专题03 锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】题型一 锐角三角函数与三角形压轴 题型二 锐角三角函数与四边形压轴 题型三 锐角三角函数与圆压轴 题型四 锐角三角函数与一次函数压轴 题型五 锐角三角函数与二次函数压轴 题型六 锐角三角函数与相似压轴 题型七 锐角三角函数的最值训练 题型八 锐角三角函数的应用 题型九 锐角三角函数的新定义问题 题型十 锐角三角函数的综合 【经典例题一 锐角三角函数与三角形压轴】 1．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）已知：等边，点和点在直线的异侧，且，于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，取中点，连接，试探究，，三条线段的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点，在射线上取点，使，连接，，射线交延长线于点．当最小时，请直接写出的值． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末），于，，，，点沿射线方向一直运动，将点绕点逆时针旋转得到点（在射线上），点与点关于点成中心对称（点在射线上），连接、、得到． (1)求的长； (2)在点的运动过程中，设，与的重叠部分面积为，求与的函数关系式． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在中，，是它的一条中线，则与的数量关系式是：____________________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，于点G，于点H，O为边上一点，且，连接，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，有一块四边形草地，规划部门计划在这块空地内种植花卉，计划在边、上分别取点E、F，利用小路、把这块草地分割开，在四边形内种植郁金香，其他区域种植草坪，为观赏长廊．已知．设计师认为当时，规划更美观． 请帮助规划部门解决问题： ①求出观赏长廊长度的最小值； ②当观赏长廊最小时，种植郁金香区域的面积为__________． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）【问题探索】 （1）如图1，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，直接写出的长． 5．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）在中，，为边上的中点，连接． (1)如图1，若时，，求的面积； (2)如图2，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：． (3)如图3，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形压轴】 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形中，，E是边上异于A，D的一个动点． (1)如图1，将沿折叠，点A的对应点落在边上，求； (2)如图2，点M，N分别是边，的中点，将四边形沿折叠，得到四边形，连接．若，直接写出线段的长度的取值范围． (3)如图3，将沿折叠，点A的对应点落在矩形外，，分别与交于点P，Q，连接交于点R，已知，求的值． 7．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处． (1)如图，若，求的度数． (2)如图，当时，且时，求的长． (3)如图，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，求的值． 8．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，求的长． 9．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值； （2）延长交于点，交于点．求的值． 10．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 【经典例题三 锐角三角函数与圆压轴】 11．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 12．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： (1)求该筒车半径． (2)筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ①求的度数． ②当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【情景认识】 托勒密是一位古希腊的天文学家、地理学家和数学家，他的数学成就是在三角学方面，被誉为三角学的创建者，图一所示． 【问题导入】 托勒密定律：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形中，若、、、四点共圆，则． 【简单应用】 如图三，四边形内接于，是的直径，如果，，求的长． 【加深理解】 如图四，在中，，为的中点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，．则 ； 15．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，已知的直径，点是射线上的一个动点，以为边构造平行四边形，满足，． (1)如图2，当______时，点恰好在上． (2)如图3，当动点与点重合时，连接，求证：是的切线． (3)在点的运动过程中，若平行四边形的边所在的直线与相切，求的长． 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数压轴】 16．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 17．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 18．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)点P是反比例函数的图象上一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点M是反比例函数的图象上一点，连接，若，直接写出满足条件的点M的坐标． 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．将直线绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若，求点M的坐标； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 20．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数交轴，轴于，两点，抛物线经过，两点，顶点为，抛物线与轴另一交点为，抛物线的对称轴与直线交于 (1)求的值 (2)已知点为直线上的动点，且在轴上方，若，求点坐标 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数压轴】 21．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 22．（2025九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点的坐标（直接写答案）． 23．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)① ，②顶点坐标为 ； (2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及图象的一段，分别记为．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点P移动的最短路程； (3)如图3，M是抛物线上一点，N为射线上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为a，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 24．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 25．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标： (4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标． 【经典例题六 锐角三角函数与相似压轴】 26．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设． (1)当点在边上时， 求的面积；（用含的代数式表示） 当时，求的值； (2)当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值． 27．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 28．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 29．（23-24九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点C，D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当D在第一象限时，求点到直线的最大距离； (3)过点D作轴于点，连接，当以为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标． 30．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与重合）． (1)求直线的解析式； (2)作于，于，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出周长的最小值． 【经典例题七 锐角三角函数的最值训练】 31．（2024九年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 32．（2024·宁夏吴忠·二模）动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法． 如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H． （1）在图1中：易知，则 ； 思考探索 如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点． （2）在图2中：的面积为 ； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积； ②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值． 33．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）把的边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1，已知，，．求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，已知，将沿着直线折叠，得到、连接是直线上的一个动点，当最小时值为，请直接写出的面积． 34．（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标； (3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接．是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题八 锐角三角函数的应用】 36．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 37．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 38．（2024九年级下·辽宁·专题练习）数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为． (1)求杯口半径的长； (2)若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）. 39．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 40．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【经典例题九 锐角三角函数的新定义问题】 41．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 42．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 43．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点P、N、Q在同一条直线上，，则称点N为的“银杏点”．特别地，若N为的中点时，则Q为的“银杏点”，P也为的“银杏点”． (1)已知，点N在线段上，若点N为的“银杏点”，则______． (2)如图，O为的重心，则下列说法正确的是______（填序号）． ①O为的“银杏点”； ②E为的“银杏点”； ③D为的“银杏点”； ④C为的“银杏点”． (3)如图2，在中，．若，． ①求的长； ②当点M在边上，且M、E、G中有一点为其它两点的“银杏点”．点K在直线上，且．求的长． 44．（21-22九年级下·山西·阶段练习）阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定sin90°＝1）． (1)探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接）． 事实上，以上结论适用于任意三角形． (2)初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6，求b． (3)综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 45．（2021·福建厦门·模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定）． 探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：． 学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 【经典例题十 锐角三角函数的综合】 46．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？    【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 47．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）综合与实践 【问题背景】 如图1，与相交于点O，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， ____________． ，， ， ， ， 四边形的内角和为． ____________ ， ， ， ， ， ____________． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且满足，，连接、，交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图4，在正六边形中，，点M、N分别是边、上的动点，且满足，连接．请参照小明的思路，求的最小值． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，动点D从点O出发沿O→A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A停止．在运动过程中，的外接圆交于点P．连接交于点E，连接，得到． (1)求； (2)如图2，移动过程中，当点P恰好落在的中点时，求此时点D的坐标； (3)①设点D运动的时间为t秒，直接写出点P的坐标______（用含t的代数式表示）； ②设的面积为S，求S关于时间t的关系式． 49．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内． (1)如图1，，若是以为直角边的直角三角形，且．求出点C的坐标； (2)如图2，在（1）的前提下，的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点，写出r的取值范围______． 50．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接．    (1)求的长； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 锐角三角函数50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 锐角三角函数与三角形压轴 题型二 锐角三角函数与四边形压轴 题型三 锐角三角函数与圆压轴 题型四 锐角三角函数与一次函数压轴 题型五 锐角三角函数与二次函数压轴 题型六 锐角三角函数与相似压轴 题型七 锐角三角函数的最值训练 题型八 锐角三角函数的应用 题型九 锐角三角函数的新定义问题 题型十 锐角三角函数的综合 【经典例题一 锐角三角函数与三角形压轴】 1．（24-25九年级上·重庆南岸·阶段练习）已知：等边，点和点在直线的异侧，且，于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，取中点，连接，试探究，，三条线段的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，当最小时，在线段上取点，在射线上取点，使，连接，，射线交延长线于点．当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，易得四边形为矩形，三线合一求出，的长，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，进而求出，勾股定理求出的长； （2）倍长至点，连接，在上截取，三角形的中位线定理，得到，中垂线的判定和性质，得到，证明，得到，再根据，即可得出结论； （3）定弦定角得到三点共圆，圆周角定理得到，确定圆心的位置，取的中点，连接，得到点在以为圆心的圆上，进而得到当三点共线时，的值最小，进而得到此时为以为直角顶点的直角三角形，当时，即：，，最小，过点作，利用锐角三角形函数和含30度角的直角三角形的性质求出两个三角形的面积，即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作于点，    ∵等边，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）；理由如下： 延长至点，使，连接，在上截取，    ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）设， ∵，为定值， ∴点三点共圆，设圆心为，则圆心在线段的中垂线上，且， ∵垂直平分， ∴点在射线上， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 取的中点，连接，则：，，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，则：， ∴当三点共线时，的值最小， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴三点共线， ∴为直径， ∴， ∴， ∵ ∴为的中点， ∵， ∴， ∴， 过点作，交于点， ∴， ∴ ∴当与点重合时，，的值最小， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，合理添加辅助线构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末），于，，，，点沿射线方向一直运动，将点绕点逆时针旋转得到点（在射线上），点与点关于点成中心对称（点在射线上），连接、、得到． (1)求的长； (2)在点的运动过程中，设，与的重叠部分面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形及二次函数与图形动点问题，相似三角形的性质与判定． （1）解直角三角形求出，即可解决问题； （2）分三种情形：①如图1中，当时，重叠部分是；②如图2中，当时，重叠部分是四边形；③当时，重叠部分是；分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解： ， ， ，，， ，， ； （2）∵将点绕点逆时针旋转90°得到点（在射线上），点与点关于点成中心对称（点在射线上）， ∴ ∴是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ①如图1中，当时，重叠部分是，； ②如图2中，当时，重叠部分是四边形； 作交的延长线于，作于， ∴，则， ∵，， ∴ ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ； ③当时，重叠部分是，， 综上所述，． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【问题提出】 （1）如图1，在中，，是它的一条中线，则与的数量关系式是：____________________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，于点G，于点H，O为边上一点，且，连接，求的长； 【问题解决】 （3）如图3，有一块四边形草地，规划部门计划在这块空地内种植花卉，计划在边、上分别取点E、F，利用小路、把这块草地分割开，在四边形内种植郁金香，其他区域种植草坪，为观赏长廊．已知．设计师认为当时，规划更美观． 请帮助规划部门解决问题： ①求出观赏长廊长度的最小值； ②当观赏长廊最小时，种植郁金香区域的面积为__________． 【答案】（1）（2）3（3）①② 【分析】（1）根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质即可得解； （2）证明B，C，G，H四点共圆，再证明是等边三角形，即可得解； （3）①过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为Ｎ，证明，即可证明四点共圆，设中点为K，过K点作，垂足为K，则圆心O在直线l上，由，得，由三角函数和勾股定理可求，则当时，取得最小值，最小值为②当时，圆心O与K点重合，为圆O直径，再分别求出和即可得解． 【详解】（1）解：，是它的一条中线， ， ， ； （2）解：，， ， B，C，G，H四点共圆，且为直径， 如图，连接， ， ， ， ， ， ， O为圆心， ，， 是等边三角形， ； （3）解：①如下图， 过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为Ｎ，则， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 四点共圆， 设中点为K，过K点作，垂足为K，则圆心O在直线l上，， 如下图所示，连接，过点O作，垂足为H，设圆O半径为r，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为， ②当时，圆心O与K点重合，为圆O直径， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题目考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理等知识点，等边三角形的性质和判定，判断出如何取得最小值是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）【问题探索】 （1）如图1，在中，，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【类比应用】 （2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）12 【分析】（1）先证出，再根据等腰三角形的性质可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）延长，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再解直角三角形可得，最后利用勾股定理求解即可得； （3）过点作交于点，使得，先证出，根据相似三角形的性质可求出，再证出，利用相似三角形的性质可求出，由此即可得． 【详解】证明：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 在中，， ∴，， ∴． （3）如图，过点作交于点，使得， ∵是等腰三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 5．（24-25九年级上·重庆开州·阶段练习）在中，，为边上的中点，连接． (1)如图1，若时，，求的面积； (2)如图2，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：． (3)如图3，，为上一点，将绕点逆时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，得出，，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）连接，，利用等边三角形的判断方法判定出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，，由全等的性质得到，利用四点共圆，证出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到为等腰直角三角形后即可解答； （3）同（2）可得，得出在的角平分线上运动，根据，当在上时，最大，进而得出，，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵为边上的中点， ∴ （2）证明：如图所示，连接， ∵，为边上的中点， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵已知 ∴ 又∵， ∴ ∴四点共圆， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ （3）解：∵将绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∴是等边三角形 如图所示，同（2）可得， ∴ ∴在的角平分线上运动， ∴当时，最小， ∴在上， 如图所示，连接 ∵，是等边三角形 ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∵将沿翻折得， ∴，当在上时，最大 ∵为边上的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形压轴】 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在矩形中，，E是边上异于A，D的一个动点． (1)如图1，将沿折叠，点A的对应点落在边上，求； (2)如图2，点M，N分别是边，的中点，将四边形沿折叠，得到四边形，连接．若，直接写出线段的长度的取值范围． (3)如图3，将沿折叠，点A的对应点落在矩形外，，分别与交于点P，Q，连接交于点R，已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质可证明，，再结合及勾股定理表示出，最后求出，即可求出； （2）根据翻折的性质，可知的轨迹为以M为圆心，以为半径的圆弧，当M、N、共线时，长度最小，当在A时，长度最大，再结合矩形的性质、中点的定义及勾股定理分别算出、、的长度，即可得出的长度的取值范围； （3）过R作交于点H，先根据矩形的性质和翻折的性质证明，以及是等腰三角，即，再根据和勾股定理，设，则可表示出、、、的长度，然后根据可求出、、，进而可求得，再据此找出与的数量关系，同时根据以及找到与的数量关系，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且， ∴设，，， 由翻折的性质可得：，， 在中，， ∵ ∴，， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形，且， ∴，， ∵点M，N分别是边，的中点，连接，， ∴，， ∴， ， ， ∵四边形沿折叠，得到四边形， E为线段上的动点， ∴的轨迹为以M为圆心，以的长度为半径的圆弧，如图： ∴当M、N、共线时，长度最小， 此时， 当在A时，长度最大，， ∵E是边上异于A，D的一个动点， ∴． （3）如图，过R作交于点H： 由翻折的性质得，，且， ∴， 由矩形的性质得，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、三角函数正切值、等腰三角形的判定、相似三角形、点与圆上一点的最值问题等，熟练掌握并灵活应用各个知识点是解题的关键． 7．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处． (1)如图，若，求的度数． (2)如图，当时，且时，求的长． (3)如图，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据矩形性质得到，再根据折叠性质得到，，，利用锐角三角函数得到，利用平行线的性质求得，进而可求解； （2）证明得到，结合已知得到，则，利用勾股定理求得，进而求得即可求解； （3）过点N作于点G，先根据已知和折叠性质得到，证明得到，设，根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，设，则，利用勾股定理求得，进而求得即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴，， 又∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：过点N作于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵平分， ， ∴，又， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、锐角三角函数、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形和折叠的性质以及相似三角形的性质是解答的关键． 8．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，定义域为 (3)或或 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据、直角三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）延长交于K，先证明求得，再证明得到，再由得到，再代入求解即可； （3）先根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、解直角三角形求解即可得． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：延长交于K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵矩形中，， ∴， ∴，又， ∴； 由（1）结论，得， ∴， 即，定义域为； （3）解：由题意，当为等腰三角形时，分以下三种情况： ①当时，为等腰三角形， ， ， ∴， ∵， ， ，即是的平分线， 过E作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴， 解得； ②当时，为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为等腰三角形， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由得， 解得， 综上，为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论，并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 9．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）【问题呈现】 如图1，和都是等边三角形，连接，．易知_______． 【类比探究】 如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．则_______． 【拓展提升】 如图3，和都是直角三角形，，且，连接，． （1）求的值； （2）延长交于点，交于点．求的值． 【答案】[问题呈现]1；[类比探究]；[拓展提升]（1），（2） 【分析】[问题呈现]利用等边三角形的性质及证明，从而得出结论； [类比探究]根据等腰直角三角形的性质，证明，进而得出结果； [拓展提升]（1）先证明，再证得，根据相似三角形的性质进而得出结果； （2）在（1）的基础上得出，进而，再根据勾股定理及正弦的定义进一步得出结果． 【详解】[问题呈现]解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； [类比探究]解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展提升]解：（1）， ， ， ， ，， ， ， ； （2）由（1）得：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了求正弦函数，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 10．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，是正方形的对角线，平分交于，点在上，且，连接并延长，分别交，于点，． (1)求证：； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，平分，可得，结合正方形的性质可推出，得到，即，证明，得到，即可证明； （2）设正方形的边长为，则，进而得到，由四边形是 正 方 形，得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）根据等腰三角形的性质和正方形的性质可推出，设正方形的边长为，由（2）得，得到，推出，在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：，平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ； （2）解：设正方形的边长为，则， ， ， 四边形是 正 方 形， ，则，， ， ， ，平分， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为， 由（2）得， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 【经典例题三 锐角三角函数与圆压轴】 11．（2024·湖南·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线． (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，根据等边对等角得，由垂直定义得，根据等量代换可得，即，可得结论； （2）①如图2，过O作于点H，证明，则，得； ②过点C作，连接BF，过点C作，先根据勾股定理求，则，设，则，根据勾股定理列方程得：，可得x的值，证明，列比例式可得的长，再求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：①线段与之间满足的数量关系是， 理由如下：过O作于点H，连接， ∴， ∵，且， ∴， ∵为公共边， ∴， ∴， ∴； ②过点C作，连接，过点C作， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由①得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等和相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的切线的判定，第2问的最后一问有难度，证明是关键． 12．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、、切线的性质和解直角三角形，证明实际解题的关键． （1）利用圆周四等分点得到，再根据切线的性质得到，所以，从而即可解题； （2）根据圆内接四边形的性质证明，则可利用“”判断； （3）过点G作于点H，如图，先利用得到，，所以，，然后利用解直角三角形解题即可． 【详解】（1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. （2）∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . （3）连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在中，， . 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒． 问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为的．筒车涉水宽度，筒车涉水深度（劣弧中点到水面的距离）是． 问题解决： (1)求该筒车半径． (2)筒车开始工作时，上处的某盛水筒到水面的距离是，经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ①求的度数． ②当盛水筒旋转至处时，求它到水面的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理，解直角三角形． （1）过圆心作交于点，交于点．由垂径定理得到，，再利用勾股定理列方程求出r即可； （2）①根据题意筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．经过秒后，该盛水筒旋转到点处．列式计算即可求解； ②过点分别作交于点．求出得到，再求出，得到，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，过圆心作交于点，交于点． ， ， ， ， ， ； （2）①筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．经过秒后，该盛水筒旋转到点处． ∴ ②如图，过点分别作交于点． 由题知，到水面的距离是，即， ， ， ， 又 ， ， ． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【情景认识】 托勒密是一位古希腊的天文学家、地理学家和数学家，他的数学成就是在三角学方面，被誉为三角学的创建者，图一所示． 【问题导入】 托勒密定律：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和． 翻译：在四边形中，若、、、四点共圆，则． 【简单应用】 如图三，四边形内接于，是的直径，如果，，求的长． 【加深理解】 如图四，在中，，为的中点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．若，，．则 ； 【答案】[简单应用]： [加深理解]： 【分析】[简单应用]根据直径所对的圆周角是直角，，根据勾股定理求得，，进而根据托勒密定律，进行计算即可求解； [加深理解]先证明四点共圆，过点作于点，则，根据平行线分线段成比例得出，进而勾股定理求得，求得的正弦值与正切值，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而求得，最后根据托勒密定律，进行计算即可求解． 【详解】[简单应用]：解：∵是的直径，， ∴，， 又∵， ∴， 根据托勒密定律得， ∴ 解得：； [加深理解]：∵ ∴， 又∵， ∴四点共圆， ∵，，， ∴，， ∴， 如图所示，过点作于点，则， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵四点共圆，， ∴，则 ∴，， 根据托勒密定律得，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，直角所对的弦是直径，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图1，已知的直径，点是射线上的一个动点，以为边构造平行四边形，满足，． (1)如图2，当______时，点恰好在上． (2)如图3，当动点与点重合时，连接，求证：是的切线． (3)在点的运动过程中，若平行四边形的边所在的直线与相切，求的长． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得到，则； （2）设与交于F，连接，先得到，再证明是等边三角形，得到，，证明，推出，得到，即可证明是的切线； （3）分当与圆相切时，当与圆相切时，两种情况画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴当时，点C恰好在上， 故答案为：1； （2）证明；如图所示，设与交于F，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （3）解：如图所示，当与圆相切时，过点D作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由平行线间间距相等可得， ∴， ∴； 如图所示，当与圆相切时，设切点为F，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴， ∴； 综上所述，存在的边所在的直线与相切，此时的长为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定等等： 【经典例题四 锐角三角函数与一次函数压轴】 16．（24-25九年级上·上海·期中）在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 【答案】(1)，4 (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，确定，，代入解析式计算即可．设直线与y轴的交点为N，利用直线解析式计算，结合计算即可． （2）过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R，根据三角形相似，反比例函数的性质，结合，求点C的纵坐标，再计算其绝对值即可得到与x轴的距离； （3）过点O作于点S，计算，， 过点C作轴于点T，利用等角的三角函数值相等，建立方程，结合反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据一次函数图像与反比例函数图像相交于点和， 设反比例函数的解析式为． 则， 解得， 则反比例函数的解析式为． 当时， 故点， 设一次函数解析式为， ∴， 解得， 故解析式为；． 设直线与y轴的交点为N， 则， 故， ∴．    （2）解：过点A作轴于点Q，过点C作轴于点R， 则， 故， ∴， ∵，， ∴， 解得， 故， ∴， ∴点C到x轴的距离为；    （3）解：过点O作于点S， ∵点和， ∴，， ∴， ∴， ∵点是该反比例函数图像上的一个动点， ∴，， 过点C作轴于点T， 根据题意，得， ∴， 整理，得（舍去）， ∴， 解得（舍去）， ∴．    【点睛】本题考查了待定系数法，三角函数的应用，勾股定理，反比例函数的性质，解方程，熟练掌握待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 17．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交于x轴、y轴于A、B两点，一次函数的图像经过点B和点，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式及点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P在射线上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；令一次函数，即可求出点D 的坐标； （2）过点C作x轴的垂线，垂足为点G，再求出点A的坐标，求出，利用的正切值相等即可证明结论； （3）分和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于B点， 令中，，则 ∴， ∵一次函数的图像经过点B和点，则， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵一次函数的图像与x轴交于点D， ∴当时，则， ∴， ∴点D则坐标为； （2）证明：过点C作x轴的垂线，垂足为点G， ∵点， ∴， ∴， ∵直线交x轴于A点， 令，则中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知：， 如图，当点P与点C关于x轴对称时，，即且相似比为1， 此时，； 如图，当时，过点P作x轴的垂线，垂足为H， 当点P在x轴上时，， ∴， ∴不存在这种情况； ∴点P在x轴下方， ∵，， ∴， ∵点P在射线上，且位于x轴下方，直线解析式， 设点，则， ∴， ∴，即， ∴，即 ∴（舍去）或， 此时，； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的性质和一次函数综合应用，解直角三角形，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键． 18．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)点P是反比例函数的图象上一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点M是反比例函数的图象上一点，连接，若，直接写出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)，反比例函数解析式； (2)点P的坐标为或； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）将点代入，可得点的坐标，从而得出答案； （2）首先求出点的坐标，在轴上取点，使，则，分两种情况讨论，当点在点下方时，过点作，交双曲线于，得出直线的解析式为，与双曲线求交点即可得出点的坐标，当点在点上方时，同理可求； （3）过点作轴，作与，于，连接，利用，得，，则，可知轴，从而解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， ， 反比例函数解析式； （2）解：直线与轴交于， ， 在轴上取点，使，则， 当点在点下方时， 此时， 过点作，交双曲线于， 直线的解析式为， ， 解得，（舍， ， 当点在点上方时， 此时， 过点作，交双曲线于， 直线的解析式为， ， 解得，（舍， ， 综上：点P的坐标为或； （3）解：过点作轴，作于，于， ，， ，， ， ， ， ，， ， 轴， ， ， ， 设直线交轴于， ， 同理，直线的解析式为， ， 解得或， 点M的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用平行线转化三角形的面积是求点坐标的关键． 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．将直线绕点A顺时针旋转交y轴于点M，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若，求点M的坐标； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点M的坐标为，分割法求面积，列出方程，进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴． 将，代入一次函数表达式，得．解得． ∴一次函数的表达式为． （2）如图1，设一次函数的图象与y轴相交于点C， ∴．设点M的坐标为， ∴． ∴．解得． ∴点M的坐标为． （3）①设，则：， 当时，如图2，过点M作，垂足为G，则垂直平分， ． ∴G为中点，． ∴， ∵，， ∴． ∴，． ∴． ②当时，如图3，过点M作，垂足为H，过点A作轴，垂足为N，则，． ∵，， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 设交轴于点， ∵，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 20．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数交轴，轴于，两点，抛物线经过，两点，顶点为，抛物线与轴另一交点为，抛物线的对称轴与直线交于 (1)求的值 (2)已知点为直线上的动点，且在轴上方，若，求点坐标 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，相似三角形的性质， （1）先求得抛物线的解析式为，设对称轴与轴交于点，作于点，可知； （2）根据相似三角形的性质得，进而根据（1）可得，，，得出，过点作轴于点，解，得出，进而即可求解． 【详解】（1）在中，时，，时，，则点坐标为，点坐标为 抛物线经过点，点， 解得 抛物线的解析式为 ∵ ∴点的坐标为，抛物线的对称轴为， 当时，， 解得： ∴点的坐标为 将代入一次函数，得 则点的坐标为，则 设对称轴与轴交于点，在中，，则是等腰直角三角形， ∴ 如图，作于点 在中， ∵ ∴，即 解得：， ∴； （2）解：∵ ∴ ∵，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴ 解得： 过点作轴于点， ∵ ∴ ∴，则的横坐标为 将代入得 ∴． 【经典例题五 锐角三角函数与二次函数压轴】 21．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一次函数与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数图象经过A、C两点，与x轴交于另一点B，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在y轴的负半轴上是否存在一点M，使以点M、O、B为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键． （1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，即点， 令，则，即点， ∵抛物线的对称轴为直线，则点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上， 即点M的坐标为或． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5． (1)求抛物线和一次函数的解析式； (2)点是直线上的一动点，连接，，设外接圆的圆心为，当最大时，求点的坐标（直接写答案）． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平移可求，将点的坐标代入可求，从而可求，再由面积求出的坐标，即可求解的解析式； （2）是的中点，在直线上运动，可得，当取得最小值时，的值最大，由此可得：当垂直直线时，取得最小值，进而可求解． 【详解】（1）解：将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， ， 点的坐标为，代入抛物线的解析式得，， ， 抛物线的解析式为，即． 令，则， 解得：，， ； ， 的面积为5， ， ， ， 解得：，， ． 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：如图，是的中点，在直线上运动， ， ， 当取得最小值时，的值最大， ， 当取得最小值时，的值最大， 当垂直直线时，取得最小值， 此时、在二次函数的对称轴直线上， ， 根据对称性，存在， 故：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，三角函数定义，二次函数与圆的综合等，掌握二次函数的性质，运用转化思想是解题的关键． 23．（2025九年级下·全国·专题练习）如图1，二次函数的图象与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)① ，②顶点坐标为 ； (2)如图2，坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及图象的一段，分别记为．移动该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点P移动的最短路程； (3)如图3，M是抛物线上一点，N为射线上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线同侧的不同两点，，点M到x轴的距离为a，的面积为，且，请问的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)为定值4 【分析】本题属于二次函数综合题、主要考查了全等三角形的判定与性质、解直角三角形、两点间的距离公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将点的坐标代入抛物线的表达式可得，即函数解析式为，然后化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）分别求出两抛物线的顶点坐标，然后运用两点间距离公式即可解答； （3）由题意可得，进而可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线的表达式得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：， ∴抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：，． （2）解：∵抛物线：的顶点坐标为：，原抛物线的顶点坐标为：， ∴点P移动的最短路径即为两个顶点之间的距离：． （3）解：为定值4，理由如下： 由抛物线的表达式知，点，则， ∴， ∵、同底， ∴、的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴为定值． 24．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与关于轴对称，与轴交于点，与轴交于点和． (1)的解析式 ，试猜想出与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式为 ． (2)，的中点是点，则＝ ． (3)如果过点的一条直线与图象相交于另一点，，满足，，则点的坐标为 ． 【答案】(1)； (2) (3)或或或. 【分析】（1）可先求出抛物线的顶点坐标，然后根据两抛物线关于轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式，然后将两函数轴的交点的坐标代入所求的抛物线中即可得出其解析式，两抛物线关于轴对称，其开口方向，开口大小以及与y轴的交点都一样，因此的值不变，而两函数的对称轴关于轴对称，因此值互为相反数，进而求解； （2）先求出的坐标，过点作，那么关键是求出和的长，可在直角三角形中，用的长和的正弦值求出的长，然后在直角三角形中，根据勾股定理求出的长，据此可得出的值； （3）可设直线的解析式为，由于是两函数的交点，因此可联立两函数的解析式，用表示出的值，当时，当时分别来求解． 【详解】（1）解：在中 ，， 的顶点为， 抛物线与关于轴对称， 的顶点的为． 设， 与轴的交点， 即与轴的交点， ， ∴所求二次函数为：． 猜想： 与一般形式抛物线关于轴对称的二次函数解析式是． 故答案为：；． （2） 解：过点作． 抛物线与轴的交点， ∵当时，， ∴与y轴交点，中点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ． 在中，， ． 故答案为：． （3）解：设过点的直线为， 则， ， 则， 解得，， 则，， 当时，由已知是方程的解， 故， 即， 化简， 则，． ∴点的坐标是或． 当时，则， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 综上所述，的坐标是：或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了关于轴对称的函数解析式的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、轴对称图形、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 25．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，二次函数的图像与轴交于点A，B（点A在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)求证：是直角三角形； (3)点P是该拋物线上一点，若（点为坐标原点），求点的坐标： (4)点是该抛物线上一点，若（点为坐标原点），直接写出点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)点P坐标为或 (4)或 【分析】（1）当0时计算得出，令，解方程求出x的值，即可解题； （2）利用勾股定理的逆定理解题即可； （3）分两种情况画图，求出一次函数的解析式，然后利用解方程组求出交点坐标即可； （4）分为两种情况作图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N，根据相似求出，然后计算出点H的坐标，求出直线解析式即可求出交点坐标，作点H的对称点，则点M在直线C上，同理即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 令，则，解得：，， ∴，； （2）证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且； （3）解：如图，取的中点D，过点C作的平行线交抛物线于点P， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 则点D的坐标为， 设直线为， ， ， ∴直线的解析式为， 即的解析式为， 解方程组得：，， ∴点P的坐标为； 解：如图，在上取点E，使得，则，， ∵，即， 解得：，即， ∴， 过点C作交x轴于点F，过点F作于点G， 设，则， 又∵即，解得， ∴，解得， 又∵， ∴， 即点F的坐标为； 设直线的解析式为，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得 ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：如图，作的平分线交x轴于点H，过点H作于点N， 则， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴，即点H的坐标为， 由（3）可得直线的解析式为， 联立得 ∴点M的坐标为， 如图，作点H的关于y轴的对称点，则点M在直线上， 则点的坐标为，直线的解析式为， 联立得 ∴点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，勾股定理的逆定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，掌握求一次函数和二次函数的交点坐标是解题的关键． 【经典例题六 锐角三角函数与相似压轴】 26．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，连接、，设． (1)当点在边上时， 求的面积；（用含的代数式表示） 当时，求的值； (2)当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值． 【答案】(1)；的值为； (2)的值为 或 ． 【分析】（）先证明，，，即，则，再用勾股定理表示出，再判断出，得出比例式表示出，即可得出结论； 先表示出，再用，建立方程求出，即可得出结论； （）分两种情况：当 时，得出，进而得出 ，，再根据勾股定理得，进而得出，最后判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论；当时，先判断出，进而得出，再根据勾股定理得，求出，得出，同理，再判断出，得出比例式建立方程求解即可得出结论； 此题主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由知，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵时， ∴， ∴（舍去）或 ， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵四边形是平行四边形, ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与相似， ∴当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵由（）得， ∴， 在中， ， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 在中，同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：如果与相似，的值为 或 ． 27．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值． (2)当时，求的长． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（）由勾股定理和题意得，，，即得，再分和两种情况解答即可求解； （）过点作于，则，由可得，设，则，由可得，得到，，即得，再由，可得，据此即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又由题意得，，， ∴， 当时，， 则， ∴， 解得； 当时，， 则， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 28．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 【答案】(1)，， (2)2 (3)存在； 【分析】（1）根据抛物线解析式，分别令，解方程，即可求解； （2）过点 作 轴于点 ，即 ．证明，得出，设 ，，则 ．即 ． 代入抛物线解析式，求得 ，进而勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解； （3）以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，根据（2）的结论，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 ∴当时，， 解得： ∴，， 当时，， ∴ （2）∵， ∴ 过点 作 轴于点 ，即 ． ， ． ， ． ， ， 设 ，，则 ．即 ． 把点 坐标代入二次函数解析式，得 解得：或（舍去） ． ，， ． ，， ． 在 中， ． （3）解：∵在抛物线的对称轴上，，， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∵，而， ∴以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或， 如图所示， 当， ∴ ∴ ∵在抛物线的对称轴上，，则 ∴ ∴，即 当时， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 29．（23-24九年级下·山东日照·开学考试）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点C，D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当D在第一象限时，求点到直线的最大距离； (3)过点D作轴于点，连接，当以为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，过点D作轴交于点G，求出直线得解析式为，设点D的坐标为，则G的坐标为，可得，设点到直线的距离为h，再由，可得h关于t的函数解析式，再结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意可得，设点D的坐标为，则，，，然后分两种情况：若，此时；若，此时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接，过点D作轴交于点G， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线得解析式为， 把点和点代入得： ，解得：， ∴直线得解析式为， 设点D的坐标为，则G的坐标为， ∴， 设点到直线的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴当时，h取得最大值，最大值为， 即点到直线的最大距离为； （3）解：∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点D的坐标为，则，，， 若，此时， ∴， ∴，即， ∴， 解得：或（舍去）或， ∴点的坐标为或； 若，此时， ∴， ∴，即， ∴， 解得：或或或（舍去）， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形解直角三角形，解题关键是熟练运用待定系数法利用数形结合思想解答． 30．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与重合）． (1)求直线的解析式； (2)作于，于，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①与相似，点的坐标为或；② 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，根据，可得，运用待定系数法即可求解； （2）①根据解直角三角形的计算方法可得，，，四边形是矩形，设，根据含角的直角三角形的性质可得，，，根据相似三角形的判定方法，分类讨论：当时，；当时，；结合含角的直角三角形的性质即可求解；②根据题意，四边形是矩形，对角线的交点即为的中点，分别取的中点，连接，则是的中位线，，则有的中点在线段上，作点关于的对称点，连接，当点三点共线时，的值最小，则的周长最小，根据点坐标即中点坐标的计算方法可得，，，则有，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵直线过点，与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：①∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示， 设， ∴， 在中，，则，， 在中，，， ∵， ∴当时，， ∴，即， 解得，， ∴； 当时，，如图所示， ，即， 解得，， ∴； 综上所述，与相似，点的坐标为或； ②如图所示， 连接， ∵四边形是矩形， ∴对角线的交点即为的中点， 分别取的中点，连接，则是的中位线，， ∴的中点在线段上， 作点关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， 当点三点共线时，的值最小，则的周长最小， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴出周长的最小值． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，含角的直角三角形的性质，中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理求最短路径的计算，掌握一次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算方法是解题的关键． 【经典例题七 锐角三角函数的最值训练】 31．（2024九年级下·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先在边上画点F，使，再在边上画点G，使； (2)在图2中，在对角线上画点H，使，再在直线上取一点P，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质作图即可求解； （2）先过点作的垂直线，再结合中位线的性质，作关于的对称点，根据题意连接即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，根据网格的特点，找到距离A点下方一个单位格点，距离B点上方三个单位长的格点，连接两格点交于，则， 同理找到右边的格点连线交于，连接，则，， ， ， ； 则即为所求， ； （2）解：如图2所示，根据题格点可得，找到点，使得， 则， ， ， 即于点， 作平行四边形，设交于点， 倍长找到，，延长交于，同理得，， 是关于的对称点， 连接交于点，点即为所求， ． 【点睛】本题考查了复杂作图，三角函数的定义，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，找出格点中符合题意角度的正切值是解题的关键． 32．（2024·宁夏吴忠·二模）动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法． 如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H． （1）在图1中：易知，则 ； 思考探索 如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点． （2）在图2中：的面积为 ； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积； ②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①18；②最小值为， 【分析】（1）利用AAS证明，求出，则，问题随之得解； （2）同（1），利用AAS证明，可得，再根据面积公式即可作答； （3）①过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理求出AE的长度，过点作交延长线于点，再证明，可得，，问题随之得解；②由点C是点B关于AE的对称点可知的最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，由比例线段求出DE的长，即可得到答案． 【详解】解：（1）由旋转的性质，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 又∵， ∵， ∴， 在和中， ∴ ； ∴， ， ， 故答案为：； （3）①过点A作AE⊥BC于点E，如图 ∵，，， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， 与（1）（2）同理，可证， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 在等腰中，，， ∴垂直平分， ∴点C是点B关于的对称点，则， 设与的交点为点D，则此时有最小值，如图： 即的最小值为线段的长度， ； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，有最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，是几何变换综合题，证明是解题的关键． 33．（23-24九年级下·重庆巴南·阶段练习）把的边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1，已知，，．求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，已知，将沿着直线折叠，得到、连接是直线上的一个动点，当最小时值为，请直接写出的面积． 【答案】(1)2 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，由勾股定理得，，即可求解； （2）过作交于，由四点共圆可判定、、、四点共圆，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）将绕顺时针旋转至，连接，过作交于，可求出，当、、三点共线时，的值最小，此时的值最小，，过作交于，由圆的基本性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，由直角三角形的特征得，，由可求，由即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ， ， ； 由旋转得，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过作交于， ， 由旋转得：，， ， ， ， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图3，将绕顺时针旋转至，连接，过作交于， ， ，， ， 如图，当、、三点共线时，的值最小，此时的值最小， ， 过作交于， 由（2）得：，、、、四点共圆， ， ，， ，， ， ①， ， ， ②， ①②得：， ， ， 解得：， ，，， ， 0， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ，， ， ， 解得：， ， 由（2）得：， 由翻折得：，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定及性质，四点共圆的判定及圆的基本性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，特殊角的三角函数等；掌握判定方法及性质，判断出四点共圆，找出是解题的关键． 34．（2024·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M． (1)求抛物线的解析式； (2)当是直角三角形时，求P点坐标； (3)若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)，的周长最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分当时，当，两种情况讨论求解即可； （3）由勾股定理得，则，证明，解，得到，则的周长，故当最大时，的周长最大，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时点P的坐标为；如图所示，作点P关于x轴的对称点H，连接，则，则当C、Q、H三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，利用勾股定理即可求出的周长最小值为．同理可得直线解析式为，可得． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴、； ∵抛物线的图象经过，两点 ∴ ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∵轴， ∴轴， ∴此时点C和点P关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴点的坐标为； 如图所示，当，设直线与x轴交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； ∵不可能垂直， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解；在，由勾股定理得， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴在，， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设，则 ∴， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大， ∴此时点P的坐标为； 如图所示，作点P关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴的周长， ∴当C、Q、H三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴的周长最小值为． 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，勾股定理，轴对称最短路径问题等等，解（2）的关键在于分两种情况，解（3）的关键在于把求的周长最大值转换成求线段的最大值。 35．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，已知抛物线与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点在该二次函数的图象上，且，求点P的坐标； (3)设F为线段上的一个动点（异于点B和D），连接．是否存在点F，使得的值最小？若存在，分别求出的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点坐标为或 (3)存在，最小值为， 【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法求出a的值即可． （2）如图1中，设直线交y轴于J，则．连接，．由，推出，推出，再构建方程求出点P的坐标即可． （3）如图2中，过点D作平行于x轴，首先证明，过F作于H，则有，推出，推出，当A、F、H三点共线时，即时，取最小值． 【详解】（1）解：把代入， 解得， ∴， 把代入， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵， 当时，则， ∵， 当，则， 当时，则， 解得：，， ∴，，， 如图1中，设直线交y轴于J，则．连接，． ∴ ∴， ∴， ∴， 当时， ， 解得：， ∴或， 当时， ∴ 方程无解， ∴满足条件的点P的坐标为或． （3）如图2中，过点D作平行于x轴，作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 则有， ∴， ∴，当A、F、H三点共线时， 即时，取最小值． 把代入可得， ∴； 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了利用待定系数法求解解析式，二次函数与图形面积，解直角三角形的相关计算，运算量大，综合性强，（1）（2）步按照题目要求逐步解题即可，第三步解题关键是要根据一次函数解析式得到． 【经典例题八 锐角三角函数的应用】 36．（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点烧点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 37．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：      (1)探究原理：制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)拓展应用：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F，E、F、H在同一直线上，分别测得点的仰角、，测得E、F间的距离2米，点、到地面的距离、均为1.5米．求PH的长（结果保留根号） 【答案】(1)，，证明见解析 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，理清题意，找到思路是解答本题的关键． （1）根据题意写出目标的仰角，再根据同角的余角相等找到和目标的仰角相等的角； （2）先根据解直角三角形的知识求出的长度，再根据求出的值即可． 【详解】（1）目标P的仰角是图②中的  目标P的仰角与图②中的相等 证明，， ， ； （2）解：由题意可得， ，米， 由图可得，，， ，， ， ， ， 米． 故的值为米． 38．（2024九年级下·辽宁·专题练习）数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由线段和 构成的图形为杯盖部分，其中与均在以为直径的上，且 G为的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为． (1)求杯口半径的长； (2)若杯盖顶 ，吸管，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B 重合时，求吸管漏出杯盖部分的长．（参考数据：）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作于点D，过点C作于点Q，利用解直角三角形的知识，圆的知识解答即可； （2）连接，并延长交于点N，连接，利用垂径定理，平行线的判定，勾股定理，等腰梯形的性质解答即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D，过点C作于点Q，延长到点R， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，杯底直径，杯壁与直线l的夹角为， 点A，B，C，D 构成的图形（杯身部分）为等腰梯形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故杯口半径的长为． （2）解：连接，并延长交于点N， ∵G为的中点， ∴， 连接， ∵ ∴, ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数的应用是解题的关键. 39．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，求得，结合，解答即可． （2）证明，利用三角函数解答即可． 本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵撑杆． ∴， 故点到地面的距离为． （2）解：根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：在水平地面上投影的长度约是． 40．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）木马是很多小朋友喜欢的玩具，图1是一个摆放在角落的木马的示意图，当木马静止时，以为圆心，为半径的圆弧的中点接触地面，表示地面，此时，．已知，，，点为中点，，．（参考数据：，，，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)当木马沿弧向前滚动到点接触地面时，达到木马向前的最大安全角（如图2所示），此时，与地面夹角为．为了保证木马向前到最大安全角时不碰到墙面，木马静止时到墙角的距离长度最小是多少？（结果保留到十分位） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用； （1）过作于，由圆弧的中点可得，由平行可得，由中点可得，即可得到，再在中求出的长度，最后根据计算即可； （2）求出到木马向前的最大安全角时刚好碰到时到距离，再求出的长，两者之和即为木马静止时到墙角的距离长度最小值． 【详解】（1）过作于， ∵为半径的圆弧的中点接触地面， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过作于， 由（1）可得，，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴的长为， ∴马静止时到墙角的距离长度最小值为． 【经典例题九 锐角三角函数的新定义问题】 41．（2024·上海·三模）新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 42．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）【阅读理解】：如图，在中，a，b，c分别是，，的对边，，其外接圆半径为．根据锐角三角函数的定义：，，可得，即（规定）． 【探究活动】：如图，在锐角中，a，b，c分别是，，的对边，其外接圆半径为，那么：______________________（用>，=或<连接），并说明理由． 【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是，，的对边．已知，，，求． 【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在处用测角仪测得地面点处的俯角为45°，点处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼的高度．（参考数据：，） 【答案】探究活动：，；初步应用：；综合应用：楼高度约为． 【分析】探究活动：由锐角三角函数可得，可得解； 初步应用：将数值代入可求解； 综合应用：由锐角三角函数即可求解． 【详解】 解：探究活动：如图，过点C作直径，连接， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：，； 初步应用： ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 综合应用： 如图， 由题意得：，，，， ∴， ∵， ∴，， 设楼，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴楼高度约为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，读懂材料，并能熟练运用结论是解题的关键． 43．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）我们类比黄金分割点给出如下定义：如图点P、N、Q在同一条直线上，，则称点N为的“银杏点”．特别地，若N为的中点时，则Q为的“银杏点”，P也为的“银杏点”． (1)已知，点N在线段上，若点N为的“银杏点”，则______． (2)如图，O为的重心，则下列说法正确的是______（填序号）． ①O为的“银杏点”； ②E为的“银杏点”； ③D为的“银杏点”； ④C为的“银杏点”． (3)如图2，在中，．若，． ①求的长； ②当点M在边上，且M、E、G中有一点为其它两点的“银杏点”．点K在直线上，且．求的长． 【答案】(1)2 (2)①④ (3)①；②或17或  或 【分析】（1）运用“银杏点”的定义运算求解； （2）由于O是重心，即是中线的交点，由“银杏点”的定义逐一判断即可； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理和相似进行解题． 【详解】（1）由“银杏点”可知即， ， 故答案为：2． （2）O为的重心， 且 故由题意可知：O为[A，D]的“银杏点”； O为[B，E]的“银杏点”； C为[B，D]的“银杏点”； C为[A，E]的“银杏点”； A为[C，E]的“银杏点”； B为[C，D]的“银杏点”； 所以①④正确 （3）①， ， ②如图，当点M为的中点时，为[G，M]的“银杏点”，G为[E，M]的“银杏点”， 则， 又， , , ， ， 即， ， ， 如图，若M为[G，E]的“银杏点”，则， 过点M作于N，则， ， ， ， ， 又， ， 即，解得， ， ， ， ； 若M为[E，G]的“银杏点”，则， 过点M作于N，则， ， ， ， ， ， 又， ， 即，解得， ， 综上所述，或17或  或 【点睛】本题考查相似三角形，勾股定理，重心性质定理，分类讨论和构造相似三角形是解题的关键． 44．（21-22九年级下·山西·阶段练习）阅读理解： 如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定sin90°＝1）． (1)探究活动： 如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么： （用＞、＝或＜连接）． 事实上，以上结论适用于任意三角形． (2)初步应用： 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6，求b． (3)综合应用： 如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 【答案】(1)=；=； (2)； (3)古塔高度约为36.6m． 【分析】（1）过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案； （2）根据，得出，即可得出b的值； （3）由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 理由如下： 如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∠A＝∠D， ∴sinA＝sinD，sinD＝， ∴， 同理可证：， ∴； 故答案为：＝，＝； （2）∵，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6， ∴， ∴． （3）由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100， ∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝x，则BC＝， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键． 45．（2021·福建厦门·模拟预测）阅读理解：如图，Rt中，，，分别是，，的对边，，其外接圆半径为根据锐角三角函数的定义：，，可得， 即：，（规定）． 探究活动：如图，在锐角中，，，分别是，，的对边，其外接圆半径为，试证明：． 学以致用：如图，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔的高度，在处用测角仪测得塔顶的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了到达处，此时，，三点在一条直线上，在处测得塔顶的仰角为45°，求古塔的高度（结果保留小数点后一位）．（，） 【答案】（1）见详解；（2）36.6m 【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，由锐角三角函数的定义以及圆周角定理可得sinA＝sinD，sinD＝，进而即可得到结论； 学以致用：由三角形的外角性质可求∠ACB＝30°，利用（1）的结论可得，进而即可求解． 【详解】探究活动： 证明：如图，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD， ∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°， ∴sinA＝sinD，sinD＝， ∴=2R， 同理可证：＝2R，＝2R， ∴＝＝＝2R； 学以致用： 由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100m， ∴∠ACB＝30°． 设古塔高DC＝xm，则BC＝xm， ∵， ∴，即： ∴x＝25()＝50(−1)≈50×0.732＝36.6（m）， ∴古塔高度约为36.6m． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数，解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【经典例题十 锐角三角函数的综合】 46．（2024·辽宁·模拟预测）【问题发现】船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，表示灯塔，灯塔B在灯塔A的正东方向，且与A相距海里，暗礁分布在经过两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？    【解决问题】 （1）如图2，请你用已学知识判断与“危险角”的大小关系； 【问题探究】 （2）如图3，在优弧上还有一个灯塔E，经测量，灯塔之间的距离为海里，，求“危险角”的大小； 【问题拓展】 （3）如图4，已知港口K位于灯塔A正北方向且与灯塔A相距海里远，有一货轮Q沿直线l方向航行，若货轮Q恰能安全避开暗礁区，当货轮Q与灯塔的夹角最大时，求此时货轮Q与港口K的距离 【答案】（1）；（2）；（3）海里 【分析】（1）与相交于点，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等结合三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角，进行作答即可； （2）过点B作，连接，解直角三角形，求出，利用勾股定理求出，进而得到，根据等腰直角三角形的性质即可得出结果； （3）当直线与过两点的圆相切时，最大，此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，根据题意得，解直角三角形求出，，进而得到，利用勾股定理求出，解可解答． 【详解】（1）解：如图2，与相交于点，连接，      由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知， 是的外角， ， ，即； （2）解：如图3，过点B作，连接，    ∵在中，， ， ， ， ， ， ； （3）解：当直线与过两点的圆相切时，最大， 此时，设该圆的圆心为O，过点O作于点N，连接，    由（2）知，危险角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时货轮Q与港口K的距离是海里． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外角，切线的性质，最大张角问题，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 47．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）综合与实践 【问题背景】 如图1，与相交于点O，，，若，，，求的长． 小明同学通过以和为边构造平行四边形，搬动了角和边的位置，把众多分散的条件集中起来，运用了转化思想，顺利地解决了问题． （1）下面是小明的解题过程，请完成填空： 解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， ____________． ，， ， ， ， 四边形的内角和为． ____________ ， ， ， ， ， ____________． 【类比分析】 （2）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且满足，，连接、，交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图4，在正六边形中，，点M、N分别是边、上的动点，且满足，连接．请参照小明的思路，求的最小值． 【答案】（1）四边形是平行四边形，，；（2）；（3）3 【分析】（1）如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接，得四边形是平行四边形，可知，，，再再根据平行线的性质，结合，四边形的内角和为，求得，进而求得，可证得，再由勾股定理及可求解； （2）在上截取，则，进而可证得，得，，再证，可知为等腰直角三角形，得，再证四边形是平行四边形，得，即可求解； （3）延长，交于点，过点作交于点，结合正六边形的性质，设，则，再证为等边三角形，则，，在中，，则，，而，由勾股定理可得：，当时，去等号，要使得最小，则要最小，进而可求解． 【详解】解：（1）解：如图2，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点，连接， ，， 四边形是平行四边形． ，，， ， ， ， ， 四边形的内角和为． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：四边形是平行四边形，，； （2）在上截取，则， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，则， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作交于点， 在正六边形中，， 设，则， ∵正六边形得每个外角都相等，且外角和为， ∴， ∴为等边三角形，则，， 而，即， 在中，， 则，， 而， 由勾股定理可得：，当时，去等号， 要使得最小，则要最小， ∵，即最小值为9， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解决问题的关键． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，动点D从点O出发沿O→A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A停止．在运动过程中，的外接圆交于点P．连接交于点E，连接，得到． (1)求； (2)如图2，移动过程中，当点P恰好落在的中点时，求此时点D的坐标； (3)①设点D运动的时间为t秒，直接写出点P的坐标______（用含t的代数式表示）； ②设的面积为S，求S关于时间t的关系式． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）证明求出，得到，证明，则，即可求出； （2）过点O作，延长交于点N，求出，证明是的中位线，则，证明，则，得到，得到，即可求出点D的坐标； （3）①过点P作，延长交于点N，设点，则由题意可得，，则，得到，，由（2）可知，则，即可求出答案；②过点E作于点H，证明，得到，得到，证明，则，得到，求出，根据得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵] ∴， ， （2）过点P作，延长交于点N，如图， ∵ ∴， ∴， ∵点P恰好落在的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ （3）①过点P作，延长交于点N，如图， 设点，则 由题意可得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 由（2）可知， ∴， ∴， 解得，， ∴； 故答案为： ②过点E作于点H，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、解直角三角形、圆内接四边形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 49．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内． (1)如图1，，若是以为直角边的直角三角形，且．求出点C的坐标； (2)如图2，在（1）的前提下，的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点，写出r的取值范围______． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点，分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，交于第一象限内点，在射线上截取，连接，点即为所求作的点；设，过点作轴于点，由，得，即，得出，即，由勾股定理得，建立方程求解，当，先证明四边形是矩形，则，列式，得，即可作答 ； （2）运用待定系数法解出的解析式为，因为以点为圆心，所以，则在的上方，作图，运用勾股定理分别算出，，，，同理，解出，对于与以点为圆心、半径为r的圆有公共点的处理过程与上述解法类似，最后运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作的点． 设，过点作轴于点， 则，， ， 点， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ， 点的坐标为， 当的直角顶角在点A处， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：依题意，设的解析式为， 把和分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， ∵以点为圆心， ∴， 则在的上方， 如图：过点P分别作，，连接，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即， 则， ， 解得， ∴， ∵的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点， ∴为圆心，此时圆与边相切于点，或，圆与有一个交点， ∴； 同理，由（1）得出四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即， 则， ， 解得， ∴， ∵的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点， ∴为圆心，此时圆与边相切于点，或，圆与有一个交点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，图形与坐标，勾股定理，矩形的性质与判定，待定系数法解一次函数，解直角三角形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 50．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在矩形中，，，是的中点，将沿折叠，点落在矩形内点处，连接．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)的长是 (2)的值为 【分析】（1）连接，由四边形是矩形，是的中点，得，，则，由折叠得，垂直平分，则，，可证明，则，，所以，则； （2）作于点，交于点，则，，所以，，则，，所以，，即可求得． 【详解】（1）解：（1）连接， 四边形是矩形，，，是的中点， ，， ， 由折叠得点与点关于对称，， 垂直平分，，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． （2）作于点，交于点，   ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ，， ，， ， 的值为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$