专题08 二次函数（11基础题型+7提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（深圳专用）

专题08 二次函数 二次函数的定义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】将（0，0）代入y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 即可得出a的值． 【详解】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点， ∴a2﹣1＝0， ∴a＝±1， ∵a﹣1≠0， ∴a≠1， ∴a的值为﹣1． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知函数是二次函数，则m＝ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：函数是二次函数， 且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为． 二次函数的图象及性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，关于抛物线，下列说法错误的是 （ ） A．顶点坐标为(1，) B．对称轴是直线x=l C．开口方向向上 D．当x>1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，-2），对称轴是直线x=1，根据a=1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项． 【详解】解：∵抛物线y=（x-1）2-2， A、因为顶点坐标是（1，-2），故说法正确； B、因为对称轴是直线x=1，故说法正确； C、因为a=1＞0，开口向上，故说法正确； D、当x＞1时，y随x的增大而增大，故说法错误． 故选D． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是(     ) A．抛物线开口方向向下 B．当x=3时，函数有最大值−2 C．当x>3时，y随x的增大而减小 D．抛物线可由经过平移得到 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据二次函数，可得：对其进行配方得：，根据其顶点式进而判断即可. 【详解】解：根据题意可得： 二次函数， 可得： 抛物线开口方向向下，A对； 对其进行配方得： 当时，函数有最大值，B对; 因为开口向下， 当x>3时，y随x的增大而减小，C对； 因为D中与题意中的二次函数的a不相同， 不能通过平移得到，D错. 故答案为：D. 【点睛】本题考查二次函数的图像以及性质，解题关键在于对其进行配方得出顶点式进而判断即可. 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据，可排除A、C两项，再分别讨论和时，对称轴的位置即可判断出答案． 【详解】解：， 所以可排除A、C两个选项， 当时，对称轴，故B选项不符合题意， 当时，对称轴，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】(2, 1) 【难度】0.85 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用配方法得出二次函数顶点式形式，即可得出二次函数顶点坐标． 【详解】 = ， 抛物线开口向上，当x= 2时，y最小= 1， 顶点坐标是：(2, 1)， 故答案为：(2, 1)． 【点睛】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标，根据题意正确的将二次函数进行配方是解决问题的关键． 根据二次函数图象判断结论是否成立 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图所示的抛物线的对称轴为直线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知， A、抛物线开口向下，，选项正确，不符合题意； B、抛物线与轴有两个交点，∴，选项正确，不符合题意； C、对称轴，即，∴，即，选项错误，符合题意； D、抛物线与y轴交于正半轴，∴，选项正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数的系数和式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：， ，故①正确； ②由抛物线与轴的图象可知：， ，故②正确； ③由图象可知：，， ，故③正确； ④， ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想，本题属于中等题型． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点；即可得出b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；再由图象可知当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；当x＝﹣时，y＞0，即a﹣b+c＞0，即可求解． 【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0， ∴a＜0，＜0，c＞0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵函数与x轴有两个不同的交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0，故②错误； ∵＞﹣1， ∴2a＜b，故③错误； 当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0； 当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0； ∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；故④正确； ∵x＝﹣时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】 此题考查二次函数的图象，根据图象确定式子的正负，正确理解函数图象，由图象得到相关信息，掌握二次函数的性质，根的判别式与图象的关系是解题的关键． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，，下列结论：①；②9a+3b+c=0；③若点，点是此函数图象上的两点，则；④.其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】根据对称轴及图像开口向下可判断a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴以及图象与x轴交点，可判断②③；根据一元二次方程的根以及根与系数的关系可判断④ 【详解】二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴交于点（-1,0）（3,0）； 根据二次函数图象可知，开口向下，，对称轴为，∴，∵ ∴，故①错误； ②当时，，，故②正确； ③点与点关于对称轴直线对称，∴，故③正确； ④ ∵一元二次方程的两个根为﹣1和3 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故④正确； 所以正确的结论为②③④，共3个 故选C 【点睛】本题考查一次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的相关知识点是解题的关键. 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m是任意实数）．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③⑤ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据开口方向和与y轴的交点位置即可得到，再由对称轴公式得到即可判断①②；根据当时，得到，即可判断③④；根据当时，函数有最小值，即，则，即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； ∵当时，， ∴，故③错误； ∴，即，故④正确； ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值，即， ∴， ∴，故⑤错误； ∴故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与二次函数解析式的系数之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 6. （21-22九年级上·广东深圳·期末）二次函数的部分图象如图．对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b=-a；根据二次函数的对称性可得出4a-2b+c＜0；当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是x=，可知当x=时，y有最大值． 【详解】∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴，即b=-a， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①正确； 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0）， ∴4a+2b+c=0， 又可知b=-a， ∴0=-4b+2b+c，即-2b+c=0， 故②正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），且对称轴为直线x= ∴点（2，0）关于对称轴的对称点为（-1，0）， ∴当x=-2时，y＜0， ∴4a-2b+c＜0， 故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=，且， ∴y1＞y2， 故选④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是x=，a=-b， ∴当x=时，抛物线y取得最大值， 当x=m时，ym=am2+bm+c=m（am+b）+c，且m≠， ∴ymax＞ym， 故⑤正确， 综上，结论①②④⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系． 7. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，点P从点A出发，沿线段AB向点B匀速运动，到达点B停止，PQ⊥x轴，交抛物线于点Q（m，n），设点P的运动时间为t秒，当t＝3和t＝9时，n的值相等．下列结论： ①t＝6时，n的值最大； ②t＝10时，n＝0； ③当t＝5和t＝7时，n的值不一定相等； ④t＝4时，m＝0． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据题意首先求得抛物线的对称轴，然后由抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答． 【详解】解：根据题意知，该抛物线的对称轴是直线x==1． 设点P的运动速度是每秒v个单位长度，则 ∵当t=3和t=9时，n的值相等， ∴x==1． ∴v=． ①当t=6时，AP=6×=3，此时点Q是抛物线顶点坐标，即n的值最大，故结论正确； ②当t=10时，AP=10×=5，此时点Q与点B不重合，即n≠0，故结论错误； ③当t=5时，AP=，此时点P的坐标是（，0）；当t=7时，AP=，此时点P的坐标是（，0）．因为点（，0）与点（，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n的值一定相等，故结论错误； ④t=4时，AP=4×=2，此时点P与原点重合，则m=0，故结论正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得对称轴和点P的运动速度是解题的关键． 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1.分析下列5个结论：①2c<3b；②若0<x<3，则ax2+bx+c>0；③；④（k为实数）；⑤(m为实数).其中正确的结论个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据题中条件可得：，进而得出a、b之间的关系，根据其对称轴以及增减性分别代入验证即可. 【详解】解：根据题中条件可得：， 即：， 把其代入二次函数得：， 对于①：因为当时，y值小于0，即可得：， ，故①正确， 对于②：通过图像可得：当位于2和3之间的时候y值有一段小于0的， ②错误， 对于③：当时，y值小于0， 把其代入中可得： ，即：， 两边同时平方得：，故③正确， 对于④：观察图像可以知道，函数在的时候是递减的， 而， 把其代入得：， 即：，故④错误， 对于⑤：对于任意的，其代入二次函数表达式中所得y值永远小于时的y值， 即： ， 两边乘以a，不等号变号得： ，故⑤错， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是二次函数图像和性质的结合，解题关键在于搞懂题中的条件以及二次函数的增减性. 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，下列结论：①  ②  ③  ④，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据开口方向和与y轴交于y轴负半轴得到，再根据对称轴的位置得到，，即可判断①③；根据当时，即可判断②；根据抛物线与轴交于点，得到，则，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴右侧，且在直线的左侧 ∴， ∴，， ∴，故③错误， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴，而， ∴，故④正确， ∴正确的有2个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数判断式子符号等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 10. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：① x＞3时，y＜0；② 4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④ 4ac+b2＜4a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由已知可得a＜0，对称轴为x＝，抛物线与x轴的两个交点为（，0），（，0），可得b＝﹣3a，所以① 当x＞3时，y＜0；② 4a+b＝4a-3a＝a＜0；③ 又由c＝a，﹣1＜c＜0，可得﹣＜a＜0；④ 因为将b＝﹣3a，c＝a代入4ac+b2﹣4a即可判断正误． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0， ∵对称轴为直线x＝， ∴x＝0与x＝3所对应的函数值相同， ∵当x＝0时,y＜0， ∴x＝3时,y＜0， ∴x＞3时，y＜0， ∴①正确； ∵x＝＝﹣， ∴b＝﹣3a， ∴4a+b＝4a﹣3a＝a＜0， ∴②正确； ∵抛物线经过点A（，0）， ∴a+b+c＝0， ∴c＝a， ∵B在（0，0）和（0，﹣1）之间， ∴﹣1＜c＜0， ∴﹣1＜a＜0， ∴﹣＜a＜0， ∴③正确； 4ac+b2﹣4a＝4a×a+(﹣3a)2﹣4a＝5a2+9a2-4a＝14a2﹣4a＝2a(7a﹣2)， ∵a＜0， ∴2a（7a﹣2）＞0， ∴4ac+b2﹣4a＞0， ∴④不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从图像中获取信息，并与二次函数的解析式结合是解题关键． 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据图象先判断a、b、c的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可． 【详解】由图象可知，图象开口向下， ∴， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又对称轴为， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 抛物线与x轴交于， ∴， ∴，故②错误； 由二次函数的对称性可知，当时，， 则有，故③正确； ∵，， ∴， 又， ∴，故④错误； 当时，函数值最大，， 而当时，， ∴ ，故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 12. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③3a+c＞0；④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】由题意根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与一元二次方程的关系进行综合判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x＝﹣＝﹣，即a＝b， 因此b＜0，与y的交点在正半轴，c＞0， 所以abc＞0，因此①正确； ∵a＜0，对称轴为x＝﹣， ∴当x＜﹣时，y随x的增大而增大， 因此②不正确； 由对称性可知，抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0）（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， 又∵a＝b， ∴6a+c＝0， ∵a＜0， ∴3a+c＞0，因此③正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为（﹣3，0）（2，0）， ∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，实际上就是当y＝﹣3时，函数y＝a（x+3）（x﹣2）相应的自变量x的值为m、n；， 根据图象可知，m＜﹣3且n＞2，因此④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与系数a、b、c的关系是正确判断的前提． 13. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．①根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，可判断，，与的大小关系；②将代入二次函数，可得；③根据题意可得，结合点的坐标为，点位于轴负半轴，即可判断该结论是否正确；④求得点的坐标为，可得，结合，可求得点的坐标，进而求得点的坐标． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． 将代入二次函数解析式，得． ∴点的坐标为． ∵点位于轴负半轴， ∴． ∵对称轴， ∴． ∴．结论①正确． ②将代入二次函数，得 ． 根据二次函数图象可知．结论②错误． ③∵，， ∴． 又点的坐标为，点位于轴负半轴， ∴． ∴．结论③正确． ④∵，点的坐标为，点位于轴负半轴，点位于轴正半轴， ∴点的坐标为． 因为二次函数的图象过点，可得 ． 化简，得 ． 因为对称轴， 所以，． 将代入，得 ． 可得 ． 所以，点的坐标为． 设点的坐标为． 根据题意可得 ． 则． 所以，点的坐标为． 所以，关于的方程的两个解为，． 结论④正确． 综上所述，结论正确的为①③④． 故选：C． 14. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①：②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①∵图象与x轴交于点A（−1，0），对称轴为直线x＝1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x＝4时，y＞0， ∴16a＋4b＋c＞0， 故①错误； ②∵对称轴为直线x＝−＝1， ∴b＝−2a， ∵图象与y轴的交点B在（0，−2）和（0，−1）之间， ∴−2＜c＜−1， ∴1＜−c＜2， ∴−c-1＞0， 又∵a＞0， ∴b2-4ac-4a=4a2-4ac-4a=4a（a-c-1）＞0， ∴即②正确． ③∵图象与y轴的交点B在（0，−2）和（0，−1）之间， ∴−2＜c＜−1， ∵图象与x轴交于点A（−1，0）和（3，0）， ∴ax2＋bx＋c＝0的两根为−1和3， ∴−3＝， ∴c＝−3a， ∴−2＜−3a＜−1， ∴； 故③正确； ④∵对称轴为直线x＝−＝1， ∴b＝−2a， ∵a＞0，c＝−3a， ∴b＞c； 故④错误． 综上所述，正确的有②③， 故选B． 【点睛】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 15. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，与轴的交点是（0，3），则下列结论中不正确的是（     ）    A．； B．>0； C．当0<<2时，>3； D．关于的方程有两个相等的实数根 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与2a的关系以及2a+b=0；根据对称性求出（0，3）关于直线的对称点，然后由图象确定当x取何值时，y＞0．由图像确定y=3与函数图形的交点个数即可判断于的方程的根的情况. 【详解】解：由图像可知抛物线开口向下，故a<0,故A选项正确，不符合题意； ∵对称轴x=1， ∴- ∴2a+b=0；故B选项错误，符合题意； ∵（0，3）关于直线的对称点是（2，3） ∴当0<<2时，>3，故C选项正确，不符合题意； 由图像可知直线y=3与函数图形的交点个数为：两个 故关于的方程有两个相等的实数根，故D选项正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 16. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于，两点，与直线交于，两点，已知点在轴上，点D在x轴下方且横坐标小于3．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【难度】0.65 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据时，一次函数值比二次函数值大可判断①；根据当时，二次函数值小于0可判断②；根据，可判断③；根据当时，二次函数有最大值可判断④． 【详解】∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3， ∴时，一次函数值比二次函数值大， 即， ， ∴， ∴， 解得，所以①正确． ∵当时，二次函数值小于0，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，二次函数值小于0， ∴，故②不正确； ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴，故③正确； ∵当时，二次函数有最大值， ∴， ∴， 即，故④正确； ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键． 二次函数与其他函数图象综合判断 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】正比例函数的图象、二次函数图象与各项系数符号、判断（画）反比例函数图象 【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2a+c＜0，再根据反比例函数图象的性质和正比例函数图象的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵， ∴b＝﹣a＞0， ∴ab＜0，反比例函数y＝在第二、四象限， ∵当x＝﹣1时，y＜0，即a-b+c＜0， 把b＝﹣a代入得，2a+c＜0， ∴正比例函数y＝（2a+c）x的图象经过原点，且在第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正比例函数和反比例函数图象与比例系数的关系，解题关键是通过二次函数图象得出关于正比例函数和反比例函数比例系数的符号解决问题． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断（画）反比例函数图象、二次函数图象与各项系数符号、判断一次函数的图象 【分析】根据二次函数图像开口方向，与y轴的交点位置，判断出，，再根据二次函数对称轴的位置可得，结合，可判断出，然后利用排除法即可得到答案． 【详解】二次函数图像的开口向上， ， 二次函数的对称轴位于y轴的左侧， ， ， 二次函数图像与y轴交于负半轴， ， 反比例函数的图像必在一、三象限，一次函数的图像必经过一、三、四象限，故D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，熟知以上知识是解题关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴， ∴，， ∴反比例函数的图象必在一、三象限， 一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象的综合；根据两个函数的图象确定出a、c的符号，矛盾的则不符合题意，相同的则符合题意，则可判断． 【详解】解：A、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； B、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； C、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，矛盾，不符合题意； D、由二次函数图象知，；由一次函数图象知，，符合题意； 故选：D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴b＜0， A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，B错误； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴与b＜0矛盾，C错误； D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴a＜0，b＜0，c＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（      ） A．  B．  C．  D．   【答案】C 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与一次函数的综合、一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解． 【详解】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误； ∵反比例函数y=的图象在第一、三象限， ∴ab＞0，即a、b同号， 当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误； 当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误； C正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数0＞k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【详解】∵函数的图象经过二、四象限， ∴k＜0， 由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1， ∴0＞k＞﹣1， ∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下， 对称轴为x＝﹣＝， ＜-1， ∴对称轴在﹣1左侧， ∵当x＝0时，y＝k2＜1． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题． 二次函数图象的平移规律 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据左加右减自变量，上加下减常数项，进行抛物线的平移即可． 【详解】解：根据左加右减自变量，上加下减常数项可知： 将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为：， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x＋3）2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x＋3）2＋2． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】直接关键二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可. 【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为： 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数的平移，掌握其平移规律是关键，需注意：二次函数平移时必须化成顶点式. 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、 求矩形在坐标系中的坐标 【详解】∵矩形的两条对称轴相交于对角线的交点处，即坐标原点是对角线的交点， ∴点C和点A关于原点对称， ∴点C的坐标为（-2，-1）， 要把抛物线上的一点由点A移到点C，就需要将抛物线向左移动4个单位，再向下移动2个单位， ∴移动后，抛物线的解析式为：， 即. 故选：A. 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 ． 【答案】y＝﹣2（x+1）2+3 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5， 再向下平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+5﹣2， 即y＝﹣2（x+1）2+3． 故答案为：y＝﹣2（x+1）2+3． 【点睛】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 二次函数图象与坐标轴交点问题 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）若抛物线与坐标轴有一个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】根据抛物线y=x2+（2m-1）x+m2与坐标轴有一个交点，可知抛物线只与y轴有一个交点，抛物线与x轴没有交点，据此可解． 【详解】解：∵抛物线y=x2+（2m-1）x+m2与坐标轴有一个交点， 抛物线开口向上，m2≥0， ∴抛物线与x轴没有交点，与y轴有1个交点， ∴（2m-1）2-4m2＜0 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是掌握判别式和抛物线与x轴交点的关系． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则线段AB的最小值为（　　） A． B．2 C． D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【详解】解：设． 依题意得 ，． 则． 故线段AB的最小值为 ． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，转化为利用一元二次方程根与系数关系解答是解题的关键． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若抛物线y＝x2+x+c与x轴有两个交点，则c的取值范围是 ． 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴△=12﹣4×1×c=1﹣4c＞0， ∴c． 故答案为：c． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程有实根，牢记“当△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解答本题的关键． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据题意可知一元二次方程只有一个解．再利用根的判别式即可得出b的值． 【详解】根据二次函数的顶点在x轴上，说明该二次函数与x轴只有一个交点， 即一元二次方程只有一个解． 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，理解二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若抛物线的顶点在y轴上，则m= . 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】根据题意，顶点在y轴上，说明对称轴为y轴，即：，分别代入解出m值即可. 【详解】解：顶点在y轴上，说明对称轴为y轴， 即：， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是二次函数对称轴的知识点，解题关键在于顶点在y轴说明对称轴为y轴，进而解出m的值即可. 二次函数与方程、不等式 1. （17-18九年级·广东深圳·期末）根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可． 【详解】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25， 判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5， 故选B． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函数的增减性是解题关键． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）直线与抛物线只有一个交点，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】联立两函数解析式联立，得到关于的一元二次方程，然后根据列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：， 整理得，， ∵只有一个交点， ∴， 解得，． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点个数问题，解题关键是将两个函数解析式联立，得到关于的一元二次方程，利用根的判别式求解，则两个函数有两个交点，则两个函数有一个交点，则两个函数无交点． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线的图象经过点，与轴交点的横坐标分别为，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．k为任意实数，关于x的方程没有实数根 【答案】A 【难度】0.65 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：A.∵图象经过点， ∴当x=1时，a+b+c=2①． ∵当x=-1时，y<0， ∴a-b+c＜0②， ∵当x=2时，y<0， 4a+2b+c＜0③， 由①+②得到2a+2c＜2， 由③-①×2得到2a-c＜-4，即4a-2c＜-8， 上面两个相加得到6a＜-6， ∴a＜-1．即选项是正确的； B.抛物线经过点，代入则有， ∴， 当时，则a-b+c＜0，∴， 解得．即选项错误； C.对称轴（不管抛物线与轴的交点横坐标处于哪个极端值，对称轴满足），且， ，即，所以选项错误； D.由方程， 得， 令，， 即方程根的情况可转化为抛物线与直线的交点情况． ， 抛物线与直线一定有两个交点， 即方程有两个不相等的实数根． 所以选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定以及抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，熟练掌握上述知识是解题关键． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】图象法解一元二次不等式 【分析】抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方， 因此不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据二次函数与一次函数图象的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）二次函数（,,为常数，且≠0）和一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，交于点M（，2）、N（2，），则关于的不等式＜0的解集是 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】把不等式整理成ax2+bx+c＜kx+m，再根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：＜0可化为＜， ∵交点M（，2）、N（2，）， ∴不等式的解集是． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把不等式整理成两个函数解析式的形式是解题的关键． 二次函数的解析式及图象 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程： （2）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，请求出该二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可得答案； （2）根据顶点坐标设二次函数解析式为，把点代入求出a值即可得答案． 【详解】（1） 或 （2）∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线为， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴所求的二次函数表达式为：，即． 【点睛】本题考查解一元二次方程、二次函数图象上的点的坐标特征及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程点解法及二次函数的性质是解题关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数．    （1）将二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） ；（2）画图见解析；（3）－3＜x ＜1 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】（1）运用配方法进行变形即可； （2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x轴的两个交点，及其与y轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，； （3）根据所画出的图像得出结论即可. 【详解】（1） ； （2）由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：，开口向下， 当x=0时，y=3，∴交y轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x轴有两个交点， 综上所述，图像如图所示：    （3）根据（2）所画图像可得，，－3＜x ＜1. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象． 【答案】，（4，5），（5，0） 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【详解】分析：利用待定系数法、描点法即可解决问题； 本题解析：设二次函数的解析式y=ax²+bx+c． 把（-1，0）（0，5），（2，9）代得到 解得， ∴二次数解析式y=-x +4x+5． 当x=4时，y=5, 当y=0时，x=-1或5. 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数经过（1，6）、（，2）两点，请求出该二次函数的表达式，并直接写出它与轴、与轴的交点的坐标. 【答案】，与x轴交点：（，0）或（，0），与y轴交点：（0，2） 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式后将y=0及x=0代入求解，即可得出答案 【详解】解：把(1,6)，(-3,2)代入 得 解得 ∴该二次函数的表达式为 当y=0时， 解得 ∴该抛物线与x轴的交点为（-2，0）跟（-1，0） 当x=0时，y=2 ∴该抛物线与y轴交点为（0，2） 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式及二次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数解析式. 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：　 　； ②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　 　； ③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是 　 　． (2)延伸思考： 将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围． 【答案】(1)①函数图象关于y轴对称；②x＝﹣2或x＝0或x＝2；③﹣1＜m＜0 (2)将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，﹣1＜x＜3且x≠1， 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²的图象和性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解； （2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，根据图象即可得到结果． 【详解】（1）解：①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称， 故答案为：关于y轴对称（答案不唯一）． ②由题意及图象可将方程的解看作直线与函数的图象交点问题，如图1所示： ∴方程的解为或 或 ； 故答案为：或 或 ． ③由题意方程的根可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，如图所示2： ∴由图象可得若方程有四个实数根，则的取值范围是； 故答案为：． （2）解：由题意得：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象，则平移后的函数图象如图3所示： ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为且． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 二次函数实际应用（销售问题） 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件． (1)若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天䇔利最多？ 【答案】(1)每件衬衫应降价元 (2)每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解． （2）设商场平均每天赢利元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每件衬衫应降价元， 根据题意得， 整理得 解得，． 因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降元． 答：每件衬衫应降价元． （2）设商场平均每天赢利元，则 ． 当时，取最大值，最大值为． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 【答案】(1) (2)这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个 (3)台灯售价定为60元时，每月销售利润最大 【难度】0.65 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少10个”，即可解答； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯， 故答案为：； （2）解：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴这种台灯的售价为（元）， 销售数量为（个）， 答：这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个． （3）解：设每月销售利润为W， ， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，售价为（元），W取最大值，此时， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质． 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)直接写出工厂每天的利润元与每千克降价元之间的函数关系式（要求化为一般式）； (2)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？ (3)当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)4，9800 【难度】0.65 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据利润=销售量×（单价－成本），列出函数关系式即可； （2）根据（1）求得的函数关系式，当时，可求出的值，再根据题意选取的值即可； （3）根据（1）求得的函数关系式进一步利用分配方法求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 与之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：，即， 解得：， 让利于民， 不合题意，舍去， ， 故工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为5元； （3）解：由（1）得，， ， 时，最大，为9800， 所以当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元． 【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求得函数解析式，进一步利用函数的性质解决问题． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕.活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会.某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 6 6.5 7 7.5 销售量y（千克） 1000 900 800 700 (1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）. (2)为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？ (3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该天的销售单价应定为7元 (3)当定价为8元时，有最大利润1800元 【难度】0.85 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，利用待定系数法即可求一次函数的解析式； （2）利用利润=每千克大米的利润×销售量，列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案； （3） 设利润为w， 根据利润=每千克大米的利润×销售量，列出函数关系式，再化成顶点式，利用二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：设一次函数为：，依题意得： 解得： 函数表达式为：； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答该天的销售单价应定为7元； （3）解：设利润为w，依题意得：； 故，当定价为8元时，有最大利润1800元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是找准数量关系． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元千克）的变化而变化，具体关系式为：设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题： (1)求与的关系式； (2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？ (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1)； (2)当销售单价定为85元时，可获得最大利润； (3)将销售单价定为元时，可获得元的销售利润． 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据利润＝（售价－成本）×销售量列关系式即可； （2）用配方法将函数解析式化成顶点式即可得出答案； （3）令，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 与的关系式为：； （2）解：∵， 当时，的值最大， 即当销售单价定为85元时，可获得最大利润； （3）解：当时，可得方程， 解得：，（不合题意，舍去）， 将销售单价定为元时，可获得元的销售利润． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，求二次函数的最大小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法． 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，； (2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元． 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系，设，将，代入解析式求解即可； （2）设利润为w元，求得w与x的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间是一次函数的关系， 设，将，代入解析式，可得 ，解得 即， 由题意可得，，，解得 即，， （2）解：设利润为w元， 则， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，w有最大值，为1000元， 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式． 二次函数实际应用（图形问题） 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，则（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设隔离区靠近墙的长度为x m（0＜x≤5），隔离区的面积为S m2，根据矩形的面积公式列出S关于x的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质可得S的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法． 【详解】解：设隔离区靠近墙的长度为x m（0＜x≤5），隔离区的面积为S m2，由题意得： ＝， ∴对称轴为x＝， ∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大， ∴当x＝5时，S有最大值： Smax＝ ∵9＜＜12， ∴小明错误； 令S＝9得：9＝， 解得：x1＝9（舍），x2＝3， ∴x＝3时，S＝9． ∴隔离区的面积可能为9m2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米． （1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？ 【答案】（1）当AB长为22米时，花圃面积最大，最大面积为792平方米；（2）花圃面积为350平方米时，AB长为35米． 【难度】0.65 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设长BC为米，则宽AB为米，花圃的面积是平方米，列出二次函数，利用配方法求出最大值，需要注意； （2）令，求出x的值，再算出AB的长即可． 【详解】解：（1）设长BC为米，则宽AB为米，花圃的面积是平方米， ， 当时，有最大值， ∵墙长36米， ∴，则取，， 此时， 答：当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米； （2）令，则， 解得，（舍去）， ∴， 答：花圃面积为350平方米时，AB长为35米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出二次函数解析式，掌握二次函数最值的求解方法，需要注意自变量的取值范围． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠找为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为40m的红布粘贴在展示台边上.设垂直于宣传版的一边长为 （1）当展示台的面积为128m2时，求的值； （2）设展示台的面积为，求的最大值. 【答案】（1）x的值为16；（2）y的最大值为139.5 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】(1)根据面积=长乘以宽，列出方程，解答即可； （2）根据面积=长乘以宽，列出函数解析式，求出顶点坐标后,即可得出答案. 【详解】解：（1）依题意得： 解得： 当x=4时，40-2x=40-8=32>9(舍去) 故x=16 （2）依题意得： ∵展示台的一边靠找为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版） ∴ 解得： ∵a=-2<0 ∴当x>10时，y随着x的增大而减小 ∴当x=15.5时，y取得最大值，此时， ∴y的最大值为139.5 答：（1）x的值为16；（2）y的最大值为139.5 【点睛】]本题考查的是一元二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识,解题的关键是理解题意,学会构建一元二次函数解决最值问题, 会用方程的思想思考问题,属于中考常考题型. 二次函数实际应用（其他问题） 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（　　　）    A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答. 【详解】解：h=3.5t-4.9t2 =-4.9（t-）2+， ∵-4.9＜0 ∴当t=≈0.36s时，h最大． 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键. 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为 m． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，； 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为m 故答案为2． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润． （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值． 【答案】（1）填表见解析；（2）每件乙产品可获得的利润是110元；（3）安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元. 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值． 【详解】解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）＝（130﹣2x）件．在乙每件120元获利的基础上，增加1人，利润减少2元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）＝（130﹣2x）元． 故答案为：65﹣x；130﹣2x；130﹣2x； 填表如图： 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 65-x 2（65-x） 15 乙 x x 130-2x （2）解：由题意得15×2（65-x）=x（130-2x）+550 ∴x2-80x+700=0 解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去） ∴130-2x=110（元） 答：每件乙产品可获得的利润是110元． （3）解：设生产甲产品m人 W=x（130-2x）+15×2m+30（65-x-m）=-2x2+100x+1950=-2（x-25）2+3200 ∵2m=65-x-m ∴m= ∵x，m都是非负整数 ∴取x=26时，此时m=13，65-x-m=26， 即当x=26时，W最大值=3198（元） 答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大总利润为3198元． 【点睛】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量． 二次函数与几何图形运动问题 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，米，米，动点以2米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以1米秒的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动秒后，四边形的面积为平方米． (1)当t为何值时，垂直？ (2)求面积S与时间t的函数关系式； (3)在、两点移动的过程中，四边形与的面积能否相等？若能，直接写出此时点的位置；若不能，请说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出t的值 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 (4)的值为秒或秒或秒 【难度】0.4 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、图形运动问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）当时，，然后根据相似三角形的性质求解； （2）过点作于，利用勾股定理求出的长，，，则，又，根据平行线分线段成比例列出比例式即可得出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）假设四边形与的面积相等，则，再判断出方程根的情况即可； （4）有三种情况：①，②，③，代入得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，如图， 在矩形中， , , , ， 在中，，， ， ，， 即， 解得：， ∴当时，垂直； （2）过点作于． 中，（米， 由题意知：，，则 由，得 ， 即：， ， 又， ， 即：； （3）假设四边形与的面积相等，则有： 即： 方程无实根 在、两点移动的过程中，四边形与的面积不能相等． （4）①当时，有，， ②当时，有，解得， ③当时，有，解得， 所以，当为秒、秒、秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，二次函数的关系式，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知直线，交轴于点，交轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）如图2，动点以1个单位/秒的速度从点出发沿向运动，动点以2个单位/秒的速度从点出发沿向运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，将向右平移得到，交于点，若的面积被直线分成两部分，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）线段的长为或 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形运动问题(实际问题与二次函数)、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）先根据解析式，可得 ，再由，可求出，然后利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴于点，根据题意可知：，，，由，可得，利用相似三角形的对应边成比例，可得，即可求出与的函数关系式； （3）作轴于点，由（2）可得当时，有最大值，再由，可得， ，再利用勾股定理可求出，再由∽，可得，然后根据直线把的面积分成两部分，可得或，即可求解． 【详解】解：（1）对于直线，当时，， ∴ ， ∴， ∵ ∴， ∴ ， 把代入，解得， ∴直线的解析式是； （2）解：如图，过点作轴于点， 根据题意可知：，， ∴， 在中，， ∵， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ∴ ； （3）解：由（2）可知， ∴当时，有最大值 则，， 如图，作轴于点， 由（2）知， ∴，即， 解得：， ， ∴， 在中，， ∴， ∵向右平移得到， ∴ ， ∴∽， ∴， ∴， ∵直线把的面积分成两部分， ∴或， ①当时，； ②当时，； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，图形的平移等知识，学会构建二次函数解决最值问题和分类讨论思想是解题的关键． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题： ⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值； ⑶当t的值为 ，△AMN是等腰三角形． 【答案】（1）， ；（2）t=；（3）或或 【难度】0.4 【知识点】相似三角形——动点问题、（特殊）平行四边形的动点问题、用勾股定理解三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）如图过点M作MD⊥AC于点D，利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题； （2）连接PM,交AC于D，，当四边形MNPC为菱形时，ND=，即可用t表示AD，再结合第一问的相似可以用另外一个含t式子表示AD，列方程计算即可； （3）分别用t表示出AP、AQ、PQ，再分三种情况讨论：①当AQ＝AP②当PQ＝AQ③当PQ＝AP，再分别计算即可． 【详解】解：⑴过点M作MD⊥AC于点D． ∵,； ∴AB=10cm．BM=AN=2t ∴AM=10-2t． ∵△ADM∽△ACB ∴即 ∴ ∴ 又 ∴S的最大值是； ⑵连接PM,交AC于D， ∵四边形MNPC是菱形，则MP⊥NC,ND=CD ∵CN=8-2t ∴ND=4-t ∴AD=2t+4-t=t+4 由⑴知AD= ∴=t+4 ∴t=； （3）由（1）知，PE＝﹣t+3，与（2）同理得：QE＝AE﹣AQ＝﹣t+4 ∴PQ＝＝＝， 在△APQ中， ①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝； ②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5； ③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝； ∵0＜t＜4， ∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去， ∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答． 二次函数与特殊三角形存在性问题 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5） 【难度】0.4 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可； （3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 若PE＝2ED，则PD＝3ED， 设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵PD上x轴于点D， ∴E（m，﹣m+3）， ∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3）， ∴m2﹣5m+6＝0， 解得m1＝2，m2＝3（舍）， ∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1）， ∴PE＝2， ∴S△PBC＝×2×3＝3． ∴△PBC的面积为3； （3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形， ∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点． 过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D； 过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示： ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∴∠BCO＝∠OBC＝45°． ∵P1C⊥BC， ∴∠DCB＝90°， ∴∠DCO＝45°， 又∵∠DOC＝90°， ∴∠ODC＝45°＝∠DCO， ∴OD＝OC＝3， ∴D（﹣3，0）， ∴直线P1C的解析式为y＝x+3， 联立， 解得或（舍）； ∴P1（1，4）； ∵P1C⊥BC，BP2⊥BC， ∴P1CBP2， ∴设直线BP2的解析式为y＝x+b， 将B（3，0）代入，得0＝3+b， ∴b＝﹣3， ∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3， 联立， 解得或（舍）， ∴P2（﹣2，﹣5）． 综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)（， ），（2，2），（1+，4- ） 【难度】0.65 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）可根据OB、OC的长得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）可将四边形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC两部分来求解．先根据抛物线的解析式求出A点的坐标，即可得出三角形AOC直角边OA的长，据此可根据上面得出的四边形的面积计算方法求出S与m的函数关系式． （3）先根据抛物线的解析式求出M的坐标，进而可得出直线BM的解析式，据此可设出N点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出CM、MN、CN的长，然后分三种情况进行讨论：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根据上述三种情况即可得出符合条件的N点的坐标． 【详解】（1）∵OB=OC=3， ∴B（3，0），C（0，3） ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3． （2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4） 设直线MB的解析式为y=kx+n， 则有 解得 ∴直线MB的解析式为y=-2x+6 ∵PQ⊥x轴，OQ=m， ∴点P的坐标为（m，-2m+6） S四边形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AO•CO+（PQ+CO）•OQ =×1×3+（-2m+6+3）•m=-m2+m+（1≤m≤3）． （3）设N(x,-2x+6) CM= ，CN= ， MN= ①当CM=NC时， ， 解得x1= ，x2=1（舍去） 此时N（， ） ②当CM=MN时， ， 解得x1=1+ ，x2=1-（舍去）， 此时N（1+，4- ） ③当CN=MN时，=解得x=2，此时N（2，2） 综上所述：线段BM上存在点N，（（， ），（2，2），（1+，4- ）使△NMC为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法． 二次函数与特殊四边形存在性问题 1. （21-22九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C． （1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标； （3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（﹣2，）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，﹣3）或（，）；（3）存在；E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标； （2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN＝AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标； （3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线， ∴其梦想直线的解析式为， 联立梦想直线与抛物线解析式可得：， 解得：或， ∴A（﹣2，），B（1，0）， 故答案为：；（﹣2，）；（1，0）； （2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形， 如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2， 在中， 令y=0可求得x=﹣3或x=1， ∴C（﹣3，0），且A（﹣2，）， ∴AC= =， 由翻折的性质可知AN=AC=， 在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3， ∵OD=， ∴ON=﹣3或ON=+3， 当ON=+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意， ∴N点坐标为（0，﹣3）； 当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2， 在Rt△AMD中，AD=2，OD= ∴∠DAM=60°， ∵AD∥x轴， ∴∠AMC=∠DAO=60°， 又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°， ∴∠NMP=60°，且MN=CM=3， ∴MP=MN=，NP=MN=， ∴此时N点坐标为（，）； 综上可知N点坐标为（0，﹣3）或（，）； （3）①当AC为平行四边形的边时，如图3，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K， 则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ACK=∠EFH， 在△ACK和△EFH中， ∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF， ∴△ACK≌△EFH（AAS）， ∴FH=CK=1，HE=AK=， ∵抛物线对称轴为x=﹣1， ∴F点的横坐标为0或﹣2， ∵点F在直线AB上， ∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方， ∴E到y轴的距离为EH﹣OF=﹣=， 即E点纵坐标为﹣， ∴E（﹣1，﹣）； 当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵C（﹣3，0），且A（﹣2，）， ∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，）， 设E（﹣1，t），F（x，y）， 则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=， ∴x=﹣4，y=﹣t， 代入直线AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+， 解得t=﹣， ∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）； 综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图像的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 2. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P． ①试求△PAD的面积的最大值； ②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x=-3；y=；（2）①；②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由见解析． 【难度】0.15 【知识点】判断能否构成平行四边形、反比例函数与几何综合、其他问题(实际问题与二次函数)、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥-3时，显然y=x+3；②当x＜-3时，利用待定系数法求解； （2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=-m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解； ②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形． 【详解】（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0； ②函数图象的对称轴为直线x=-3； 由题意得A点坐标为（-3，0）．分两种情况： ①x≥-3时，显然y=x+3； ②当x＜-3时，设其解析式为y=kx+b． 在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1， 则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1）． 把（-4，1），（-3，0）代入y=kx+b， 得 解得 ∴y=-x-3． 综上所述，新函数的解析式为y= ； （2）如图2， ①∵点C（1，a）在直线y=x+3上， ∴a=1+3=4． ∵点C（1，4）在双曲线y=上， ∴k=1×4=4，y=． ∵点D是线段AC上一动点（不包括端点）， ∴可设点D的坐标为（m，m+3），且-3＜m＜1． ∵DP∥x轴，且点P在双曲线上， ∴P（，m+3）， ∴PD=-m， ∴△PAD的面积为 S=（-m）×（m+3）=-m2-m+2=-（m+）2+， ∵-＜0， ∴当m=-时，S有最大值，为， 又∵-3＜-＜1， ∴△PAD的面积的最大值为； ②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下： 当点D为AC的中点时，其坐标为（-1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（-5，2）， ∵DP=3，DE=4， ∴EP与AC不能互相平分， ∴四边形PAEC不能为平行四边形． 【点睛】本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)yx2x+4 (2)E（3，8） (3)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，） 【难度】0.15 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式； （2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案； （3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线yx+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标． 【详解】（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， 解得：x＝6， ∴C（6，0）， 把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+4； （2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G， 设E（m，m2m+4），则G（m，m+4）， ∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m， ∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）； （3）yx2x+4（x）2； ∴该抛物线对称轴是：x， ∴A（-1，0） ∵点Q是抛物线对称轴上的动点， ∴Q的横坐标为， 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以AM为边时， 由（2），可得点M的横坐标是3， ∵点M在直线yx+4上， ∴点M的坐标是（3，2）， 又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为， 根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为， ∴P（，）； ②如图3，以AM为边时， ∵由（2），可得点M的横坐标是3， ∵A（-1，0），且Q的横坐标为， ∴P的横坐标为， ∴P（，）； ③以AM为对角线时，如图4， ∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律， ∴点P的坐标是（，）， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合．掌握平行四边形的性质，两点的距离公式，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点坐标为；（3）， 【难度】0.15 【知识点】相似三角形——动点问题、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）将A、C点坐标分别代入抛物线中，联立即可求得a和c的值，从而求出抛物线解析式； （2）过点作轴交抛物线于点，则，过点作交抛物线于点，设，借助，即可求得t的值，从而求得D点坐标； （3）先求出直线BC的解析式，设，分DF为边和DF为对角线两种情况讨论，表示出M点坐标，代入抛物线中求得n的值，即可得出N点坐标． 【详解】解：（1）：抛物线经过点 ，解得 ∴抛物线的解析式为 （2）过点作轴交抛物线于点，则 过点作交抛物线于点 过点作于点，则 设点的横坐标为，则 ∵点是与轴的交点 ， 解得 的坐标为， 解得（舍去）， ∴点的纵坐标为： 则点坐标为 （3）设直线BC的解析式为：， 将C（0,3），B（4，0）分别代入得， ，解得， ∴直线BC的解析式为：， 设， ①当FD为平行四边形的边时， 如图，当N点在M点左侧时， 则即 整理得，即, 故， 解得：， 此时； 同理当N点在M点右侧时可得， 故， 解得， 此时； ①当FD为平行四边形的对角线时， 则,即 故，整理得， 该方程无解． 综上所述：，． 【点睛】本题考查二次函数综合，分别考查了求二次函数解析式，相似三角形的性质，和二次函数与平行四边形问题．（1）中直接代入点的坐标即可，难度不大；（2）中能正确作辅助线，构造相似三角形是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键，需注意平行四边形对边平行且相等，可借助这一点结合图象表示M点坐标． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，； 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用菱形的性质求线段长、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质． （1）先求得两点的坐标，再根据对称轴是直线，列方程组求解即可； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）设点P的坐标为：，根据勾股定理求出，根据菱形性质可得，进而求得点的坐标，根据菱形性质，进一步求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵对称轴是直线：， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， ∴点B的坐标为， 又∵点，点， ∴，，， 过D作轴于E，交于E， ∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 当时，S有最大值，， 当时， ； （3）存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下： ∵点P在抛物线的对称轴上， ∴可设点P的坐标为：， ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，与互相垂直平分， 设直线与x轴交于点F，过点P作轴，与交于点K， ∵点， ∴，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设点K的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 设点Q的坐标为， ∵点K为的中点， ∴，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 二次函数与线段长度、图形面积问题 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M. (1)a、b的值； (2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积； (3)设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围. 【答案】（1）a=1，b=4；（2）MQ扫过的面积为；（3）或 【难度】0.4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值． （2）连接MQ、DN后，由图可以发现曲线MQ扫过的面积正好是▱MQND的面积；连接QD，则▱MQND的面积是两倍的△MQD的面积，所以这道题实际求的是△MQD的面积；由（1）的抛物线解析式，不难求出顶点M的坐标，联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标；以OQ为底，M、D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积，则此题可求． （3）在平移过程中，抛物线的开口方向和大小是不变的，即二次项系数不变；抛物线的顶点始终在直线OM上，根据直线OM的解析式（y=x）可表达出抛物线顶点的坐标（h，h），可据此先设出平移后的抛物线解析式；若求平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时顶点横坐标的取值范围，那么就要考虑到两个关键位置： ①抛物线对称轴右侧部分经过C点时，抛物线顶点横坐标h的值； ②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时，h的值； 【详解】解：（1）将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得： ， 解得：a=1、b=4． （2）连接MQ、QD、DN， 由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形； 由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1）， 当x=0时，y=3， ∴Q（0，3）； 设直线OM的解析式为y=kx， ∴-2k=-1， ∴k=， ∴直线OM：y=x，联立直线y=-2x+9，得： ， 解得 ． 则D（）； 曲线QM扫过的区域的面积：S=SMQND=2S△MQD； （3）由于抛物线的顶点始终在y=x上，可设其坐标为（h，h），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+h； ①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有： h2+h=9，解得：h=（依题意，舍去正值） ②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意： ， 消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+h-9=0， 则：△=（2h-2）2-4（h2+h-9）=-10h+40=0，解得：h=4， 结合图形，当平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，h＜或h＞4． 【点睛】该题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，二次函数的图相与性质，二次函数的平移，一次函数与二次次函数交点坐标的求法，一元二次方程根的判别式等知识；（2）题中，要通过观察图形找出曲线扫过的面积和平行四边形的面积之间的联系；最后一题中，要注意“射线CD”这个条件及分类思想的运用． 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，抛物线图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)判断△ADC的形状，并求△ADC的面积； (3)如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于点E，PE的值是否存在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)三角形ACD是直角三角形，3 (3)PE有最大值为 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、图形运动问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】(1)根据C点坐标为(0，-3)，且OA=OC= 3OB，得出A， B点的坐标，用待定系数法求解析式即可； (2)根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可； (3)求出直线AC的解析式，过点P作PH//y轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB， ∴A（-3，0），B（1，0），将A，B两点坐标分别代入解析式得， ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为， ∴D点的坐标为（-1，-4）， ∴， ，， ∵，即， ∴三角形ACD是直角三角形， ∴； （3）PE的值存在最大值,理由如下： 设直线AC的解析式为，把A，C点的坐标分别代入， 得，解得， ∴直线AC的解析式为， 如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°， ∵，∴∠PHE＝∠OCA＝45°， 设点，则点， ∴， ∴， ∴PE有最大值为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，一次函数，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键． 3. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C． （1）求出抛物线的函数表达式； （2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M点坐标为（4，﹣2）；（3）P点坐标为（，）或（，）或（，）． 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先利用直线解析式确定B（﹣2，﹣5），然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）解方程组﹣x2+2x+3＝0得A（3，0），易得C（0，3），设N（t，t﹣3），利用点利用的规律当点N先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点M，则M（t+3，t﹣6），把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，当点N先向上平移3个单位，再向左平移3个单位得到点M，则M（t﹣3，t），把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，然后解方程求出t得到满足条件的M点坐标； （3）利用待定系数法求出直线MC的解析式为y＝﹣x+3，利用AP∥MC可设AP的解析式为y＝﹣x+p，则AP的解析式为y＝﹣x+，通过解方程组得此时P点坐标；再利用平移的方法得到再直线CM下方得到直线y＝﹣x+到直线CM的距离等于直线y＝﹣x+到直线CM的距离相等，然后解方程得此时P点坐标． 【详解】（1）把（﹣2，n）代入y＝x﹣3得n＝﹣2﹣3＝﹣5，则B（﹣2，﹣5）， 把A（3，0），B（﹣2，﹣5）代入得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0）， 当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3） 设N（t，t﹣3）， ∵AC平移得到MN， ∴AC∥MN，AC＝MN， 而点C先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点A， 当点N先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点M，则M（t+3，t﹣6）， 把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t1＝1，t2＝﹣6， ∴M点的坐标为（4，﹣5），（﹣3，﹣12）（舍去） 当点N先向上平移3个单位，再向左平移3个单位得到点M，则M（t﹣3，t）， 把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，解得t1＝3（舍去），t2＝4， ∴M点的坐标为（﹣1，4）（舍去）， 综上所述，M点坐标为（4，﹣2）； （3）设直线CM的解析式为y＝mx+n， 把C（0，3），M（4，﹣2）代入得， ∴直线MC的解析式为y＝﹣x+3， ∵△PMC的面积与△AMC的面积相等， ∴AP∥MC， 设AP的解析式为y＝﹣x+p， 把A（3，0）代入得p＝， ∴AP的解析式为y＝﹣x+， 解方程组得或，此时P点坐标为（，）； 直线AP的解析式为y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，）， ∵﹣3＝， 把直线CM向下平移个单位得到y＝﹣x+， 解方程得或，此时P点坐标为（），（）， 综上所述，P点坐标为（，）或（）或（）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平移的性质；会利用待定系数法求函数解析式，能通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意可得，点与点关于对称，可得，设抛物线解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设，如图所示，过点作轴交于点，则，可得，再根据三角形面积的计算方法，二次函数最值的计算方法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴， 由抛物线的对称性可知：点与点关于对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． （2）解：的解析式为，点为直线上方的抛物线上的一点， 设，如图所示，过点作轴交于点， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值是， ∴， 此时点坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与一次函数交点问题，几何图形面积的计算方法，图形结合分析的方法是解题的关键． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点D的坐标为（1，4） (2)，P 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，，然后根据二次函数的性质可求解 【详解】（1）解：将，两点代入， ， 解得， ， ， ； （2）解：设的直线解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， 当时，的面积最大值为， 此时 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示） （2）若a＞0，且P（m，y1）与Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＞y2，求m的取值范围； （3）如图，当a＝1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 【答案】（1）对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4a）；（2）m＜﹣3或m＞5；（3）当n＝时，S取得最大值，最大值为． 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）分两种情形：点P在对称轴的右侧或左侧，分别构建不等式求解即可． （3）过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x+1﹣1）﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点坐标（1，﹣4a），对称轴x＝1． （2）∵a＞0，抛物线的对称轴x＝1， ∴当x≥1时，y随x的值的增大而增大， 当点P（m，y1）在对称轴的右侧， ∵y1＞y2， ∴m＞5． 当P（m，y1）在对称轴的左侧时，即m＜1时， 作点P关于对称轴的对称点Q（2﹣m，y1）， ∵y1＞y2， ∴2﹣m＞5， 解得m＜﹣3， 综上所述，m的取值范围为m＜﹣3或m＞5． （3）a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x﹣3， 由y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 由x＝0，得到y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF， ∴， ∵A（﹣1，0）， ∴F（﹣1，﹣4）， ∴AF＝4， 设D（x，x2﹣2x﹣3），则G（x，x﹣3）， ∴DG＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∴， ∵， ∴x＝时，S取得最大值为， 此时D为（，﹣）， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣， 由，解得， ∴n＝， 故当n＝时，S取得最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点A，与轴相交于点B，与轴相交于点C，抛物线经过点O、点A和点B，已知点A到轴的距离等于2. （1）求抛物线的解析式； （2）点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，求点H的坐标； （3）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与△OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式.    【答案】（1）;（2）H;（2，2）; （3）. 【难度】0.15 【知识点】面积问题(二次函数综合)、一次函数与几何综合 【分析】（1）根据题意求出A、B坐标，由图像可知，图像经过原点，则c=0，设出抛物线解析式为，将A（4,2）、B（6,0）代入，即可得到答案. （2）设H（, ）,作HD∥,当HD∥时，点H到的距离最大.设直线HD的解析式，并与抛物线解析式联立，得到一元二次方程，因为由函数图像可知，直线HD与，有且只有一个交点，所以△=0，求出c,进而求出H坐标，得到答案. (3)通过运动过程中，分情况讨论，并将不规则图像利用分割法求解即可. 【详解】（1）由点A到轴的距离等于2得知，A的纵坐标是2 当y=2时，代入，得，则A（4,2） 当x=0时，代入，得y=6,则B（6,0） 由图像可知，图像经过原点，则c=0，则抛物线解析式为 将A（4,2）、B（6,0）代入 解得 所以抛物线的解析式 （2）    设H（, ）,作HD∥,当HD∥时，点H到的距离最大. 设直线HD的解析式，则 得化简得： 由函数图像可知，直线HD与，有且只有一个交点，所以△= 所以c=1 当c=1时，即为， 即,则 所以H（2,2） 综上所述，点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，点H的坐标H（2,2）. （3）第一种情况：下图：P点由O点运动到图（2）位置（M正好在AC上）轴时.    ,由题意得：OP=ON=，则MN=. =- = = = =    作CD⊥AO,于点D，交y轴于点Q 由：，可知B（6,0），C（0,6），则OC=6， 由（1）可知A(4,2),可知： ， 通过解直角三角形方法可知：即： 解得AD=,利用勾股定理得 ∴ ∵CD⊥，MP⊥ ∴即解得 所以 第二种情况：下图：P点图（1）位置（M正好在AC上）轴运动到O点运动到时.    取中间过程图分析面积：    作CD⊥AO,于点D，交MN轴于点E，MN交AC于点F,MP交AC于点I. 由情况一可知则,代入得： 所以， ∴ ∵CD⊥，AP⊥ ∴MP∥CD, ∴，则 ∴ =-- =- =    当AO=OP时，是临界点，此时，t=2 综上所述： 第三种情况：下图：P点图（1）位置（P与A点重合）运动到MN经过点C时.    取中间过程图分析面积：    MN交y轴于点Q，交BC于点D，由题意知：， = 此时=-- =- = 临界点范围求值：    作CG⊥OP于点G， OP=MP=CG= OP=即解得： 第四种情况：下图：当△AOC完全被正方形覆盖时：    此时正方形边长＞△AOC中AO边上的高，即＞,得t＞ ==A点横坐标= 即当t＞，S=12 综上所述 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、面积问题，最值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，属于中考压轴题． 8. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），P为抛物线上第四象限上的点． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，PD交BC于点E，当线段PE的长度最大时，求点P的坐标． （3）如图2，当线段PE的长度最大时，作PF⊥BC于点F，连结DF．在射线PD上有一点Q，满足∠PQB=∠DFB，问在坐标轴上是否存在一点R，使得S△RBE=S△QBE？如果存在，直接写出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）当m=时，PE最大，此时P（，﹣）；（3）R的坐标为：（﹣，0）或（，0）或（0，）或（0，﹣）． 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）首先求出点C的坐标，再由待定系数法求得直线BC的解析式是y=x﹣3；设P（m，m2﹣2m﹣3）．过点P作PD⊥x轴于点D，PD交BC于点E，从而E（m，m﹣3），故PE=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m）2，从而求得当m时，PE最大，此时P（）； （3）首先求得点E的坐标，PE长度，进而得出BD的长度，根据点B、C的坐标判断出△OBC是等腰直角三角形，进而根据勾股定理得到BE的长度，根据对顶角相等推知在直角△PEF中，∠PEF=90°，根据勾股定理得出EF的长度，从而求得BF的长度，然后判断出△QBE∽△FDB，由相似三角形的对应边成比例列出方程，求得QE的长度，根据三角形的面积公式求出S△BQE．当R点在x轴上时，设R（n，0），BR=|3﹣n|，根据S△RBE=S△QBE列出方程求得n的值，得出R点的坐标；当点R在y轴上时，设R（0，z），由S△BER=S△BRC﹣S△REC列出方程求得z的值，再求出R点在y轴上时的坐标，从而得出本题的答案． 【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=ax2+bx﹣3得：，解得：，所以该抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）如图1，把x=0代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）． 设直线BC的解析式为：y=kx+b，将C（0，﹣3）与B（3，0），分别代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3． 设P（m，m2﹣2m﹣3），则E（m，m﹣3），∴PE=（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m）2，故当m时，PE最大，此时P（）； （3）如图2，当线段PE的长度最大时，P（），E（），PE，∴D（，0），∴BD． ∵B（3，0），C（0，﹣3），∴OB=OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°． 在直角△DBE中，∠ABC=45°，BD，∴BE，∠DEB=45°，∴∠PEF=45°． 在直角△PEF中，∠PEF=45°，PE，∴EF，∴BF． ∵∠PQB=∠DFB，∠DBE=∠DEB=45°，∴△QBE∽△FDB，∴，即，∴QE． ∵S△BQEQE•DB． 当点R在x轴上时，设R（n，0），BR=|3﹣n|，∴S△RBEBR•DE，即•|3﹣n|•，则|3﹣n|，解得：n1，n2，∴R（，0）或（，0） 当R在y轴上时，设R（0，z），由S△BER=S△BRC﹣S△REC得到：3×|z+3||z+3| 解得：z1，z2，∴R（0，）或（0，）． 综上所述：符合条件的点R的坐标为：（，0）或（，0）或（0，）或（0，）． 【点睛】本题是二次函数综合题，需要掌握二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 9. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）若时． ①求三点的坐标； ②如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，若，请求出点坐标； （2）如图2，将绕原点顺时针旋转得，且使得点落在线段上．当时，请求出的值和的长． 【答案】（1）①，；②；（2）． 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）①把代入解析式，分别令x=0和y=0即可求出三点的坐标； ②先根据求出PF的值，再求出直线BC的解析式为，设，则，然后利用PF=3列方程求解即可； （2）先证明AB=BC=5，再根据勾股定理求出OC的长，即可求出a的值；过作，根据，可求出AH，然后利用即可求出CE的值． 【详解】解：（1）若时 ①原抛物线为， 当时，，即， 当y=0时，即时， ∴(x+1)(x-4)=0， 解得， 即； ②∵， ∴， ∵， ， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， 把代入，得 ， ∴， ∴， 设，则， ， 解得， 当m=1时，-m2+3m+4=-1+3+4=6； 当m=3时，-m2+3m+4=-9+9+4=4； ； （2）由旋转的性质得 ． ， ， ， ， ， 即， ∴． 过作， 则， ∴， ∴， ． 由旋转的性质得，OA=OD，OC=OE， ∴， ∵∠AOD+∠COD=90°，∠COE+∠COD=90°， ∴， ， ， ∵， ∴， 当时，，即， 当y=0时，即时， ∴(x+1)(x-4)=0， 解得， 即； ∴OA=1，OC=3， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，勾股定理，解一元二次方程，锐角三角函数，以及形似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知抛物线：交轴于点和点，交轴于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线上第二象限的动点，过点作的平行线交轴于点，连接和，连接和，若四边形的面积为4，求此时点的坐标； (3)如图2，已知直线交轴于点，交轴于点，是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，把线段沿着点顺时针旋转，的对应点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)的坐标为或． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）作辅助线如解析图，设点，利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）过点作于点，并延长交轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质求得，再利用相似三角形的判定与性质求得点的坐标；通过计算得到点与点重合，可知直线为正比例函数的图象，利用待定系数法求得直线的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析为； （2）解：过点作于点，于点，连接，如图， 设点， 点是抛物线上第二象限的动点， ，， 令，则， 解得：或， ， ． ，， ，， ． ， ∵， ， ， ， ， ， ∴， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ； （3）解：过点作于点，并延长交轴于点，过点作于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图， 令，则， ， ． 令，则， ， ， ． ． ， ∴抛物线对称轴为直线， ， ． 由题意得：，， ， 在和中， ， ， ． ，， ∴， ， ， ，． ， ． ，， ， ， ， ． ， ，两点重合， 经过原点，即的图象是正比例函数的图象， 设直线的解析式为， ， ． ∴直线的解析式为． ， 解得：，， 的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法确定函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 二次函数与角度问题 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积； （3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；；（2）△BCD面积的最大值为27；（3）存在，点M坐标为（，0）或（﹣，0）． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E，先求出直线BC解析式，设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6），可求DE的长，由三角形的面积公式和二次函数的性质可求解； （3）过点M作MN⊥BC，连接CM，分两种情况讨论，当点M在原点右侧时，当点M'在原点左侧时，点M与点M'关于原点对称，然后通过证明△AOC∽△MNC，可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x﹣6； （2）如图1，过点D作DF⊥AB于F，交BC于E， 、 ∵B（6，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣6， 设点D坐标为（x，x2﹣5x﹣6），则点E（x，x﹣6）， ∴DE＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x， ∵△BCD面积＝×DE×OB＝（﹣x2+6x）×6＝﹣3（x﹣3）2+27， ∴当x＝3时，△BCD面积的最大值为27； （3）存在，理由如下： 当点M在原点右侧时，过点M作MN⊥BC，连接CM，如图所示： ∵B（6，0），C（0，﹣6），A（﹣1，0）， ∴OB＝OC＝6，OA＝1， ∴∠OCB＝45°＝∠OBC，BC＝6， ∵∠ACO+∠OCM＝45°， ∴∠ACO＝∠BCM， ∵MN⊥BC， ∴∠MNC＝90°＝∠AOC， ∴△AOC∽△MNC， ∴， ∵MN⊥BC，∠OBC＝45°， ∴∠NMB＝∠MBN＝45°， ∴MN＝BN＝BM＝（6﹣OM）＝， ∴CN＝， ∴， ∴OM＝， ∴点M（，0）； 当点M'在原点左侧时，点M与点M'关于原点对称，如图所示， ∴点M'（﹣，0）； 综上所述：点M坐标为（，0）或（﹣，0）． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求抛物线的解析式. (2)如图2，直线：与轴交于点，点是轴上一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，与直线交于点，当点、、、四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时点坐标. (3)如图3，连接和，点是抛物线上一个动点，连接，当时，求点的坐标. 【答案】(1)；(2)，，；(3)，. 【难度】0.15 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）把A、B、C三点坐标分别代入函数解析式得到三元一次方程组，解方程组即可； （2）设，则，，根据轴，可表示出GH的长，根据平行四边形的性质列方程解答即可； （3）分两种情况讨论：①在上方，证②在下方，设和轴交于点，过作，过作轴于，证 【详解】(1)将、、分别代入y=ax2+bx+c，得： ， 解得，， ∴ (2)设则， ∵轴 ∴ ∵四个点、、、组成平行四边形 ∴ ∴ 解得：，， ∴，， (3)①在上方，如图所示，过作，交于 证明 ∵ ∴ ∴ ∴，此时在抛物线上， ∴ ②在下方 和轴交于点，过作，过作轴于 证明 ∵ ∴ ∴ 设，则 ∴ ∴，解得 ∴ ∴表达式： 联立：，解得或(舍) ∴ 【点睛】本题考查的是二次函数及其应用，能正确的作出辅助线把二次函数与几何图形结合是关键，要注意分类讨论思想的应用. 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7． （1）求此抛物线的解析式． （2）求点N的坐标． （3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标． （4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）；（4）． 【难度】0.15 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）抛物线的对称轴为：x＝，点N的横坐标为：，即可求解； （3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可； （4）分0≤t≤、当＜t≤、＜t≤三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线y＝﹣x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0）， 则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2， 将点C坐标代入上式并解得：b＝， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①； （2）抛物线的对称轴为：x＝， 点N的横坐标为： ， 故点N的坐标为（5，-3）； （3）∵tan∠ACO＝＝tan∠FAC＝， 即∠ACO＝∠FAC， ①当点F在直线AC下方时， 设直线AF交x轴于点R， ∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR， 设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝， 即点R的坐标为：（，0）， 将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n得：， 解得：， 故直线AR的表达式为：y＝﹣x+2…②， 联立①②并解得：x＝，故点F（，﹣）； ②当点F在直线AC的上方时， ∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴， 则点F′（3，2）； 综上，点F的坐标为：（3，2）或（，﹣）； （4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝，则sinα＝，cosα＝； ①当0≤t≤时（左侧图）， 设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S， 则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH， 则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α， 则DT＝，DS＝， S＝S△DST＝DT×DS＝； ②当＜t≤时（右侧图）， 同理可得： S＝＝DG×（GS′+DT′）＝3+（+﹣）＝； ③当＜t≤时，同理可得S=； 综上，S＝． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴直线与交于点、与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，把绕点顺时针旋转得到，求证：点在抛物线上； （3）如图3，在（2）的条件下，点是抛物线上的动点，连接、，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【难度】0.4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、抛物线与x轴的交点问题、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点 ，可求出，然后根据抛物线的对称轴直线为，可得，即可求解； （2）连接，作轴于点，令得方程，可得到 ， ，从而求出直线的解析式为，进而可得，根据旋转的性质，可得，从而是等边三角形，可得，在中，可得，，可得 ，然后代入抛物线解析式，即可求证； （3）过点M作GK⊥x轴，作DG⊥GK于点G，作KN⊥GK于点K，根据，，可得△BDE和△MDN是等腰直角三角形，可证得△DGM≌△MKN，得到点N ，根据旋转知识可得△BDN是等边三角形，然后分两种情况讨论：当点P在点B的上方时；当点P在点B的下方，分别求出即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过点， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接，作轴于点， 令，得方程， 解得：， ∴ ， ， 设直线的解析式为 ， 把，代入，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴， 对于 当时， ∴点在抛物线上； （3）如图，过点M作GK⊥x轴，作DG⊥GK于点G，作KN⊥GK于点K， ∵，， ∴DE=2，OE=1，OB=3， ∴BE=2， ∴BE=DE， ∵DE⊥x轴， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴△MDN是等腰直角三角形， ∴DM=NM，∠DMN=90°， ∴∠DMG+∠KMN=90°， ∵∠DMG+∠GDM=90°， ∴∠GDM=∠KMN， ∵∠G=∠K=90°， ∴△DGM≌△MKN， MK=DG，KN=GM， ∵， ∴MK=DG= ，KN=GM=2-1=1， ∴点N ， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴DB=DN，∠BDN=60°， ∴△BDN是等边三角形， ∴∠BND=60°， 当点P在点B的上方时， ∵， ∴∠DNP=， ∴PN垂直平分BD， ∵△BDE是等腰直角三角形， ∴PN过点E， 设直线PN的解析式为 把点N ，E（1，0）代入，得： ， 解得： ， ∴直线PN的解析式为 ； 当点P在点B的下方，记作时，则∠DN=∠BND+∠BN=90°， 设直线DN的解析式为， 把点N ，代入，得： ， 解得： ， ∴设直线DN的解析式为 ， ∵ ， ∴可设直线 的解析式为：， 将把点N 代入，得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为：， 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，及一次函数的性质，图形旋转，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想是解题的关键． 二次函数与相似三角形 1. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，设BE＝m． (1)如图，当m时，求线段CF的长； (2)当点E在BC线段上（不含B、C）运动时，∠QEF与∠CEF是否相等？请说明理由； (3)在（2）的条件下，请你求出点P到QE的距离h，用含m的代数式表示h，并求h的最大值． 【答案】(1)CF (2)相等，理由见解析 (3)h＝﹣m2+m， h最大值为 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接CF，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用AAS证明△ABE≌△EGF，得BE＝FG，AB＝EG，则BE＝FG＝CG＝，从而得出答案； （2）延长EB，使BM＝DQ，连接AM，首先由SAS证明△ABM≌△ADQ，得AM＝AQ，再利用SAS证明△QAE≌△MAE，得∠AEM＝∠AEQ，得出∠BAE＝∠QEF，从而证明结论； （3）利用两个角相等，证明△ABE∽△ECP，得 ，则h＝PC＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：连接CF，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，如图3， ∵AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEG＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴△ABE≌△EGF（AAS）， ∴BE＝FG，AB＝EG， ∴BE＝FG＝CG， ∴CF； （2）证明：相等， 理由如下： 延长EB，使BM＝DQ，连接AM，如图4， ∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADQ＝90°，BM＝DQ， ∴△ABM≌△ADQ（SAS）， ∴AM＝AQ， ∴∠BAM＝∠DAQ， ∴∠EAM＝∠QAE，AE＝AE， ∴△QAE≌△MAE（SAS）， ∴∠AEM＝∠AEQ， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEQ+∠QEF＝90°， ∴∠BAE＝∠QEF， ∵∠BAE＝∠CEF， ∴∠QEF＝∠CEF； （3）解：∵∠QEF＝∠CEF， ∴点P到QE的距离h＝PC， ∵∠BAE＝∠CEF，∠ABE＝∠PCE＝90°， ∴△ABE∽△ECP， ∴ ， 即， ∴h＝PC＝﹣m2+m＝﹣（m）2， ∴当m时，h最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F、交二次函数的图像于点E． (1)求二次函数的表达式； (2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由得，，用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）由得，而，，故，，，可得，即知以C、E、F为的三角形与 相似时，B与F为对应点，设，则，即得，，①时，，，可得，②时，同理可得EF． 【详解】（1）在中，令得，令 ， ，， 将，）代入得： ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）如图： 在中，令得或， ， ，， ，，， ， ∴以C、E、F为顶点的三角形与相似时，B与F为对应点， 设，则， ，， ①时，， ∴， 解得或（舍去）， ， ②时，， ∴， 解得（舍去）或， ， 综上所述，线段的长度为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形相似的判定及性质等，解题的关键是得到，B与F为对应点，再分类列出对应边成比例解决问题． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或 【难度】0.4 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）把点的坐标直接代入函数解析式，计算即可； （2）用二次函数的解析式表示点D的坐标，用点D的表示线段的比值，构造出二次函数，用二次函数的最值求解即可； （3）分点P在直线BQ的左右两侧求解即可． 【详解】解：（1）∵，,点， ∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4), ∴-2=-4a, 解得a=， ∴y= (x+1)(x-4), ∴． （2）过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得 ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是．    （3）符合条件的点P的坐标为或（． ∵， ∴直线l的解析式为， 设， ①当点P在直线右侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． ∴．    ②当点P在直线左侧时， 由①的方法同理可得点Q的坐标为． 此时点P的坐标为． 综合所述，存在这样的点P，且坐标为为或（． 【点睛】本 题考查了二次函数解析式的确定，最值的应用，一次函数解析式的确定，平行线的意义，三角形的相似，存在性问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活用点的坐标表示比值构造二次函数，活用分类思想是解题的关键． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A、B(1，0)，与y轴交于点D，直线AD：，抛物线顶点为C，作CH⊥x轴于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点M，使得S△ACD=S△MAB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标. 【答案】（1）（2）M（，4）、（，）、（，）（3）P（，）或（，） 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】(1)根据题意直线AD：，可以求出点A坐标，然后把A、B坐标代入表达式求出二次函数解析式即可； (2)先求出，进而求出，根据面积公式可求出点M的纵坐标，把M的纵坐标代入表达式求出横坐标即可求出M的坐标； (3) 分类讨论，首先求出直线CM的解析式为，再联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧，只能是，得得出答案即可． 【详解】解：(1)根据题意可得：， 把点和代入中， 得出：. (2)如图所示：根据(1)得： 所以：， 连接AC、BC之后求出， ， 故,已知, 的高为4，即M的纵坐标为， 当纵坐标为4的时候，代入表达式：，得出：， ， 当纵坐标为的时候，代入表达式：，得出：， ， 综合得： (3) ①若点P在对称轴右侧,如图: 只能是，得 延长CP交x轴于M， 设,则， 即 设直线CM的解析式为， 则：，解得：， ， 联立：，解得：或(舍去) . ②若点P在对称轴左侧,如图: 只能是，得 过A作CA的垂线交PC于点F，作轴于点N. 由得, 由得, ∴ 则， ∴点F坐标为 设直线CF的解析式为, ,解得：， ∴直线CF的解析式， 联立：，解得：或(舍去) 综合上述得：或 【点睛】本题考查二次函数综合题，解题关键是求出二次函数表达式进而按照题意求解即可. 二次函数与“AP+kBP”的最小值问题 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标； （3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标. 【答案】（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0） 【难度】0.15 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、已知正弦值求边长 【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解； （3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）， 代入表达式，解得a= 1，b=-2，c=-3， ∴故该抛物线解析式为：. （2）令， ∴x1=-1，x2=3， 即B（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3， ∴直线BC的解析式为y=x-3， 设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3）， ∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）= -a2+3a S△BDC=S△PDC+S△PDB =PD×3 =， ∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）； （3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG， 过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM， 当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小. 可求得直线BG解析式为：， ∵B′C⊥BG 故直线B′C解析式为为， 令y=0，则x=， ∴B′C与x轴交点为（，0） ∵OG=，OB=3， ∴∠CGB=60°， ∴B′C= CGsin∠CGB==， 综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）. 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，抛物线（）与轴交于点，与轴交于点，在线段上有一动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． （1）分别求出抛物线和直线的函数表达式； （2）连接、，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，，求的最小值． 【答案】（1）抛物线，直线解析式为；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】(1)用待定系数法即可求解； (2)由S=S△PNA+S△PNB=×PN×OA=× =- x2+6x，即可求解； (3)在y轴上取一点M使得0M′=，构造相似三角形，可以证明AM'就是E'A+E'B的最小值 . 【详解】解：（1）∵抛物线（）与轴交于点与轴交于点， 则有， 解得， ∴抛物线， 令，得到， 解得：或， ∴，， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； （2）如图1中，设，则点， 则设面积为， 则， ∵，故有最大值，当时，的最大值为6，此时； （3）如图，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得 OE′=OE． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， 此时最小（两点间线段最短，，、共线时）， 最小值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM'就是E'A+ E'B的最小值，属于中考压轴题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数 二次函数的定义 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（　　） A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知函数是二次函数，则m＝ ． 二次函数的图象及性质 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，关于抛物线，下列说法错误的是 （ ） A．顶点坐标为(1，) B．对称轴是直线x=l C．开口方向向上 D．当x>1时，y随x的增大而减小 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是(     ) A．抛物线开口方向向下 B．当x=3时，函数有最大值−2 C．当x>3时，y随x的增大而减小 D．抛物线可由经过平移得到 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 根据二次函数图象判断结论是否成立 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图所示的抛物线的对称轴为直线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的有①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a＞b；④（a+c）2＜b2；⑤a﹣2b+4c＞0．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，，下列结论：①；②9a+3b+c=0；③若点，点是此函数图象上的两点，则；④.其中正确的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（m是任意实数）．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③⑤ 6. （21-22九年级上·广东深圳·期末）二次函数的部分图象如图．对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，点P从点A出发，沿线段AB向点B匀速运动，到达点B停止，PQ⊥x轴，交抛物线于点Q（m，n），设点P的运动时间为t秒，当t＝3和t＝9时，n的值相等．下列结论： ①t＝6时，n的值最大； ②t＝10时，n＝0； ③当t＝5和t＝7时，n的值不一定相等； ④t＝4时，m＝0． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①③ D．②③ 8. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1.分析下列5个结论：①2c<3b；②若0<x<3，则ax2+bx+c>0；③；④（k为实数）；⑤(m为实数).其中正确的结论个数有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，下列结论：①  ②  ③  ④，其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（，0），与y轴的交点B在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝．则下列结论：① x＞3时，y＜0；② 4a+b＜0；③﹣＜a＜0；④ 4ac+b2＜4a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 11. （22-23九年级上·广东深圳·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③3a+c＞0；④若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 13. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①：②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，与轴的交点是（0，3），则下列结论中不正确的是（     ）    A．； B．>0； C．当0<<2时，>3； D．关于的方程有两个相等的实数根 16. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于，两点，与直线交于，两点，已知点在轴上，点D在x轴下方且横坐标小于3．给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 二次函数与其他函数图象综合判断 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系内的大致图象是（   ） A．B．C．D． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（　　） A． B． C． D． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（      ） A．  B．  C．  D．   7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 二次函数图象的平移规律 1. （22-23九年级上·广东深圳·期末）将抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（    ） A． B． C． D． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为(    ) A． B． C． D． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2,1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（   ） A． B． C． D． 5. （20-21九年级上·广东深圳·期末）将抛物线y＝﹣2x2+5向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为 ． 二次函数图象与坐标轴交点问题 1. （18-19九年级上·广东深圳·期末）若抛物线与坐标轴有一个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则线段AB的最小值为（　　） A． B．2 C． D．无法确定 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若抛物线y＝x2+x+c与x轴有两个交点，则c的取值范围是 ． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝ ． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）若抛物线的顶点在y轴上，则m= . 二次函数与方程、不等式 1. （17-18九年级·广东深圳·期末）根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）直线与抛物线只有一个交点，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线的图象经过点，与轴交点的横坐标分别为，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．k为任意实数，关于x的方程没有实数根 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． 5. （19-20九年级上·广东深圳·期末）二次函数（,,为常数，且≠0）和一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，交于点M（，2）、N（2，），则关于的不等式＜0的解集是 .    二次函数的解析式及图象 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程： （2）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，请求出该二次函数的表达式． 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数．    （1）将二次函数化成的形式； （2）在平面直角坐标系中画出的图象； （3）结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与下图是他所完成的部分表格与图象，求该二次函数的解析式，并补全表格与图象． 4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知二次函数经过（1，6）、（，2）两点，请求出该二次函数的表达式，并直接写出它与轴、与轴的交点的坐标. 5. （21-22九年级上·广东深圳·期末）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：　 　； ②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：　 　； ③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是 　 　． (2)延伸思考： 将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围． 二次函数实际应用（销售问题） 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件． (1)若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？ (2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天䇔利最多？ 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 4. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)直接写出工厂每天的利润元与每千克降价元之间的函数关系式（要求化为一般式）； (2)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？ (3)当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？ 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕.活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会.某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 6 6.5 7 7.5 销售量y（千克） 1000 900 800 700 (1)求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）. (2)为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？ (3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 6. （20-21九年级上·广东深圳·期末）某公司经销一种绿茶，每千克成本为元．市场调查发现，在一段时间内，销售量（千克）随销售单价（元千克）的变化而变化，具体关系式为：设这种绿茶在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题： (1)求与的关系式； (2)当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？ (3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于元千克，公司想要在这段时间内获得元的销售利润，应将销售单价定为多少元？ 7. （22-23九年级上·广东深圳·期末）某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ 二次函数实际应用（图形问题） 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长．小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，则（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动．某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的矩形花圃ABCD，墙长36米． （1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ （2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？ 3. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠找为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为40m的红布粘贴在展示台边上.设垂直于宣传版的一边长为 （1）当展示台的面积为128m2时，求的值； （2）设展示台的面积为，求的最大值. 二次函数实际应用（其他问题） 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（　　　）    A．0．71s B．0．70s C．0．63s D．0．36s 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为 m． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． （1）根据信息填表 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 x x （2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润． （3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值． 二次函数与几何图形运动问题 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在矩形中，米，米，动点以2米秒的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以1米秒的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动秒后，四边形的面积为平方米． (1)当t为何值时，垂直？ (2)求面积S与时间t的函数关系式； (3)在、两点移动的过程中，四边形与的面积能否相等？若能，直接写出此时点的位置；若不能，请说明理由； (4)若为等腰三角形，直接写出t的值 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知直线，交轴于点，交轴于点，且． （1）求直线的解析式； （2）如图2，动点以1个单位/秒的速度从点出发沿向运动，动点以2个单位/秒的速度从点出发沿向运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，当取最大值时，将向右平移得到，交于点，若的面积被直线分成两部分，求线段的长度． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图⑴，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． 点M由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点N由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接MN，设运动时间为t(s)﹙0＜t＜4﹚，解答下列问题： ⑴设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； ⑵如图⑵，连接MC，将△MNC沿NC翻折，得到四边形MNPC,当四边形MNPC为菱形时，求t的值； ⑶当t的值为 ，△AMN是等腰三角形． 二次函数与特殊三角形存在性问题 1. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 2. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 3. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M． (1)求二次函数的解析式； (2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围； (3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 二次函数与特殊四边形存在性问题 1. （21-22九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax﹣a为抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C． （1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为　 　，点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　； （2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标； （3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P． ①试求△PAD的面积的最大值； ②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由． 3. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点的坐标为，点在抛物线上，点在直线上，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 5. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数与线段长度、图形面积问题 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M. (1)a、b的值； (2)设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积； (3)设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围. 2. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知C点坐标为（0，-3），且OA＝OC＝3OB，抛物线图象经过A，B，C三点，D点是该抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)判断△ADC的形状，并求△ADC的面积； (3)如图2，点P是该抛物线位于第三象限的部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于点E，PE的值是否存在最大值？如果存在，请求出PE的最大值；如果不存在，请说明理由． 3. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C． （1）求出抛物线的函数表达式； （2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4. （23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线的对称轴是，且经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线解析式． (2)若点为直线上方的抛物线上的一点，连接．求的面积的最大值，并求出此时点的坐标． 5. （22-23九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线（b、c为常数），若此抛物线与某直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D． (1)求抛物线的函数解析式和顶点D的坐标； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点P的坐标． 6. （23-24九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示） （2）若a＞0，且P（m，y1）与Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＞y2，求m的取值范围； （3）如图，当a＝1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 7. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点A，与轴相交于点B，与轴相交于点C，抛物线经过点O、点A和点B，已知点A到轴的距离等于2. （1）求抛物线的解析式； （2）点H为直线上方抛物线上一动点，当点H到的距离最大时，求点H的坐标； （3）如图，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与△OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式.    8. （18-19九年级上·广东深圳·期末）如图1已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0），P为抛物线上第四象限上的点． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，PD交BC于点E，当线段PE的长度最大时，求点P的坐标． （3）如图2，当线段PE的长度最大时，作PF⊥BC于点F，连结DF．在射线PD上有一点Q，满足∠PQB=∠DFB，问在坐标轴上是否存在一点R，使得S△RBE=S△QBE？如果存在，直接写出R点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9. （20-21九年级上·广东深圳·期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）若时． ①求三点的坐标； ②如图1，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，若，请求出点坐标； （2）如图2，将绕原点顺时针旋转得，且使得点落在线段上．当时，请求出的值和的长． 10. （22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，已知抛物线：交轴于点和点，交轴于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线上第二象限的动点，过点作的平行线交轴于点，连接和，连接和，若四边形的面积为4，求此时点的坐标； (3)如图2，已知直线交轴于点，交轴于点，是抛物线对称轴上的一个动点，连接，，把线段沿着点顺时针旋转，的对应点恰好落在抛物线上，直接写出点的坐标． 二次函数与角度问题 1. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点D为第四象限内抛物线上一动点，当△BCD面积最大时，求△BCD面积的最大面积； （3）在x轴上是否存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （19-20九年级上·广东深圳·期末）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求抛物线的解析式. (2)如图2，直线：与轴交于点，点是轴上一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，与直线交于点，当点、、、四个点组成的四边形是平行四边形时，求此时点坐标. (3)如图3，连接和，点是抛物线上一个动点，连接，当时，求点的坐标. 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7． （1）求此抛物线的解析式． （2）求点N的坐标． （3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝时，求点F的坐标． （4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤），请直接写出S与t的函数关系式． 4. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴直线与交于点、与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，把绕点顺时针旋转得到，求证：点在抛物线上； （3）如图3，在（2）的条件下，点是抛物线上的动点，连接、，当时，请直接写出直线的解析式． 二次函数与相似三角形 1. （21-22九年级上·广东深圳·期末）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，设BE＝m． (1)如图，当m时，求线段CF的长； (2)当点E在BC线段上（不含B、C）运动时，∠QEF与∠CEF是否相等？请说明理由； (3)在（2）的条件下，请你求出点P到QE的距离h，用含m的代数式表示h，并求h的最大值． 2. （21-22九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图像过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交于点F、交二次函数的图像于点E． (1)求二次函数的表达式； (2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段的长度． 3. （20-21九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．    4. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A、B(1，0)，与y轴交于点D，直线AD：，抛物线顶点为C，作CH⊥x轴于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点M，使得S△ACD=S△MAB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标. 二次函数与“AP+kBP”的最小值问题 1. （19-20九年级上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）. （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标； （3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标. 2. （20-21九年级上·广东深圳·期末）如图1，抛物线（）与轴交于点，与轴交于点，在线段上有一动点（不与，重合），过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． （1）分别求出抛物线和直线的函数表达式； （2）连接、，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）如图2，点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为（），连接，，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$