3.1 勾股定理同步练习2024—2025学年苏科版八年级数学 上册

2024—2025学年苏科版八年级上册数学3.1 勾股定理 一、单选题 1．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的边上的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．在如图所示的三角形纸片中，，沿折叠三角形纸片，使点C落在边上的E点，若此时点D恰好为边靠近点C的三等分点，则下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中正确是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，将一块直角三角板的直角边贴在直线上，，以点为圆心，斜边长为半径向右画弧，交直线于点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．若等腰三角形的腰长为5cm，底长为8 cm，那么腰上的高为（ ） A．12 cm B．10 cm C．4．8 cm D．6 cm 6．如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（     ）． A． B．5 C． D．6 7．下列各组数中，不是勾股数的一组是（   ） A．1，2， B．7，24，25 C．6，8，10 D．15，8，17 8．如图，点在同一条直线上，点在点之间，点在直线同侧，，，，连接．设，给出下面三个结论∶①；② ；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③ 二、填空题 9．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为 ． 10．在中，，若，，则 ， ． 11．如图，在长方形中，．在上找一点E，把沿折叠，使D点恰好落在上，设这一点为F，则 ． 12．直角三角形的两条边的长分别是和，以直角边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，所得几何体的俯视图的面积是 ． 13．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点E，于点F，若，，则的长为 ．    三、解答题 14．已知:△ABC为等边三角形 （1）若D为△ABC外一点，满足∠CDB=30º,求证： （2）若D为△ABC内一点，DC=3,DB=4,DA=5,求∠CDB的度数 （3）若D为△ABC内一点，DA=4,DB=,DC=则AB= (直接写出答案) 15．（1）阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设， 则这个三角形的面积为． （2）应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积． （3）引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求I到AB的距离． 16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为1，线段的端点和点M都在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格上点上．    (1)在图①中画一个，使得． (2)在图②中画一个，使得． (3)在图③中画一个，使得点M到三边的距离相等． 17．在中，，点M为边的中点，点D在边上． (1)如图1，若，，则__________； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图2，过点M作与边交于点E，试探究：线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A D C B A A 1．B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．A 【分析】由折叠可得：，，由点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，得，则，取中点F， 连接，证明是等边三角形，得，所以，可判定①正确；从而求得，继而求得，所以，即可由判定，即可判定②正确；由全等三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一性质得出DE垂直平分AB，可判定③正确；由含30度的直角三角形的性质得，再利用勾股定理得，即可由三角形面积公式求得，可判定④错误． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴ ∵点D恰好为BC边靠近点C的三等分点， ∴， ∴， 取中点F， 连接，如图，    ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴，故①正确； ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确； ∴ ∵ ∴ ∴DE垂直平分AB，故③正确； ∵，， ∴， 由勾股定理，得， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质．此题属三角形折叠问题，综合性较强，属中考压轴题． 4．D 【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AC，再根据勾股定理得AB，由题意可得AD=AC，进而求出BD． 【详解】在Rt△ABC中，BC=1，∠CAB=30°， ∴AC=2BC=2， ∴． 根据题意可知AD=AC=2， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理求出线段长等，根据题意得出AD的长度是解题的关键． 5．C 【详解】试题分析： 如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，过点A作AD⊥BC，交BC于点D，则BD=BC=4cm，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得AD=3cm，设腰上的高为h，则BC•AD=AB•h，即×8×3=×5•h，解得h=4．8cm． 故选C． 考点：等腰三角形的性质，勾股定理 6．B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟悉将军饮马模型是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，利用将军饮马模型，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 等腰直角三角形， ， ∵， ∴，， ∴， 即的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，得， 故选：B． 7．A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】A. 1，2，中的不是整数，故不是勾股数组； B. 72+242=252，故是勾股数组；     C.62+82=102，故是勾股数组；     D. 82+152=172，故是勾股数组； 故选A. 【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 8．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系，由“”证明，即可判断①；得出，，由勾股定理得出，再由三角形三边关系即可判断②；由勾股定理计算即可判断③． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ，故②正确； ，故③错误， 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 9．2 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，即可求出CD． 【详解】解：如图， ∵若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10， ∴AB＝10，BC＝AD＝6， 在Rt△ABC中，， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 10． 6 8 【分析】根据勾股定理求得斜边所占的份数是解决此题的简便方法． 根据勾股定理，易求得斜边占5份，则一份是2．所以． 【详解】解：∵， 故设， 根据勾股定理得：， 又， 所以， 所以． 故答案为：6，8． 11．3 【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，关键是由折叠的性质解答；由长方形的性质推出，，由折叠的性质得到：，，由勾股定理求出，得到． 【详解】解：∵四边形是长方形， 由折叠的性质得到：， 故答案为：3． 12．7或9或16 【分析】分当3和4分别为直角边时和当4为斜边，3为直角边时，两种情况讨论即可． 【详解】当3和4分别为直角边时， ①当绕边长为3的边旋转，俯视图为半径为4的圆， ∴俯视图的面积为：42=16； ②当绕边长为4的边旋转，俯视图为半径为3的圆， ∴俯视图的面积为：32=9； 当4为斜边，3为直角边时， 另一条直角边的长为：=， 绕边长为3的边旋转时， ∴俯视图的面积为：（）2=7； 故答案为：7或9或16． 【点睛】本题考查了圆的面积，勾股定理，三视图，旋转的性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． 13．9 【分析】根据角平分线的性质可以得到，，根据勾股定理可得的长，由平行可知，故，即可证明，故可求出的长． 【详解】解：的平分线交于点D， ，， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，平行的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 14．（1）详见解析；（2）150º；（3） 【分析】(1)以BD为边作等边△BDQ，易证△ABD≌△CBQ得AD=CQ再证∠CDQ=90º得. (2) 把△ACD绕点C顺时针旋转60°得到△BCQ，如图，连接DQ，根据旋转的性质得∠DCQ=60°，CD=CQ=3，QB=AD=5，则可判断△CDQ为等边三角形，所以DQ=4，∠BDE=60°，再利用勾股定理的逆定理证明△BDQ为直角三角形，∠QDB=90°，从而得到∠CDB=150°． (3)同②可得∠ADB=150°，解构造30°直角三角形即可求出AB. 【详解】(1)证明：以BD为边作等边△BDQ，连接QC， ∵:△ABC、△BDQ都是等边三角形， ∴∠ABC=∠DBQ=∠BDQ=60°，BA=BC，BD=BQ, ∴∠ABD=∠CBQ， 在△ABD和△CBQ中 ， ∴△ABD≌△CBQ(SAS)， ∴AD=CQ 又∵∠CDB=30º， ∴∠CDQ=90º ∴ ∴ （2）解： 把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCQ，如图，连接DQ， ∵△ABC为等边三角形， ∴BA=BC，∠ABC=60°， ∴∠QCD=60°，CD=CQ=3，QB=AD=5， ∴△CDQ为等边三角形， ∴DE=4，∠DQC=60°， 在△BDQ中，∵DQ=3，BD=4，BQ=5， ∴DQ2+BD2=BQ2， ∴△DEC为直角三角形，∠QDC=90°， ∴∠CDB=60°+90°=150°． (3)AB= 解：把△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△BCQ，如图，连接DQ， 同可得②BQ= DC=，AD=AQ=DQ=4，DB=， ∴DQ2+BD2=BQ2，∠ADB=150°， 过B点作BH垂直AD，交AD延长线于H， ∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=，DH=3， ∴AH=AD+DH=3+4=7， ∴AB=== 故答案为 【点睛】本题考查了利用旋转构造三角形全等、勾股定理，也考查了等边三角形的判定与性质．将共顶点的三条线段通过旋转构成三角形并利用已知证明是直角三角形是解题的关键. 15．（1）见解析 （2） （3） 【分析】（1）过A作高AD交BC于D，利用勾股定理和三角形面积公式即可得出结论； （2）先根据三边长度求出p的值，再代入公式计算可得； （3）过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分线性质可得IF=IH=IG，再根据S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的长． 【详解】解：（1）如图：过A作高AD交BC于D， 在△ABC中， 设BD=x，那么DC=a-x， 由于AD是△ABD、△ACD的公共边h2=c2-x2=b2-（a-x）2， 解出x得x=， 于是h=， △ABC的面积S=ah=a 即S=a 令p=（a+b+c）， 对被开方数分解因式，并整理得到s＝； （2）由题意，得：a=4，b=5，c=6； ∴p= =； ∴S=， 故△ABC的面积是； （3）如图，过点I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分别为点F、G、H， ∵AD、BE分别为△ABC的角平分线， ∴IF=IH=IG， ∵S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI， 即， ∴3•IF+•IF+2•IF=， 解得IF=， 故I到AB的距离为． 【点睛】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长与格点交于点C，连接即可； （2）根据全等全等三角形的性质，利用数形结合的思想画出图形即可； （3）根据角平分线的性质，利用数形结合思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求（答案不唯一）； ∵小正方形边长均为1， ∵；    （2）解：如图②，即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；    （3）解：如图③，即为所求； ∵点M到的距离为， ∴令，则点M到的距离为， 设， ∵，则， 设点M到的距离为， ∴， ∴，即， ∴，解得：（舍），， ∴，即可确定点E的位置．    【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，理解题意，学会利用数形结合思想是解题的关键． 17．(1)5 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，正确根据相关知识点进行计算是解题关键． （1）由勾股定理得,根据点M为边的中点可得结论； （2）证明是线段的垂直平分线，利用勾股定理求得再利用面积法求解即可； （3）作交的延长线于点N，证明，推出，，由线段垂直平分线的判定和性质，得到，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：中，，，， ∴， ∵点M为边的中点， ∴， 故答案为：5； （2）解：连接，如图， ∵是线段的垂直平分线， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：，理由如下： 作交的延长线于点N，连接如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$