专题07 直角三角形的边角关系（5基础题型+6提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题07 直角三角形的边角关系 锐角三角函数定义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（　　） A． B．2 C． D． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 网格与锐角三角函数值 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则( ) A．2 B． C． D． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．1 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是 ． 特殊角三角函数值与实数计算 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算：． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算：． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）计算： 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算题 (1)解方程； (2)解方程：． (3)计算：． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）计算：． （2）解方程： 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程； （2）计算：． 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）计算：． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：； （2）计算：． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）计算：． （2） 解方程：． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算或解下列方程： (1) (2) (3)计算：. 11. （20-21九年级上·广东深圳·期末）计算：． 12. （20-21九年级上·广东深圳·期末）计算： 解三角形在几何计算中的应用 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则cosB的值是( ) A． B． C． D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点M是线段上的动点，在线段上截取，连接和，当点M在运动的过程中，的最小值为 ．    4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，，E是的中点，F是边上一点，将沿折叠得到，连接并延长分别交，于O，H两点，若G是的中点，则 ． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 ． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为 ． 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，于F，连接AF；若，，则 ． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　，使得，并说明理由； (2)若，求的长． 解直角三角形的应用 1. （20-21九年级下·广东深圳·期末）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（   ） A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里 2. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向. 求：（1）∠C的度数； （2）A，C两港之间的距离为多少km. 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）某日，深圳高级中学（集团）南北校区初三学生参加东校区下午时的交流活动，南校区学生中午乘坐校车出发，沿正北方向行12公里到达北校区，然后南北校区一同前往东校区（等待时间不计）．如图所示，已知东校区在南校区北偏东方向，在北校区北偏东方向．校车行驶状态的平均速度为，途中一共经过30个红绿灯，平均每个红绿灯等待时间为30秒． （1）求北校区到东校区的距离； （2）通过计算，说明南北校区学生能否在前到达东校区．（本题参考数据：，） 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)    (1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； (2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 三角函数与反比例函数综合计算 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，且，反比例函数经过点，则的值是 ． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 ． 3. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是 ． 几何多结论判断题 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中， P为边BC上一动点，于E，于为中点，则的最小值是 ． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CED=；④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，得到，边交于点，连接，，交于点，那么下列选项正确的有（    ） ①；②若点是的中点，则；③当，且时，则；④当，可得；⑤当时，． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形中，O为中点，以为边向正方形内作等边，连接并延长交于F，连接分别交、于G、H，下列结论：；；③；；，其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 几何图形折叠与解三角形 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12． （1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若则HQ＝　 　． （2）如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，点为线段的黄金分割点，且，若，请直接写出的值是__________． (2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点． 几何图形动点问题与解三角形 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，的对角线平分．点从点出发沿方向以个单位/秒的速度运动，点从点出发沿方向以个单位/秒的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，试求的值为多少时，为直角三角形； （3）如图2，若，点是是中点，作交于．当点在边运动的过程中（不与点重合），则线段的最大值是_______，的最小值是_______． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点，是边上一点，作交于点．学习小队发现，不论点在边上运动过程中，与恒全等，请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点，，是延长线上一点，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰中，，，，点是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点，连接，当时，直接写出的长． 几何变换与解直角三角形 1. （21-22九年级上·广东深圳·期末）（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则是________； （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定角度，连接和，的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值． （3）如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请求出线段的长度． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图①，在中，，，，D为的中点，为的中位线，四边形为的内接矩形（矩形的四个顶点均在的边上）． (1)计算矩形的面积； (2)将矩形沿向右平移、点F落在上时停止移动，在平移过程中，当矩形与重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离； (3)如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当H1落在上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值． 3. （21-22九年级上·广东深圳·期末）【探究发现】 (1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E． ①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长BE交DF于点G． ②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝　 　°． 【类比迁移】 (2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长； 【拓展应用】 (3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长． 三角函数综合应用 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知点是正方形内部一点，且． 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知，在中，，．    (1)【模型识别】： 如图1，已知点在边上，，，连接．求证：； (2)【类比迁移】： 如图2，已知点在下方，，，连接．若，，，交于点，求的长； (3)【方法应用】： 如图3，已知点在上方，连接和，与相交于点，若，，，求的面积． 3. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1，点P是菱形ABCD的对角线BD上的一动点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）如图2，当菱形ABCD变为正方形，且PC=2，tan∠PFA=时，求正方形ABCD的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直角三角形的边角关系 锐角三角函数定义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，已知，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】根据勾股定理可得，再根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则cosA的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求角的余弦值、求角的正弦值 【分析】根据正弦的定义求出∠A，根据30°的余弦值解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC， ∴sinA＝＝， ∴∠A＝30°， ∴cosA＝cos30°＝， 故选：D． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，掌握正弦、余弦的定义是解题的关键． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求角的正切值、求角的余弦值、求角的正弦值、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】在中，先由勾股定理解得AC的长，再根据锐角三角函数的定义逐项分析解题即可． 【详解】在中，由勾股定理得， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理、正弦、余弦、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，则cosB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求角的余弦值 【分析】首先利用勾股定理求出BC的长，再利用余弦求出答案． 【详解】解：∵BC2=AB2-AC2， ∴BC=， ∴cosB=． 故选：B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边a与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）在直角中，，，，求为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值． 【详解】解：由，， 得出：， 由勾股定理得出：， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质． 网格与锐角三角函数值 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】延长AB至D，使AD=4个小正方形的边长，连接CD，先证出△ADC是直角三角形和CD的长，即可求出的值． 【详解】解：延长AB至D，使AD=4个小正方形的边长，连接CD，如下图所示，    由图可知：△ADC是直角三角形，CD=3个小正方形的边长 根据勾股定理可得：AC=个小正方形的边长 ∴ 故选A． 【点睛】此题考查的是求一个角的正弦值，掌握构造直角三角形的方法是解决此题的关键． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则( ) A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值 【分析】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点，则CD=1,AC= ,在直角三角形ACD中即可求得的值. 【详解】过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点， 则CD=1，AC= 在直角三角形ACD中 故选：B 【点睛】本题考查的是网格中的锐角三角函数，关键是创造直角三角形，尽可能的把直角三角形的顶点放在格点. 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【详解】解：如图：连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，以及求角的正切值，灵活运用相似三角形的性质，并理解正切的定义是解题关键 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、勾股定理与网格问题 【分析】根据图像和勾股定理得出AB2，AC2，BC2的值，进而得出△ABC是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴sinA＝sin45°＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数．由网格构造直角三角形，并求出AB2，AC2，BC2的值是解决本题的关键． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值、用勾股定理解三角形 【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明 再利用勾股定理及等面积法求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F． ∵BD∥CE．BD＝CE． ∴四边形DBEC是平行四边形． ∴BE∥DC． ∴∠ABE＝∠AOC． ∵， ． ∴． 在Rt△BEF中， ∵， ∴sin∠AOC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解题的关键． 特殊角三角函数值与实数计算 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算：． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、化简绝对值、特殊三角形的三角函数、负整数指数幂 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值和特殊角三角函数值的计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值和特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先按负整数次幂、乘方、零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值的知识化简，然后再运用二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题主要考查了负整数次幂、乘方、零次幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的加减运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）计算： 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数、实数的混合运算 【分析】先逐项化简，再合并同类项和同类二次根式即可. 【详解】原式=9+--1=8. 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键. 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算题 (1)解方程； (2)解方程：． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3)3 【难度】0.65 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊三角形的三角函数、因式分解法解一元二次方程 【分析】(1)采用十字相乘法解此方程，即可解得； (2)采用因式分解法解此方程，即可解得； (3)首先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的运算法则，进行运算，再进行有理数的加减运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：由原方程得：， 故或， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解：由原方程得：， 得 故或， 解得，， 所以，原方程的解为，； （3）解： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂的运算法则，求一个数的算术平方根，有理数的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含三角函数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质、负整数指数幂以及立方根的概念计算即可求解； （2）利用因式分解法解方程即可得答案． 【详解】（1）解：， （2）解： 或 ， 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、因式分解法解一元二次方程、实数的混合运算 【分析】本题考查了一元二次方程的解法及实数的混合运算． （1）采用因式分解法解此方程，即可解得； （2）根据绝对值、特殊角的三角函数值、乘方计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：由原方程得：， 故或， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解： ． 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、化简绝对值、零指数幂 【分析】先进行幂的运算、去绝对值、及零次幂的运算，同时将特殊角的三角函数值代入，然后化简求值即可．题目主要考查计算能力，主要有幂的运算、去绝对值、及零次幂和特殊三角函数值，解题关键是对这些运算的熟练及对特殊三角函数值的记忆 【详解】解： ． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、因式分解法解一元二次方程、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查解一元二次方程，实数的混合运算， （1）运用因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，负指数幂，去括号运算，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得，； （2） ． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）（1）计算：． （2） 解方程：． 【答案】（1）2；（2） 【难度】0.65 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程； （1）计算绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再合并即可． （2）将方程移项后提公因式后解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：移项，得 提公因式，得 解得，． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）计算或解下列方程： (1) (2) (3)计算：. 【答案】(1)， (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、公式法解一元二次方程 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可； （3）代入特殊角三角函数值，根据负整数指数幂和二次根式的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ，即， ∴或， ∴，． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角三角函数值的运算，熟练掌握解一元二次方程的方法，牢记特殊角三角函数值是解题的关键． 11. （20-21九年级上·广东深圳·期末）计算：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、化简绝对值 【分析】先进行幂的运算、去绝对值、及零次幂的运算，同时将特殊角的三角函数值代入，然后化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】题目主要考查计算能力，主要有幂的运算、去绝对值、及零次幂和特殊三角函数值，解题关键是对这些运算的熟练及对特殊三角函数值的记忆． 12. （20-21九年级上·广东深圳·期末）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂 【分析】根据零次幂、负指数幂及特殊三角函数值可直接进行求解． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握零次幂、负指数幂及特殊三角函数值是解题的关键． 解三角形在几何计算中的应用 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若，则BC的长是（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算 【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴BD=AD， ∴CD+BD=8cm， ∵， ∴， 解得：CD=3cm，BD=5cm， ∴BC=4cm． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC＝2，则cosB的值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用同角三角函数关系求值 【详解】要求cosB，必须将∠B放在直角三角形中，由图可知∠D＝∠B，而AD是直径，故∠ACD＝90°，所以可进行等角转换，即求cosD．在Rt△ADC中，AC＝2，AD＝2r＝3，根据勾股定理可求得，所以． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，，点M是线段上的动点，在线段上截取，连接和，当点M在运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】2 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，过点作并截取，连接，，设交于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用三角形的三边关系定理得到的最小值为；过点作，交的延长线于点，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可得出结论．正确构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作并截取，连接，，设交于点，如图， 中，，，， ，，． 在和中， ， ， ，． ． ， 的最小值为． 过点作，交的延长线于点， ， ． ， ，， ． ， 的最小值为． 故答案为：．    4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明，可得，可求的长，通过证明，由相似三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于， ，，， ， 是边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将绕着点逆时针旋转， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形中，，E是的中点，F是边上一点，将沿折叠得到，连接并延长分别交，于O，H两点，若G是的中点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质证明、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求出，由折叠的性质知垂直平分，得到，，得到，设，则，证明，求得，进一步得到，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∵沿折叠得到， ∴垂直平分， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形ABCD中，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为 ． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DH，由折叠的性质得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案． 【详解】解：延长BF交AD的延长线于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°， ∴∠H＝∠CBF， 在△BCF和△HDF中， ， ∴△BCF≌△HDF（AAS）， ∴BC＝DH， ∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG， ∴∠EGH＝90°， ∵AE＝AD， ∴设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x， ∴ED＝2x， ∴EH＝ED+DH＝5x， 在Rt△EGH中，sin∠H＝， ∴sin∠CBF＝， ∴， ∴BF＝15， ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，要注意折叠的图形中的相等的角和相等的线段，解题关键是利用倍长中线法正确作出辅助线证△BCF≌△HDF． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，点F，G分别在正方形的边，上，E为中点，连接，正方形的边恰好在上，若正方形边长为7，则正方形面积为 ． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、三角函数综合 【分析】设，则，设根据正切值表示出、、，再利用余弦值求出x，即可求出答案． 【详解】如图，设，则，， 设，，，， 由， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，解题关键是掌握正方形的相关性质，利用三角函数进行转化． 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，点E是矩形ABCD的一边AD的中点，于F，连接AF；若，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】延长CE交BA的延长线于点G，由题意可证△AGE≌△DCE，可得AG=CD=4，根据直角三角形的性质可得∠AFE=∠AGF，由勾股定理可求CG=10，即可求sin∠AFE的值． 【详解】延长CE交BA的延长线于点G． ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，AD=BC=6，∴∠G=∠GCD，且AE=DE，∠AEG=∠DEC，∴△AGE≌△DCE（AAS），∴AG=CD=4，∴AG=AB，且BF⊥GF，∴AF=AG=AB=4，∴∠AFE=∠AGF． ∵BG=AG+AB=8，BC=6，∴GC10，∴sin∠AFE=sin∠AGF． 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 9. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，点O是矩形的对角线上一点，过点O作，交于点E，交于点F． (1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：　　　　，使得，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）添加，证明，即可； （2）根据勾股定理可得，证明，可得，在 和中，利用锐角三角函数可得，即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， ∵， ， 又∵， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∵， ， 又∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 解直角三角形的应用 1. （20-21九年级下·广东深圳·期末）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（   ） A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】解非直角三角形 【分析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案. 【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE， ∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°， ∴∠ABC=135°， 又∵BE=CE， ∴∠ACB=∠EBC=15°， ∴∠ABE=120°， 又∵∠CAB=30° ∴BA=BE，AD=DE， 设BD=x， 在Rt△ABD中， ∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x， ∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30， ∴x= = ≈5.49， 故答案选：B. 【点睛】考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质. 2. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，太阳光线与地面成角，窗子米，要在窗子外面上方米的点D处安装水平遮阳板，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC的长度至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】根据题意可得米，，根据，即可求解． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴（米）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是根据题意找出已知边和已知角． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、二次根式的加减运算、线段的和与差 【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案． 【详解】解：由题意可得： 同理： 故答案为： 【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）若，那么的形状是 ． 【答案】锐角三角形 【难度】0.65 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案． 【详解】∵， ∴cos2A-=0，tan-=0， ∴cosA=（负值舍去），tanB=， ∴∠A=45°，∠B=60°， ∴∠C=180°-45°-60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向. 求：（1）∠C的度数； （2）A，C两港之间的距离为多少km. 【答案】（1）∠C=60°（2）AC= 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据方位角的概念确定∠ACB=40°+20°=60； （2）AB=30 ，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，在点C处建立方向标 根据题意得，AF∥CM∥BD ∴∠ACM=∠FAC, ∠BCM=∠DBC ∴∠ACB=∠ACM+∠BCM=40°+20°=60°， （2）∵AB=30 ，过B作BE⊥AC于E， ∴∠AEB=∠CEB=90°， 在Rt△ABE中，∵∠ABE=45°，AB=30， ∴AE=BE=AB=30km， 在Rt△CBE中，∵∠ACB=60°， ∴CE=BE=10 km， ∴AC=AE+CE=30+10 ， ∴A，C两港之间的距离为（30+10）km， 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单． 6. （18-19九年级上·广东深圳·期末）某日，深圳高级中学（集团）南北校区初三学生参加东校区下午时的交流活动，南校区学生中午乘坐校车出发，沿正北方向行12公里到达北校区，然后南北校区一同前往东校区（等待时间不计）．如图所示，已知东校区在南校区北偏东方向，在北校区北偏东方向．校车行驶状态的平均速度为，途中一共经过30个红绿灯，平均每个红绿灯等待时间为30秒． （1）求北校区到东校区的距离； （2）通过计算，说明南北校区学生能否在前到达东校区．（本题参考数据：，） 【答案】（1）；（2）能. 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）过点作于点，然后在两个直角三角形中通过三角函数分别计算出AE、AC即可； （2）算出总路程求出汽车行驶的时间，加上等红绿灯的时间即为总时间，即可作出判断. 【详解】解：（1）过点作于点. 依题意有：，，， 则， ∵， ∴， ∴ （2）总用时为：分钟分钟， ∴能规定时间前到达. 【点睛】本题考查了三角函数的应用，把非直角三角形的问题通过作辅助线化为直角三角形的问题是解题关键. 7. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)    (1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； (2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm (2)点A到直线的距离约为21.5cm 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N    由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． （2）解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，    ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 8. （23-24九年级上·广东深圳·期末）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)没有危险,详见解析 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）如图，作，垂足为点    在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）没有危险，理由如下： 过作，垂足为点    ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内， （1）转动连杆BC，手臂CD，使，，如图2，求手臂端点D离操作台的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：，）． （2）物品在操作台上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由． 【答案】（1）106cm；（2）能碰到，见解析 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数值解直角三角形即可完成求解； （2）求出端点D能够到的最远距离，进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）过点C作于点P， 过点B作于点Q，如图1， ， ， 在中，， ． ， ． ∴手臂端点D离操作台 l 的高度DE的长为106cm． （2）能． 理由：当点B，C，D共线时，如图2， ，， 在中，， ． 手臂端点D能碰到点M． 【点睛】本题考查了直角三角形的应用，涉及到了解直角三角形等知识，解决本题的关键是能读懂题意，并通过作辅助线构造直角三角形，能正确利用三角函数值解直角三角形等，考查了学生的综合分析与知识应用的能力． 三角函数与反比例函数综合计算 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，且，反比例函数经过点，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知正切值求边长、用勾股定理解三角形、求反比例函数解析式 【分析】作CD⊥AB于点D．由可设BC=x，AC=2x，根据勾股定理即可求出BC和AC的值，利用面积法求出CD的值，再利用勾股定理求出BD的值，得到点C的坐标，然后可求出k的值． 【详解】如图，作CD⊥AB于点D． ∵，为斜边的中点， ∴， ∴OB=5，AB=10． ∵=， ∴可设BC=x，AC=2x，由勾股定理得 x2+(2x)2=102， ∴x=， ∴BC=，AC=， ∵， ∴， ∴CD=4， ∴BD=， ∴OD=5-2=3， ∴C(3，4)． 反比例函数经过点， ∴k=3×4=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点C的坐标是解答本题的关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，OA＝5，tan∠COA＝．若反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）经过点C，则k的值等于 ． 【答案】12 【难度】0.4 【知识点】已知正切值求边长、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】作CD⊥OA于D，如图，利用菱形的性质得OC＝OA＝5，在Rt△OCD中利用正弦的定义以及勾股定理计算出CD＝3，OD＝4，从而得到C（4，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定k的值． 【详解】解：如图，作CD⊥OA于D， ∵OA＝5， ∵四边形OABC为菱形， ∴OC＝OA＝5， 在Rt△OCD中，∵tan∠COA＝ ＝ ． ∴设CD＝3x，OD＝4x， ∵OC2＝OD2+CD2， ∴52＝（4x）2+（3x）2，解得x＝1， ∴CD＝3，OD＝4， ∴C（4，3）， 把C（4，3）代入y＝ 得k＝3×4＝12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是曲线，图象上的点(x，y)的横纵坐标的积是定值k，即y=k也考查了菱形的性质． 3. （21-22九年级上·广东深圳·期末）如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题、求角的余弦值、反比例函数与几何综合 【分析】过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可． 【详解】过点E作于点G， ∵， ∴设，， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质，；， ， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的性质，得， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握三角函数，折叠的性质是解题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】特殊三角形的三角函数、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合 【分析】连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，根据旋转的性质得到△ABC是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出OA=OB，即可得出CO⊥AB，证得△BOM∽△OCN，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N， ∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴OA=OB， ∴CO⊥AB，∠BCO=∠ACB=30°， ∴， ∵∠BOC=90°， ∴∠BOM+∠CON=90°， ∵∠BOM+∠MBO=90°， ∴∠CON=∠MBO， ∵∠BMO=∠ONC=90°， ∴△BOM∽△OCN， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，证得是解题的关键． 几何多结论判断题 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在中， P为边BC上一动点，于E，于为中点，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】先分析出四边形为矩形，所以为对角线，因此求最小值可以转化为求最小值． 【详解】解：， ∴四边形是矩形， 互相平分．且， 的交点就是M点， ∵当的值最小时，的值就最小， ∴当时，的值最小，即的值最小． ， 在中，由勾股定理，得， ， ， 故答案为 【点睛】本题考查矩形的判定，点向直线作垂线段，得到的垂线段是所有点线连线中最短的，掌握这些是本题关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CED=；④，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】证明△NCD∽△NBE，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN＝EN，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；FG⊥AE于G，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出tan∠FAG，根据相似三角形的性质判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB＝BE， ∴AB＝CD＝BE，ABCD， ∴△NCD∽△NBE， ∴， ∴DN＝EN，故①结论正确； ∵∠CBE＝90°，BC＝BE，F是CE的中点， ∴∠BCE＝45°，BF=CE=BE，FB＝FE，BF⊥EC， ∴∠DCE＝90°+45°＝135°，∠FBE＝45°， ∴∠ABF＝135°， ∴∠ABF＝∠ECD， ∵ ，， ∴， ∴△ABF∽△ECD，故②结论正确； 作FG⊥AE于G，则FG＝BG＝GE， ∴ ， ∴tan∠FAG=， ∵△ABF∽△ECD， ∴∠CED＝∠FAG， ∴tan∠CED，故③结论正确； ∵tan∠FAG=， ∴， ∴， ∴S△FBM=S△FCM， ∵F是CE的中点， ∴S△FBC＝S△FBE， ∴S四边形BEFM＝2S△CMF，故④结论正确， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，正方形的性质，解直角三角形，三角形的面积计算，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，得到，边交于点，连接，，交于点，那么下列选项正确的有（    ） ①；②若点是的中点，则；③当，且时，则；④当，可得；⑤当时，． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】求角的正弦值、相似三角形的综合问题、四边形其他综合问题 【分析】①利用折叠的性质，得出∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，进而判断出∠GPF＝∠PFB即可得出结论； ②先判断出∠A＝∠D＝90°，AB＝DC再判断出AE＝DE，即可得出结论； ③判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE＝9，DE＝16； ④再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论； ⑤判断出四边形BPGF是菱形，即可得出结论． 【详解】解：①在矩形ABCD，∠ABC＝90°， ∵△BPC沿PC折叠得到△GPC， ∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC， ∵BE⊥CG， ∴BE∥PG， ∴∠GPF＝∠PFB， ∴∠BPF＝∠BFP， ∴BP＝BF； 故①正确； ②在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC， ∵E是AD中点， ∴AE＝DE， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）； 故②正确； ③当AD＝25时， ∵∠BEC＝90°， ∴∠AEB+∠CED＝90°， ∵∠AEB+∠ABE＝90°， ∴∠CED＝∠ABE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEC， ∴， 设AE＝x， ∴DE＝25﹣x， ∴， ∴x＝9或x＝16， ∵AE＜DE， ∴AE＝9，DE＝16； 故③正确； ④由③知：CE20， BE15， 由折叠得，BP＝PG， ∴BP＝BF＝PG， ∵BE∥PG， ∴△ECF∽△GCP， ∴， 设BP＝BF＝PG＝y， ∴， ∴y ∴BP， 在Rt△PBC中，PC， ∴sin∠PCB， 故④不正确； ⑤如图，连接FG， 由①知BF∥PG， ∵BF＝PG＝PB， ∴▱BPGF是菱形， ∴BP∥GF，FG＝PB＝9， ∴∠GFE＝∠ABE， ∴△GEF∽△EAB， ∴， ∴BE•EF＝AB•GF＝12×9＝108； 故⑤正确， 所以本题正确的有①②③⑤，共4个， 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数与折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③四边形的面积是正方形面积的；④；⑤若，则．其中正确的结论有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定综合、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对每个选项的结论进行判断即可得出结论． 【详解】解：在正方形中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 在正方形中，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 则四边形的面积是正方形面积的，故③正确； 过点作，交于点，如下图： ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，故④正确； 由，设，则 ，，， 过点作，如下图： ∵， ∴， ∴， 在中，，故⑤错误； 综上，正确的个数为4， 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 5. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图，正方形中，O为中点，以为边向正方形内作等边，连接并延长交于F，连接分别交、于G、H，下列结论：；；③；；，其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出；设，推出，，由可得，即；由条件就可以得出，，就可以得出，就可以得出，就可以得出，得出，由，就可以得出；由O为中点可以得出，，，得出．由：，由设，就有，，由此即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，故正确； ，， ， ． ，， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， ， ， 故正确； O为中点， ． ， 故错误； 作于M，于N， ， ，． 设， ， ． ，即故错误； ，设， ，． ， ， ． GC， 故正确． 综上所述，正确的有， 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，平行线的判定的运用，解答时灵活运用正方形的性质求解是关键． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在DC边上，且CE＝2DE，连接AE交BD于点G，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，交DC于点P，过点O作OQ⊥OP分别交AE、AD于点N、H，交BA的延长线于点Q，现给出下列结论：①∠AFO＝45°；②OG＝DG；③DP2＝NH•OH；④sin∠AQO＝；其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】①由“ASA”可证△ANO≌△DFO，可得ON＝OF，由等腰三角形的性质可求∠AFO＝45°； ②由“AAS”可证△OKG≌△DFG，可得GO＝DG； ③通过证明△AHN∽△OHA，可得，进而可得结论DP2＝NH•OH； ④由外角的性质可求∠NAO＝∠AQO，由勾股定理可求AG，即可求sin∠AQO＝＝． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝DO＝CO＝BO，AC⊥BD， ∵∠AOD＝∠NOF＝90°， ∴∠AON＝∠DOF， ∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO， ∵DF⊥AE， ∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF， ∴∠OAF＝∠ODF， ∴△ANO≌△DFO（ASA）， ∴ON＝OF， ∴∠AFO＝45°，故①正确； 如图，过点O作OK⊥AE于K， ∵CE＝2DE， ∴AD＝3DE， ∵tan∠DAE＝， ∴AF＝3DF， ∵△ANO≌△DFO， ∴AN＝DF， ∴NF＝2DF， ∵ON＝OF，∠NOF＝90°， ∴OK＝KN＝KF＝FN， ∴DF＝OK， 又∵∠OGK＝∠DGF，∠OKG＝∠DFG＝90°， ∴△OKG≌△DFG（AAS）， ∴GO＝DG，故②正确； ∵∠DAO＝∠ODC＝45°，OA＝OD，∠AOH＝∠DOP， ∴△AOH≌△DOP（ASA）， ∴AH＝DP， ∵∠ANH＝∠FNO＝45°＝∠HAO，∠AHN＝∠AHO， ∴△AHN∽△OHA， ∴， ∴AH2＝HO•HN， ∴DP2＝NH•OH，故③正确； ∵∠NAO+∠AON＝∠ANQ＝45°，∠AQO+∠AON＝∠BAO＝45°， ∴∠NAO＝∠AQO， ∵OG＝GD， ∴AO＝2OG， ∴AG＝＝OG， ∴sin∠NAO＝sin∠AQO＝，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题关键． 几何图形折叠与解三角形 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12． （1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若则HQ＝　 　． （2）如图2，折叠使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形； （3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得和相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在，QP的值为或8或． 【难度】0.4 【知识点】证明四边形是菱形、相似三角形的判定综合、利用相似三角形的性质求解、已知正切值求边长 【分析】（1）利用勾股定理求出AC，设HQ＝x，根据构建方程即可解决问题； （2）利用对折与平行线的性质证明四边相等即可解决问题； （3）设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m，构建方程求出m的值，分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中， 在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12， ∴AC＝＝16，设HQ＝x， ∵HQ∥BC， ∴＝， ∴， ∴AQ＝x， 由对折得： ∵ ∴×16×12＝9××x×x， ∴x＝4或﹣4（舍弃）， ∴HQ＝4， 故答案为4． （2）如图2中， 由翻折不变性可知：AE＝EM，AF＝FM，∠AFE＝∠MFE， ∵FM∥AC， ∴∠AEF＝∠MFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝MF＝ME， ∴四边形AEMF是菱形． （3）如图3中， 设AE＝EM＝FM＝AF＝4m，则BM＝3m，FB＝5m， ∴4m+5m＝20， ∴m＝， ∴AE＝EM＝， ∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝， ∴CM＝ ∵QH＝4， AQ＝， ∴QC＝，设PQ＝x， 当＝时，， ∴ 解得：， 当＝时，， ∴ 解得：x＝8或， 经检验：x＝8或是分式方程的解，且符合题意， 综上所述，满足条件长QP的值为或8或． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点． (1)【问题发现】如图1，点为线段的黄金分割点，且，若，请直接写出的值是__________． (2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕，试说明：是的黄金分割点． 【答案】(1) (2) (3)理由见解析 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、黄金分割、已知正弦值求边长 【分析】（1）根据题中关于黄金分割点的材料，如图所示，由，，设，则，从而，化简得到，解得或（不能比线段长，舍去），即可得到答案； （2）根据题意，利用勾股定理得到，进而确定，数形结合即可得到； （3）设与交于点，过点作，如图所示，由，为的中点，得到，根据平分，由角平分线性质得到，设，则，由勾股定理得到，利用，得到，解得，则，从而，故点C为AB的黄金分割点． 【详解】（1）解：如图所示： ∵点C为线段AB的黄金分割点， ， ，设，则， ∴，即，解得或（不能比线段长，舍去），经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设与交于点，过点作，如图所示： ∵，且为的中点， ， ∴， ∵平分，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即，解得， 经检验是原方程的解， ∴， ∴，故点C为AB的黄金分割点． 【点睛】本题考查几何综合，涉及黄金分割比求线段长、勾股定理求线段长、正方形性质、中点定义、两个三角形相似的判定与性质、角平分线性质、三角函数、解方程等知识，熟练掌握相关几何定义、性质及判定，数形结合是解决问题的关键． 几何图形动点问题与解三角形 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，的对角线平分．点从点出发沿方向以个单位/秒的速度运动，点从点出发沿方向以个单位/秒的速度运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，试求的值为多少时，为直角三角形； （3）如图2，若，点是是中点，作交于．当点在边运动的过程中（不与点重合），则线段的最大值是_______，的最小值是_______． 【答案】（1）证明见解析；（2）的值为或；（3）的最大值是；的最小值是． 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求线段长、特殊三角形的三角函数 【分析】（1）先利用平行线的性质得出，再根据角平分线的性质得出，进而得出，再根据菱形的判定定理得出结果； （2）分两种情况①当时，②当时求解即可； （3）作于点，于点，先证，得出，再找出GH 与DE的关系，最后根据时，GH最小，当时，GH最大得出结果． 【详解】（1）∵平行四边形． , 平分 , ∴四边形是菱形． （2）∵菱形 ，则 ①当时， 则， ∴，即， ②当时 则， ∴ ，即， 综上所述，的值为或 （3）GH的最大值是，的最小值是， 当DE⊥AB时，GH取最小值，连接BD,作HG⊥DE于点G(如图)， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴AB=AD且∠DAB=60°， ∴△DAB是等边三角形， ∵ED⊥AB， ∴点E为AB的中点，即BE=AB， ∵点G为DE的中点，HG⊥DE， ∴HG为△DEB的一条中位线， ∴HG=BE=×AB=AB=； 当点E与点A重合时，GH最大，作DF⊥AD交AC于点F(如图)， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴∠DAC=30°， ∵点G为DE的中点，HG⊥DE， ∴HG为△ADF的一条中位线， ∵AB=6， ∴DF=AD=×6=， ∴GH=DF=； 综上所述GH的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的性质与判定及特殊的三角函数，解题的关键是熟练掌握有关性质和判定． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点，是边上一点，作交于点．学习小队发现，不论点在边上运动过程中，与恒全等，请你证明这个结论； 【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点，，是延长线上一点，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，求的值； 【拓展提升】如图3，等腰中，，，，点是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点，连接，当时，直接写出的长． 【答案】见解析；；2或10 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由题意可得，，又由可知，所以可以得到； （2）连接，根据矩形的性质和已知条件可证得，从而得到，将转化到中，在根据三角函数即可得到答案； （3）分两种情况：当点E在中点的左边时，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则可证明四边形是平行四边形，则可得，作于，则可得G为中点，且可求得的长，再在中可求得，从而可求得的长，最后求得的长；当点E在中点的右边时,类似地可求得的长，最后求得的长． 【详解】（1）证明：正方形的对角线交于点， ， ， ， ， ， 即不论点在边上运动过程中，与恒全等； （2）解：如图所示，连接， 四边形对角线相交于点， ， ， ， 由旋转性质可知，， ， ， ， ， ， ， （3）解：①当点E在中点的左边时； 如图3，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，， 为等腰三角形， ， ， 为等边三角形， ，， ， 四边形为平行四边形， 为对角线的中点， 为平行四边形对角线的交点， ， ，， ， ， 作于， ， ， ， ． ②当点E在中点的右边时，如图4； 同理求得， ． 综上，的长为2或10． 【点睛】本题考查了矩形、正方形、三角形的综合几何题的求解与证明，熟悉矩形、正方形、三角形的相关性质与定理是解题的关键．注意分类讨论． 几何变换与解直角三角形 1. （21-22九年级上·广东深圳·期末）（1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，若，，则是________； （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点逆时针方向旋转一定角度，连接和，的值变化么？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值． （3）如图，在四边形中，于点，，且，当，时，请求出线段的长度． 【答案】（1）；（2）不变化，；（3） 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理即可求解； （2）证明，得出 （3）作于，于，于，则，，由三角函数定义得出，，得出，求出，，得出，由勾股定理得出，得出，由面积法求出，得出，由勾股定理得出，得出，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：； （2）的值不变化，值为；理由如下： ， ， ， ， ， ； （3）作于，于，于，如图3所示： 则四边形是矩形， ，， ，且， ，， 设， 在中，， ， ，， ， ，   的面积， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数定义、三角形面积等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图①，在中，，，，D为的中点，为的中位线，四边形为的内接矩形（矩形的四个顶点均在的边上）． (1)计算矩形的面积； (2)将矩形沿向右平移、点F落在上时停止移动，在平移过程中，当矩形与重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离； (3)如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形，将矩形绕点按顺时针方向旋转，当H1落在上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形，设旋转角为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知，从而求    得，，利用中位线的性质可得，，利用三角函数可得，由矩形的面积公式可得结果； （2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与重叠部分为三角形时（），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与重叠部分为直角梯形时()，列出方程解得x，即可得到答案； （3）作于Q，设，则， ，利用勾股定理可得m，在中，利用三角函数解得； 【详解】（1）解：如图①，在中， ∵，，， ∴， 又∵D为的中点，， ∴，， 又∵为的中位线， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴矩形的面积； （2）解：如图②，设矩形移动的距离为x，则， 当矩形与重叠部分为三角形时， 则，， ∴（舍去）， 当矩形与重叠部分为直角梯形时，则， 重叠部分的面积， ∴， 即矩形移动的距离为时，矩形与重叠部分的面积是； （3）解：如图③，于Q， 设，则， ∵ ，， 在中，， 解之得：，（负的舍去）． ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，中位线的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键． 3. （21-22九年级上·广东深圳·期末）【探究发现】 (1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E． ①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长BE交DF于点G． ②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝　 　°． 【类比迁移】 (2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长； 【拓展应用】 (3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长． 【答案】(1)①见解析；②22.5° (2) (3)或 【难度】0.15 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、四边形其他综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD=∠EGD'=90°，结合∠DEG=∠BEC得到∠EBC=∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE=∠DCF、BC=DC，从而证明△BCE≌△DCF； ②当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBG=∠D'BG=22.5°，然后由①得到∠EDF=∠EBC=22.5°； （2）延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD'的中点、∠EGD=∠EGD'=90°，结合CD'⊥DF得到CD'∥BG，从而有EG是△DCD'的中位线，得到点E是CD的中点，从而求得CE=DE=1，再由勾股定理求得BE的长；由（1）①得∠EBC=∠FDC，∠ECB=∠EGD=90°得到△ECB∽△EGD，进而借助相似三角形的性质求得EG的长，然后由中位线的性质求得CD'的长； （3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E在CD上和点E在BC上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助（1）（2）的思路求解． 【详解】（1）解：①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD=∠EGD'=90°， ∵∠DEG=∠BEC， ∴∠EBC=∠EDF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（ASA）． ②解：如图1，当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBE=∠D'BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC=45°， ∴∠DBE=∠D'BE=22.5°， 由①得到∠CDF=∠EBD'， ∴∠CDF=22.5°， 故答案为：22.5°． （2）解：如图2，延长BE交DF于点G， 由对称可知，点G是DD'的中点，∠EGD=∠EGD'=90°， ∵CD'⊥DF， ∴CD'∥BG， ∴EG是△DCD'的中位线， ∴点E是CD的中点， ∴CE=DE=CD=×2=1， ∴BE=， 由（1）①得，∠EBC=∠FDC，∠ECB=∠EGD=90°， ∴△ECB∽△EGD， ∴， ∴， ∴EG=， ∴BG=BE+EG=， ∵EG是△DCD'的中位线， ∴CD'=2EG=2×=； （3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E， ①如图3，当点E在CD上时，延长AF交DE于点G， 由（1）①可得，∠GDF=∠OAF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，∠ODC=∠ODA， ∴∠OAF=∠ODA， ∵AC=2， ∴OA=1， ∵AD=， ∴OD=， ∴tan∠OAF=tan∠ODA=， ∴, ∴OF=； ②如图4，当点E在BC上时，延长AF交DE于点G，则∠AGD=90°，∠DAG=∠EAG=∠DAE， ∵AD=AB=AE， ∴∠AEB=∠ABE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABO=∠ABE，AD∥∠BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠ABO=∠DAG， 在△AGD和△BOA中， ， ∴△AGD≌△BOA（AAS）， ∴DG=AO=1，AG=BO=， ∴DG=AO， ∵∠FAO=∠FDG，∠FOA=∠FGD， ∴△FOA≌△FGD（ASA）， ∴OF=FG， 设OF=FG=x，则DF=， 在Rt△DFG中，DF2=GF2+DG2， ∴（）2=x2+12， 解得：x=， ∴OF=， 综上所述，OF的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到∠EBC=∠EDF，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型． 三角函数综合应用 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知点是正方形内部一点，且． 【初步探究】 （1）如图1，延长交于点．求证：； 【深入探究】 （2）如图2，连接并延长交于点，当点是的中点时，求的值； 【延伸探究】 （3）连接并延长交于点，把分成两个角，当这两个角的度数之比为时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、判断确定圆的条件、四边形其他综合问题 【分析】（1）可得出，，从而得出结论； （2）作于，可证得，从而，不妨设，则，，进而得出，，可证得， 从而得出； （3）设，分别延长，，分别交于，交于分两种情况当时与当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：如图1， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，点是的中点， ， 不妨设，则，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， 当时，即， 设， 分别延长，，分别交于，交于， ， 、、、共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，即， 同理可得：， ， ， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知，在中，，．    (1)【模型识别】： 如图1，已知点在边上，，，连接．求证：； (2)【类比迁移】： 如图2，已知点在下方，，，连接．若，，，交于点，求的长； (3)【方法应用】： 如图3，已知点在上方，连接和，与相交于点，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）证明四边形为正方形，则，，在中，，在中，，进而求解； （3）延长，交于，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，得出，求出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， ； （2）解：延长和交于点，    同（1）可知， ，， ， ， ， 又，， 故四边形为矩形， 而， 故四边形为正方形， 在中， ， 则，， 在中，， 在中，， 故； （3）解：延长，交于，    ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1，点P是菱形ABCD的对角线BD上的一动点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）如图2，当菱形ABCD变为正方形，且PC=2，tan∠PFA=时，求正方形ABCD的边长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【难度】0.65 【知识点】三角函数综合 【分析】（1）根据菱形的性质得：AD=CD，∠ADP=∠CDP，根据SAS即可证明△APD≌△CPD； （2）先根据tan∠PFA，设BC=a，则BF=2a，证明△DPC∽△BPF，得，求FC=6，根据勾股定理列方程得：62=a2+（2a）2，可得正方形ABCD的边长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP． 在△APD和△CPD中，∵，∴△APD≌△CPD（SAS）； （2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，CD=BC． ∵tan∠PFA，设BC=a，则BF=2a． ∵DC=BC=a，DC∥BF，∴∠DCP=∠PFB，∠CDP=∠PBF，∴△DPC∽△BPF，∴． ∵PC=2，∴PF=4，∴FC=PC+PF=6． 在Rt△FCB中，FC2=BC2+FB2，∴62=a2+（2a）2，解得：a或（舍），∴正方形ABCD的边长为． 【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定理和三角函数，在几何证明中，常运用三角函数的比设未知数，根据勾股定理作为等量关系列方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$