5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件（第一课时)课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1 在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),如图,过P1, P2分别作x轴, y轴的垂线交于点Q,则Q的坐标为(x2,y1),则 由勾股定理,可得: 所以平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离: x y O P1(x1, y1) P2(x2, y2) Q(x2, y1) ∟ 平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间距离公式: 复习回顾 2 前面我们学习了诱导公式,利用它们对三角函数式进行恒等变形,可以达到简化、求值或证明的目的. 这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式,可以发现它们都是特殊角与任意角 的和(或差)的三角函数与这个任意角 的三角函数的恒等关系. 如果把特殊角换为任意角 ,那么任意角 与 的和(或差)的三角函数与 , 的三角函数会有什么关系呢? 下面来研究这个问题. 问题引入 3 终边 终边 - 终边 如图,设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0), 以x轴非负半轴为始边作角 , , - ,它们 的终边分别与单位圆相交于点 下面我们来探究cos( - )角 , 的正弦、余弦之间的关系. 不妨令 ≠2k + ,k∈Z, P1(cos ,sin ), A1(cos , sin ),P(cos( - ), sin( - )). 探究:如果已知任意角 , 的正弦、余弦,能由此推出 + , - 的正弦、余弦吗? 新知探究 4 终边 终边 - 终边 A(1, 0),P(cos( - ), sin( - )), A1(cos , sin ),P1(cos , sin ). 连接A1P1,AP.若把扇形OAP绕着点O旋转 角,则点A,P分别与点A1,P1重合.根据圆的旋转对称性可知:AP 与A1P1重合,从而AP = A1P1 ,所以AP = A1P1. 根据两点间的距离公式,得: 化简得 当 =2k + , k∈Z时,容易证明上式仍然成立. 典例分析 5 此公式给出了任意角 , 的正弦、余弦与其差角 - 的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C( - ). 所以,对任意角 , 有 口诀:余与正正符号异 典例分析 6 证明: 典例分析 7 解: 典例分析 8 课本P217 证明: 课堂练习 2. 利用求cos 解法1: 解法2: 【变式】 课堂练习 解: 课堂练习 课本P217 课堂练习 【推导】我们以C( - )为基础,推导出其他公式. ( C( + ) ) 探究:由公式C( - )出发,能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗? 由公式C( - )出发,能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗? 于是得到了两角和的余弦公式 新知探究 13 探究:我们知道,用诱导五(六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根 据C( - )、C( + )和诱导五(六),推导出用任意角 , 的正弦、余弦表示 sin( + ),sin( - )公式吗? 新知探究 14 于是得到了两角和与差的正弦公式 (S( + )) (S( - ) ) 新知探究 15 5.两角和的正切公式 (T( + )) 探究:我你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系,从C( ) S( ) 出发 ,推导出用任意角 , 的正切表示tan( + ),tan( - ) 的公式吗 ? 新知探究 6.两角差的正切公式 (T( - )) 那么两角差的正切呢? 新知探究 两角和与差的正弦、余弦公式: 和角公式 差角公式 新知探究 18 例3 已知,是第四象限角,求的值 . 解: 典例分析 思考: 由以上解答可以看到,在本题条件下有 .那么对于任意角 ,此等式成立吗 ? 若成立,你会用几种方法予以证明? 提示:( 典例分析 例4 利用和(差)角公式计算下列各式的值: 解: 解: 解: 典例分析 21 课本P220 课堂练习 课堂练习 3.求下列各式的值 课本P220 课堂练习 课堂练习 课本P220 课堂练习 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导顺序是怎样的? C( - ) C( + ) - 代 S( - ) S( + ) - 代 - 代 T( + ) 相除 T( - ) 相除 注意符号 牢记公式 谢谢观看 $$