专题04 锐角三角函数易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 锐角三角函数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 正切的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【易错必刷二 求角的正切值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则 ． 3．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，正方形和正六边形有一边重合． (1)求的度数； (2)当时，求． 【易错必刷三 正弦的概念辨析】（共3小题）1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 3．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【易错必刷四 求角的正弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在中，已知，，，那么边的长是（   ） A．6 B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)过点作于点，若，，则的正弦值为______． 【易错必刷五 余弦的概念辨析】（共3小题） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【易错必刷六 求角的余弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．4 2．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 【易错必刷七 特殊角的三角函数】（共3小题） 1．（2025九年级下·全国·专题练习）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 3．（24-25九年级上·广西贵港·期中）计算：． 【易错必刷八 特殊角三角函数值的混合运算】（共3小题） 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）计算： ． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【易错必刷九 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【易错必刷十 根据特殊角三角函数值求角的度数】（共3小题） 1．（2025九年级下·全国·专题练习）在锐角中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，求锐角． 本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数．先解方程，求出的值，进而求出锐角的度数即可． 【易错必刷十一 已知角度比较三角函数值的大小】（共3小题） 1、（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 3．（23-24浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【易错必刷十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 3．（23-24·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【易错必刷十三 利用同角三角函数关系求值】（共3小题） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 3．（2024·河南信阳·二模）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【易错必刷十四 求证同角三角函数关系式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【易错必刷十五 互余两角三角函数的关系】（共3小题） 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在中，，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）在直角三角形中，，且，则 ． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【易错必刷十六 三角函数综合】（共3小题） 1．（2024·山西忻州·二模）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）    【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 【易错必刷十七 解直角三角形的相关计算】（共3小题） 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接交于点F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 【易错必刷十八 解非直角三角形】（共3小题） 1．（2020·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A．km B．km C．km D．km 2．（2024·山东滨州·一模）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈) 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【易错必刷十九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】（共3小题） 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 3．（20-21九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【易错必刷二十 仰角和俯角问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知点处有一个高空探测气球，从点处测得水平地面上，两点的俯角分别为和．若，则，两点之间的距离为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，） 【易错必刷二十一 方位角问题】（共3小题） 1．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 2．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场，如图．上午8时，直升机从地出发，以的速度向正北方向飞行，9时到达地，此时，机场的导航站传来信息：在处有一座高山，因受天气影响，高山周围内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得，．问：该直升机继续向机场飞行是否有危险，请说明理由． 【易错必刷二十二 坡度坡比问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东·期末）如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（   ）米． A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，是某“平改坡”工程中的一种屋顶设计图的示意图，已知原平屋顶的宽度为5米，若坡角，则斜面钢条的长约为 米（，，保留两位小数）． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，李庄计划在山坡上的处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知到水池处的距离是，山坡的坡角，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程不能超过，否则无法抽取水池中的水，试问水泵站能否建在处？（吸水扬程是指抽水泵将水从低处送到高处的垂直高度，参考数据：） 【易错必刷二十三 其他问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 锐角三角函数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 正切的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数的定义，根据一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴与的面积之比等于． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 【易错必刷二 求角的正切值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）在中，，、、的对边分别为a、b、c，则（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据题意画出图形，再根据解答即可． 【详解】解：如图所示：中，、、的对边分别为a、b、c， ； 故选：B． 2．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则 ． 【答案】2 【分析】连接，先利用勾股定理求出、、的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后根据即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理，含乘方的有理数混合运算，勾股定理的逆定理，求角的正切值，二次根式的除法，求一个数的算术平方根等知识点，连接并利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北衡水·阶段练习）如图，正方形和正六边形有一边重合． (1)求的度数； (2)当时，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查正多边形的内角和定理，等边对等角，正切值的计算，掌握正多边形的性质，正切值的计算方法是解题的关键． （1）根据正六边形的内角和定理可得，由等边对等角可得，由轴对称的性质可得，根据即可求解； （2）根据正方形，正六边形的性质可得，，由（1）得，在中，根据正切值，即可求解． 【详解】（1）解：六边形为正六边形， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ， ∴在中，， 解得，． 【易错必刷三 正弦的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷四 求角的正弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在中，已知，，，那么边的长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，先利用正弦的定义得到 ，可计算出，然后根据勾股定理计算的长． 【详解】解：如图， 在中，，， ， ， ． 故选B． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，首先根据勾股定理求出斜边长为，如果根据正弦的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知勾股定理及正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：因为直角三角形两直角边长分别为和， 所以斜边长为：， 所以较小锐角的正弦值为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)过点作于点，若，，则的正弦值为______． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，正切值的计算方法，掌握矩形的判定和性质，正切值的计算方法是解题的关键． （1）根据对角线相互平分可得四边形是平行四边形，，结合题意可得，，根据矩形的判定方法即可求证； （2）在中，运用勾股定理可得，，运用等面积法可得，在中，再根据正弦值的计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【易错必刷五 余弦的概念辨析】（共3小题） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【答案】 【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BEC， ∴=， ∴=， ∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∵， ∴=， ∴=（）²=（）2=． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【易错必刷六 求角的余弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 【详解】解：，，， ， ， ． ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，连接和，通过证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明，再根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接和， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 设小正方形的边长为1， 则,，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，P是的边上的一点，已知点P的横坐标为6，且． (1)求点P的纵坐标； (2)的值为______． 【答案】(1)点P的纵坐标为8 (2) 【分析】 本题考查了已知正弦值求边长，求角的余弦值，掌握三角函数值转化为边的比是解题的关键． （1）由，可设，，利用勾股定理列方程，求出x的值即可． （2）由余弦的定义即可求解； 【详解】（1）如图，过点P作轴于点M， 则， ∵点P的横坐标为6， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（负数舍去）， ， 点P的纵坐标为8． （2）由（1）知，， ， 故答案为：． 【易错必刷七 特殊角的三角函数】（共3小题） 1．（2025九年级下·全国·专题练习）下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． 根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2025·山东青岛·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算，先化简二次根式，代入三角函数值，再约分，计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广西贵港·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂等计算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【易错必刷八 特殊角三角函数值的混合运算】（共3小题） 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算，代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）根据二次根式性质，特殊角的三角形函数值，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷九 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】根据非负数的性质可得：，由此可求出，即为等腰三角形． 【详解】根据绝对值的非负性可得：， ∴， ∴， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于， ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 【易错必刷十 根据特殊角三角函数值求角的度数】（共3小题） 1．（2025九年级下·全国·专题练习）在锐角中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数，三角形内角和定理等知识，先根据非负数的性质求出，，然后根据特殊角的三角函数求出，，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选∶D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）王明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了根据角的三角函数值求角，由题意可得，即得，据此即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，求锐角． 【答案】45° 【分析】 本题考查根据特殊角的三角函数值，求角的度数．先解方程，求出的值，进而求出锐角的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵是锐角， ∴． 【易错必刷十一 已知角度比较三角函数值的大小】（共3小题） 1、（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 3．（23-24浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 【易错必刷十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2（24-25九年级上·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的一个内角， ∴， ∴， ∵函数图像与轴没有交点， ∴， ∵， ∴， 即， 对于，看作关于的二次函数， ∵， ∴的图象开口向上， 又时， 解得：或， 利用二次函数与不等式的关系， 得的解为：或（舍）， ∴， 则的取值范围是， 故答案为：． 3．（23-24·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【易错必刷十三 利用同角三角函数关系求值】（共3小题） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（2024·河南信阳·二模）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 【易错必刷十四 求证同角三角函数关系式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 【易错必刷十五 互余两角三角函数的关系】（共3小题） 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在中，，如果，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得出，代入即可． 【详解】解：如下图， ∵， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知，能推出，，，． 2．（24-25九年级上·广西崇左·阶段练习）在直角三角形中，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系是解题的关键．根据三角函数的性质，一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，由此即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 【易错必刷十六 三角函数综合】（共3小题） 1．（2024·山西忻州·二模）如图①，边长为的正方形的顶点C，D在正六边形的内部，如图②，将正方形沿向右平移一定距离，得到正方形 （顶点A，B，C，D平移后的对应点分别为，，，），此时点恰好落在边上，连接，则的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接，作，可推出四边形是平行四边形，得到；根据条件推出四边形是矩形，得即可求解． 【详解】解：连接，作，如图所示： 由题意得： 正六边形每一个内角度数为： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 解得： 故选：D 【点睛】本题考查了正多边形的性质、矩形积平行四边形的判定与性质、利用三角函数值求解边长等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在中，，，，点在边上运动，于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，二次函数求最值，熟练掌握三角函数是解题的关键； 设，根据，可得，根据，利用二次函数求最值即可求解． 【详解】解：设， ， 的最大值为：， ， ， ， 则， ， ， 当时，的面积取得最大值为：； 故答案为： 3．（24-25九年级上·全国·期末）【教材呈现】 现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题： 14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）    【得出结论】 ． 【基础应用】 在中，，，，利用以上结论求的长； 【推广证明】 进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）． 请利用图1证明：． 【拓展应用】 如图2，四边形中，，，，． 求过A，B，D三点的圆的半径． 【答案】教材呈现：见解析；基础应用：；推广证明：见解析；拓展应用： 【分析】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数．添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 教材呈现：分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 基础应用：利用三角形内角和定理求得，利用公式，代入数据求解即可； 推广证明：作直径，连接，利用圆周角定理求得，，推出，即，同理，，据此即可证明结论成立； 拓展应用：连接，作于点，证得四边形是矩形，利用勾股定理求得和，证明，利用三角函数的定义求得，再根据，据此即可求解． 【详解】解：教材呈现：如图，分别作，垂足分别为，   在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 基础应用：∵中，，， ∴， 由题意得， ∴， 解得； 推广证明：作直径，连接，    ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴； 拓展应用：连接，作于点，     ∵， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【易错必刷十七 解直角三角形的相关计算】（共3小题） 1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接交于点F．则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据勾股定理求出，然后利用三角函数得到即可判断A选项，然后利用角平分线和30°的直角三角形的性质判断B选项；利用面积求出判断C选项；再根据勾股定理判断D选项即可解题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵ ∴， 故A正确，不符合题意； ， ∵是的角平分线， ， 故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ， ， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选： C． 2．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 对角线平分．， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．   故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，直角三角形纸片，，，，将其折叠，使点落在斜边上的点，折痕为；再沿折叠，使点落在的延长线上的点处． (1)求的度数； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得和分别是和的角平分线，据此即可求解； （2）在直角中利用勾股定理求得的长，设，则，在直角和直角分别利用三角函数即可得到关于的方程，求得的值，再在直角中利用勾股定理求得的长，再根据，则函数值相等，据此列方程求解． 本题考查了图形的折叠与三角函数，勾股定理，角度相等则对应的三角函数值相等，据此求得的长度是本题的关键． 【详解】（1）解：∵折叠 ，， 又， ； （2）解：，，， ． 由折叠可知，，，，． 设，则． 在直角中，， 又在直角中，． ． ， ． ， ， ， ． 【易错必刷十八 解非直角三角形】（共3小题） 1．（2020·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】C 【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案． 【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点， 根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=3km， 在Rt△CBD中， CD=BC×sin60°=3×=(km)， 故选择：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值． 2．（2024·山东滨州·一模）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈) 【答案】300m 【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC=x m，BE=y m．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题． 【详解】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym． 在Rt△ECB中，tan53°=，即， 在Rt△AEC中，tan37°=，即， 解得x=180，y=135， ∴AC==300(m)， 故答案为：300m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题． 3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【易错必刷十九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】（共3小题） 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建、两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从点看点的仰角为36.5°，段扶梯长米，则段扶梯长度约为（    ）米（参考数据：，，） A．43 B．45 C．47 D．49 【答案】B 【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG，即可得解. 【详解】作AH⊥EB于H，延长DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如图所示： ∵∠ACD=135° ∴∠ACN=45° 在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45° ∴AN=CN=18 在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2， 设 ∴ 解得或（不符合题意，舍去） ∴AH=45 ∴HN=AH-AN=45-18=27 ∵四边形DGHN是矩形 ∴DG=HN=27 在Rt△DEG中， ∴ 故选：B. 【点睛】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题. 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 3．（20-21九年级上·甘肃张掖·期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 【易错必刷二十 仰角和俯角问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题以及坡度坡角问题．过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 斜面坡度为， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ， ， ， ， ， 解得：， 故米， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知点处有一个高空探测气球，从点处测得水平地面上，两点的俯角分别为和．若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作垂直于延长线，垂足为，由题意知，，，设，在中，由列方程求出的值，在根据可得答案． 【详解】解：如图所示，延长，过点作垂直于延长线，垂足为， 由题意知，，， 设， 在中，由可得， 解得，即， 则， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一枚运载火箭从地面L处发射．当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为；后火箭到达B点，此时测得仰角为．这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】分别求出的长，即可求出结果． 本题主要考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数和仰角、俯角的意义是解决问题的关键． 【详解】解：在中， 在中， ∴， ∴速度为 答：这枚火箭从A到B的平均速度为． 【易错必刷二十一 方位角问题】（共3小题） 1．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 2．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）某市发生地震后，为了抢救伤员，一架救援直升机从该市地起飞，运送一批地震伤员沿正北方向到机场，如图．上午8时，直升机从地出发，以的速度向正北方向飞行，9时到达地，此时，机场的导航站传来信息：在处有一座高山，因受天气影响，高山周围内能见度低，飞行时会遇到危险．经测量得，．问：该直升机继续向机场飞行是否有危险，请说明理由． 【答案】无危险，理由见解析 【分析】过点作于点，求得最短距离，与危险半径比较大小，判判断解答即可． 本题考查了解直角三角形的应用----方向角，正确构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：该直升机继续向机场飞行无危险． 理由：如答图， 过点作于点， ，， ，， ， ． 由题意可得， ，． ， 该直升机继续向机场飞行无危险． 【易错必刷二十二 坡度坡比问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东·期末）如图1所示是一些商场出售的女士高跟鞋，图2是某鞋厂刚设计的新款高跟鞋的剖面图，其中的一部分可抽象为线段．已知部分鞋底的坡比接近，为n米，则铅垂高度约为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意，得到，设，勾股定理求出米，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：由题意，得：， 设， 在中，， ∴米， ∴米； 故选B． 2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，是某“平改坡”工程中的一种屋顶设计图的示意图，已知原平屋顶的宽度为5米，若坡角，则斜面钢条的长约为 米（，，保留两位小数）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．由锐角三角函数可以求得的长即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， 解得：米， 即斜面钢条的长约为米． 故答案为：． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，李庄计划在山坡上的处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知到水池处的距离是，山坡的坡角，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程不能超过，否则无法抽取水池中的水，试问水泵站能否建在处？（吸水扬程是指抽水泵将水从低处送到高处的垂直高度，参考数据：） 【答案】水泵站不能建在A处．理由见解析 【分析】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决． 本题问泵站是否能建在A处，其实是问的高度，如果就能，反之不能，那么直角三角形中，已知了的度数和的长，即可求出． 【详解】解：，，， ． ， 水泵站不能建在A处． 【易错必刷二十三 其他问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定；由已知角可求得，则；在中，由正弦函数即可求得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 在中，； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 学科网（北京）股份有限公司 $$