第二单元 认识三角形和四边形 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 认识三角形和四边形 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、图形的分类和三角形、四边形的性质 1.给图形分类时，不但要弄清各类图形的特征，还要了解图形之间的关系。 2.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。。 二、三角形的分类 1.三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 2.三角形按变分类，可以分为不等边三角形和等腰三角形。等边三变形是特殊的等腰三角形。 三、三角形内角和 1.任意三角形的内角和都等于180°，三角形内角和与三角形的大小、形状无关。 2.根据三角形中最大的内角度数可以判断三角形的形状。 四、三角形边的关系 1.三角形任意两边之和大于第三边。 2.判断三条线段能否围成三角形的方法：只要较短的两条线段的长度之和大于第三条线段的长度，这三条线段就可以围成三角形。 五、四边形的分类 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形。 2.正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形。 03 题型归纳 题型一　平面图形和立体图形的分类及识别 例1．（2024秋•隰县期中）进入植物园后，小乐在地面上，看到了下面一条石子路，请你数一数，填一填（长方形边框除外）。 图形 四边形 五边形 六边形 数量 　块 　 　块 　 　块 【分析】分别数出每个多边形的边，有几条边就是几边形。注意数的顺序，不要重复。像这样有4条边的图形是四边形，像这样有5条边的图形是五边形，像这样有6条边的图形是六边形。 【解答】解：由分析可知： 图形 四边形 五边形 六边形 数量 12 块 6 块 4 块 故答案为：12，6，4。 【点评】此题主要考查平面图形的分类及特征。 巩固训练 1．（2024秋•吴起县月考）看一看，填一填。 黑板是 　 　（长方形、三角形）的，王老师的自行车车轮是 　 　（正方形、圆形）的。 【分析】根据长方形、圆形的特征进行解答即可。 【解答】解：黑板是长方形的，王老师的自行车车轮是圆形的。 故答案为：长方形；圆形。 【点评】本题考查平面图形的认识。 2．（2023秋•昌乐县期末） （1）正方体有 　 　个，长方体有 　 　个，圆柱有 　 　个，球有 　 　个。 （2）从左往右数，排在第 　 　个，排在第 　 　个。 【分析】（1）题中给出8个立体图形，分别数出其中的正方体、长方体、圆柱体和球体个数即可。 （2）按从左往右的顺序数出相应的立体图形排第几即可。 【解答】解：（1）从左往右第1、5两个立体图形是正方体，共2个。 第3、7两个立体图形是长方体，共2个。 第2、6、8三个立体图形是圆柱体，共3个。 第4个立体图形是球体，共1个。 （2）从左往右数，球排第4；火柴盒这个长方体排第7。 故答案为：（1）2；2；3；1；（2）4；7。 【点评】本题考查了立体图形的分类、左右位置关系的认识与应用问题，以及几和第几的应用问题。 3．（2023秋•闽清县期末）仔细观察如图，数一数，填一填。 （1）正方体有 　 　个，长方体有 　 　个，圆柱有 　 　个，球有 　 　个。 （2）从左边数起，球是第 　 　个。 （3）这个球的右边有 　 　个长方体、　 　个圆柱。 （4）把右边的4个图形圈起来。 【分析】根据立体图形的分类和识别知识，分清左右数一数圈一圈，解答即可。 【解答】解：（1）正方体有1个，长方体有4个，圆柱有4个，球有1个。 （2）从左边数起，球是第4个，这个球的右边有3个长方体、2个圆柱。 （3）这个球的右边有3个长方体、3个圆柱。 （4） 故答案为：1，4，4，1；4；3，3。 【点评】本题考查了立体图形和左右的认识。 题型二　三角形的分类、内角和和三边关系 例2．（2024春•晋城期末）观察图形，认真推算。 图1是一个 　 　三角形（按角的特征分类）。图2是一个 　 　三角形（按边的特征分类）。 【分析】根据三角形内角和定理计算各角度数。 有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 据此解答。 【解答】解：∠1＝180°﹣55°﹣85°＝40° ∠2＝180°﹣40°﹣40°＝100° 答：图1是一个锐角三角形；图2是一个等腰三角形。 故答案为：40°，100°，锐角，等腰。 【点评】本题主要考查三角形按角、按边分类的标注及应用。 巩固训练 1．（2024春•安化县期末）如图是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？ 【分析】因为三角形的内角度数和是180°，根据图中的两个内角度数可求打碎的一个角的度数，再根据三角形的分类即可作出判断． 【解答】解：（1）因为180°﹣30°﹣40°＝110° 所以这是一个钝角三角形； （2）因为180°﹣60°﹣60°＝60°； 所以这是一个锐角三角形； （3）因为180°﹣50°﹣40°＝90°； 所以这是一个直角三角形． 【点评】考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°；同时考查了三角形的按角分类，关键明确：①有一个角是直角的三角形是直角三角形．②三个角都为锐角的三角形是锐角三角形．③有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 2．（2024秋•钢城区期中）一个等腰三角形的底角是顶角2倍，它的顶角和底角分别是多少度？ 【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据底角与顶角的倍数关系，可设顶角是x度，则底角就是2x度，根据三角形内角和定理，即可列出方程解决问题． 【解答】解：顶角是x度，则底角就是2x度，根据三角形内角和定理可得： 2x+2x+x＝180 5x＝180 x＝36 36×2＝72（度） 答：它的顶角是36度，底角是72度． 【点评】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的灵活应用． 3．（2024春•大安区期末）选择符合条件的一组，并说一说选择理由。 （1）如图 　 　组线段能围成三角形。 选择理由：　 　。 （2）下面 　 　组是一个三角形的3个内角的度数。 ①80°、60°、30° ②45°、60°、65° ③50°、80°、50° 选择理由：　 　。 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，求出任意两边之和，如果满足任意两边之和大于第三边，则三条线段能围成三角形，反之，不能；据此分析即可解答； （2）三角形内角和是180°，据此解答即可。 【解答】解：（1）①2+4＝6（厘米），6厘米＜7厘米，所以不能围成三角形； ②4+5＝9（厘米）；9厘米＞8厘米，5+8＝13（厘米），13厘米＞4厘米，4+8＝12（厘米），12厘米＞5厘米，能围成三角形； ③5+5＝10（厘米），10厘米＜12厘米，所以不能围成三角形。 所以②组线段能围成三角形，选择理由：符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边。 （2）①80°+60°+30°＝170°，不满足三角形内角和是180°，所以不是三角形的3个内角； ②45°+60°+65°＝170°，不满足三角形内角和是180°，所以不是三角形的3个内角； ③50°+80°+50°＝180°，满足三角形内角和定理，所以是三角形的3个内角； 所以③组是一个三角形的3个内角的度数，选择理由：三个角的和是180°。 故答案为：（1）②，符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边；（2）③，三个角的和是180°。 【点评】此题考查三角形三边的关系和三角形内角和的应用。 题型三　四边形的分类、特征及性质 例3．（2024春•交城县期中）按要求填一填。 （1）亮亮按一定的标准把如图1的图形分成A类、B类和C类。其中图形①，②，③，④，⑤的分类情况如图2。请你接着把图形⑥，⑦，⑧的编号填到相应的括号里。 （2）按亮亮分类的标准，图形⑨属于 　 　类。 （3）从上面图形中挑出一个梯形，在这个梯形中画出一条线段，能将这个梯形分成两个什么图形？对于这个问题，同学们提出了以下三种想法：①能将这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形；②能将这个梯形分成一个梯形和一个三角形；③能将这个梯形分成两个梯形。以上想法，正确的有 　 　。 【分析】（1）根据图示及图2的分类标准可知：A是平行四边形，B是梯形，C是普通四边形。据此分类即可。 （2）长方形是特殊的平行四边形，据此分类。 （3）根据图形的划分方法作图解得。 【解答】解：（1）如图： （2）按亮亮分类的标准，图形⑨属于A类。 （3）如图： （分法不唯一） 同学们提出了以下三种想法：①能将这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形；②能将这个梯形分成一个梯形和一个三角形；③能将这个梯形分成两个梯形。正确的有①②③。 故答案为：A；①②③。 【点评】本题主要考查图形的分类和图形的划分，关键培养学生的观察能力和动手操作能力。 巩固训练 1．（2023春•丰台区月考）请你把同学们的表达过程补充完整。 在说明平行四边形ABCD对边相等时，小丽同学先如图1折叠，再如图2折叠，然后提示小组同学们观察线段的长度，发现：BE＝　 　，EA＝　 　；因为BE+EA＝　 　+　 　，所以BA＝　 　。 【分析】根据已知折叠，观察图中线段的长度即可完成填空。 【解答】解：BE＝DE，EA＝EC；因为BE+EA＝DE+EC，所以BA＝DC。 故答案为：DE；EC；DE，EC；DC。 【点评】解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的特征。 2．（2024•海盐县开学）在如图中再找一个点，与A、B、C连成一个梯形。你能找到几个不同的点？请你画一画。 【分析】只有一组对边平行的四边形叫梯形。据此作图即可。 【解答】解：画图如下：（答案不唯一） 【点评】熟练掌握梯形的特征的解题的关键。 3．（2023春•公主岭市期末）在括号里填上适当的数。（单位：厘米） 【分析】长方形的对边平行且相等，正方形是特殊的长方形，它的对边也是平行且相等；由此解答即可。 【解答】解： 故答案为：7，16，9，9，9。 【点评】本题考查了长方形和正方形的特征。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 认识三角形和四边形 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、图形的分类和三角形、四边形的性质 1.给图形分类时，不但要弄清各类图形的特征，还要了解图形之间的关系。 2.三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。。 二、三角形的分类 1.三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 2.三角形按变分类，可以分为不等边三角形和等腰三角形。等边三变形是特殊的等腰三角形。 三、三角形内角和 1.任意三角形的内角和都等于180°，三角形内角和与三角形的大小、形状无关。 2.根据三角形中最大的内角度数可以判断三角形的形状。 四、三角形边的关系 1.三角形任意两边之和大于第三边。 2.判断三条线段能否围成三角形的方法：只要较短的两条线段的长度之和大于第三条线段的长度，这三条线段就可以围成三角形。 五、四边形的分类 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形。 2.正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形。 03 题型归纳 题型一　平面图形和立体图形的分类及识别 例1．（2024秋•隰县期中）进入植物园后，小乐在地面上，看到了下面一条石子路，请你数一数，填一填（长方形边框除外）。 图形 四边形 五边形 六边形 数量 　块 　 　块 　 　块 巩固训练 1．（2024秋•吴起县月考）看一看，填一填。 黑板是 　 　（长方形、三角形）的，王老师的自行车车轮是 　 　（正方形、圆形）的。 2．（2023秋•昌乐县期末） （1）正方体有 　 　个，长方体有 　 　个，圆柱有 　 　个，球有 　 　个。 （2）从左往右数，排在第 　 　个，排在第 　 　个。 3．（2023秋•闽清县期末）仔细观察如图，数一数，填一填。 （1）正方体有 　 　个，长方体有 　 　个，圆柱有 　 　个，球有 　 　个。 （2）从左边数起，球是第 　 　个。 （3）这个球的右边有 　 　个长方体、　 　个圆柱。 （4）把右边的4个图形圈起来。 题型二　三角形的分类、内角和和三边关系 例2．（2024春•晋城期末）观察图形，认真推算。 图1是一个 　 　三角形（按角的特征分类）。图2是一个 　 　三角形（按边的特征分类）。 巩固训练 1．（2024春•安化县期末）如图是三块三角形玻璃打碎后留下的碎片，你能判断出它们原来各是什么三角形吗？ 2．（2024秋•钢城区期中）一个等腰三角形的底角是顶角2倍，它的顶角和底角分别是多少度？ 3．（2024春•大安区期末）选择符合条件的一组，并说一说选择理由。 （1）如图 　 　组线段能围成三角形。 选择理由：　 　。 （2）下面 　 　组是一个三角形的3个内角的度数。 ①80°、60°、30° ②45°、60°、65° ③50°、80°、50° 选择理由：　 　。 题型三　四边形的分类、特征及性质 例3．（2024春•交城县期中）按要求填一填。 （1）亮亮按一定的标准把如图1的图形分成A类、B类和C类。其中图形①，②，③，④，⑤的分类情况如图2。请你接着把图形⑥，⑦，⑧的编号填到相应的括号里。 （2）按亮亮分类的标准，图形⑨属于 　 　类。 （3）从上面图形中挑出一个梯形，在这个梯形中画出一条线段，能将这个梯形分成两个什么图形？对于这个问题，同学们提出了以下三种想法：①能将这个梯形分成一个平行四边形和一个三角形；②能将这个梯形分成一个梯形和一个三角形；③能将这个梯形分成两个梯形。以上想法，正确的有 　 　。 巩固训练 1．（2023春•丰台区月考）请你把同学们的表达过程补充完整。 在说明平行四边形ABCD对边相等时，小丽同学先如图1折叠，再如图2折叠，然后提示小组同学们观察线段的长度，发现：BE＝　 　，EA＝　 　；因为BE+EA＝　 　+　 　，所以BA＝　 　。 2．（2024•海盐县开学）在如图中再找一个点，与A、B、C连成一个梯形。你能找到几个不同的点？请你画一画。 3．（2023春•公主岭市期末）在括号里填上适当的数。（单位：厘米） 学科网（北京）股份有限公司 $$