第1章 二次根式 章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第1章 二次根式 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A      B．      C．      D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和立方根、算术平方根．根据立方根的性质对A进行判断；根据算术平方根对B进行判断；根据二次根式的减法对C进行判断，根据二次根式的加法对D进行判断． 【详解】解：A．，本选项正确，符合题意； B．，本选项错误，不符合题意； C．，本选项错误，不符合题意； D．和不能合并，本选项错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，即被开方数大于等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：B． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而得出答案． 【详解】解；∵，， ∴可以表示为；． 故选：C． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式乘除法公式和合并同类二次根式法则是解本题的关键． 根据题意可判断，，然后再根据二次根式乘除法法则和合并同类二次根式法则进行化简求值即可． 【详解】，， ，， ． 故选：A． 5．（23-24八年级下·重庆·自主招生）把根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键． 利用等腰三角形的性质可以得到，设为，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题． 【详解】解：如图，设为为为，图2中的余角为， ∵为等腰三角形，， ， ， ， 结合两图，可得， 设为， 根据勾股定理得， ， 解得：， ， 故选：B． 8．（23-24八年级下·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 则， ， ， ， 故选：B． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 【答案】B 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的性质，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，由原式可以看出，被开方数都是1加连续两个自然数平方倒数和的形式；中间的算式都是1加第一个自然数的倒数，再减去第二个自然数的倒数；右边的结果为1加两个自然数乘积的倒数，进而求解即可． 【详解】设n为任意正整数， ∴ ∴ ， 因此与s最接近的整数是2009． 故选B． 10．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可． 【详解】原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24八年级下·浙江台州·期末）当 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：若二次根式有意义， 则， 解得：， 当时，是整数， 故答案为：1（答案不唯一）． 12．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果．本题主要考查代数式求值，算术平方根，解答本题的关键要注意二次根式的符号． 【详解】解：根据题意，把代入得： ． 故答案为：4． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出a，b值，代入所求代数式求值即可得到结论． 【详解】解：， 即， ，解得， 将代入得， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 15．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知正整数a，b，c满足：，则的值等于 ． 【答案】10或14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，把平方后，根据正整数a，b，c求解即可． 【详解】∵， ∴， 整理得， ∵正整数a，b，c， ∴， ∴或或或， ∴或， 故答案为：10或14． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的最值问题，勾股定理，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即，同理可得：，，进而得到，可知当，，，四点共线时，最小，即为长，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：构造图示的三个直角三角形， 即，，， 满足，，，，，， 则由勾股定理可知，即， 同理可得，， ， 即可知当，，，四点共线时，最小，即最小值为的长， 当，，，四点共线时，． 在中，． 故答案为：． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． （1）先计算乘法，再计算加减； （2）先计算立方根和平方根，再计算除法，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） 18．（2024·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知：，化简并求的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入求值．根据二次根式有意义的条件得到，则，再利用约分得到原式，然后通分得到原式，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ． 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知中，，，． (1)分别化简，的值； (2)并在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为）； (3)求最长边上的高． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，网格中表示线段长为二次根式的方法，培养学生动手操作能力． （1）根据二次根式的化简方法进行化简； （2）根据勾股定理计算边长的方法，在网格中画出、、即可； （3）由图中可以看出边上的高为面积为1的边长为的边上的高，利用三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：，； （2）如图所示， （3）依题意，的面积为， ∵， 边上的高为． 即最长边上的高为． 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 【答案】(1)①；②2 (2)22 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题中所给方法可进行求解； ②根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：（1）①； ② ； （2）解： ． 23．（23-24八年级下·广西贵港·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 24．（23-24八年级下·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)自变量时，函数取最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值． （4）分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，函数取到最小值，最小值为． 故答案为：，； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6， ∴此时有最大值，最大值为， ∴自变量时，函数取最大值，最大值为． （4）①， ， 又， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， 此时m有最大值，最大值为， 又，结果分母都为正数， ， ②时， ③，， 又， 当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为， 此时m有最小值，最小值为， 又，结果的分母为负数， ， ， 综合①②③得m的取值范围为． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次根式 重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共24题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）下列运算中，正确的是（   ） A      B．      C．      D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，，则代数式的值是（    ） A． B．0 C．4 D．1 5．（23-24八年级下·重庆·自主招生）把根号外的因式移到根号内，结果为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C．10 D． 8．（23-24八年级下·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）设，则S最接近的数是（   ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 10．（23-24八年级下·浙江嘉兴·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11．（23-24八年级下·浙江台州·期末）当 时，是整数．（写出一个符合条件的x的值） 12．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 15．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知正整数a，b，c满足：，则的值等于 ． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·自主招生）已知正实数，，满足，则的最小值为 ． 三、解答题（8小题，共66分） 17．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 18．（2024·浙江台州·期末）先化简，再求值：，其中． 19．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知：，化简并求的值． 20．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知中，，，． (1)分别化简，的值； (2)并在的方格纸上画出，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为）； (3)求最长边上的高． 21．（23-24八年级下·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 22．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： (1)①化简 ． ②当时，求的值． (2)化简． 23．（23-24八年级下·广西贵港·期末）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 24．（23-24八年级下·江西南昌·期末）阅读材料： 已知a，b为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ (4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$