专题1.6 直角三角形的边角关系（常考知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.6 直角三角形的边角关系（常考知识点分类专题）（基础练） 【考点1】求三角函数值； 【考点2】利用三角函数求边长； 【考点3】三角函数值大小比较； 【考点4】利用三角函数判断三角形的形状； 【考点5】利用计算器求三角函数值； 【考点6】解直角三角形； 【考点7】解非直角三角形； 【考点8】构造直角三角形并求值； 【考点9】解直角三角形的应用—方位角问题； 【考点10】解直角三角形的应用—仰角俯角问题； 【考点11】解直角三角形的应用—度坡比问题； 【考点12】解直角三角形的应用——其他问题； 【考点13】三角函数综合. 1、 单选题 【考点1】求三角函数值； 1．（24-25九年级上·上海·期中）在中，为垂足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知是斜边上的高，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【考点2】利用三角函数求边长； 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是电杆一根拉线，米，，则拉线长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，点D在上，．若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．4 6．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，手电筒的灯泡A距离地面的高度为h，灯泡照亮范围的横截面是，且，，地面被照亮的区域是一个圆，则该圆的直径为（    ） A． B． C． D． 【考点3】三角函数值大小比较； 7．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 8．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的正切值的范围是（     ） A． B． C． D． 【考点4】利用三角函数判断三角形的形状； 10．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 11．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如果三角形满足，一个角是另一个角的倍，那么我们称这个三角形为“和谐三角形”．下列各组数据中，能作为一个“和谐三角形”三边长的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．（2023九年级下·全国·专题练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【考点5】利用计算器求三角函数值； 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（　　） A． B． C． D． 14．（22-23九年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，，若用科学计算器求的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点6】解直角三角形； 16．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得，，则竹竿与的长度之比为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【考点7】解非直角三角形； 19．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 20．（2022·河北沧州·二模）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【考点8】构造直角三角形并求值； 22．（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 23．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 24．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【考点9】解直角三角形的应用—方位角问题； 25．（24-25九年级上·全国·单元测试）渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 26．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，一艘轮船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行到港，港在港北偏东方向上，那么两港间的距离为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　）    A．12海里 B．6海里 C．12海里 D．24海里 【考点10】解直角三角形的应用—仰角俯角问题； 28．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知窗户高米，窗户外面上方米的点C处安装水平遮阳板，遮阳板D处到窗户底部B处的距离米．当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m，n满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）2024年10月30日，“神州十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 30．（23-24九年级下·全国·期中）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此大桥主架顶端离水面的高为（   ） A． B． C． D． 【考点11】解直角三角形的应用—度坡比问题； 31．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图是拦水坝的横断面，坝高为米，斜坡的坡度为，则斜坡的长为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 32．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 33．（24-25九年级下·全国·期末）某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（     ） A． B． C． D． 【考点12】解直角三角形的应用——其他问题； 34．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，一架钟的钟摆的长为，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角，，垂足为D，则的长为（参考数据：，，）（   ） A． B． C． D． 35．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 36．（2024·山东日照·模拟预测）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架，米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面EF的距离为（    ）米． A． B． C． D． 【考点13】三角函数综合. 37．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）规定：，，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 39．（2023·河南驻马店·二模）如图，菱形的边在y轴正半轴上，点B的坐标为．作射线，将菱形沿射线平移，当点C落在原点O的位置上时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 【考点1】求三角函数值； 40．（24-25九年级上·上海·期中）已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 41．（2024·河北唐山·模拟预测）如图①所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图②（曲线为抛物线的一部分），则： （1） ； （2）当 时，． 42．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为，矩形的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，则 ． 【考点2】利用三角函数求边长； 43．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在中，，，D为AC上一点，，，则 ． 44．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为 45．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，则 【考点3】三角函数值大小比较； 46．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习） （填“或”）． 47．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）比较大小： ． 48．（22-23九年级上·广东揭阳·期末）比较大小： （填“”或“”或“”或“”）． 【考点4】利用三角函数判断三角形的形状； 49．（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 50．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 51．（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）△ABC中，且＝0，则∠C＝ ． 【考点5】利用计算器求三角函数值； 52．（23-24九年级上·山东烟台·期中）利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为 ． 53．（23-24九年级上·山东烟台·期末）利用计算器进行计算时，按键顺序如下： 计算结果是 ． 54．（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）运用课本上的科学计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是 ．    【考点6】解直角三角形； 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么 ． 56．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 57．（23-24九年级下·全国·期末）某盏灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高，母线与底面半径的夹角为，，则圆锥的底面积是 （结果保留）． 【考点7】解非直角三角形； 58．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，，，，则 ． 59．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度 m．（取值1.732，结果精确到0.1米） 60．（22-23九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，，，则的长为 ． 【考点8】构造直角三角形并求值； 61．（19-20九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为 ．    62．（2019·辽宁·一模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 63．（19-20九年级上·上海闵行·期末）正五边形的边长与边心距的比值为 .(用含三角比的代数式表示) 【考点9】解直角三角形的应用—方位角问题； 64．（2024·山西·模拟预测）“天水麻辣烫”火了！如图，太原的小李乘坐高铁由太原南去天水吃麻辣烫时，在距离铁轨100米的B处观察他所乘坐的由太原南开往天水的“和谐号”动车．他观察到，当“和谐号”动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上．根据所学知识，该时段动车的平均速度是 米/秒． 65．（22-23九年级上·宁夏银川·期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 66．（2024·湖南岳阳·一模）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和之间的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为150m和100m，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西53°的方向上，且m，则隧道的长约为 米． （参考数据：，，） 【考点10】解直角三角形的应用—仰角俯角问题； 67．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，榕榕在地面A处，用测角仪测得一座大楼的楼顶处的仰角为，又用激光测距仪测出间的距离为米，则这座大楼的高度为 米．    68．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为 米． 69．（23-24九年级下·全国·课后作业）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示．他在点O处测得小山顶端的仰角为，小山顶端A在水中倒影的俯角为，已知点O到湖面的距离，A，B，三点共线，，则小山的高度为 m．（光线的折射忽略不计，结果保留根号） 【考点11】解直角三角形的应用—度坡比问题； 70．（24-25九年级上·上海·阶段练习）某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡向下滑行了100米，则运动员下降的垂直高度 米． 71．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则 米． 72．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）小红沿坡比为的斜坡上走了120米，则她实际上升了 米 【考点12】解直角三角形的应用——其他问题； 73．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图．已知滑杆，箱体，拉杆的长都相等，即．点B，F在上，点C在上，支杆，，，，则拉杆端点A到水平滑杆的距离为 ．（结果保留根号） 74．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则尺上沿的交点C在尺上的读数是 （结果精确到，参考数） 75．（2024·湖北武汉·模拟预测）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【考点13】三角函数综合. 76．（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 77．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，已知正方形，将正方形绕点A旋转得到正方形，其中点E与点B对应，点F与点C对应，点G与点D对应，若直线交直线于点O，，则的长是 ． 78．（2023·广东广州·二模）如图，在边长为的菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在处，连接，已知，，则的长为 ．（精确到，其中）    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C A A D D D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C B B D D C B A D C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B B D A D A B C A C 题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 答案 C B B A C A C D B 1．C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，证明出是解题的关键；根据同角的余角相等求出，由勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故选：． 2．D 【分析】本题考查了：①勾股定理；②锐角三角函数的定义；③同角的余角相等．并且注意到三角函数值只与角的大小有关．易证，则求的值就可以转化为求的三角函数值．从而转化为求的边长的比． 【详解】解：由勾股定理得，， 由同角的余角相等知，， ， 故选：D． 3．A 【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，正切函数的定义合．根据各点的位置求出的长，判断是否是直角三角形，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且，，， ∴的正切值是， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．掌握正弦的定义并利用数形结合的思想是解题关键．根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 米， 故选：A． 5．C 【分析】在中，由锐角三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由锐角三角函数求得．本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形． 【详解】解：，，， ， ， ． ， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正切函数，掌握等腰三角形的性质是关键；由等腰三角形的性质得，在中，利用正切函数即可求出． 【详解】解：，， ； 在中，， ， ； 故选：A． 7．A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 8．D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 9．D 【分析】根据特殊角的三角函数值及余弦函数随角增大而减小解答即可． 【详解】解：∵，且一个角的正切值随角的增大而增大， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 10．D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 11．C 【分析】本题考查了直角三角形，三角函数，勾股定理的逆定理．直接利用直角三角形的性质结合勾股定理的逆定理进而分析得出答案． 【详解】A、，，，构成的是等边三角形，三角形三个内角都为，故不符合题意； B、，构成的是等腰直角三角形，三个内角的度数分别为、、，故不符合题意； C、解直角三角形可知该三角形是三个角分别、、的直角三角形，其中，符合“和谐三角形”的定义，故选项正确； D、，，，构成的是直角三角形，根据三角函数值可知不符合“和谐三角形”，故该选项错误； 故选：C． 12．B 【分析】根据利用非负数的性质求得，再利用特殊角的三角函数值求出，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 13．B 【分析】本题主要考查了计算器计算三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣．根据计算器的使用方法，可得答案． 【详解】解：利用数学课本上的计算器计算，按键顺序是， 故选：B． 14．D 【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴用科学计算器求的长的按键顺序为： ； 故选D． 15．D 【分析】本题考查正切函数值求边长，涉及计算器的使用，根据题意，得到，借助科学计算器求解即可得到答案，熟记正切函数值求边长的方法及科学计算器的使用是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，，则， 边的长为， 若用科学计算器求边的长，则按键顺序正确， 故选：D． 16．C 【分析】本题考查了三角函数的求值，熟悉勾股定理和灵活运用三角函数是解题关键．根据勾股定理求出的长，利用，求出的长，进而求出，再用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：在直角中， 根据勾股定理得， 由折叠得，， 在直角中， ， ， 勾股定理得， ， 故选：C． 17．B 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，在两个直角三角形中，分别求出、即可解决问题； 【详解】解：在中，， 在中，， ， 故选B． 18．A 【分析】本题考查的是中心对称图形的性质，锐角三角函数的应用，先求解，再利用中心对称图形的性质可得答案. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∴， 故选：A 19．D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 20．C 【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱的高为6，，，，根据锐角三角函数的定义，线段的和差，三角形的面积分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，这个三棱柱的高为6，，，． ，， ，故选项A结论正确，不符合题意； ，， ，即，故选项B结论正确，不符合题意； ． 在中，， 因此选项C结论不正确，符合题意； 俯视图三角形的底边为7，高为2， 所以， 因此选项D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提． 21．B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 22．B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 23．D 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）． 故选择：D． 【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题． 24．A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 25．D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 26．A 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可． 根据题意作垂直于于点，根据计算可得，；根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作垂直于于点．根据题意可得 ，，    ， ∴ ， ， ， . 故选A． 27．B 【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作，    由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 28．C 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，利用三角函数解直角三角形即可 【详解】由题意知，米， ∵光线与水平线成α角， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故选：C． 29．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦定义求解即可． 【详解】解：根据题意，，千米， 由得千米， 故选：A． 30．C 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出和是解题的关键． 在和中，由三角函数得出，，根据即可求解． 【详解】在和中，，， ∴，， ∴． 故选C． 31．C 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，先根据坡度比求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∵斜面坡度为， ∴， ∴米， ∴米， 故选C． 32．B 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题以及坡度坡角问题．过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图所示：过点作于点， 斜面坡度为， ， 在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为， ， ， ， ， ， 解得：， 故米， 故选：B． 33．B 【分析】过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案． 本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E， ∵背水坡坡面的长度为，坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵背水坡坡面的坡度为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 34．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，根据题意，结合等腰三角形的性质求得得到，再利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 在，， ∴， 故选：A． 35．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 36．A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴； ∴， 在中，，， ∴； ∴（米）； 故选：A． 37．C 【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：依题意，①，故此结论正确； ②，故此结论正确； ③，故此结论正确； ④，故此结论错误． ∴正确的结论有3个， 故选：C． 38．D 【分析】 本题考查三角函数求值，勾股定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴，故A选项不正确； ∴，故B选项不正确； ∴，故C选项不正确； ∴，故D选项正确， 故选：D． 39．B 【分析】根据题意可求的长，即菱形的边长可知，再根据点B的坐标可知，可证，点A的坐标即可求． 【详解】 过作于点D ∵点B的坐标为 ∴ ∴ ∴ ∵四边形为菱形 ∴， ∵菱形沿射线平移，点C落在原点O的位置上 ∴， ∴、 ∵点A在第三象限 ∴点A的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平移的性质、三角函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 40． 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 【详解】解：中，， 的正弦值是，即， ∴设，则，由勾股定理得， ∴， 故答案为∶． 41． /0.8 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了余弦的求解，相似三角形的性质，根据图象确定动点的运动位置是解题关键． （1）由图可知：秒后，动点Q运动到点，动点P运动到点；秒后，动点P运动到点，据此即可求解； （2）若，则动点Q运动到点的位置，动点P在段运动；根据即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：秒后，动点Q运动到点，动点P运动到点；秒后，动点P运动到点， ∴， 当动点Q运动到点，动点P运动到点时，的高为（或）的长度， ∴ ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴若， ∴动点Q运动到点的位置，动点P在段运动 ∵， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 42．/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，求正切；取点，求出与的长度，在中，求即可． 【详解】解：如下图，设与的交点为， ，相邻的两条平行直线间的距离均为， ，， ，矩形的四个顶点分别在这四条直线上， ， 在中，， 则， 故答案为： 43．20 【分析】根据在中，，，为上一点，，，可以求得的长，的长．本题考查锐角三角函数，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：在中，，，，， ， ，，， ， 故答案为：20． 44．5 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 45． 【分析】根据正切函数的定义得出，利用勾股定理求出的长，过点D作的平行线构造相似三角形，利用相似三角形的性质即可得答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，正切函数，熟练掌握判定，正切函数的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点M， 则， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得． ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 46． 【分析】本题考查三角函数值大小的比较，掌握正切值随角度的增加而增加是解题关键． 利用正切的增减性解答． 【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加， ， ； 故答案为：． 47． 【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【详解】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 48． 【分析】先根据锐角三角函数关系进行等量代换，然后利用锐角正弦值随着角的增大而增大即可判断． 【详解】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是解题关键． 49．等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 50．钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 51．105° 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值求出∠A＝30°，∠B＝45°，再利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：∵（tanA﹣）2+（﹣cosB）2＝0， ∴tanA＝，cosB＝， 则∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故答案为：105°． 【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知30°及45°的三角函数值. 52． 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，求一个数的立方根，根据题意可得计算的式子为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，计算器输出的结果为， 故答案为：． 53．4 【分析】本题考查了计算器的应用和锐角三角函数值，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值，即可解题． 【详解】解；由题知，， 故答案为：4． 54． 【分析】根据计算器的按键写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：根据题意得，计算器按键写成算式： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查计算器﹣基础知识，熟练了解按键的含义是解题的关键． 55． 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，根据题意得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∵是的中线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 56． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，延长与交于点．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，从而即可得解． 【详解】解：如图，延长与交于点． 在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 57． 【分析】本题主要考查求圆锥的底面积，解直角三角形，掌握锐角三角函数的正切公式是解题的关键．利用锐角三角函数的正切公式求出底面半径，再圆锥的底面积公式求值即可． 【详解】解：， 且， 即， 解得， 圆锥的底面积为， 故答案为：． 58．或 【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示： 过A点作AH⊥BC于H， ∵∠B=45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴, 在Rt△ACH中，由勾股定理可知：， ∴． 情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示： 由情况一知：，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论． 59．3.5 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴（m）． 故答案为：3.5. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC＝BC，需要熟练掌握三角形函数定义，此题难度不大． 60． 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 61．． 【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出AD,再Rt△ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt△EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长. 【详解】解：∵， ∴. 在中，，， ∴， ∴ 在中，，， ∴ ∵平分， ∴. 在中，，， ∴ ∴    【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质. 62． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 63． 【分析】本题应作出辅助线，构造出直角三角形来解决． 【详解】 经过正五边形的中心O作边AB的垂线OC，则∠BOC=36°， 在直角△OBC中，根据三角函数得到 故答案为 【点睛】正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形的问题． 64． 【分析】作于点，在中利用三角函数求得的长，在中，利用三角函数求得的长，则即可求得，进而求得速度．本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：作于点． 在中，， ∴ （米），（米）， 同理，（米）． 则（米）． 则平均速度是（米秒）， 故答案为：． 65．/595千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形． 过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 66．1350 【分析】先在中，根据三角函数的定义求出，再根据三角形中位线定理求出，即可求出；本题主要考查了解直角三角形的应用和三角形中位线定理，根据三角函数的定义求出是解决问题的关键． 【详解】在中， (m)， ∵点，分别为，的中点， 是的中位线， ， m， (m) 答：隧道的长约为m． 故答案为：． 67．/ 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，直接根据含30度角的直角三角形性质得出结论即可． 【详解】解：如图，    由题意得：在中，米， 米， 则这座大楼的高度为米， 故答案为：． 68．60 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．利用锐角三角函数的定义，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， （米）， 在中，． ， （米）， （米）． 故答案为． 69．/ 【分析】A本题考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键，过点O作于点E，设，则，，根据列方程解出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点E， 则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 70． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度坡比问题，一元二次方程的应用与图形有关的问题，勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 根据坡比等于铅直高与水平宽的比值，设运动员下降的垂直高度为米，则该运动员在水平方向上前进了米，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡向下滑行了100米， ∴设该运动员下降的垂直高度为米，则该运动员在水平方向上前进了米， 根据勾股定理，可得： ， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 71． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡比的定义，掌握坡比的定义是解题的关键． 根据坡比的定义，代入数据即可解答． 【详解】解：迎水坡的坡比为，米， ，即， 解得：（米）， 故答案为：． 72．60 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键．根据题意设铅直距离为，则水平距离为，根据勾股定理求出的值，即可得到结果． 【详解】解：设铅直距离为，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：， 则她实际上升了60米， 故答案为：60 73． 【分析】过作于，解直角三角形即可得到；过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题． 【详解】解：过作于． ． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； 过作交的延长线于， ， ∴拉杆端点到水平滑杆的距离为． 故答案为：． 74． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点B作于D，过点C作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图，过点B作于D，过点C作于E， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即与尺上沿的交点C在尺上的读数是． 故答案为：2.6． 75． 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 76． 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 77．或 【分析】本题考查旋转的性质和正方形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．分两种情况进行讨论，当逆时针旋转时和当顺时针旋转时，分别求解即可． 【详解】解：当逆时针旋转时，如图所示： 将正方形绕点A旋转得到正方形， ，，， ， ， ， ， ； 当顺时针旋转时，如图所示： 将正方形绕点A旋转得到正方形， ，，， ， ， ， ， ； 故答案为：或． 78． 【分析】根据菱形的性质，可得，是等腰三角形，可求出，如图所示，过点作于点，构造直角三角形，根据三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵四边形是边长为的菱形纸片，，， ∴，，，， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∵沿直线翻折，使点落在处， ∴，， 在中， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形，折叠，等腰三角形，三角函数的综合，掌握相关的性质及计算方法是解题的关键． 1、 1 学科网（北京）股份有限公司 $$