4.3.1等比数列的概念（第3课时）综合练习(人教A选必二）-2024-2025学年寒假高二数学同步练习（全国通用）

4.3.1等比数列的概念（第3课时）综合练习 1．答案　BD 解析　由已知得 解得或故a＝2或a＝8. 2．答案　B 解析　由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B. 3．答案　D 解析　由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，所以a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，所以q3＝－或q3＝－2.当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋4×＝－7；当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋(－2)×(－2)2＝－7.故选D. 4．答案　B 解析　由题意可知x，y，z依次成公比为的等比数列，则x＋y＋z＝x＋x＋x＝5，解得x＝.由等比数列的性质可得y2＝xz.故选B. 5．答案　B 解析　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2022年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取常用对数，得n－1>.又≈＝3.8，则n>4.8，即a5>200，所以2026年投入的研发资金开始超过200万元．故选B. 6．答案　A 解析　因为{an}是等比数列，且a4，a8是方程x2－8x＋2＝0的两根，所以且a4>0，a8>0. 根据等比数列的性质，得a4·a8＝a5·a7＝a62＝2，且a6>0，所以a6＝， ∴＝a6＝.故选A. 7．答案　A 解析　设等差数列的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，得d2＋2d＝0，又d≠0，故d＝－2， 所以S6＝6a1＋d＝6＋×(－2)＝－24. 8．答案　 解析　因为等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，所以q＝＝， 又a1＋a3＝a1＋a1q2＝10，解得a1＝8，故an＝8·n－1＝24－n，log2an＝log224－n＝4－n，所以log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝3＋2＋1＋…＋4－n＝＝. 9．答案　 解析　由题意，a3>a5，由等比数列的性质可得解得 ∴解得 ∴an＝a1qn－1＝16×n－1＝25－n，则bn＝log2an＝5－n，则数列{bn}为等差数列， ∴Sn＝＝，故＝，则也为等差数列， ∴＋＋…＋＝＝. 10．答案　 解析　an＋1＝下面分情况讨论： 当a1<4时，a2＝4<9， ∴a3＝9<16， ∴a4＝16<25， 但是a1，4，9，16，…，不可能组成等比数列，与题意矛盾； 当a1≥4时，a2＝2a1≥8， 当8≤a2<9时，a3＝9， 因为{an}是等比数列， 所以a1＝，这与a1≥4矛盾； 当a2≥9时，a3＝2a2， 此时a2＝2a1≥9， ∴a1≥， 当a1＝时，a2＝9，a3＝18，…，an＝9×2n－2，满足题意． ∴a1的最小值为. 11．答案　D 解析　an＋1＝，由an≠0，则an＋1≠0， 在等式两边同时取倒数得，＝＝2＋， 在两边同时加1得，＝3＋＝3·， 又an≠－1，则an＋1≠0， 则有＝3，则数列是公比为3的等比数列． 则与的比值为3.故选D. 12．答案　ABD 解析　a1>1且a6a7>1>0⇒q>0，而<0⇒a6－1和a7－1异号． 由a1>1知a6－1>0，a7－1<0，即a6>1，a7<1，0<q＝<1，故A正确； {an}是递减的正项等比数列，且0<a7<1，所以0<a8<1，那么0<a7a8<1，故B正确； an＞0，Sn没有最大值，故C错误； 因为a1＞…＞a6＞1＞a7＞…＞0， 所以Tn的最大值为T6，故D正确．故选ABD. 13．答案　D 解析　当x1＝1为方程x2－5x＋m＝0的一根时，m＝4，则该方程的另外一个根为x2＝4，设x2－10x＋n＝0的两根为x3，x4，四个根x1，x2，x3，x4适当排列后组成等比数列，且x1＝1必为第一项，不妨设其顺序为x1，x3，x2，x4，即1，x3，4，x4，所以x3＝2，x4＝8，又x3x4＝16＝n，所以＝＝.当x3＝1为x2－10x＋n＝0的一根时，n＝9，则该方程的另外一个根为x4＝9，设x2－5x＋m＝0的两根为x1，x2，且x3＝1必为第一项，则四个根x1，x2，x3，x4无论怎样排列都与题设矛盾．故选D. 14．答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)．由a1＋a2＝12，a1－a3＝6，可得解得∴an＝8×＝，∴a1a2…an＝()－3－2－1＋0＋1＋…＋(n－4)＝.令f(n)＝n(n－7)＝(n2－7n)＝－，当n＝3或n＝4时，f(n)有最小值，即f(n)min＝－6，∴a1a2…an的最大值为＝64.故选C. 15．答案　ABD 解析　当q>0时， 若q＝1，则{an}为非零常数列，故an＋2＝an＝an＋1，故q＝1符合题意． 若q≠1，则{an}为单调数列，故an＋2≤an≤an＋1不成立，即q>0且q≠1不合题意． 当q<0时， 若q＝－1，当a1>0，n为偶数时，an＋2＝an<0<an＋1； 当a1<0，n为奇数时，an＋2＝an<0<an＋1. 故q＝－1符合题意． 若q<－1，当a1>0，n为偶数时，an＋2<0，an<0，an＋1>0， 且an＋2－an＝an(q2－1)<0，即an＋2<an<an＋1； 当a1<0，n为奇数时，an＋2<0，an<0，an＋1>0，且an＋2－an＝an(q2－1)<0， 即an＋2<an<an＋1.故q<－1符合题意． 若－1<q<0，由an＋2≤an≤an＋1，可得 ∵－1<q<0，则q2－1<0，1－q>0，可得则an＝0，这与等比数列相矛盾， 故－1<q<0不合题意．故选ABD. 16．解析　(1)由nSn＋1－(n＋1)Sn＝， 得－＝， ∴数列是首项为＝1，公差为的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)， ∴Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.而a1＝1适合上式，∴an＝n. (2)由(1)知an＝n，Sn＝. 假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列， 则S2k2＝ak·a4k，即＝k·4k. ∵k为正整数，∴(2k＋1)2＝4. 得2k＋1＝2或2k＋1＝－2， 解得k＝或k＝－，与k为正整数矛盾． ∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3.1等比数列的概念（第3课时）综合练习 1．【多选题】已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．2 C．－8 D．8 2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．6 D．84 3．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　) A．7 B．5 C．－5 D．－7 4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还x斗，y斗，z斗，则下列判断正确的是(　　) A．y2＝xz且x＝ B．y2＝xz且x＝ C．2y＝x＋z且x＝ D．2y＝x＋z且x＝ 5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 6．在等比数列{an}中，a4，a8是方程x2－8x＋2＝0的两根，则＝(　　) A. B．－ C．± D．3± 7．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前6项和为(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 8．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝________． 9．在各项均为正数的等比数列{an}中，公比q∈(0，1)，若a3＋a5＝5，a2a6＝4，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则数列的前n项和为________． 10．已知无穷等比数列{an}满足下列条件：当an<(n＋1)2时，an＋1＝(n＋1)2；当an≥(n＋1)2时，an＋1＝2an.那么，该数列的首项a1的最小值是________． 11．若数列{an}满足an＋1＝(an≠0且an≠－1，an≠－)，则与的比值为(　　) A. B. C．2 D．3 12．【多选题】设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且a1>1，a6a7>1，<0，则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1 B．0<a7a8<1 C．Sn的最大值为S7 D．Tn的最大值为T6 13．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是(　　) A．4 B．2 C. D. 14．设等比数列{an}满足a1＋a2＝12，a1－a3＝6，则a1a2…an的最大值为(　　) A．32 B．128 C．64 D．256 15．【多选题】已知{an}是等比数列，公比为q，若存在无穷多个不同的n(n∈N，n≥1)满足an＋2≤an≤an＋1，则下列选项之中，可能成立的为(　　) A．q>0 B．q<0 C．|q|<1 D．|q|>1 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－(n＋1)Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$