， 则由抛物线定义得，故正确． 故选：． 55．（2023秋•玉溪期末）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后反射光线或其反向延长线必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点．一束平行于轴的光线从点，射入，经过上的点，反射后，再经上另一点，反射后，沿直线射出，经过点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若平分，求点到直线的距离． 【解析】（Ⅰ）证明：抛物线，则其准线方程为， 设，，，，由题意得平行于轴，且过点，，所以， 把代入抛物线的方程，解得，则， 由题知，直线经过焦点， 则直线的方程为 即， 联立，得， 故． （Ⅱ）解：由光学性质可知平行于轴，平行于轴， 则，有， 若平分，则，所以， 所以， 由，，得， 把代入抛物线的方程，解得，即， 则， 可得，解得， 所以，，直线的方程为， 故到直线的距离为：． 56．（2023秋•西山区期末）已知抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，．求的最大值． 【解析】（Ⅰ）抛物线的准线为， 由抛物线的定义知，，又，所以， 所以抛物线的方程为； （Ⅱ）由（1）知，，，设， 则，设直线， 由，可得， △，，， 则， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 由斜率公式可得， ， 又因为直线，的倾斜角分别为，，所以， 若要使最大，需使最大，则，设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$