2.5 等腰三角形的轴对称性同步练习2024—2025学年苏科版数学 八年级上册

2024—2025学年苏科版八年级上册数学2.5 等腰三角形的轴对称性 一、单选题 1．如图，是等腰直角三角形，点在边上，且，则是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，CD=BF，若∠A=50°，则∠EDF=（ ） A．80° B．65° C．50° D．20° 3．如图，在中，，，，点是边上的动点，则长不可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，点A，D分别在直线，上，且，平分，平分．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 5．下列对三角形ABC的判断，错误的是（      ） A．若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形 B．若AB=BC，∠A=60°，则△ABC是等边三角形 C．若∠A=20°，∠C=80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB=BC，∠C=50°，则∠B=50° 6．如图，在中，，，，点为的中点，延长至点，使，则的面积是（    ） A． B． C．8 D． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为（    ） A．50° B．130° C．50°或130° D．55°或130° 8．如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点.若，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7㎝，CD是斜边AB上的中线，则CD= . 10．如图，中，，已知平面内有一点，使得与均为等腰三角形，则所有满足条件的点有 个． 11．如图，已知，P是射线上一动点（即Р点可在射线上运动），，则 时，为直角三角形．    12．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则 13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，点D在射线BC上，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠DCE＝ ． 三、解答题 14．（1）问题：如图甲，点A为线段外一动点，且．填空：当点A位于 时，线段的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）； （2）应用：点A为线段外一动点，且．如图乙，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连结． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段长的最大值． 15．如图，和中，，将的顶点D放在的边上的中点D处，并以点D为旋转中心旋转，使的两直角边与的两直角边分别交于M、N两点．    (1)求证： (2)在旋转的过程中，四边形的周长是否存在有最小值？为什么？如有，求出它的最小值． (3)如图2，连接，若点O为的中点，当时，求的度数； 16．（1）尺规作图：已知△ABC，以 AB、AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连 接 BE、CD，请你完成图形（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）作图的基础上，求证：BE＝CD 17．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中为含有角的等腰直角三角板，直线是它的对称轴，且点为另一块三角板的直角顶点，、分别交、于点、．求证： (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C D D C B 1．C 【分析】根据等腰直角三角形和直角三角形的性质进行解答即可. 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=90°， ∵， ∴∠ABD=30°， ∴=∠ABC-∠ABD=15°， 故选C. 【点睛】此题考查含30度角的直角三角形，等腰直角三角形，解题关键在于掌握运算法则. 2．B 【详解】试题分析:根据题意得出∠B=∠C=65°，再证明△BDF≌△CED，从而得出∠BFD=∠CDE，则∠EDF=∠B． 解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠B=∠C=65°． 在△BDF与△CED中， ， ∴△BDF≌△CED， ∴∠BFD=∠CDE， ∵∠BDF+∠BFD=115°， ∴∠BDF+∠CDE=115°， ∴∠EDF=∠B=65°． 故选B． 考点：等腰三角形的性质． 3．D 【分析】根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，得的长；根据垂线段距离最短，点是边上的动点，得，即可． 【详解】∵，， ∴ ∵点是上的动点 ∴ ∴ ∴不可能为． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形，垂线段距离最短，解题的关键是掌握垂线段距离最短，直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半． 4．C 【分析】证明， 结合与角平分线的定义， 可得平分， 故①正确；由，上的高相同，可得②正确；先证明，再证明，可得，可得③正确，证明，结合，而与不一定相等，可得④错误；从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分，故①正确； ∵，上的高相同， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，平分． ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 而与不一定相等， ∴，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂直的含义，角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 5．D 【分析】根据直角三角形的定义、等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定逐一进行判定即可； 【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，则设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，∵∠A+∠B+∠C=180° ∴6x=180°，∴x=30°，∴∠C =3x=90°，∴△ABC是直角三角形，选项A正确，不符合题意； B、∵AB=BC，∠A=60°，则△ABC是等边三角形，选项B正确，不符合题意； C、∵∠A=20°，∠C=80°，∴∠B =80°=∠C，∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形， 选项C正确，不符合题意； D、∵AB=BC，∴∠A=∠C=50°，∴∠B=180°-100°=80°，选项D错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了直角三角形的定义、等边三角形的判定、等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关的性质是解题的关键 6．D 【分析】由直角三角形的性质可求AC=8，BC=AB=4，可求△ABC的面积，由“SAS”可证△ADB≌△EDC，可得S△ADB=S△EDC，即可求解． 【详解】解：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4， ∴AC=8，BC=AB=4， ∴S△ABC=×AB×BC=8， ∵点D为BC的中点， ∴CD=BD， 在△ADB和△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴S△ADB=S△EDC， ∴S△ABC=S△ACE=8， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△ADB≌△EDC是本题的关键． 7．C 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°；另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°． 【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD=40°， ∴∠A=50°， 即顶角的度数为50°． ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA=40°， ∴∠BAD=50°， ∴∠BAC=130°，即顶角的度数为130°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 8．B 【分析】根据角平分线的定义可得∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB，由平行线的性质可得∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB，等量代换可得∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE，根据等角对等边可得到ME=MB，NE=NC，再由MN=ME+NE结合已知即可求得答案. 【详解】∵BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠MBE=∠EBC，∠NCE=∠ECB， ∵MN∥ BC， ∴∠MEB=∠EBC，∠NEC=∠ECB， ∴∠MEB=∠MBE，∠NEC=∠NCE， ∴ME=MB，NE=NC， ∵MN=ME+NE，BM+CN=7， ∴MN=7， 故选B. 【点睛】本题考查了等腰角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 9．3.5cm 【详解】根据直角三角形斜边上的中线的相关性质，即可推出CD的长度． 解：∵Rt△ABC中，斜边AB的=7cm，CD为中线， ∴2CD=AB， ∴CD=3.5cm． 故答案为3.5． 10． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义作出图形即可求解，正确作出图形是解题的关键． 【详解】画图如下，满足条件的点有个， 故答案为：． 11．4或16/16或4 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：当时，， ， 当时，， ， 故答案为：4或16． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 12．/度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，设小正方形的边长为，证明，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．65° 【分析】先根据等腰三角形性质求出∠ACD，再利用角平分线的定义解决问题即可． 【详解】解：∵BA＝BC，∠B＝80°， ∴∠A＝∠ACB＝50°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°， 由作图可知，CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝∠ACD＝65°， 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，角平分线的尺规作图与定义等知识，熟练掌握等腰三角形性质和角平分线的尺规作图是解题关键． 14．（1）的延长线上，；（2），理由见解析，线段长的最大值为4． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质以及全等三角形的性质． （1）根据点A为线段外一动点，且可得当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为 （2）①根据等边三角形和等边三角形， 可得根据全等三角形的性质可得 ②根据全等三角形的性质可得，线段长的最大值=线段长的最大值，而当线段的长取得最大值时，点D在的延长线上，此时可得 【详解】解：（1）如图1， ∵点A为线段外一动点，且 ∴当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为， 故答案为：的延长线上，； （2），理由如下： ∵等边三角形和等边三角形， 即 在和中， ； 线段长的最大值为4，理由如下： ∵线段长的最大值线段长的最大值， ∴当线段的长取得最大值时，点D在的延长线上，此时 ． 15．(1)见解析 (2)存在最小值，4 (3) 【分析】（1）根据证明即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，四边形的周长，当最小即时，四边形的周长最小，根据等腰直角三角形的性质得，进而得到四边形的周长的最小值为4； （3）根据等边对等角求出，得到，利用等腰直角三角形的性质推出，，求出，再由直角三角形斜边中线性质推出，得到，利用三角形内角和求出． 【详解】（1）证明：∵中，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）四边形的周长存在最小值， ∵， ∴， ∴四边形的周长， ∴当最小即时，四边形的周长最小， ∵， ∴时，， ∴四边形的周长的最小值为4； （3）∵，， ∴ ∴， ∵，点O为的中点， ∴，， ∴， ∵，点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角求角的度数，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 16．（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BC；再分别以点A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE即可． （2）根据等边三角形性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根据SAS证△ABE≌△ADC即可． 【详解】解：（1）完成图形，如图所示： (2)证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°， ∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD， 即∠BAE=∠DAC， 在△ABE和△ADC中， ∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，AE＝AC， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE=DC，即BE=CD． 【点睛】此题考查了尺规作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质． （1）可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等； （2）根据全等三角形的面积相等可得，从而求出． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，直线是它的对称轴， 点为中点， ， ，， ， 是直角， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$