专题05 解直角三角形（考点清单，4清单&11题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

清单05 解直角三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角函数的概念： （1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数. （2）在△ABC中，∠C=90°, ∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=. 【清单02】特殊角的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 【清单03】解直角三角形 1．解直角三角形 （1）解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. （2）直角三角形的解法 直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型: ① 已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=;  ② 已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=;  ③ 已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A=;  ④ 已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A=.  【清单04】解直角三角形的应用： 1．与解直角三角形有关的名词、术语 （1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角. 从下向上看,叫做仰角; 从上往下看,叫做俯角. （2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角. 【考点题型一】正弦、余弦、正切的概念 【例1】在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【考点题型二】求正弦、余弦、正切 【例2】在菱形中，若对角线，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（）． A． B． C． D． 【变式2-3】如图，点均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】已知正弦、余弦、正切求边长 【例3】在中，，，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3-1】在中，，则 ． 【变式3-2】已知在中，，则的长为 ． 【考点题型四】特殊角的三角函数值 【例4】已知，则的值是（   ） A． B． C． D．1 【变式4-1】如图，在中，，，．求的值． 【变式4-2】计算： ． 【考点题型五】根据三角函数值判断角的度数 【例5】王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ． 【变式5-1】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，若，则 度； 【考点题型六】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【例6】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-1】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【变式6-2】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-3】在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【考点题型七】特殊角三角函数的混合运算 【例7】计算： 【变式7-1】计算 (1)； (2)． 【变式7-2】计算 (1)． (2)． 【考点题型八】解直角三角形 【例8】如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接交于点F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【变式8-2】如图，在中，已知，，为上一点，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【变式8-3】如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点E，F，如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【考点题型九】解非直角三角形 【例9】如图，在中，，求和的长． 【变式9-1】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式9-2】如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【考点题型十】解直角三角形的应用 【例10】为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 【变式10-1】学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量． 数据采集：如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点，，，均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 【变式10-2】如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． (1)求的度数； (2)求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 【变式10-3】随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，点在点北偏东方向，；点在点正东方向，；点在点正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据： ，，，） (1)求的长度；（结果精确到个位） (2)骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相间的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【变式10-4】某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【考点题型十一】三角函数综合 【例11】如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 【变式11-1】如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【变式11-2】定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 1．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．4 2．在中，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，那么的正切值是（    ） A． B． C． D．2 4．的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 9．小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 米 10．比较大小： （填“>”或“=”或“<”）． 11．在直角三角形中，，且，则 ． 12．在中，，则 ． 13．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都是格点，则的值为 ．    14．计算：． 15．如图，在中，，，于点，，求的值． 16．防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面，门宽．（参考数据：，，，） (1)如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求的长 (2)如图3，当左门绕点逆时针打开时，点落在点处，求此时点到墙面的距离． 17．已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 解直角三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】三角函数的概念： （1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数. （2）在△ABC中，∠C=90°, ∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cos A=,∠A的正切tan A=. 【清单02】特殊角的三角函数值： 三角函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 【清单03】解直角三角形 1．解直角三角形 （1）解直角三角形的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. （2）直角三角形的解法 直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型: ① 已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=;  ② 已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=;  ③ 已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A=;  ④ 已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A=.  【清单04】解直角三角形的应用： 1．与解直角三角形有关的名词、术语 （1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角. 从下向上看,叫做仰角; 从上往下看,叫做俯角. （2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i=.坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角. 【考点题型一】正弦、余弦、正切的概念 【例1】在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，画出直角三角形，根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：如图， A.，，结论错误，故不符合题意； B. ，，结论错误，故不符合题意； C.，，结论错误，故不符合题意； D.，，结论正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 【变式1-2】如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】如图，在中，，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：根据已知，，不妨设，则， 故． 故选：B． 【考点题型二】求正弦、余弦、正切 【例2】在菱形中，若对角线，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，正弦的定义． 根据菱形的性质可得， 再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． 根据勾股定理，得． 在中，． 故选：B． 【变式2-1】在中，已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，正确记忆定义是解题的关键．根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ． 故选：C． 【变式2-2】在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据题意画出图形，再根据解答即可． 【详解】解：如图所示：中，、、的对边分别为a、b、c， ； 故选：B． 【变式2-3】如图，点均在正方形网格的格点上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角函数，连接，由勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，，进而根据正切的定义计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故选：． 【考点题型三】已知正弦、余弦、正切求边长 【例3】在中，，，，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦的定义，可得，根据即可求解． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴    故选：D． 【变式3-1】在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，能熟记锐角的正切的定义是解此题的关键．根据代入即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】已知在中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，先根据，，求出的长，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在中， ，，， ， ． 故答案为：． 【考点题型四】特殊角的三角函数值 【例4】已知，则的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】解：， 故选A 【变式4-1】如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、特殊角的三角函数，先由勾股定理可得，再求出，，代入计算即可得解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， ∴，． ∴． 【变式4-2】计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解，掌握负整数指数幂公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型五】根据三角函数值判断角的度数 【例5】王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了根据角的三角函数值求角，由题意可得，即得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 【变式5-2】在中，若，则 度； 【答案】75 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性及特殊角度的三角函数值，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0和特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值的非负性求出、的值，进而求得，的度数，根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：75． 【考点题型六】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【例6】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【变式6-1】在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 【变式6-2】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 解得：，， ∴， ∴是钝角三角形， 故选B． 【变式6-3】在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 【考点题型七】特殊角三角函数的混合运算 【例7】计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值，乘方，根据特殊角的三角函数值代入，分别计算即可． 【详解】解： ． 【变式7-1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和实数的运算，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，零指数幂，属于基础题． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，然后根据0次幂和绝对值的意义化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数的混合运算，二次根式的混合运算，熟记特殊角三角函数是解题的关键． （1）求出特殊角的三角函数值，再根据二次根式混合运算法则即可求解． （2）把特殊角的三角函数值代入，然后化简二次根式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型八】解直角三角形 【例8】如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接交于点F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据勾股定理求出，然后利用三角函数得到即可判断A选项，然后利用角平分线和30°的直角三角形的性质判断B选项；利用面积求出判断C选项；再根据勾股定理判断D选项即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵ ∴， 故A正确，不符合题意； ， ∵是的角平分线， ， 故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ， ， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选： C． 【变式8-1】如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．先设，则，根据垂直平分线的性质可得到，然后根据长求出x的值，再利用勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，， ∴设，则， 又∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式8-2】如图，在中，已知，，为上一点，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． （1）由已知得为等腰直角三角形，所以，又因为已知的正弦值，即可求出的长． （2）利用勾股定理求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解： ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， （2）在中，，，由勾股定理，得 ， ， 即：， ， ． 【变式8-3】如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点E，F，如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 先求出，再根据同角的余角相等推出，然后利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，设，则， 在中，， ∴， 故选：C． 【考点题型九】解非直角三角形 【例9】如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式9-1】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式9-2】如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 【考点题型十】解直角三角形的应用 【例10】为了践行“绿水清山就是金山银山”的重要理念，我省某森林保护区开展了寻找古树的活动．如图，古树直立于水平面，为测量古树的高度，小明从古树底端B点出发，沿水平方向行走了30米到达点C，然后沿斜坡前进，到达坡顶D点处，，在点D处放置测角仪，测角仪支架的高度为0.8米．在点E处测得古树顶端A点的仰角为（点A、B、C、D、E在同一平面内），斜坡的坡度．（参考数据：，，） (1)求斜坡的高； (2)求古树的高．（结果保留一位小数） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作与点， 延长交于，根据斜坡的坡度可设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可得出与的长，故可得出结论； （2）由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：过点作与点， 延长交于， ∵斜坡的坡度米， ∴设米， 则米， 在中， ，即， 解得， 米， 米， 答：斜坡的高为米； （2）解：， ∴四边形是矩形， 米，米， 米，米， 在中， ， 米， 米， 答： 古树的高AB约为米． 【变式10-1】学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量． 数据采集：如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点，，，均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点作于点，作于点，由题意得：，，根据三角函数的定义得到，，根据矩形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由题意得：，， 在中，∵，， ∴，． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 答：该风力发电机塔杆的高度为． 【变式10-2】如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头，当轮船航行到处时，测得码头在北偏东方向上，此时收到北偏东方向处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着方向继续航行海里到达处对渔船进行了救助，又沿着南偏东方向航行到达码头． (1)求的度数； (2)求轮船从处到码头距离．（结果精确到海里．参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)轮船从处到码头距离约为海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、平行线的性质、三角形的内角和等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点作，交于点，先求解，，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，过点作于，在中，求出，然后在中，求出，进而即可求解的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， ， ， ， ； （2）如图，过点作于， 在中，，， ， ， 在中，， ， （海里）， 答：轮船从处到码头距离约为海里． 【变式10-3】随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，某天，小明在位于点处的家中购买了位于点处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点在点北偏西方向，点在点北偏东方向，；点在点正东方向，；点在点正南方向，且在商家正东方向，．（参考数据： ，，，） (1)求的长度；（结果精确到个位） (2)骑手在收到派单后立即赶往点处取餐并开始配送，骑手有两条送餐路线可选择：①；②．请通过计算说明，在速度相间的情况下，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小明家？（结果精确到个位） 【答案】(1)的长度约为米 (2)骑手选择线路①才能更快地将外卖送到小明家 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题； （1）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，在中，求出，进而求出，在中，即可求出； （2）在中，求出，在中，求出，进而求出，再根据线路①路程为：，线路②路程为，求出两条线路长，比较即可作出判断． 【详解】（1）解：由题意，知，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，如图， 则四边形是矩形，，， 在中， ，， （米） （米） （米） 在中， 由题意，知， （米） 答：的长度约为米 （2）在中， （米） 在中， （米） （米）， 线路①路程为：（米）， 线路②路程为：（米）， ＜， 线路①较近． 【变式10-4】某校组织初三学生到张家界国家森林公园开展研学旅行，同学们来到入口A观测到山顶D在仰角的地方（学生身高忽略不计），然后水平前行了27米，到达一个岔路口B处，从这里上山有两条路线．路线一：沿着一个坡度的斜坡步行到索道口C，然后乘坐一条长500米，且与水平线夹角为的索道上山；路线二：继续沿水平路线前行到山脚E，然后乘坐山体电梯直达山顶D（山体电梯与水平地面垂直）．（参考数据：，，，，） (1)求山顶D离水平地面的高度为多少米？（结果精确到1米） (2)若师生的步行速度为50米分，索道的运行速度为70米分，山体电梯的运行速度为180米分．张老师带领部分同学选择路线一，李老师带领另一部分同学选择路线二，两队从B点一起出发，请问哪个队伍先到山顶？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)张老师所带队伍先到山顶 【分析】（1）设过点的水平线交于点，过点作于点，易证得四边形为矩形，故可设米，则米，在中，可求得米，米，进而可得米，米，米，由，可得，进而可得，由等角对等边可得，即，解方程即可求得的长，然后根据即可求出山顶离水平地面的高度； （2）由（1）可知米，进而可得米，米，米，再列式求出路线一所需时间和路线二所需时间，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设过点的水平线交于点，过点作于点， 则四边形为矩形， ； 设米， ， （米）， 在中， （米）， （米）， 米， 米， 米， 米， ，， ， ， ， 即：， 解得：（米）， （米）， 答：山顶离水平地面的高度约为米； （2）解：由（1）可知：米， 米， （米）， （米）， 路线一所需时间（分钟）， 路线二所需时间（分钟）， ， 选择线路一的队伍先到山顶， 答：张老师带领部分同学选择路线一先到山顶． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用（坡度坡比问题），解直角三角形的应用（仰角俯角问题），矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【考点题型十一】三角函数综合 【例11】如图，四边形内接于为直径，上存在点，满足，连结并延长交的延长线于点与交于点． (1)设，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，则的值为_______．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据得；根据为直径得；结合即可求解； （2）连接，可推出；结合，可得；证即可求解； （3）设，则，可推出，；设，可推出，即，；根据得，，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴ （2）证明：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 由（1）得：， 设，则， ∵， ∴； ∴； 设， ∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆与几何综合问题，涉及了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． 【变式11-1】如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． (1)求证：； (2)过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析 ②9 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得． （2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证． ②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值． 【详解】（1）证明：，平分， 且是的中点， 直线是线段的垂直平分线， ． （2）①证明：连接，如图2． ，是的中点， 中位线， ， ． ，， ，． ， ， ， ． ②解：连接，如图3． ， ， ． ， ． ，H是的中点， ． ， ， ， ， ． 连结． ，H是的中点， ． ． ． ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，三角函数等，能够根据题目构造辅助线，综合利用多个知识点，通过线段之间的比例及勾股定理建立方程求解是本题的关键． 【变式11-2】定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”． (1)如图1，在对角互余四边形中，，且．若，求四边形的面积和周长． (2)如图2，在四边形中，连接，点O是外接圆的圆心，连接，求证：四边形是“对角互余四边形”； (3)在（2）的条件下，如图3，已知，，，连接，求线段的长． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为； (2)见解析； (3)线段的长是． 【分析】（1）由四边形是对角互余四边形，，得，则，可求得， ，于是可求得，； （2）延长交于点E，连接，由是的直径，得，而，则，即可证明四边形是“对角互余四边形”； （3）作于点F，使点F与点A在直线的异侧，由，根据勾股定理得，可证明，得，，所以，由，得，而，则，因为，所以，连接，证明，可求得． 【详解】（1）解：如图1， ∵四边形是对角互余四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为，周长为； （2）证明：如图2，延长交于点E，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是“对角互余四边形”； （3）解：如图3，作于点F，使点F与点A在直线的异侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长是． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质、新定义问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1．如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 【详解】解：，，， ， ， ． ， ， 故选：C． 2．在中，，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据，即可得出答案． 【详解】解：， 设，， ． 故选：C． 3．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，那么的正切值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求一角的正切，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正切的定义求得的值． 【详解】解：如图，连接， 根据网格的特点可知： ， ， 是直角三角形， ， ， 故选：C． 4．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解直角三角形，先由矩形的性质和已知条件证明，然后解直角三角形推出，据此可求出的度数，最后求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中分别表示一楼、二楼地面的水平线，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于，求出，根据正弦求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，    则，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．证明，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴由矩形的对称性得：， ∴， 设，则， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 8．如图在菱形中，，则的值（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，以及三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，菱形四边相等．首先设菱形边长为，则，根据三角函数定义可得，再解即可得到的值，然后利用勾股定理计算出的长，然后在根据正切定义可得的值． 【详解】解：设菱形边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9．小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 米 【答案】60 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键．根据题意设铅直距离为，则水平距离为，根据勾股定理求出的值，即可得到结果． 【详解】解：设铅直距离为，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：， 则她实际上升了60米， 故答案为：60 10．比较大小： （填“>”或“=”或“<”）． 【答案】= 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据任意锐角的正弦值等于余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于余角的正弦值解答即可，这也是解题关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：=． 11．在直角三角形中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系是解题的关键．根据三角函数的性质，一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12．在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键；由题意易得是等腰直角三角形，且，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：由题意得：是等腰直角三角形，且， ∴， ∴； 故答案为：． 13．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都是格点，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接，    由格点及勾股定理知：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．计算：． 【答案】 【分析】考查了实数的运算，解题关键是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行． 利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可． 【详解】解：． 15．如图，在中，，，于点，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理等；过作交的延长线于，由平行四边形的性质得 ，，由平行线之间的距离处处相等得，由余弦函数得，由勾股定理得， 由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解； 平行四边形是性质，等腰三角形的判定及性质，三角函数，勾股定理，并能熟练利用勾股定理及三角函数求解是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ． 16．防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面，门宽．（参考数据：，，，） (1)如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求的长 (2)如图3，当左门绕点逆时针打开时，点落在点处，求此时点到墙面的距离． 【答案】(1) (2)点到墙面的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形实际应用． （1）由题意得，利用在中，求出； （2）过点作于点，中利用三角函数求出． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，，， 则； （2）解：如图，过点作于点， 由题意得， 在中，，，， 则． 答：点到墙面的距离约为． 17．已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$