3.2 勾股定理的逆定理同步练习2024—2025学年苏科版八年级数学上册

2024—2025学年苏科版八年级上册数学3.2 勾股定理的逆定理 一、单选题 1．由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是(   ) A．1、1、1 B．5、6、7 C．6、8、10 D．7、9、11 3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．在下列各组线段中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，2，5 B．1，，2 C．1，2，3 D．1，1，2 5．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 6．如图，是的中线，若，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 7．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（   ） A．三条边的比是5：12：13 B．三条边满足关系 C．三个角的比是3：4：5 D．三个角满足关系 8．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．6、8、10 B．1、、2 C．2、3、4 D．7、24、25 二、填空题 9．一个三角形三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 10．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则 ．    11．一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49．则b的值为 ． 12．若a,b,c表示△ABC的三边,且(a-3)2++|c-5|=0,则△ABC是 三角形. 13．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足关系式(a＋2b－60) 2 ＋|b－18|＋(c－30) 2＝0，那么△ABC是 三角形． 三、解答题 14．如图，△ABC中,AB的垂直平分线l交AB于E，交AC于D．AD=5,DC=3,BC=4, （1）求证：△ABC是直角三角形; （2）求AB长. 15．在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2），M，N两点之间的距离，可以用公式MN=计算． 解答下列问题： （1）若已知点A（1，2），B（4，-2），求A，B两点间的距离； （2）在（1）的条件下，点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． 16．在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请画出三个图形，并直接写出其周长（所画图象全等的只算一种）． 如图中所画直角三角形周长：　 　． 如图中所画直角三角形周长：　 　． 如图中所画直角三角形周长：　 　． 17．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10 ， (1)求四边形ABCD的面积； (2)求 BD的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B C C C C 1．C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故选项错误； B、，故不是直角三角形，故选项错误；     C、，故是直角三角形，故选项正确；     D、，故不是直角三角形，故选项错误．     故选：C． 2．C 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A、，∴1、1、1不能作为直角三角形的三边长，故选项A不符合题意； B、∵，∴5、6、7不可以作为直角三角形的三边长，故选项B不符合题意； C、∵，∴6、8、10能作为直角三角形的三边长，故选项C符合题意； D、∵，∴7、9、11不能作为直角三角形的三边长，故选项D不符合题意；． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键． 3．D 【分析】利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】，， ， 以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，， ， 以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，， ， 以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，， ， 以，，为边能组成直角三角形，故本选符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握三角形两短边的平方和等于第三边的平方时，三角形是直角三角形，是解题的关键． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形”判定则可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 5．C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 6．C 【分析】首先证明∠BAC＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴BC2＝25＝AC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形，BC为斜边， ∴∠BAC＝90°， ∵是的中线， ∴AD＝BC＝2.5， 故选：C 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．C 【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A．设它们的比例系数为，因为三条边的比是5：12：13，得到，所以能组成三角形，故此选项不符合题意； B．因为三条边满足关系，能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C．因为三个角的度数比为3：4：5，所以最大角，故不能构成直角三角形，此项符合题意； D．因为三个角满足关系，由三角形内角和定理知，故能构直角三角形，此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可． 8．C 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知该定理的内容是解题关键，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 9．96 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先设三角形的三边长分别为，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为． ∵其周长为， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别是． ， ∴此三角形是直角三角形， ， 故答案为：96． 10．45 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再根据，从而可得是等腰直角三角形，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，    由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．21或35 【分析】根据a＜b＜c，a+c=49和a2+b2=c2讨论a、b、c的值，计算符合题意的a、b、c的值，即可求出b的值． 【详解】解：三边分别为a、b、c，且a＜b＜c， ∴c为斜边，且满足c2=a2+b2，c=49-a， 故b2=492-98a=49（49-2a）， 其中a＜b＜c，∴a＜24， b=7， 由题意知a，b为整数，则a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29， ∵a2+b2=c2，所以a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29均符合题意， 故答案为21或35． 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中求出符合题意的a、b、c的值是解题的关键． 12．直角 【详解】解：由题意得：a-3=0，b-4=0，c-5=0，解得：a=3，b=4，c=5，∵32+42=25，52=25，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．故答案为直角． 点睛：本题考查了非负性的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0． 13．直角/ 【分析】根据非负数的性质列出方程，求得的值，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】∵(a＋2b－60) 2 ＋|b－18|＋(c－30) 2＝0， ∴， 解得， ∴a2+b2=242+182=576+324=900，c2=302=900， ∴a2+b2= c2， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 14．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）连接BD，根据垂直平分线的性质可求出BD的长，再利用勾股定理逆定理即可进行判定； （2）利用勾股定理进行计算即可. 【详解】解：（1）证明：如图，连接BD. ∵AB的垂直平分线l交AC于D， ∴AD=DB， ∵AD=5， ∴BD=5， 在△DCB中，BD=5，CD=3，BC=4， ∴， ∴△DCB是直角三角形，且∠BCD=90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵AD=5，DC=3， ∴AC=8， ∴在Rt△ABC中，， ∴. 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，勾股定理及其逆定理，需熟练掌握线段垂直平分线的性质，由性质得到辅助线作法是解题关键. 15．（1）A，B两点间的距离AB=5；（2）△AOB是直角三角形，见解析. 【分析】（1）根据题意给出的公式即可求出答案． （2）根据勾股定理逆定理即可求出答案． 【详解】（1）由题意可知：AB=； （2）由两点之间距离公式可求得：AB2=25，AO2=5，BO2=20， ∴AB2=AO2+BO2， ∴△AOB是直角三角形； 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是正确理解题意给出的公式，本题属于中等题型． 16．如图1、2、3，见解析；5+；2+；3+5． 【分析】利用网格特点和全等三角形的性质画直角三角形，然后根据勾股定理定理计算各三角形的边长得到它们的周长． 【详解】如图1、2、3， 图1中所画直角三角形周长＝2+3+＝5+， 图2中所画直角三角形周长＝++＝2+， 图3中所画直角三角形周长＝+2+5＝3+5， 故答案：5+；2+；3+5． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． 17．（1）74；（2）2 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而求出四边形面积即可； （2）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E,利用△ABC∽△CED求出BD的长即可． 【详解】解：（1）连接AC, ∵∠ABC=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB=8,BC=6，∴AC=10， 又∵DA=10，CD=10， ∴102+102=（10）2 AC2+CD2=DA2 所以△ACD为直角三角形 四边形ABCD的面积S△ABC+S△ACD==74； (2) 过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E ∵∠DEC=90°,∴∠DCE+∠CDE=90°， 所以∠DCE+∠ACB=90°， ∴∠CDE=∠ACB,又∵∠ABC=90°， ∴△ABC∽△CED ∴ ∴CE=6，DE=8 ∴BE=BC+CE=14， 在Rt△DEB中， DB=． 【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，把四边形的面积分解成两个直角三角形的面积来求是解本题的关键所在． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$