天津市第二南开中学2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级 数学 aA 第I卷 ·Y甲 一.选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分) 1. 下列交通标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. C. D. 2. 关于二次函数一(x+1)*-3的性质,下列说法不正确的是( -... ) A.顶点是(1,-3) B. 图象开口向上 C. 函数有最小值-3 D. 当x-1时,y随x的增大而增大 3.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大 我 小,深一寸,锯道长一尺,问:径几何?”用现在的几何语言表 达即:如图,弦AB1CD,垂足为点E,CF=1寸,AB=10寸,则 直径C的长度是( ) C. 12寸 A.13寸 B:26寸 D.24寸 4. 已知反比例函数y(k0)的图象经过点M(-2.-3),则该函数的图 象位于 () 班 A.第一、三象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 .计算2V2-2sin45*的值为( ~ C. 2 B.1 D.2 A.0 x 小关系是( ) 第1页(共5页) A. x<x<x C.<x<x& B. <x<x D. &<x<x 7. 如图,AB是o的直径,CD是O的切线,切点为D.CD与AB的 延长线交于点C 若乙A-30*,AD-5,则BC的长度为( ) A. B.③ C. D.V3# 8. 已知二次函数y(2)-1向左平移万个单位,再向下平移k个单位,得到二次函数 y=(x+3)*-4,则和k的值分别为( ) c.1.-3 A.1,3 B.3,-4 D.3.-3 9. 如图,△ABC内接于0A=45*,BC=22,则劣孤BC的长为( 。 .1n# A.π B.2r D.2r 10. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的.正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、 空间最大、也最为坚固、如图,某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF,若⊙0的内接正六边 形为正六边形ABCDFE,则BF的长为( ) A. 12 B. 62 C. 63 D. 123 11. 如图,在等边三角形ABC中,有一点P,连接PA、PB、PC,将BP绕点B逆时针旋转60{得到 BD, 连接PD、AD,有如下结论:①△BPC△BDA;②△BDP是等边三角 形;③如果乙BPC=150*,那么P一PB+PC以上结论正确的是( - C.②③ B.①③ A.①② D. ①②③ 12. 已知二次函数y=ax+bxc(a0)图象的对称轴为直线x--1,部分图象如图所示,下列结 论中:①abc>0:②f-4ac>0:③4a+c>0:④若t为任意实数,则有a-bt<at+b、当图象 结论有( 。 第2页(共5页 D. ②③④ C.②③④ B. ②③ A.①②③ .# 二.填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 13. 将二次函数y=x-4x+2化成y=a(x-b)+k的形式,结果为 单))炮,将它 14. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子 们背面朝上任意放置,从中随机翻开一枚,恰好翻到棋子“ 的概率 是 15.一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm,圆心角为120*的扇形,则此圆锥底面圆的半径为c 16. 点F是正五边形ABCDF边DF的中点,连接BF并延长与CD延长线交于点G,则乙BGC的度数 为 17. 如图,矩形ABCD中,乙BAC=60{*,点F在AB上,且BB;AB=1:3,点F在BC边上运动 以线段FF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF,连接CG,当CG最小时, 为 C (第16题) (第17题) 18. 如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,圆上的点A,B均在格点上. (I)线段AB的长等于__ (II)若点M,N分别在圆上,满足乙MAN-90*且AM-AN. 请用无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出点M,N,并简要 说明点M,N的位置是如何找到的(不要求证明). 第3页(共5页) 第II卷 三. 解答题(本大题共7小题,共66分) 19.(本小题8分)已知关于x的一元二次方程x-(n+2)x+m-1=0. (1)求证:无论”取何值,方程都有两个不相等的实数根 (2)如果方程的两个实数根为x,x,且x2+x2-xx=9,求n的值. 20.(本小题8分)如图,已知抛物线y=x+bx+c经过A(-1,0)、B(3 0)两点. (1)求抛物线的解析式和顶点坐标 (2)当0<x<3时,求y的取值范围 (3)点P为抛物线上一点,若S=10,求出此时点P的坐标 21.(本小题10分)一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品,这种产品的成本 价10元/件,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场 调查发现,该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数 关系如图所示 △(件) (1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围 (2)求每天的销售利润V(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系 式,并求出每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是 x/件) 多少? (3)如果每天获得104元的利润,销售单价为多少元? 22.(本小题10分)如图,AB是0的直径,C是⊙0上的一点,且OC1AB于点0点)是BC的 中点,连接AD交OC于M, 连接BD,CD (1)乙DAB的度数为 度. (2)求证:DC-M n (3)过点C作CE1AD于点E 若BD-②,求E的长 第4页(共5页) 23.(本小题10分)如图,某校数学兴趣小组要测量建筑物AB的高度,测角仪CD的高度为1.6 米.他们在点C测得楼顶A的仰角为30{,前行20米到达F点,这时在点E处测得楼顶A的仰角 为58,求建筑物AB的高度(结果保留整数). 参考数据: tan58~1.60,3~1.73. 24.(本小题10分)如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,乙A=90*,点D、E分别在边AB、AC上, AD-AE连接DC点M PN分别为DB、DC BC的中点 (1)观察猜想:图1中,线段P%与PW的数量关系是 ,位置关系是 (2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,判断△PMN的形状 并说明理由; (3)拓展延伸:把△ADF绕点A在平面内自由旋转,若DF一2,BC一4,请直接写出八PW面积 的最大值. ##._# 25.(本小题10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y--x+bx+c与x轴交于A,B(4 0)两点,与y轴交于点C,点D(3,4)在抛物线上,点P是抛物线 上一动点. (1)求该抛物线的解析式 (2)连接BC,若BC上方抛物线上有一点B.且P到真线BC的距 离为22,求点P的坐标: (3)如下图,连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使乙CBP AC0一45{?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明 理由. 第5页(共5页) 1． 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B A D B D A A C D C 2． 填空题 13. y＝（x﹣2）2﹣2． 【分析】直接利用配方法确定答案即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+2＝x2﹣4x+4﹣4+2＝（x﹣2）2﹣2， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的解析式之一般式化为顶点式，利用配方法整理求解即可．解题的关键在于利用配方法先提出二次项的系数，凑成完全平方式． 14. 【分析】直接根据概率公式解答即可． 【解答】解：∵共有四枚棋子，“”有一个， ∴从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为：． 15. 3 【分析】设该圆锥底面圆的半径为r cm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可． 【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr＝，解得r＝3， 即该圆锥底面圆的半径为3cm． 故答案为：3． 16. 18° 【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠DFG＝90°， ∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角， ∴∠FDG＝＝72°， ∴∠BGC＝90°﹣72°＝18° 17. 【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE＝CF，设AB＝m，根据BE：AB＝1：3，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论． 【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵O是EF的中点， ∴OB＝OE＝OF， ∵∠EGF＝90°，O是EF的中点， ∴OG＝OE＝OF， ∴OB＝OG＝OE＝OF， ∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG＝∠EFG， ∵∠EGF＝90°，EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE＝45°， ∴∠EBG＝45°， ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， ∴当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴， ∵CG⊥BG， ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC＝90°， ∴BG＝CG， ∵∠EGF＝∠BGC＝90°， ∴∠EGF﹣∠BGF＝∠BGC﹣∠BGF， ∴∠EGB＝∠FGC， 在△EGB和△FGC中， ， ∴△EGB≌△FGC（SAS）， ∴BE＝CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， 设AB＝m， ∵BE：AB＝1：3， ∴， 在Rt△ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴AC＝2AB＝2m， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. （1） （2）构造正方形，交圆于点，延长交圆于点，连接，即可． 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可； （Ⅱ）构造正方形，交圆于点，延长交圆于点，连接，即可． 【解答】解：（Ⅰ）． 故答案为：； （Ⅱ）如图，点，即为所求． 步骤：构造正方形，交圆于点，延长交圆于点，连接，即可． 可以证明，推出，． 故答案为：构造正方形，交圆于点，延长交圆于点，连接，即可． 3． 解答题 19. 20.【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． （3）∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB＝4． 设P（x，y），则S△PAB＝AB•|y|＝2|y|＝10， ∴|y|＝5， ∴y＝±5． ①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4， 此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 21.【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b， 将（10，30）、（16，24）代入，得：， 解得：， 所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤16）； （2）根据题意知W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣x+40） ＝﹣x2+50x﹣400 ＝﹣（x﹣25）2+225， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＜25时，W随x的增大而增大， ∵10≤x≤16， ∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144； （3）根据题意知，﹣（x﹣25）2+225＝104， ∴x＝14或x＝36（舍去）， 答：销售单价为14元． 22. 【解答】解：（1）如图，连接OD， ∵OC⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∵D是的中点， ∴， ∴∠COD＝∠BOD＝45°， ∵， ∴∠BAD＝∠BOD＝22.5°， 故答案为：22.5． （2）∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠AMO＝∠ABD， ∵， ∴∠COD＝∠BOD， ∵OC＝OD＝OB， ∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD， ∵∠AMO＝∠CMD， ∴∠MCD＝∠CMD， ∴DC＝DM． （3）∵CD＝BD＝， ∴DM＝DC＝， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°， ∵∠COD＝45°，OC＝OD， ∴∠ODC＝67.5°， ∴∠CDE＝45， ∵CE⊥AD， ∴DE＝•CD， ∴DE＝1， ∴ME＝﹣1． 23. 【解答】由题意得：米，，米，，， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， （米， 建筑物的高度约为20米． 24.【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN＝BD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM＝CE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN； （2）△PMN是等腰直角三角形． 理由：如图2，连接CE，BD， 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； （3）若DE＝2，BC＝4， 在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝4， ∴AB＝BC＝2， 同理：AD＝， 由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD＝AB+AD＝2+＝3， ∴PM＝， ∴S△PMN最大＝PM2＝×（）2＝． 25.【解答】解：（1）∵点B（4，0），点D（3，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2） （3）存在，P（3，4）或P（﹣，）， 将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°，至△A'OB，如图2所示： 则A'O＝AO＝1，∠ACO＝∠A'BO， ∴A'（0，1）， 由题意知直线BP过点A'，设直线BP的解析式为y＝mx+n， 将B（4，0），A'（0，1），代入，得：， 解得：， ∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1， 联立， 解得：或， ∴P（﹣，）， 此时使∠CBP+∠A'BO＝∠CBP+∠ACO＝45°， 如图2所示，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F，则四边形OBFC为正方形， 作A'关于BC的对称点G，点G在CF上，作直线BG，则直线BG与抛物线的交点满足条件， ∴GF＝OA'＝1，CG＝CF﹣FG＝4﹣1＝3，BF＝OC＝4， ∴G（3，4），与点D重合， ∵点D（3，4）在抛物线上， ∴P（3，4）． ∴抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，点P的坐标为P（3，4）或P（﹣，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$