专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 圆中解直角三角形 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，把沿着翻折得到，若．则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、等腰三角形的判定、勾股定理、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键． 根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，延长交于， ∴ ，则， ， 过点作，设，则，，   ∴， ∴在中，，即， 解得：， ∴． 故选：B． 1．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 过点B作于点F，由平行四边形的性质得到，，解直角三角形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用正弦值的概念求解即可． 【详解】过点B作于点F． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴，即 ∴ ∴， ， ． ， ， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，且，若，，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，设，勾股定理求出，进而得到，三角形的中线平分面积得到，求出的值，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， 设， ∴， ∴， ∵为边上的中线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及解直角三角形等知识，过点B作，交的延长线于点D，由含角的直角三角形的性质得，再由锐角三角函数定义求出，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2． 【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45， ∴， ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴， ∵⊥，∠ACB=45， ∴， 当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小， ∴PQ的最小值 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 1．（23-24九年级·浙江·单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为(      )　 A．2 B．3 C．4 D．3 【答案】A 【分析】过A作AD与BC垂直，在直角三角形ACD中，根据题意确定出AD=CD，求出AD的长，再利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可． 【详解】过A作AD⊥BC， 在Rt△ACD中，∠C=45°，AC=2， ∴AD=CD=， 在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=2， ∴AB=2AD=2， 故选A． 【点睛】此题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 3．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（2021·湖北鄂州·二模）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案． 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 1．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案． 【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3， 由勾股定理可得：， ∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4， ∴， 又∵BB’=3，A’C’= 3， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高． 2．（23-24九年级上·江苏·阶段练习）如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为 ． 【答案】 【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2km，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案． 【详解】解：在CD上取一点E，使BD=DE， ∵CD⊥AB， ∴∠EBD=45°，AD=DC， ∵AB=AD-BD，CE=CD-DE， ∴CE=AB=2km， ∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向， ∴∠BCE=∠CBE=22.5°， ∴BE=EC=2km， ∴BD=ED=km， ∴CD=2+（km）． 故答案为（2+）km． 【点睛】此题考查了方向角问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 3．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【答案】200mm 【分析】本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决． 求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长． 【详解】解：，， ． 根据题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． 矩形的周长． 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】（2023·四川广元·二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出，由结合可得出，设等边三角形的边长为a，则，，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， ∴， 同理得：． 又∵， ∴． 设等边三角形的边长为a，则，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值． 【详解】解：如图，作于， 设小正方形边长为1， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，． 的值是， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．    【答案】3 【分析】连接，先说明，然后利用相似三角形的性质得到，然后得到，进而利用勾股定理的逆定理证明出，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即可． 【详解】连接，    ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴在中，． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（2024·广东肇庆·一模）综合与实践 (1)探究发现：如图1，在所示的网格图中，在线段上求一点P，使得；小明同学发现，先在点B的左侧取点C，使为1个单位长度，在点A的右侧取点D，使为2个单位长度，然后连接交于点P（如图1），就可以得到点P了，请你验证小明的做法，并求出的值． (2)请你在图2中线段上求作一点P，使得． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了作图、相似三角形的判定与性质、三角函数，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题； （1）利用相似三角形的判定和性质即可证明；再证是直角三角形，根据，据此求解即可； （2）取格点E、F，连接交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）∵ ∴， ∴ ∴ ，   ， 连接 ∵ ∴ ∴                                     ∵，， ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴                     （2）如图所示，点P就是所求作的点， 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，特殊角度的三角函数，解直角三角形的应用，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 首先求出点的坐标，根据题意得四次一循环，第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等，再求出第一次旋转后点的坐标即可解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 由题意知，四次一循环， ， 第次旋转结束时，点的坐标和第一次旋转后的坐标相等， 绕点顺时针第一次旋转，如下图所示： 由题意得：， ，， ， 第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：B． 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点的坐标为，点是轴上的定点，将绕点逆时针旋转后，点与点重合，则旋转前点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据旋转的性质可得，，由此可得，再由锐角三角函数的定义得出，由勾股定理得出，过点作轴，垂足为，由锐角三角函数的定义得的长，即可得出结论． 【详解】解：已知点的坐标为， ， 绕点逆时针旋转后，点与点重合， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作轴，垂足为， ， ， 即， ， 即， ， 旋转前点的坐标是． 故选：A． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ． 【答案】4，2或 【分析】本题考查了旋转过程中点的坐标的变化，根据特殊角的三角函数值求出与x轴的夹角是解题的关键；通过分类讨论，分三种情况逐个求解即可； 【详解】解：当，即点P与点B重合时，则P到轴的距离为4； 当点P与点B不重合，且时，此时P在第四象限， ，，， ， ， ，的坐标分别为，， ，， ， ， ， 和轴夹角为， 到轴的距离为， 当时，和轴夹角为， 到轴的距离为， 综上所述，到轴的距离为4，2或． 故答案为：4，2或． 3．（2024·上海·模拟预测）如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 (1)求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 (2)求证：平分 (3)求的值 【答案】(1)， (2)证明过程见详解 (3) 【分析】（1）作轴于点D，求出，，证明，得出，进而可求出，把代入，即可求出抛物线的解析式，令，，可得另一个交点的坐标为； （2）用勾股定理求出的长，用三角函数求出即可证明结论； （3）求出两个三角形的面积即可得结论． 【详解】（1）解：作轴于点D， ， 当时，， ， 当时，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入， 得， 解得， ， 令，， ， 另一个交点的坐标为； （2）证明：在，， ， ， 在，， ， ， ， 平分； （3）解：. 【点睛】本题考查了二次函数综合题型，综合运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理、直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，得到四边形为矩形，由可得，解直角三角形可得，进而可求出，求出的正切值，即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ， ，， ， ， 故选：． 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案．正确地找到全等三角形的对应边并且用代数式表示线段、、的长是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是矩形，，， ， 由折叠得，， ， ， ，， ，且， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ， 故选：． 2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ． 【答案】2 【分析】过点E作，交于点F，证明即可求解． 【详解】提示：如图，过点E作，交于点F． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ，， ． ，， ． ， ， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的外角定理，平行线的性质等，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 3、（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为_____． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，根据三角函数的定义得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 菱形的面积． 故答案为：6． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 中， 是的外接圆，切于点 ， 于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，切线的定义，弧与弦的关系，等弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 如图所示，连接，，先利用切线的性质证明，进而可得，从而证明，再由求出，继而由得出结论． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵是的切线 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 1 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中， ，以为直径作交于点，作直径，连接，．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，设，，解得，，从而求出，因为为的切线，所以，所以，所以求出，进而可求得的长度． 【详解】解：在中，，， 设，， ， ， ， ， 为的直径，， 为的切线， ， 为的直径， ，， ， ， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据正切值求边长，锐角三角函数，直径所对的圆周角是，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆中求线段长问题，涉及到垂径定理、圆周角定理、特殊角的直角三角形三边关系，熟练掌握利用垂径定理构造直角三角形是解决问题的关键．利用垂径定理求出，根据圆周角定理求求出，得出，再利用特殊直角三角形三边关系求线段长即可． 【详解】解：是的直径，弦于点E， 根据垂径定理可得， ，， ， ∴， ∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到为的切线； （2）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作于点， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ． 故的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，过点作轴，过点作轴，连接，证明，得到，求出，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，连接，则：， ∵关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴； 故选C． 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴ 故选：B． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图1，中，，D是边上的一个动点（不与点B，C重合），，交于点E，，交于点F．设的长为x，四边形的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了动点的函数图象问题，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，求出是解题的关键．根据抛物线的对称性知，，作于H，当时，的面积为，则此时，则，证明，则，即可解决得到答案． 【详解】解：∵抛物线的顶点为，过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴时，， ∴， 作于H，当时，的面积为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·四川成都·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于第一、第三象限内的A、B两点，直线与x轴交于点，线段，E为x轴正半轴上的一点，且．    (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）过点作轴，根据锐角三角函数值和的长，可求出点坐标，代入即可得到反比例函数解析式； （2）利用点坐标求出一次函数表达式，可得到点坐标，再根据即可得到答案； （3）根据点A、B的坐标，结合图象可直接得到答案． 【详解】（1）解：过点作轴，如图：    ∵在中，， 设，， ∵ ∴根据勾股定理可得：，， ∴ 把代入中，解得：， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：∵ A、C是一次函数两点，， ， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵一次函数与的图象交于第一、第三象限内的A、B两点， ∴，解得：或， ∴， ∴， （3）解：由图可得：一次函数值大于反比例函数值时的取值范围为：或， 不等式的解集为：或． 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 1．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案. 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴ 米． 故选：C 2．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 作于点，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：作于点， 由题知，， ， ， ， 故答案为：． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．延长交于点，由题意可得：，，，，推出，证明四边形是矩形，得到，设，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ， 由题意可得：，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ，即， 解得：， ， ． 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 1、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 2．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 3．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，正确的进行解直角三角形，根据题意，得到为等腰直角三角形，得到，再由解直角三角形，求出的长度，然后得到的长度． 【详解】解：如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 故选：A． 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中， ，且 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 【答案】(1) (2)小明路线的长为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作于点，可证明四边形是矩形，得到，，推出，最后根据，即可求解； （2）根据矩形的性质可得：，，推出，可求出，进而求出，由，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 小明路线的长为． 1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践，如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，    由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴解得， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，内接于，，点D在上，分别连结和，若，，可知的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长至E，使，连接、，连接并延长，交于F，连接，得到，证明通过圆周角定理证明，圆内接四边形的性质证得，从而，得出，进而，通过解直角三角形在中，求得，在中，，即可解答． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接、，连接并延长，交于F，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵四边形为内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的半径是． 故选：A 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点E，F，如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 先求出，再根据同角的余角相等推出，然后利用锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，设，则， 在中，， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·山东·期末）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作，根据题意，得到，，利用三角函数得到，利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 故选C． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉一条幅到地面，这就需要测量学校图书馆的高度．如图，林老师用高的测量仪测得顶端A的仰角为，同学小军在林老师的前面处用高的测量仪测得顶端A的抑角为，则图书馆的高度为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形实际应用．根据题意可得，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数定义求出的长，继而列出方程，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴图书馆的高度为， 故选：A． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，根据题意可得：，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可得：，即可解答． 【详解】解：如图：连接，， 由题意得：， ∴， 由题意得：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，是边上的一个动点，以为直径画，分别交于点，连接，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形、垂线段最短等知识，解题的关键是理解时，的值最小．由题意当时，的半径最小，因为，是定值，所以此时的值最小． 【详解】解：如图，，， ， 由题意当时，的半径最小， ，是定值， ∴此时的值最小， 过的中点作交于，连接，则是等边三角形， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ∴， ， ∴的最小值为， 故答案为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ． 【答案】 6 【分析】先连接，根据直角三角形的性质得，，再说明是等边三角形，然后解直角三角形得出答案；再取的中点，连接、、，求出相应的线段长，再根据三角形三边关系得，可得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ，. 的半径为4， ， ， ， 是等边三角形. 点是的中点， . ， ； 如图，取的中点，连接、、． ， ， ，， ， ， ， ， 的最大值为6. 故答案为：，6． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，特殊角三角函数等，准确的作出辅助线是解题的关键． 9．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先说明，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：∵从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即荷塘的宽为． 故答案为：． 10．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，证四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数和一次函数的交点， 联立， 解得：或， ， ， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 12．（2024·湖北荆门·模拟预测）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．          国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． 由题意易得，，然后可设，则有，，进而根据三角函数可建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 设，则有， ∴在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 答：小雁塔的高度的． 14．（重庆市高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点G，在中，求出，在中，求出，进而求出； （2）过点F作于点H，过点E作于点M，证明出，在中，求出，在中，求出，进而求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作交的延长线于点G， 在中， 米， （米）， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：的距离为米； （2）如图，过点F作于点H，过点E作于点M， 由题意，知， ∴四边形是矩形， ， 在中， 32米，， （米）， ， ， 又， ， 在中， 米， （米）， （米）， 米， 答：货车顶端E到水平线的距离约为米． 15．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知：在中，四边形内接于， 的半径为4，对角线． (1)如图1，若为的直径，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过D作， 垂足为F， 交于E，若，求 的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设与相交于点E，证明 ，，进一步得到，则，即可得到； （2）设，则，根据得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据三角形的内角和定理得出，根据等角对等边，即可得证； （3）连接，过点O作于点N，交于点M，证明，则，得到，则，得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：设与相交于点E， ∵为的直径，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则 ∵． ∴， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴； （3）解：如图所示，连接，过点O作于点N，交于点M，              则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵的半径为4，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、弧长公式、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、等角对等边等知识．熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 圆中解直角三角形 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形中，，，，把沿着翻折得到，若．则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，且，若，，则线段 ． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，求的长． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级·浙江·单元测试）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，则AB的长为(      )　 A．2 B．3 C．4 D．3 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    3．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】（2021·湖北鄂州·二模）如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（    ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 1．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （    ）    A．15 B．18 C．20 D．22 2．（23-24九年级上·江苏·阶段练习）如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，，从测得船在北偏东的方向，从测得船在北偏东的方向，则船离海岸线的距离（即的长）为 ． 3．（23-24九年级下·吉林白城·阶段练习）小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】（2023·四川广元·二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在的网格图中，点A、B、C、D都在小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则的值是 ．    3．（2024·广东肇庆·一模）综合与实践 (1)探究发现：如图1，在所示的网格图中，在线段上求一点P，使得；小明同学发现，先在点B的左侧取点C，使为1个单位长度，在点A的右侧取点D，使为2个单位长度，然后连接交于点P（如图1），就可以得到点P了，请你验证小明的做法，并求出的值． (2)请你在图2中线段上求作一点P，使得． 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点的坐标为，点是轴上的定点，将绕点逆时针旋转后，点与点重合，则旋转前点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，点绕点顺时针旋转到点，连接，，若为直角三角形，则点到轴的距离为 ． 3．（2024·上海·模拟预测）如图所示直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在第一象限，，它的横坐标为1，抛物线经过A、C两点 (1)求抛物线的解析式及其与x轴另一交点坐标 (2)求证：平分 (3)求的值 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在四边形中，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ． 3、（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为_____． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图， 中， 是的外接圆，切于点 ， 于点，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D．1 1 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中， ，以为直径作交于点，作直径，连接，．若，，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，若，，则长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若8，，求FC的长 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，关于坐标原点成中心对称的两点A、B均在函数的图象上，以为边向右作等边三角形，若点C在函数的图象上，则k的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图1，中，，D是边上的一个动点（不与点B，C重合），，交于点E，，交于点F．设的长为x，四边形的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为，则的长为 ． 3．（23-24九年级下·四川成都·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于第一、第三象限内的A、B两点，直线与x轴交于点，线段，E为x轴正半轴上的一点，且．    (1)求反比例函数解析式； (2)求的面积； (3)求不等式的解集． 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（    ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 1．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为 ． 3．小西想要测出综合教学楼的高度，如图，他在处用测角仪测得综合教学楼顶端处的仰角为．他向综合教学楼方向前进到达处，在处测得综合教学楼顶端处的仰角为45°．点，，在同一条直线上．已知测角仪高，求综合教学楼的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 1、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 2．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 3．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 1．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践，如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，内接于，，点D在上，分别连结和，若，，可知的半径是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点E，F，如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东·期末）如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角，分别为和，这时点F相对于点E升高了．该摆绳的长度为（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉一条幅到地面，这就需要测量学校图书馆的高度．如图，林老师用高的测量仪测得顶端A的仰角为，同学小军在林老师的前面处用高的测量仪测得顶端A的抑角为，则图书馆的高度为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，是边上的一个动点，以为直径画，分别交于点，连接，线段长度的最小值是 ． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ． 9．（24-25九年级上·广西贵港·期中）如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为，则荷塘的宽为 （结果保留根号）． 10．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：） 11．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，． (1)求反比例函数的表达式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，连接，求的面积． 12．（2024·湖北荆门·模拟预测）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 13．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．          国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 14．（重庆市高新区中学联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为的改造为坡角为的，已知米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内． (1)求的距离；（结果保留根号） (2)一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高为6米，，若米，求此时货车顶端E到水平线的距离．（精确到0.1米，参考数据：，） 15．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知：在中，四边形内接于， 的半径为4，对角线． (1)如图1，若为的直径，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，过D作， 垂足为F， 交于E，若，求 的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$