第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的化简求值】 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、二次根式的性质、乘方运算、立方根的定义分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 2．（2024·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，根据二次根式的性质化简，零指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、偶次方的非负性及绝对值的化简，熟练掌握知识点、正确计算是解题的关键． （1）将等式左边根号外的部分配方，根据偶次方的非负性和二次根式有意义的条件，可得和的值，问题可解； （2）根据，可得的值，从而得的范围，则可将所给式子化简． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， 解得：，， ， 的值为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2024·浙江·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握平方差公式，以及单项式乘多项式法则是解题的关键．先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，最后再把所给的a的值代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：， ， ， 将代入上式有， ． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求： (1)x和y的值； (2)的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，以及算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键． （1）根据偶次方和算术平方根的意义求解即可； （2）根据算术平方根的意义和二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ， ∴； （2）∵ ∴， ∴的算术平方根是． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）计算：. 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先计算二次根式，正整数指数幂，绝对值，负整数指数幂，然后利用有理数加减法整理，得到答案． 【详解】解： ． 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果．      【答案】． 【分析】根据数轴得出，可得，，根据绝对值和二次根式的性质化简即可得答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查实数与数轴、绝对值的性质及二次根式的性质，根据数轴正确得出各式的符号是解题关键． 8．（23-24八年级下·浙江金华·期末）计算：． 【答案】1 【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．（2023·浙江丽水·二模）计算：． 【答案】4 【分析】直接利用绝对值的性质，零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查实数运算，正确利用绝对值的性质，零指数幂的性质和二次根式的性质化简求出各数是解题关键． 10．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴上实数的位置可知，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查绝对值、二次根式的综合，掌握实数在数轴上的位置判断实数的正负，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键． 【经典计算题二 二次根式的加减计算】 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是掌握实数的运算法则．利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算即可． 【详解】解： ． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 14．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 15．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先将二次根式化简，再合并即可． 【详解】解： ． 16．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，对于（1），根据，，再计算； 对于（2），先化简，再合并同类二次根式． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 17．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键．根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案． 【详解】解：原式 ． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；掌握二次根式的加减法法则是解题的关键； 根据二次根式的加减法法则进行解题即可； 【详解】解：原式 ． 19．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算： 【答案】 【分析】先把每一个二次根式化简为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则求出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算．熟练地掌握计算技巧是解题的关键． 20．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，以及绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握算术平方根的定义，绝对值的代数意义，二次根式的加减法则，是解题的关键． 【经典计算题三 二次根式的乘除计算】 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键． （1）先算二次根式的除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘法进行计算，合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），根据乘方分配率计算；对于（2），根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握和运用二次根式的运算方法是解决本题的关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法和除法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 24．（23-24八年级下·浙江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 25．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 26．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可； （2）先展开，再去括号，最后合并．熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1） ． （2） ． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算，对式子进行化简，计算是解答本题的关键． （1）先计算二次根式的除法，二次根式的乘法，然后化成最简形式，合并得到最终结果； （2）先利用平方差公式和完全平方公式，将两个括号展开，再计算出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 29．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算， （1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式和利用二次根式乘法进行合并化简，最后再合并即可． （2）先利用完全平方公式，平方差公式将式子展开，然后根据二次根式的混合运算求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 34．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （）先把进行二次根式乘除法，然后合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 35．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）9；（2）6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据完全平方公式和二次根式乘法进行计算，把各二次根式化简为最简二次根式，根据二次根式加减混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）原式． 36．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据平方差公式、完全平方公式计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 37．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)23 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）利用平方差公式计算，即可求解； （2）先计算乘法，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 38．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式进行计算，再计算加减即可得出答案； （2）先根据完全平方公式将括号打开，根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）先化简二次根式，根据二次根式的除法法则运算，再计算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 40．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式的乘除，最后再计算加减法即可； （2）先化简二次根式和计算完全平方式，最后再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 42．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 43．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方； （2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键． 44．（23-24八年级上·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，4写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】解：（1）； ； （2）； （3）==． 【点睛】本题考查二次根式的计算和化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 45．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 【答案】（1） ， ；（2） 【分析】（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解. 【详解】解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3 即， ∴=； 首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20 即， ∴= （2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60 即， ∴= 【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键. 46．（23-24八年级上·山东青岛·期中）我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式： 例如：． 下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，，那么便有：， 问题解决：化简， 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，， 即（，， ∴ 模型应用1： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）；（2）； 模型应用2： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（结果化成最简）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）按照题目做法，令，即可求出结果； （2）先将化为，再按照（1）的做法计算即可. （3）利用勾股定理算出BC再化简即可. 【详解】（1）这里，由于， 即， 所以； （2）首先把化为，这里，，由于，， 即，， 所以 （3）在中，由勾股定理得， 所以， 所以， 【点睛】本题考查双重二次根式的化简，理解题干的做法是关键. 47．（23-24八年级上·上海黄浦·阶段练习）观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （2）将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （3）将原式变形为，即，然后将12拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可. 【详解】（1）===； （2）===； （3）======. 【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键. 48．（23-24八年级上·福建三明·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案. 【详解】解：首先把化为，这里，， 因为， 即，， 所以== 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题的关键. 49．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）将化为，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解；（2）将化为 ，仿照例题直接利用完全平方公式开平方即可求解． 【详解】（1） . （2） 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练应用完全平方公式是解决问题的关键． 50．（23-24八年级下·广东·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b(其中a、b、m、n均为整数)， 则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4＝　 　． (3)请化简：. 【答案】(1)m2+3n2，2mn；(2)(2+)2；(3)3- . 【分析】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可； （2）根据完全平方公式得出即可； （3）根据（1）即可解答． 【详解】解：(1)(m+n)2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn． 故答案为m2+3n2，2mn； (2)7+4＝(2+)2； 故答案为(2+)2； (3)∵12﹣6＝(3﹣)2， ∴． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 【经典计算题六 分母有理化】 51．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点． （1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可； （2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， ∴． 52．（23-24八年级下·浙江金华·期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有,这样可以把部分的式子化为平方式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当m、n均为正整数，若，则__________,__________． (2)当a、b、m、n均为正整数时，若,用含m、n的式子分别表示a、b,得：__________，__________． (3)化简． 【答案】(1) (2)   (3) 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，熟练掌握完全平方公式，二次根式的性质是解题的关键． （1）根据，再由等式的性质求、的值即可； （2）根据，再由等式的性质求、的值即可； （3）根据完全平方公式可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）， ，， 古答案为：，； （3） ． . 53．（2024八年级下·浙江·专题练习）求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）根据分母有理化把原式化简，代入计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，代入计算得到答案． 本题考查的是二次根式的化简求值，分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：（1） ， 当，时，原式； （2）解：，， ，， 原式． 54．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法，分母有理化求解即可得到答案； （2）将恒等变形，再由（1）中得到的，代入代数式，利用二次根式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由（1）知，， ． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及分母有理化、平方差公式、代数式化简求值、二次根式混合运算等知识，读懂题意，掌握分母有理化方法，熟练运用二次根式混合运算法则求解是解决问题的关键． 55．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是____________； A.互为相反数    B.绝对值相等    C.互为倒数 (2)已知，，化简，； (3)解方程：． ［提示：令，］． (4)求的值． 【答案】(1)C (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值， （1）计算对偶式，可得两数互为倒数； （2）根据已知分别化简x，y即可； （3）令，则两边同乘以，得，求出t，根据，，解得，即可求出x值，检验即可； （4）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对偶式与之间的关系是互为倒数； 故选：C； （2）解：由题意得 ， ； （3）解：令，则两边同乘以， 得， 解得， ∵， ， ∴①+②，得 ， 两边同时平方得， 解得， 经检验，是原方程的解． （4）解： 56．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 57．（2024·浙江宁波·一模）先化简，再求值： ，其中． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝……① ……② ……③ 当时，原式 【答案】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答见解析 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的加法法则计算，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答如下： 当时， 原式 58．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法，是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法，进行化简即可； （2）根据二次根式的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）原式 ． 59．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值； （1）仿照题的方法化简即可； （2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可； （3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：9； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 60．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先求出，，再由得出，求解即可； （3）求出，计算出，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ，， ，， ， ， 解得：； （3）解： ， ， ， ， ． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 62．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 63．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________与________； (2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ (3)若数对一个“对称数对”是，求、的值． 【答案】(1)，； (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“对称数对”的定义代入计算即可； （2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知、的值． 【详解】（1）由题意得，， 数对的一对“对称数对”是与； 故答案为：，； （2）由题意得， 数对的一对“对称数对”为与， 数对的一对“对称数对”相同， ， ； （3）数对一个“对称数对”是，， ，或，， ，或，． 64．（23-24八年级下·山东聊城·期末）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：的一对“对称数对”为与． (1)求数对的一对“对称数对”； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 【答案】(1)与 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意将，代入，即可； （2）的一对“对称数对”的两个数对相同说明和相等，求出即可； （3）将数对的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出，，即可知． 【详解】（1）解：由题意得：，， 的一对“对称数对”为与． （2）解：由题意，，， 数对的一对“对称数对”的两个数对相同， ， ， ． （3）解：由题意得：，3或3，， ，或，． 或． 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键． 65．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)－2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可． 【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴． （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 66．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的性质列出等式即可求解a； （2）代入a的值，根据新定义的运算法则即可求解． 【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， （2）当时 ． 【点睛】本题考查了同类二次根式的性质、新定义下的实数的运算等式，理解新定义的运算法则是解答本题的关键． 67．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为． 68．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 【答案】(1) (2)37 (3) 【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可； （2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可； （3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可． 【详解】（1）解：， ， ， 无理数的“臻美区间”是， 故答案为：； （2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解， 是正整数，， 一个无理数的“臻美区间”为， ， ， 当，即时，不存在，舍去； 当，即时，不满足不等式，舍去； 当，即时，满足不等式，则； 当，即时，不存在，舍去； 满足题意的，的值为， ，则； （3）解：，，， ， ， ， ， ，， ①，②， ①②得，则，即，解得， ，即， 的算术平方根的“臻美区间”为． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义． 69．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 70．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式的运算法则为解题的关键． （1）运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可； （2）根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由题意可得：，则， 解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：，， ∵， ∴， 即． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题例运算即可求解； （2）根据题例即可得出一般规律； （3）原式各项分母有理化后，合并即可得出答案． 【详解】解：（1）依题意可得： ① ②； （2）根据题意，观察式子的规律可得： ， 故答案为：； （3） ． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用题目中的规律进行判断即可； （2）利用分母有理化进行化简即可； （3）利用（2）中的化简方法得到原式，然后合并即可． 【详解】解：（1）根据题目中的规律可知：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，能结合题目，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往事半功倍． 2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的化简求值】 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）计算：． 2．（2024·浙江台州·二模）计算：． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 4．（2024·浙江·一模）先化简，再求值：，其中． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知，求： (1)x和y的值； (2)的算术平方根． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）计算：. 7．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果．      8．（23-24八年级下·浙江金华·期末）计算：． 9．（2023·浙江丽水·二模）计算：． 10．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【经典计算题二 二次根式的加减计算】 11．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算：． 12．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算：． 13．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 14．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 15．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算：． 16．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 18．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算：． 19．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算： 20．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算：． 【经典计算题三 二次根式的乘除计算】 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)． (2)． 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 23．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算： 24．（23-24八年级下·浙江·期中）计算： (1)； (2)． 25．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 26．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 27．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 29．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1) (2) 30．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算：． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 32．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）化简或计算： (1)； (2)． 33．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 34．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 35．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 36．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）计算 (1) (2) 37．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) 38．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2) 39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 40．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 42．（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 43．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号． 例如： ． 解决问题：化简下列各式 (1)； (2)． 44．（23-24八年级上·福建三明·期中）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以， 问题： （1）填空：__________，____________﹔ （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________． （3）化简：（请写出化简过程） 45．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b） 例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即， ∴= （1）填空：＝　 　，＝　 　； （2）化简：． 46．（23-24八年级上·山东青岛·期中）我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式： 例如：． 下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，，那么便有：， 问题解决：化简， 解：首先把化为，这里，，由于4+3=7，， 即（，， ∴ 模型应用1： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）；（2）； 模型应用2： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（结果化成最简）． 47．（23-24八年级上·上海黄浦·阶段练习）观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 48．（23-24八年级上·福建三明·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 49．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于完全平方公式：，同学们已经非常熟悉.现在我们又学习了算术平方根，知道任何一个非负数都有算术平方根，那么怎样来求的算术平方根呢？ 解：. 点评：解题的关键是将3拆成2和1. 请你继续完成下列题目. 计算：(1) ； (2) . 50．（23-24八年级下·广东·阶段练习）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b(其中a、b、m、n均为整数)， 则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4＝　 　． (3)请化简：. 【经典计算题六 分母有理化】 51．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 52．（23-24八年级下·浙江金华·期中）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中a、b、m、n均为正整数），则有,这样可以把部分的式子化为平方式． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当m、n均为正整数，若，则__________,__________． (2)当a、b、m、n均为正整数时，若,用含m、n的式子分别表示a、b,得：__________，__________． (3)化简． 53．（2024八年级下·浙江·专题练习）求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值； 54．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简； (2)求的值． 55．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”， 因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是____________； A.互为相反数    B.绝对值相等    C.互为倒数 (2)已知，，化简，； (3)解方程：． ［提示：令，］． (4)求的值． 56．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 57．（2024·浙江宁波·一模）先化简，再求值： ，其中． 小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝……① ……② ……③ 当时，原式 58．（23-24八年级上·山东滨州·期末）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：，． (1)化简m，n； (2)求的值． 59．（23-24九年级上·河南鹤壁·期末）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ． ∴，即． ∴． ∴． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：______； (3)若，求的值． 60．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)是正整数，，，且，求的值； (3)已知，求的值． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 62．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 63．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）阅读材料： 规定表示一对数对，给出如下定义：，．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对”为与． (1)数对的一对“对称数对”是________与________； (2)若数对的一对“对称数对”相同，则的值是多少？ (3)若数对一个“对称数对”是，求、的值． 64．（23-24八年级下·山东聊城·期末）我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”． 例如：的一对“对称数对”为与． (1)求数对的一对“对称数对”； (2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值； (3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值． 65．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 66．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 67．（24-25八年级上·广东茂名·开学考试）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是_____； (2)若，求的“麓外区间”． 68．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为． (1)无理数的“臻美区间”是______． (2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”． 69．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 70．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为=，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 所以 (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$