7.1 同底数幂的乘法（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

7.1　同底数幂的乘法（四大题型提分练） 题型一 同底数幂的乘法运算性质 1．若m、n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 2．下列各组式子中，是同底数幂的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各式中，计算结果等于的是（ ） A． B． C． D． 4．代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．计算： （1） ；     （2） ； （3） ；     （4） ． 7．若，则 ． 8．若，则 ． 9．若(a为大于1的整数)，则n的值是 ． 10．若，，则用a，b的代数式表示c为 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 12．小丽给小明出了一道计算题：若，求x的值，小明的答案是，小亮的答案是2，你认为谁的答案正确？请给出理由． 题型二 逆用同底数幂的乘法运算性质 1．可以写成（  ） A． B． C． D． 2．已知，用含m的代数式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．是的 倍． 6．若，则 ；若，则 ． 7．若n为正整数，则计算的结果是 ． 8．已知，，求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 9．（1）已知，，求的值；      （2）已知，，试用含，的式子表示． 题型三 同底数幂乘法的实际应用 1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（    ） A． B． C． D． 3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是纳米，则个这样的细胞排成的细胞链的长是（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 4．如图，搭载国产芯片的“神威·太湖之光”是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿（1亿亿）次的超级计算机．此计算机工作可进行 次运算． 5．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为 ． 6．已知正方体的棱长是，则它的表面积是 ． 7．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了 s，已知电磁波的传播速度为m/s，则该时刻飞机与雷达的距离是 m(结果用科学记数法表示). 8．光年一般被用于衡量天体之间的距离，光年是指光在宇宙真空中沿直线一年所经过的距离，如果光的速度为每秒千米，一年约为秒，那么光年约为多少千米？ 题型四 新定义下的同底数幂相乘 1．规定，例如：；若，则x的值为（    ） A．29 B．4 C．3 D．2 2．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 3．我们学习了幂的意义，知道an表示n个a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我们不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝ ．（用含x的代数式表示y） 4．如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 5．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 1．小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 2．下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（    ） A． B． C． D． 3．已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．的计算结果是（ ） A． B． C． D． 5．在等式中，括号内的代数式应是（  ） A． B． C． D． 6．可以写成（    ） A． B． C． D． 7．计算的结果是（    ） A． B． C． D．0 8．在物理学中，表示电流大小的单位有千安、安培、毫安、微安等，其中，，．若某新能源电动汽车的充电电流为，则等于（    ） A． B． C． D． 9．若 则的值为（    ） A． B．0 C．3 D．8 10．我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 11．若，则x的值等于 ． 12．已知，，则的值是 ． 13．若，则的值为 . 14．若，，则= ． 15．若，，，且，则此时值为 ． 16．已知，，若用含的代数式表示，则 ． 17．地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是n级地震的倍．6级地震释放的能量大约是2级地震的 倍． 18．已知，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ． 19．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，例如：，，则，若，那么 （用含的代数式表示） 20．规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 21．计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4). 22．解方程：（1）； （2）． 23．已知，求的值． 24．我们约定，如．判断与是否相等？并说明理由． 25．光在真空中的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约是，地球与太阳的距离约是多少千米？ 26．在计算时，小明发现每一个加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是： 令， ， ， 即． 仿照上述做法，解决下列问题： (1)______． (2)计算：（写出计算过程）． 27．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：小明给出了如下的证明： 设，则，即， 所以，即， 所以． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：． 28．有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的沙漏形”的个数为（n为自然数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示）； (2)若，计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1　同底数幂的乘法（四大题型提分练） 题型一 同底数幂的乘法运算性质 1．若m、n为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由幂的意义可知： 原式＝， 故选：A． 2．下列各组式子中，是同底数幂的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】解：A、和的底数分别是，底数不相同，不是同底数幂，故该选项不符合题意； B、与的底数分别是，底数不相同，不是同底数幂，故该选项不符合题意； C、与的底数分别是和，底数相同，是同底数幂，故该选项符合题意； D、与的底数分别是，底数不相同，不是同底数幂，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．下列各式中，计算结果等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．因为与不是同类项，所以不能合并，故A选项不符合题意； B．因为与a不是同类项，所以不能合并，，故B选项不符合题意； C．，计算结果等于，故C选项符合题意； D．因为与不是同类项，所以不能合并，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ， 故选：C． 5．若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， 故选：B． 6．计算： （1） ；     （2） ； （3） ；     （4） ． 【解析】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 7．若，则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：125. 8．若，则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：10． 9．若(a为大于1的整数)，则n的值是 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 10．若，，则用a，b的代数式表示c为 ． 【解析】解：∵，，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 【解析】（1）原式； （2）原式； （3）原式． （4）原式 （5）原式 （6）原式 . 12．小丽给小明出了一道计算题：若，求x的值，小明的答案是，小亮的答案是2，你认为谁的答案正确？请给出理由． 【解析】小亮的答案是正确的，理由： ∵， ∴，解得． 故小亮正确． 题型二 逆用同底数幂的乘法运算性质 1．可以写成（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：原式 故选：D． 2．已知，用含m的代数式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴． ∴． 故选：A． 3．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，， ∴． 故选：A． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：； 故选：A． 5．是的 倍． 【解析】解：∵， ∴是的27倍． 故答案为：27． 6．若，则 ；若，则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴， 故答案为：；3． 7．若n为正整数，则计算的结果是 ． 【解析】解：， 故答案为：0． 8．已知，，求下列各式的值： (1)；(2)；(3)． 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ （3）解：∵，， ∴． 9．（1）已知，，求的值；      （2）已知，，试用含，的式子表示． 【解析】解：（1）∵，， ∴； （2）. 题型三 同底数幂乘法的实际应用 1．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万日亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1万1万，1兆1万1万1亿．若1兆，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解析】解：1兆1万1万1亿， 则， 故选：D． 2．信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ， 故选：C． 3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是纳米，则个这样的细胞排成的细胞链的长是（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】B 【解析】解：纳米， 故选：B． 4．如图，搭载国产芯片的“神威·太湖之光”是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿（1亿亿）次的超级计算机．此计算机工作可进行 次运算． 【解析】解：（次）， 故答案为：. 5．2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为 ． 【解析】解：路程=． 故答案为：． 6．已知正方体的棱长是，则它的表面积是 ． 【解析】解：∵一个正方体的棱长为， ∴它的表面积是：． 故答案为：． 7．雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了 s，已知电磁波的传播速度为m/s，则该时刻飞机与雷达的距离是 m(结果用科学记数法表示). 【解析】解：（m）， 故答案为：． 8．光年一般被用于衡量天体之间的距离，光年是指光在宇宙真空中沿直线一年所经过的距离，如果光的速度为每秒千米，一年约为秒，那么光年约为多少千米？ 【解析】解： （千米）． 答：光年约为千米． 题型四 新定义下的同底数幂相乘 1．规定，例如：；若，则x的值为（    ） A．29 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】解：∵，由题意可得： ∴ ∴，解得 故选：D． 2．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴ ， 故选：B． 3．我们学习了幂的意义，知道an表示n个a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我们不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝ ．（用含x的代数式表示y） 【解析】解：根据题意可得：由[3，x]＝m可得， 由[3，y]＝m+2可得 故答案为：. 4．如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则　　； (2)记，，，求之间的数量关系． 【解析】（1）解：∵，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，个相同的因数相乘可记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即，一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． (1)计算以下各对数的值： ， ， ． (2)观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？ (3)根据（2）的结果，我们可以归纳出：且，，，请你根据幂的运算法则：以及对数的定义证明该结论． 【解析】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：2，4，6； （2）解：， ； （3）解：设，那么有，又设，那么有， 故而， 根据对数的定义化成对数式为， ． 1．小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【解析】解：A、①③的乘积为，不符合题意； B、②③的乘积为，不符合题意； C、②④的乘积为，不符合题意； D、①④的乘积为，符合题意； 故选：D． 2．下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：中，底数不同，不能用同底数幂乘法法则进行计算，故A不符合要求； ，底数相同，能用同底数幂乘法法则进行计算，故B符合要求； ，不是乘法，不能用同底数幂乘法法则进行计算，故C不符合要求； ，底数不同，不能用同底数幂乘法法则进行计算，故D不符合要求； 故选：B． 3．已知为奇数，为偶数，则下列各式的计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：若为奇数，为偶数，则 A．，该选项运算错误，不符合题意； B．，该选项运算错误，不符合题意； C．，该选项运算错误，不符合题意； D． ，该选项运算正确，符合题意． 故选：D． 4．的计算结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： ， 故选：C． 5．在等式中，括号内的代数式应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、a，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 6．可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 7．计算的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】解： ， 故选：D． 8．在物理学中，表示电流大小的单位有千安、安培、毫安、微安等，其中，，．若某新能源电动汽车的充电电流为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：，． 故选：D． 9．若 则的值为(      ) A． B．0 C．3 D．8 【答案】D 【解析】解：∵ ∴， ∴， 故选：D． 10．我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 【答案】B 【解析】∵，， ∴，， ∵， ∴， ①，故正确； ②，故错误； ③，故正确； 故选：B． 11．若，则x的值等于 ． 【解析】解：， 即， 解得． 故答案为：3． 故答案为：． 12．已知，，则的值是 ． 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．若，则的值为 . 【解析】解：∵， ∴； 故答案为：16． 14．若，，则= ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：b． 15．若，，，且，则此时值为 ． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， 故答案为：21． 16．已知，，若用含的代数式表示，则 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是n级地震的倍．6级地震释放的能量大约是2级地震的 倍． 【解析】解：∵级地震释放的能量大约是n级地震的倍， ∴6级地震释放的能量大约是4级地震的倍， 4级地震释放的能量大约是2级地震的倍， ∴6级地震释放的能量大约是2级地震的倍． 故答案为：． 18．已知，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ． 【解析】解： ， ， ． 故答案为：． 19．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，例如：，，则，若，那么 （用含的代数式表示） 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ． ∴， 故答案为：． 20．规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则 ． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ． 【解析】解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 21．计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4). 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 22．解方程：（1）； （2）． 【解析】解：解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得： （2）原方程可化为， 即， ∴， 即， ∴， ∴． 23．已知，求的值． 【解析】 ， ， ． ． 24．我们约定，如．判断与是否相等？并说明理由． 【解析】解：相等，理由如下： ， ， ． 25．光在真空中的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约是，地球与太阳的距离约是多少千米？ 【解析】解：. 故地球与太阳的距离约是. 26．在计算时，小明发现每一个加数都是下一个加数的2倍，于是他的做法是： 令， ， ， 即． 仿照上述做法，解决下列问题： (1)______． (2)计算：（写出计算过程）． 【解析】（1）解：令，则， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． 27．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______． (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：小明给出了如下的证明： 设，则，即， 所以，即， 所以． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：． 【解析】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：设，，则， ∴，，， ∴． 28．有一张菱形纸片，其一个内角为，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形……设图（n）中的沙漏形”的个数为（n为自然数） 观察以上图形，解答下列问题： (1)填空：_______，________（用含n的式子表示）； (2)若，计算：； 【解析】（1）解：第一个图形有个“沙漏型”， 第二个图形有个“沙漏型”， 第三个图形有个“沙漏型”， …．． 由此可得到规律，第n个图形有个图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵， ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$