专题05 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题05 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 锐角三角函数与三角形综合 题型二 锐角三角函数与四边形综合 题型三 锐角三角函数与圆综合 题型四 锐角三角函数与一次函数综合 题型五 锐角三角函数与二次函数综合 题型六 锐角三角函数与相似综合 题型七 锐角三角函数的翻折模型 题型八 锐角三角函数的最值模型 【经典例题一 锐角三角函数与三角形综合】 1．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，已知，，为上一点，，． (1)求的长； (2)求的面积． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图所示，与关于点成中心对称，点，在线段上，且． (1)求证：； (2)若，，点是的中点，求四边形的面积． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． (1)求的正弦值； (2)求点C到直线的距离． 4．（山西省晋中市部分学校2024-2025学年九年级上学期期末数学试题）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以． 任务． (1)请根据上面的步骤，_________． (2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值． (3)在中，，，请你直接写出的值． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形综合】 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出： 如图，，点是上一点，当且时，_______． 问题探究： 如图，在四边形中，，过点作交于点，将沿折叠，此时点恰好落在边上的点处，若，求的长． 问题解决： 如图，已知在矩形中，是对角线上一动点，是边上一动点，且，当在上运动时，四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值与此时的长度，若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）在一次数学实践课上，老师出了这样一道题：如图1，在锐角中，，，所对的边长分别是，，，请用，，表示． (1)甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏，因此可以过点作于点，如图2所示；乙同学认为要想得到，便要利用或；丙同学认为要先求出______，______（用含，的三角函数表示）；丁同学顺着他们的思路，求出______（提示：）． (2)请利用丁同学的结论解决下面的问题：如图3，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 9．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1，在正方形中，是上异于的点， (1)当时，求证： (2)若是的中点，且，求的值． (3)在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_____． 10．（24-25九年级下·全国·期中）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 【经典例题三 锐角三角函数与圆综合】 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）如图，、是已知上两点． (1)点是上任意一点（不包括、），用直尺和圆规作以为底边的所有圆内接等腰．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若的半径为4，，直接写出的度数． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 13．（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 14．（2022·西藏·模拟预测）如图，P是的直径延长线上的一点，PB切于点B，且，D是圆上的一点，连接，，，，．    (1)求证∶； (2)若，，求的长． 15．（22-23九年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（如图）． 【推论证明】（1）已知：的三个顶点都在上，且．求证：线段是的直径．请你结合图1写出推论的证明过程． 【深入探究】（2）如图2，四边形为圆内接四边形，，，为的直径，．求的长． 【拓展应用】（3）如图3，已知为的直径，，为的弦，点为上一点，过点作于点，，连接、， ①若点为上一动点，且点不与点、重合，设，，求与的函数表达式； ②若，，求的值． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数综合】 16．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 17．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的值． 18．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接． (1)求k，b的值和点B的坐标； (2)将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积； (3)在第一象限内的双曲线上求一点，使得． 19．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 20．（2023·四川德阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，过C点作轴，垂足为B，． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求一次函数的表达式． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数综合】 21．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，，已知． (1)求的值； (2)求的正切值； (3)若点在线段上，且，请直接写出点的坐标． 22．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图1，已知二次函数的图象与 x 轴交于点，与 y 轴交于点 C，且 ． (1)求二次函数的解析式； (2)如图 2，若点 P 是二次函数图象上位于 下方的一个动点，连接交 于点 Q．设点 P 的横坐标为t，试用含 t 的代数式表示的值，并求的最大值． 23．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． (3)连接，M是抛物线上的一点，且满足，求点M的坐标． 24．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过，，求，的值； (2)若该二次函数的图象与轴交于不同的两点，，其中，且抛物线顶点在第一象限，连接，满足． ①求关于的一元二次方程根的判别式的值； ②若，求的最大值． 25．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)分别连接、，求的正弦值． 【经典例题六 锐角三角函数与相似综合】 26．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 27．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在边长为4的正方形中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒． (1)点F在边上． ①如图1，连接，，若，求t的值； ②如图2，连结，，当与相似时，求的值； (2)如图3，若点G是边的中点，，相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 29．（2024·陕西榆林·三模）如图，已知抛物线（a、c为常数，且）与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，，点D与点C关于x轴对称，作射线，点E是线段AB上的一个动点，过点E作x轴的垂线交射线于点F，交抛物线于点G．    (1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标； (2)在点E运动的过程中，是否存在点G，使得以点A、F、G为顶点的三角形与相似，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内拋物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【经典例题七 锐角三角函数的翻折模型】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，矩形 中，E在边上，将沿翻折，得到，延长交于G， 连接．若．则的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿翻折至，使点F落在上，延长与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：； (2)若，则的值为 ； (3)若，则的长为 ． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【经典例题八 锐角三角函数的最值模型】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2020·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是 ． 3．（2024·云南文山·二模）如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与 相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点 D． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的值； (3)如图乙，在（2）的条件下，延长至 N，使 在上找一点 Q，使得 的值最小，请求出其最小值． 4．（2024·广东茂名·二模）综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 锐角三角函数常考几何模型专项训练（8大题型） 题型一 锐角三角函数与三角形综合 题型二 锐角三角函数与四边形综合 题型三 锐角三角函数与圆综合 题型四 锐角三角函数与一次函数综合 题型五 锐角三角函数与二次函数综合 题型六 锐角三角函数与相似综合 题型七 锐角三角函数的翻折模型 题型八 锐角三角函数的最值模型 【经典例题一 锐角三角函数与三角形综合】 1．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，已知，，为上一点，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． （1）由已知得为等腰直角三角形，所以，又因为已知的正弦值，即可求出的长． （2）利用勾股定理求得的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解： ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， （2）在中，，，由勾股定理，得 ， ， 即：， ， ． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期中）如图所示，与关于点成中心对称，点，在线段上，且． (1)求证：； (2)若，，点是的中点，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中线定理及三角形面积公式，三角函数解直角三角形等知识点，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用证出即可求解； （2）连接，，过作于点，利用三角形中线的定理证出，利用三角函数比值关系求出的长，再根据三角形面积公式运算求解即可． 【详解】（1）证明：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接，，过作于点，如图所示： ∵， ∴为的中线，为的中线， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， 由（1）可得：， ∴为的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． (1)求的正弦值； (2)求点C到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，锐角三角函数的定义． （1）过点作于点．由等腰三角形三线合一的性质得出．在中，根据正弦函数的定义得出，根据三角形内角和定理求出，则； （2）过点作于点．解直角，求出，则．再解直角，求出，即点到的距离为． 【详解】（1）解：过点作于点． ，， ． 在中，，， ， 是的垂直平分线， ，， ， 又， ， ， 即的正弦值为； （2）解：过点作于点． 在中，，，， ， ． 在中，，， ， 即点到的距离为． 4．（山西省晋中市部分学校2024-2025学年九年级上学期期末数学试题）阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如，在计算时，可构造如图所示的图形．在中，，，设，延长至点，使得，连接，易知，所以． 任务． (1)请根据上面的步骤，_________． (2)请类比这种方法，画出图形，并计算的值． (3)在中，，，请你直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和题目的数据，可以计算出的值； （2）根据题意，延长到点D，使得，连接画出图形，然后即可计算出的值； （3）根据题意，取上的点D，使得，连接，画出图形，根据即可计算出结果． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， 故答案为：； （2）如图所示， 在中，，延长到点D，使得，连接， 则， ，设，则， 故， ； （3）如图所示， 在中，，取上的点D，使得，连接， ， ， 设，则， ， 则， ． 5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）在中，，． (1)求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【详解】（1）解：∵在中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M，即：射线为所求． （2）过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 【经典例题二 锐角三角函数与四边形综合】 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）问题提出： 如图，，点是上一点，当且时，_______． 问题探究： 如图，在四边形中，，过点作交于点，将沿折叠，此时点恰好落在边上的点处，若，求的长． 问题解决： 如图，已知在矩形中，是对角线上一动点，是边上一动点，且，当在上运动时，四边形的面积是否存在最大值，若存在，求出四边形面积的最大值与此时的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】； ； ． 【分析】根据垂直的定义和平角的定义可得、，从而可证，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度； 根据折叠的性质可得、，根据平行线的性质可得、，从而可证，利用相似三角形对应边成比例的性质求出的长度； 由矩形的边长可得，所以可得，根据垂线段最短可知当时，的长度最短，则的长度最大，此时四边形的面积最大，根据矩形的边长和、计算即可． 【详解】解：（1）如下图所示， ，， ， ； ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示， 由折叠知； ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ，， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，过点作， 在矩形中，，， ，， ， ， 又， ， 当最大时，四边形的面积最大， 此时最小， 当时的长度最小， 此时， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角函数的应用、矩形的性质、折叠的性质．解决本题的关键是综合利用所学的知识找到三角形的边和角之间的关系． 7．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）在一次数学实践课上，老师出了这样一道题：如图1，在锐角中，，，所对的边长分别是，，，请用，，表示． (1)甲同学认为要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏，因此可以过点作于点，如图2所示；乙同学认为要想得到，便要利用或；丙同学认为要先求出______，______（用含，的三角函数表示）；丁同学顺着他们的思路，求出______（提示：）． (2)请利用丁同学的结论解决下面的问题：如图3，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，多边形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据可表示，再根据表示，进而得出，最后代入式子整理即可； 对于（2），根据（1）中的结论求出，即可得，再延长交的延长线于点E，然后根据直角三角形的性质求出，可得，然后根据特殊角三角函数值求出，并根据勾股定理求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）过点A作，交于点D， 在中，，， ∴，． ∴， 根据勾股定理，得． 故答案为：，，； （2）由（1）知， 则， 解得， ∴， ∴. 延长交的延长线于点E， ∴， ∴. 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 解得. 根据勾股定理，得. ∴． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，，则的值为______； (2)如图2，在矩形中，，，且，则的值为______； (3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，且，，．求的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可得到答案； （2）设与交于点，运用三角函数求出的长即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形，进而证明 ，列出比例式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设与交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即， 故答案为：1； （2）解：如图2，设与交于点， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 中，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是相似综合题三角形、四边形的综合题，考查的是正方形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质．灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 9．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图1，在正方形中，是上异于的点， (1)当时，求证： (2)若是的中点，且，求的值． (3)在如图2的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于，则的值等于_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与解直角三角形，第（1）题运用正方形的性质，根据题目中角的关系，得到两个三角形相似，第（2）小题用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值；第（3）题关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用利用三角函数的定义解答． （1）证明，结合，可证明； （2）根据，延长相交于T，得到等腰，连接点T和的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出的正切． （3）根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 又， ∴； （2）解：如图，延长交的延长线于T，设的中点为E，连，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，① 令则，，， 代入①中得：， 解方程得：（舍去），． ∴， ∴． （3）解：如图所示，连接， 则， ∴， 设每个小正方形的边长为a， 则， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， 即， 故答案为：3． 10．（24-25九年级下·全国·期中）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数、三角形面积，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形； （1）由，，得，可证， （2）过点C作于点N． ∵，，，根据（1）的方法同理可得，得，由得，再有勾股定理求出，即可解答； （3）过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F． 根据（1）的方法同理可得，得，求出，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：如图①，过点C作于点N． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． （3）解：如图②，过点A作于点E，过点D作， 交的延长线于点F． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故栽种竹子的面积（即的面积）为． 【经典例题三 锐角三角函数与圆综合】 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）如图，、是已知上两点． (1)点是上任意一点（不包括、），用直尺和圆规作以为底边的所有圆内接等腰．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若的半径为4，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了作垂线，垂径定理和正弦的定义； （1）作的垂直平分线与的交点即为点； （2）根据垂径定理和特殊角的三角函数值求解． 【详解】（1）解：如图，和即为所求：     （2）解：连接，设交于点，由作图得：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为或． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为8． ①求的长． ②如图2，在四边形中，若平分，试求四边形面积的最大值． (3)在（1）的条件下，如图3，若是的直径，请用等式表示线段、之间的数量关系______．（直接写答案） 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用圆美四边形和美角的定义解答即可； （2）①作出的直径，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理解答即可； ②延长至点，使，连接，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，则为等边三角形；利用，求出△的面积的最大值即可得出结论； （3）延长交的延长线于点，利用圆周角定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解： 四边形是圆美四边形， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． （2）①作直径．连接，如图， 为圆的直径， ， 由（1）知：， ， 的半径为8， ． ． ②延长至点，使，连接，如图， 由（1）知：， ， 平分， ． ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 在△和△中， ， ， ， ， 为等边三角形． ，， ． 的面积最大时，四边形面积最大． 当取得最大值时，的面积最大， 当为圆的直径时，四边形面积最大． 即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值， 四边形面积的最大值． （3）．理由： 延长交的延长线于点，如图， 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解新定义并熟练应用，连接直径所对的圆周角是解题的关键 13．（24-25九年级上·全国·期末）已知：如图，在中，是边上一点，圆过、、三点，． (1)求证：直线是圆的切线； (2)若，，圆的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得，结合，通过角与角之间的关系可得，此时即可得证；   （2）首先由勾股定理得到的长，根据已知可得，作于点，则，根据锐角三角比即可解答； 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线． （2）解：∵，，， ∴，． ∵， ∴， 作于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线的证明方法、圆周角定理，解直角三角形以及等腰三角形等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 14．（2022·西藏·模拟预测）如图，P是的直径延长线上的一点，PB切于点B，且，D是圆上的一点，连接，，，，．    (1)求证∶； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，解直角三角形的知识．解题的关键是掌握圆的切线的性质和圆周角定理． （1）连接，可得，由，可得，因为，所以，可得； （2）作于，在中，，，可得，，在中，可求得，，在中，可求得，根据，即可得出的长． 【详解】（1）如图，连接，   点是圆直径延长线上的一点，切圆于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，作于，   为的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 15．（22-23九年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径（如图）． 【推论证明】（1）已知：的三个顶点都在上，且．求证：线段是的直径．请你结合图1写出推论的证明过程． 【深入探究】（2）如图2，四边形为圆内接四边形，，，为的直径，．求的长． 【拓展应用】（3）如图3，已知为的直径，，为的弦，点为上一点，过点作于点，，连接、， ①若点为上一动点，且点不与点、重合，设，，求与的函数表达式； ②若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）①；②． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可； （2）先根据圆周角定理得到，然后根据等弧所对的圆周角相等得到，然后根据角的直角三角形的性质解题即可； （3）①根据三角函数得到，代入即可得到结论； ②根据解直角三角形计算即可． 【详解】解：（1）证明：连接， ， ， 点在以为直径的上． （2）解：如图4，连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， 在中，，， ． （3）①如图5，连接，易知， ，即， 与的函数表达式为． ②如图5，，， ， ， ， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数综合】 16．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，直角三角形斜边上的中线定理及正切的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先根据反比例函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数的解析式求出点、的 坐 标 ，进 而 得 到 ，，然后根据直角三角形的斜边中线定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过点， ，即．     一次函数的图像经过点，， ， 解得，    一次函数的解析式为； （2）如图，连接， ，分别是直线与轴，轴的交点， 令，则，令，则，解得：， ，， ，， ，点是线段的中点， ， ，   ． 17．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的值． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2) 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用待定系数法求一次函数的解析式，并联立方程求交点坐标是解本题的关键． （1）利用点的坐标代入中可求，进而代入反比例函数关系式中可求； （2）联立方程求出交点的坐标，作辅助线构建直角三角形，根据三角函数的定义可得结论． 【详解】（1）解：把点代入，得， ， 把代入反比例函数中， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：联立两个函数的表达式得， 解得：或， 点的坐标为， 过点作轴于， ，， ， ． 18．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接． (1)求k，b的值和点B的坐标； (2)将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积； (3)在第一象限内的双曲线上求一点，使得． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将A点坐标代入一次函数和反比例函数解析式，求出两个解析式后，再联立起来，即可解出B点坐标； （2）先在上取中点坐标N，得到M、N点的纵坐标是一样的，可算出M点坐标，再利用的面积计算求出的面积； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，可知，然后在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足，设，就得到，这样点坐标就出来了，然后算出直线的解析式，与反比例函数联立就可算出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数表达式与反比例函数表达式， 得，． 由， 解得，或， 点坐标为； （2）解：如图1，取中点，则点的坐标为，连接， 设点坐标为，代入，得， ， ； （3）解：如图2，过点作轴的垂线，交轴于点．设与交于点，过点G作轴，垂足为， ， ， ， ， ∴在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足， 设点，，， ，点是的中点， ， ， ， 则有解得， ， 设直线的函数表达式为， 则， 解得： ∴直线的函数表达式为， 联立， 解得或（舍去）， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，三角函数值的应用、解一元二次方程等知识坐标与图形；熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质，三角函数值的应用是解决本题的关键． 19．（2024·广东中山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)或11； (4)的坐标为或． 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）将点代入，即可求出的值，从而得到．再将代入，即可求出的值； （3）根据一次函数解析式可求出，．结合为正轴上的一动点，可求出．最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可． （4）过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可． 【详解】（1）根据图像可以看出表示一次函数在双曲线上方部分， ∴当时，； （2）由题意可知点在一次函数的图象上， ， ． 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ， ； （3）对于，令，则， 解得：， ． 令，则， ． 为轴的一动点， ， ， ， ，， ， 解得：或． （4）过作轴于， 轴， ， ，， ， 把，代入， ， 作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 把，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 把代入， 解得：， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 20．（2023·四川德阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，过C点作轴，垂足为B，． (1)求点A的坐标及m的值； (2)若，求一次函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）令，则，求出，得出，设，根据轴，得出，，根据的面积为2，列出方程得到，所以，得出； （2）解直角三角形求出，从而，将C坐标代入到一次函数中即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∵， ∴， ∴， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴把代入得：， ∴， 将代入得， 解得：， ∴一次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解直角三角形，三角形面积的计算，求反比例函数解析，求一次函数解析式，设出交点的坐标，利用已知条件列出方程，是解决问题的关键． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数综合】 21．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．其对称轴与线段交于点，与轴交于点．连接，，已知． (1)求的值； (2)求的正切值； (3)若点在线段上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用，求出点坐标，再将点代入中，即可求的值； （2）连接，利用勾股定理判断出，再求； （3）过点作交于点，利用等积法，求出，再由，求出，设，根据，解出的值即可求点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ， ， ， ， 将点代入中， ，解得； （2）解：， ， 令，则，解得或， ， 连接，如图所示： ，，， ，，， ， ， ； （3）解：过点作于点，如图所示： ，，， ，，， ， ，解得， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， ， 设， ，解得或， 当点在点下方时，是钝角，则不合题意，舍去， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的三角函数值，勾股定理是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图1，已知二次函数的图象与 x 轴交于点，与 y 轴交于点 C，且 ． (1)求二次函数的解析式； (2)如图 2，若点 P 是二次函数图象上位于 下方的一个动点，连接交 于点 Q．设点 P 的横坐标为t，试用含 t 的代数式表示的值，并求的最大值． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，的最大值为 【分析】本题考查了二次函数及其图象性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）在中求出的长，从而确定点坐标，将二次函数设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据，，表示出的长，根据，得出，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 点， 设二次函数的解析式为：， ， ， ； （2）解：如图2， 作于，交于， 设直线的解析式为 把点B，C代入得：，解得： ∴直线的解析式为 ， ∴， ， ， ， ， 当时，． 23．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点A的坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． (3)连接，M是抛物线上的一点，且满足，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）过P作于H，过B作于，根据等腰直角三角形的性质和锐角三角函数求得，则，当B、P、H共线且时取等号，此时H与重合，最小值为的长，求得点B坐标，得到，利用锐角三角函数求得即可； （3）在上截取，连接，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，设，利用勾股定理求得，进而推导出，设，分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况，分别利用正切定义和坐标与图形性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且，C为抛物线与y轴的交点， ∴，则， 将、代入中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P作于H，过B作于， ∵，， ∴，则， ∴，当B、P、H共线且时取等号，此时H与重合，最小值为的长， 令得，，则， ∴， 在中，，，， ∴， 即的最小值为； （3）解：在上截取，连接， 则， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得， ∴， ∴， 设， 当点M在x轴的上方时，如图，过M作轴于点N， 则，， 由得， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当点M在x轴的下方时，如图，过M作轴于点N， 则，， 由得， 解得或， ∴， ∴， 综上，满足条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质、解直角三角形、坐标与图形、三角形的外角性质、解一元二次方程、最短路径问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线和分类讨论思想的运用是解答的关键． 24．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过，，求，的值； (2)若该二次函数的图象与轴交于不同的两点，，其中，且抛物线顶点在第一象限，连接，满足． ①求关于的一元二次方程根的判别式的值； ②若，求的最大值． 【答案】(1)； (2)①4；②． 【分析】 本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）把，代入函数解析式求解即可； （2）①过点作轴，垂足为，分别求出A、B、P的坐标，然后利用正切定义求解即可； ②根据①求出T关于b的函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将A（-2，0），B（4，0）分别代入得： ，解得； （2）解：①过点作轴，垂足为，    由得，， ， 抛物线的顶点的顶点坐标为， ，， ， ， 解得； ②， ， ， 的最大值为． 25．（23-24九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，与轴交于点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)分别连接、，求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴，代入即可求出顶点坐标； （2）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，连接，过点作交于点，根据勾股定理求出和的值，结合三角形的面积公式即可求出的值，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的解析式为：， ∴对称轴为：， 将代入得：； ∴二次函数的顶点坐标为：． （2）解：令，得：， ∴点的坐标为：； 令，得：， 解得：，， ∴点的坐标为：，点的坐标为：； 连接，过点作交于点，如图： ∵，，， ∴，， 则； ∵，，， ∴， 则， 解得：； ∵，，， ∴； 在中，， 即的正弦值为：． 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，求二次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，三角形面积，锐角三角函数等；熟练掌握二次函数的图象和性质以及勾股定理是解题的关键． 【经典例题六 锐角三角函数与相似综合】 26．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式，利用两点间距离公式求线段的长度； （2）先求出的长度，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则； （3）分两种情况，当时，，过点B作轴于点Q，根据求解；当时，，此时点C与点P重合． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将和代入，得：， 解得， 设直线的表达式为， ，， ； （2）解：如图， ，， ， ，， ， ， 是直角三角形， ； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 令，得，解得， ， 当时，，如图，过点B作轴于点Q， ， ，， ， ， 由（2）知，即， ，即， ， ， ； 当时，，此时点C与点P重合， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，求角的正切值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质等，能够综合应用上述知识点，以及分类讨论思想是解题的关键． 27．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在边长为4的正方形中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿折线向点D运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点F的运动时间为t秒． (1)点F在边上． ①如图1，连接，，若，求t的值； ②如图2，连结，，当与相似时，求的值； (2)如图3，若点G是边的中点，，相交于点O，试探究：是否存在在某一时刻t，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①利用正方形的性质及条件，得出，由列式计算即可求解； ②利用，得出，列出方程求出t的值，然后证明出，即可得到； （2）①时如图3，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，先求出所在的直线和所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出，运用，求出点的坐标，把的坐标代入所在的直线函数关系式求解；②当时如图4，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，先求出所在的直线和所在的直线函数关系式，再利用勾股定理求出，运用，求出点的坐标，把的坐标代入所在的直线函数关系式求解． 【详解】（1）解：①如图1， 又∵四边形是正方形， ， 在和中， ， 解得：． ②如图所示，连接 ∵四边形是正方形， ， ， 当时， 解得，，（舍去），故． 当时， ∴，方程没有实数根， 所以当时，与相似； ，方程没有实数根， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：①当时，如图3，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系，的坐标，的坐标，点的坐标，的坐标， 由待定系数法得，所在的直线函数关系式是， 所在的直线函数关系式是：， ， ， ，， 设的坐标为， ， 解得：， ∴的坐标为， 把的坐标为代入，得 解得，（舍去），， ②当时，如图4，以点为原点为轴，为轴建立坐标系，的坐标，的坐标，点的坐标，的坐标， 由待定系数法得，所在的直线函数关系式是：， 所在的直线函数关系式是：， ∵， ∵， ∴，， 设的坐标为， ， 解得， ∴的坐标为， 把的坐标为代入，得， 解得：． 综上所述，存在或，使得． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，求角的正弦值，解一元二次方程，勾股定理，一次函数和几何综合题，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是把四边形与坐标系相结合求解． 28．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，在第一象限的抛物线上取一点，过点作轴于点，交于点． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)是否存在点，使得和相似？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． （1）运用一次函数与坐标轴的交点求出的值，代入二次函数即可求解； （2）根据题意，设点，分类讨论：①如图所示，当时，，点纵坐标为；②如图所示，当时，，过作于点，则，，；由此即可求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得， 令，则， ∴，， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：存在，理由如下， 根据题意，设点， ∵和相似，， ∴分类讨论：或， ①如图所示，当时，， ∴， ∴点纵坐标为， ∴， 解得或， ∴； ②如图所示，当时，， 过作于点，则，，，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 29．（2024·陕西榆林·三模）如图，已知抛物线（a、c为常数，且）与x轴交于A、两点，与y轴交于点C，，点D与点C关于x轴对称，作射线，点E是线段AB上的一个动点，过点E作x轴的垂线交射线于点F，交抛物线于点G．    (1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标； (2)在点E运动的过程中，是否存在点G，使得以点A、F、G为顶点的三角形与相似，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点A的坐标为 (2)存在，点G的坐标为或 【分析】此是二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、解直角三角形的相关计算等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）求出点C的坐标，利用待定系数法求出解析式，再令，求出点A的坐标即可； （2）分两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1），点C在y轴负半轴上， 点C的坐标为． 将点、代入， 得 解得， 抛物线的函数表达式为． 令，得， 解得，， 点A的坐标为． （2）点A的坐标为，点D与点C关于x轴对称， ，点D的坐标为，则， ，． 由题可得，即点F与点D是对应点． 设点E的坐标为，则，点G的坐标为， ． 如图，当时，，则，   ，即， ， 解得，（舍）， 点G的坐标为． 当时，，此时点、与点B重合， 点的坐标为． 综上可得点C的坐标为或． 30．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内拋物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)点为或． 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）分当，此时，如图，当，过作于点，此时，求出直线的解析式为：，设，则，则，，，，，然后利用三角函数即可求解． 【详解】（1）∵，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 设抛物线的解析式为且过， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∴， 当时， 此时， ∴点的纵坐标与点相等，即， 解得， ∴点； 如图，当，过作于点， 此时， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（）得：，， 设的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：，经检验是方程的解， ∴， 综上可知：点为或． 【点睛】本题考查了求解抛物线解析式，二次函数的图像与性质，相似三角形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【经典例题七 锐角三角函数的翻折模型】 1．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，矩形 中，E在边上，将沿翻折，得到，延长交于G， 连接．若．则的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，三角函数，掌握相关图形的性质是解题的关键. 先推出, 得到即可求出，根据勾股定理即可求出，进一步得到，由翻折的性质，知, 从而求出. 【详解】∵四边形是矩形, ∴, ∴, ， ， ∵， ∴, ， ∴, ∵将沿翻折, 得到, ∴． 故选: C． 2．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，点在矩形的边上，将沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．由矩形与折叠的性质，得到，，利用锐角三角函数，得出，，，再根据同角的余角相等，得到，再结合锐角三角函数即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：3． 3．（2024·浙江温州·二模）如图，在中，点D是的中点，点E在上，将沿翻折至，使点F落在上，延长与的延长线交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是： （1）利用翻折的性质，等边对等角以及三角形外角的性质可得出，然后利用平行线的判断即可得证； （2）利用平行线分线段成比例可求出，利用勾股定理可求出，利用正切的定义可求出，利用平行线分线段成比例可求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：沿翻折至，点是的中点， ，， ， 又， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ， ，且点是BC的中点， ， 点是AB的中点， ， ． 4．（2023·江苏宿迁·模拟预测）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．    (1)求证：； (2)若，则的值为 ； (3)若，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）由折叠的性质得出，，，由勾股定理求出，设，则，，由相似三角的性质得出，可求出的长，则可得出答案； （3）设，则，由折叠知，，，由相似三角形的性质得出，，则可得出方程求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 由翻折可知，， ，， ， ． （2）解：把沿翻折，使点恰好落在边上的点处， ，，， 四边形是矩形， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得． ， ， 故答案为：； （3）解：设，则， 由折叠知，，， ， ， ，， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·江苏南京·模拟预测）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）设，相交于点M，证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）设与交于点G，利用矩形和垂直的性质证明，得到，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点H，得到四边形为矩形，利用矩形和垂直的性质证明，利用相似三角形性质即可证明； （4）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，利用锐角三角函数得到，设，则，利用勾股定理建立等式求出的值，得到，，利用等面积法求得，即可解题． 【详解】（1）解：如图1，设，相交于点M， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即， 故答案为： ； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （4）如图4所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查全等三角形性质和判定，矩形的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，翻折的性质，等面积法，解题的关键是作辅助线构造相似三角形． 【经典例题八 锐角三角函数的最值模型】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题． 【详解】解：连接交于点，连接，， 四边形是菱形， 对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形， ， ， 是的中点， ， 的周长， 要求的周长的最小值可先求出的最小值即可， 而的最小值就是的长， 过点作，交的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， 在中， ，， 在中， ，， ， 的周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键． 2．（2020·贵州遵义·一模）如图，在以为直径半圆上，，，点是弧上的一动点，，连接，则的长最小是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，如图， ∵，， ∴， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴, 在中，， ∴的长最小是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，求到圆上一点的最小距离，斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求得点的轨迹是解题的关键． 3．（2024·云南文山·二模）如图甲，是的直径，点P在上，且，点M是外一点，与 相切于点B，连接，过点A作交于点C，连接交于点 D． (1)求证： 是的切线； (2)若，求的值； (3)如图乙，在（2）的条件下，延长至 N，使 在上找一点 Q，使得 的值最小，请求出其最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据平行线的性质及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，再由切线的判定即可证明； （2）根据切线长定理得出，然后利用相似三角形的判定和性质确定，利用正切函数的定义即可求解； （3）根据勾股定理确定，在上取点D，使 ，利用相似三角形的性质得出求 的值最小，相当于求最小值，当D、Q、N共线时，最小，作 于点 H，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵在与中， ， ∴， ∴ ， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵是 的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ； （3）解：在中，， ∴， ， ∴上取点D，使 ， ∴，D为定点， 且， ∴恒成立， ∴求 的值最小，相当于求最小值， ∴当D、Q、N共线时，最小， 如图，作 于点 H， 可得 ， 即 的最小值为 ． 【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及解三角形的应用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 4．（2024·广东茂名·二模）综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 【答案】(1) (2) (3)点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3 【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案； （2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长； （3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：连接， 由折叠得：，垂直平分. ∵在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴. （2）依题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3. 理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图， 中，， 由折叠得：，，， 设，则，， 根据勾股定理得，， 则 解得 ∴线段长度最小时的长为3. 【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形中，，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式，并证明为直角三角形； (2)在x轴上求作一点 P ，使 的值最小，写出点P 的坐标并求出最小值． 【答案】(1)；理由见解析 (2)；最小值是 【分析】（1）过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D，通过证明，得到A，B两点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，通过全等得到，进而得到，从而得到结论； （2）过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则，根据解直角三角形求出，根据“垂线段最短”可知，此时的值最小，过点 B作轴，垂足为 F，根据解直角三角形求出P点坐标，进而求出的长度，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图 1，过点 A 作 轴于点 E，过点 B 作轴于点D， 则， ∵点， ，， ， ， ， ， ， ∴点B的坐标是， ∵点在反比例函数 的图象上， ，解得 ， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ， ∴反比例函数的解析式是 ， ， ， 又， ， ， 为直角三角形； （2）如图2，过点 C 在 x 轴下方作射线 ，使，过点 B 作 ，垂足为 M，交 x 轴于点 P，则， ， ， 根据“垂线段最短”可知，此时的值最小， 过点 B作轴，垂足为 F， ， ， ， ， ， ， 综上可知，点 使 的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题考查了求反比例函数综合，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短，正确作出辅助线构造直角三角形，是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$