6.5 一次函数与二元一次方程同步练习2024—2025学年苏科版数学 八年级上册

2024—2025学年苏科版八年级上册数学6.5 一次函数与二元一次方程 一、单选题 1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（    ）． A． B． C． D． 2．已知一次函数 y = 3x - 1 与 y = 2x 图象的交点是（1，2），求方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线、交于点.观察图象，点的坐标可以看做是下列哪个方程组的解（    ）    A．， B．， C．， D．， 4．如图中的两直线l1、l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解（　　） A． B． C． D． 5．已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k（x-1）-k2 4 ，若它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为（　　） A．a=1，b=2 B．a=1，b=-2 C．a=-1，b=2 D．a=-1，b=-2 6．如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与直线都经过，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，为轴上任意一点，连接，，有以下说法： ①方程组的解为 ②为直角三角形； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． 其中正确的说法个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．以方程的解为坐标的点组成下列哪个函数的图象（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积是 ． 10．如图，一次函数与的图像相交于点，则关于的二元一次方程组的解是    11．若函数为常数)与函数为常数)的图像的交点坐标是(2, 1)，则关于、的二元一次方程组的解是 . 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在直线上．若，则点C的坐标为 ． 13．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的方程的解是 ． 三、解答题 14．已知直线，. （1）在同一坐标系中，作出它们的图象； （2）根据图象写出方程组的解； （3）根据图象指出当x为何值时，；当x为何值时，； （4）求这两条直线与x轴围成的三角形的面积. 15．【再现课本】在第八章的数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．    【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 16．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A，两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)若点P是y轴上一点，且，求点的坐标． 17．我们可以建立平面直角坐标系来解决某些几何问题．    (1)如图，等边的边长为，若以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为_______； (2)某校八年级数学兴趣小组为测量路灯的高度，设计了如下方案：如图，在路灯下，身高为的小明，在处的影长为，此时，头顶与点、在同一直线上，在处的影长为，此时，头顶与点、在同一直线上．其中于点，于点，于点，、、、在同一直线上，请建立适当的平面直角坐标系，用一次函数的知识求该路灯的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A B A C D 1．D 【分析】由图易知两条直线分别经过（1，1）、（0，-1）两点和（0，2）、（1，1）两点，设出两个函数的解析式，然后利用待定系数法求出解析式，再根据所求的解析式写出对应的二元一次方程，然后组成方程组便可解答此题. 【详解】由图知，设经过（1，1）、（0，-1）的直线解析式为y=ax+b（a≠0）. 将（1，1）、（0，-1）两点坐标代入解析式中，解得 故过（1，1）、（0，-1）的直线解析式y=2x-1，对应的二元一次方程为2x-y-1=0. 设经过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=kx+h（k≠0）. 将（0，2）、（1，1）两点代入解析式中，解得 故过（0，2）、（1，1）的直线解析式为y=-x+2，对应的二元一次方程为x+y-2=0. 因此两个函数所对应的二元一次方程组是 故选D 【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于要写出两个函数所对应的二元一次方程组，需先求出两个函数的解析式. 2．C 【分析】根据两函数交点即为两函数组成的方程组的解，从而求出答案． 【详解】求方程组的解就是一次函数与函数的交点. 即： 故选C. 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 3．C 【分析】设直线l1的解析式是y=k1x-1，设直线l2的解析式是y=k2x+5，把A（-4，1）代入求出k的值，即可得出方程组． 【详解】解：设直线l1的解析式是y=k1x-1，设直线l2的解析式是y=k2x+5， ∵把A（-4，1）代入l1得：k1=， ∴直线l1的解析式是y=x-1， ∵把A（-4，1）代入l2得：k2=1， ∴直线l2的解析式是y=x+5， ∵A是两直线的交点， ∴点A的坐标可以看作方程组的解， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 4．A 【详解】试题解析：由于直线l1经过点（0，﹣1），（3，﹣2）；因此直线l1的解析式为y=﹣x﹣1； 同理可求得直线l2的解析式为y=﹣2x+4； 因此直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解． 故选A． 点睛：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 5．B 【详解】解：根据题意得， y=ax2+bx+1①， y=k（x-1）-②， 解由①②组成的方程组，消去y，整理得，ax2+（b-k）x+1+k+=0， ∵它们的图象对于任意的实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解， ∴x有两相等的值， 即△=（b-k）2-4a（1+k+）=0， ∴（1-a）k2-2（2a+b）k+b2-4a=0， 由于对于任意的实数k都成立，所以有1-a=0，2a+b=0，b2-4a=0， ∴a=1，b=-2， 故选B． 6．A 【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为． 即：方程组的解为． 故选：A． 7．C 【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解即可判断①；根据一次函数的解析式求得交点坐标，求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积，即可判断③；根据勾股定理的逆定理即可判断②；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，求得点P的坐标即可判断④，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：直线与直线都经过， 方程组的解为：，故①正确； 把代入直线，可得 令，则 把，代入直线，可得 解得： 直线 令，则 ，故③错误； ，， ，， 为直角三角形，故②正确； 点A关于轴对称点为 设过点，的直线为，则 解得： 令，则 当的值最小时，点P的坐标为，故④正确 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与性质、勾股定理，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 8．D 【分析】根据二元一次方程与一次函数的关系求解即可． 【详解】由得：3y=－2x+5，∴，故以方程的解为坐标的点组成的图象． 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程与一次函数的关系．弄清二元一次方程与一次函数的关系是解答本题的关键． 9．4 【分析】首先求出直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴的交点的坐标，然后根据三角形的面积公式，得出结果． 【详解】解：令x＝0，则y＝﹣4， 令y＝0，则x＝﹣2， 故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4）、（﹣2，0）， 故直线y＝﹣2x﹣4与两坐标轴围成的三角形面积＝×|﹣4|×|﹣2|＝4． 故答案为4． 【点睛】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数 与x轴的交点为，与y轴的交点为． 10． 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断． 【详解】解：把代入， 得，解得， 所以点坐标为， 所以关于的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）的综合应用，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键． 11． 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可解答． 【详解】解：因为函数y=x-a(a为常数)与函数y=-2x+b(b为常数)的图象的交点坐标是(2，1)， 所以方程组 的解为 ． 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程（组）：满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 12． 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．过点B作直线轴，过点B作交于点D，过点A，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F，由点A，B的坐标得，证为等腰直角三角形，再求出，，再证和全等得，据此得点D的横坐标为，设点D的纵坐标y，由两点间的距离公式得：，可得点D的坐标，然后求出直线的表达式，最后联立解方程，即可求出点C的坐标． 【详解】解：过点B作直线轴，过点B作交于点D，过点A，D作直线l的垂线，垂足分别为E，F，如图所示： ∵点， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴点D的横坐标为，设点D的纵坐标y， 由两点间的距离公式得：， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为或， ①当点时，由两点间的距离公式得：， ∴点，符合题意， ②当时，由两点间的距离公式得：， ∴点不符合题意，舍去， 设直线的表达式为， 将点，点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 解方程组，得：， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 13．x＝−2 【分析】当x＝−2时，y＝kx的函数图象与函数的图象y＝ax＋b相交，从而可得到方程的解． 【详解】解：从图象可看出当x＝−2时，ax＋b＝kx， 方程ax＋b＝kx的解是x＝−2， 故答案为：x＝−2． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过图象求解，解题的关键是数形结合起来． 14．（1）详见解析；（2）；（3）当时，；当时，；（4） 【分析】（1）根据两点确定一条直线，描点画两函数图象； （2）根据图象得到交点坐标，从而得到方程组的解； （3）观察图象即可求解； （4）先求出两直线与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）图象如图： （2）由图象可知：方程组的解为； （3）由图象可得：当时，；当时，． （4）令，得；令，得．则所求三角形面积． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 15．（1）C；（2）画图见解析；，；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象． （1）把已知，，，分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等进行判断即可； （2）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程的左右两边相等，然后过两点画直线即可，观察图象可得，所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案； （3）把点,代入方程，解方程组可得； （4）在（3）的条件下，得到方程组求出交点，根据点在第一象限即可求出m的范围． 【详解】解：（1）把已知，，分别代入方程中， ，，， ∴点A，B不在方程的图象上，点C在方程的图象上， 故答案为：C； （2）二元一次方程的图象如下图：    由图可知交点坐标为， 则的解为：， 故答案为：，； （3）点,在二元一次方程的图象上， ， 解得：； （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M， ，解得：， ， 点M在第一象限， ，， 解得： 16．(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）因一次函数与正比例函数交于点C（﹣1，m），可以将x＝﹣1代入y2＝﹣3x，求出m为3，再利用待定系数法即可求解； （2）令y1＝2x+5中的y1＝0，即可求解； （3）利用若S△OAP＝2S△OBC，根据三角形面积公式即可求出|yP|＝4，得出P的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴． 把，代入， 得， 解得 ∴． （2）令中的， 可得方程． 解得． ∴点的坐标为． （3）由，，可得． 则． 由知，． ∵， 即． ∴． 则或． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两直线相交问题，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作于点，由等腰三角形的三线合一得，再由勾股定理得从而即可得解； （2）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由题意得，分别求出直线和直线的解析式，联立求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，    ∵是等边三角形，且边长为， ∴， ∴ ∴以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为 故答案为：； （2）解：如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，    由题意得， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴， ∴路灯的高度为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数，解二元一次方程组，勾股定理及等边三角形的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$