(思维训练)3 长方体和正方体-【训练达人】2024-2025学年五年级下册数学（人教版）福建

答案详析 【规范解答】有36个苹果，把它们放在9个盘 长方体和正方体 子里，每个盘子里只能放奇数个苹果，不能 做到。 典例讲解1 举一反三3 【思路分析】如图： 1.【思路分析】根据奇数偶数的性质有偶数十 B的对雨不 方法：“根据湘邻不相 是A、F 对”运用排除法解题。 偶数=偶数，偶数十奇数=奇数，偶数个奇 >B的对面是D 数相加为偶数，奇数个奇数相加为奇数，所 的对面不 以若判断出有多少个奇数相加就可以解决 是C、上 问题。从式子中可知共2022个数，其中有 >A的对面是C 乃的对面不 1011个偶数，奇数有2022-1011=1011 是C、B 个，所以1011个奇数相加的和为奇数，1011 的对面是上 个偶数相加的和为偶数，又因为奇数十偶数 的对面不 是A、D =奇数，故这个式子的和是奇数。 【规范解答】式子中共有2022个数，其中有 【规范解答】CDE 1011个偶数，奇数有2022一1011= 举一反三1 1011(个)，所以1011个奇数相加的和为奇 L.【思路分析】注意观察左起第1、2,5个小正 数，1011个偶数相加的和为偶数，奇数+偶 方体，我们不难发现5点与6点，3点、1点、 数=奇数，故这个式子的和是奇数。 2点都相邻，所以这些点不会是5点的对 2.【思路分析】奇数和奇数相乘为奇数，偶数 面，因此5点的对面是4点；同理，2点与 3点，1点，5点相邻，又4点与5点相对，故 和奇数相乘得偶数，偶数和偶数相乘得偶 4点也不可能是2点的对面，因此2点与 数，问题中共5个乘数，其中4个为奇数，且 6点相对. 积为偶数，故M为偶数。 【规范解答】46 【规范解答】因为23×35×2021×2023的 2.【思路分析】根据三个符号的位置，充分发 积为奇数，且23×35×M×2021×2023的 挥空间想象力，逐项分析。 积为偶数，所以乘数M为偶数。 A选项中根据展开图中符号的位置，☐应该 3,【思路分析】对每个参赛学生来讲，每题都 在这个正方体的上面，而且在看不到的位置 答对可得95分，答错一题，就要从95分中 (左面或后面或下面)，不符合： 减去4分，不管答错几道题，4的倍数都是 B选项中根据展开图中符号的位置，○应该 偶数，95减去偶数所得的差是奇数：若有一 在这个正方体的下面，而其在上面，不符合： 道题没答，只得1分，也就是要从95分中减 C选项中根据展开图中符号的位置，☐应该 在这个正方体的左侧面，●应该在这个正方 去2分，并且不管几道题没有答，2的倍数 体的下面，全部满足也就是看不到的位置 都是偶数，95减去偶数所得的差还是奇数。 (左面或后面或下面)，符合要求： 共有150名学生，偶数个奇数相加是偶数， D选项中根据展开图中符号的位置，○应该 所以所有参赛学生的得分总和为偶数。 在这个正方体的上面，而且在看不到的位置 【规范解答】答：所有参赛学生的得分总和 (左面或后面或下面)，不符合。 是偶数。 【规范解答】C 23 小学数学五年级下册 3.【思路分析】观察图形可知，图中长方体共 由前后两排12个小正方体组成。第二部分 完整，第一部分能看到3个，看不到的1个 【规范解答】 在后排第一层中间位置：第三部分能看到 方法一：16÷8=2(cm)2+2=4(cm) 3个，看不到的1个在后排第一层的最左 (4十2+2)×4-32(cm) 侧，如图所示： 方法二：16÷8=2(cm) 2×12=24(cm)24×2=48(cm) 48-16=32(cm) 答：原来长方体的棱长总和是32cm。 【规范解答】D 典例讲解3 4.A【提示】用排除法解答。 【思路分析】正方体可以理解成长，宽、高均相 典例讲解2 等的长方体，宽和高都为4cm,将长12cm平 【思路分析】根据题目要求得到3个长方体要 均分成三等份，就构成棱长为4cm的三个小 切两次，如图所示，共增加4个正方形面，每个 正方体。分成三个小正方体后，从剖开的地方 正方形有4条边，所以增加4×4=16（条）棱， 就会多出四个面，这四个面的面积就是比原来 进而可以求出增加的棱长总和。 长方体增加的面积。图解如下： 多出1个面，即多出4条棱 4匣米 4厘米 12原米 4厘 多出4个而，即多出4×416（条〉凌 【规范解答】(3-1)×2×4×18=288(cm) 4厘 4应米4厘米 4厘米 答：比原来正方体的棱长总和增加288cm。 举一反三2 1.【思路分析】如图所示，两个正方体拼在一 4度米 起相当于减少了2个面，即减少了2×4= 4 4厘米 4愿米 4厘米 8(条)棱，再用32÷8求出每条棱的长度，进 多出的面积，也可以 而求出这两个正方体积木的棱长总和。 多出了4个面，每个 用三个正方体的隶而 西都是边长为4厘米 积之和减去原长方体 的正方形 的表而积 【规范解答】32÷(2×4)×12×2=96(cm) 【规范解答】 答：这两个正方体积木的棱长总和是96cm。 方法一：直接计算。 2.【思路分析】根据题意得，截成两个完全相 增加的表面积：4×4×4=64(cm) 同的正方体后多出8条棱，这8条棱全都相 方法二：间接计算。 等，则可以求出一个正方体的棱长，长方体 原长方体的表面积：(12×4+12×4十4×4)× 的长为两条棱长的和，长方体的宽和高都等 2=224(cm2) 于正方体的棱长，则可以求出长方体的棱长 三个小正方体的表面积之和：4×4×6×3= 总和。 288(cm2) 24D 答案详析 增加的表面积：288一224=64(cm) 剩下长方体的体积： 答：三个小正方体的表面积比原长方体的表面 10×10×7.5=750(cm3) 积增加了64cm. 答：剩下一段的体积是750cm3。 长方体体积：12×4×4=192(cm) 3.【思路分析】本题主要考查立体图形的切 三个小正方体的体积和：4×4×4×3=192(cm) 拼，弄清楚每切一刀，切面与原来长方体中 的两个平行面的面积相等，切一刀，表面积 答：切割前后体积没有增加，所以体积不变，三 之和就多了两个这样的切面，切完三刀之 个小正方体的体积和与原长方体体积相等。 后，表面积之和是原来大长方体表面积的2 举一反三3 倍，所以除以2就能求出原来长方体的表面 1.【思路分析】如图： 积，最后比较大小即可。 【规范解答】大长方体的表面积： 752÷2=376(cm2) (472-376)÷2=48(cm) 因此，表面积不变，体积诚少一个小长方体 (632-472)÷2=80(cm) 的体积。 (752-632)÷2=60(cm) 【规范解答】8×8×4=256(cm) 因为48<60<80，所以原长方体六个面中 答：表面积不变：体积减少256cm。 面积最小的是48cm°。 2.【思路分析】根据题意，要求剩下一段（长方 典例讲解4 体)的体积，得找到剩下的长方体的高，题中 【思路分析】放人一块棱长为2dm的正方体， 已知截去一段后表面积减少了100cm,而 水面上升的体积与正方体的体积相等。而水 减少的面积展开后实际是一个长方形，据此 面上升所形成的形状是一个规则的长方体，长 求出长方形的宽，也就是截去长方体的高， 为80cm,宽为50cm。用正方体的体积（也是 水面上升所形成的长方体的体积)与长方体的 由此算出剩下的长方体的体积。图解如下： 底面积相除，就可求出水面上升的高度。 设上面的正方作截走后，下 而的长方体又多出1个完含 一样的正方形，所以最上面 减少的而就是前， 的而没有减少 后、左、右四个面 50厘米 50厘米 80厘米3 10应哭 80厘米 ?屋米 10厘来 上升水的休积等子 正方体的体积： 100平方厘来 【规范解答】2dm=20cm 10厘米 20×20×20÷(80×50) 10屋米 10厘米 10厘米10厘米 =8000÷4000 100÷(10×4》 2.5厘米 =2(cm) =2.5(厘米) 10-2.5=7.5(厘米 答：水面会上升2cm。 举一反三4 10及米 1.【思路分析】水池先注满水，任意放一个物 【规范解答】截去的长方体的高： 体进去都会溢出水来，不管池子有多大，放 100÷(10×4)=2.5(cm) 一个体积小的物体，溢出的水就会少一些， 剩下长方体的高： 反之，放一个体积大的，溢出的水就会多一 10-2.5=7.5(cm) 些。即放进去的物体体积有多大，溢出水的 ◆D25 小学数学五年级 下册 体积就有多少。它与池子的大小无关，只要 【规范解答】6×6×6=216(cm) 物体是全部淹没，求溢出水的体积，就是求 答：这块橡皮泥的体积是216cm。 放进去的物体的体积 举一反三5 1.【思路分析】不管怎么放置，水的体积不变， 此时的水深=水的体积÷第二个长方体容 6米 80度 器的底面积。 4厘米 避出永的体积等于两个石柱的体积。 【规范解答】4×3×5÷(8×3)=2.5(dm) 答：这时水深为2.5dm 【规范解答】80cm=0.8m 2.【思路分析】已知熔铸前和熔铸后的体积是 40cm=0.4m 不变的，然后用体积除以新得到的大长方体 0.8×0.4×4×2=2.56(m3) 的底面积即可求出它的高，而求出熔铸前的 答：水池溢出的水的体积是2.56m。 每个正方体的边长是解决这个问题关键。 2.【思路分析】由图一可知，容器中水的底面 具体求法可按照下图中所示步骤进行： 积=容器的底面积一长方体铁块的底面积， 容器中水的底面积×水的高度（图一）=水 正方体 -个面 棱长 体积 的体积，用V表示。 表面积 的面积 由图二可知，把铁块轻轻向上提起24cm 【规范解答】96÷6=16(cm) 后，水面会下降一些，但水的体积不变。把 因为4×4=16，所以第一个正方体的棱长 水的体积分成两部分，V,表示有铁块的，V 是4cm: 表示没有铁块的，水的底面积也分成两部 216÷6=36(cm2) 分，S1表示有铁块的，S表示没有铁块的 因为6×6=36，所以第二个正方体的棱长 (容器的底面积)，根据题意可知： 是6cm: V=S,×50=V,+V,=S,×铁块在水中的 4×4×4+6×6×6=280(cm3) 高度+S:×24, 280÷(8×5)=7(cm) 铁块在水中的高度=(S,×50一S2×24)÷ 答：这个大长方体的高是7cm。 S,带人计算即可。 典例讲解6 【规范解答】水的体积： 【思路分析】可以把零件沿虚线分成两个长方 (60×60-15×15)×50=168750(cm3) 体，先分别求出两个长方体的体积，再加在一 铁块提起后下面24cm深的水的体积： 起就是这个零件的体积，如下图所示： 60×60×24=86400(cm3) 10 10 10 50-(168750-86400)÷(60×60-15×15) =25.6(cm) (6-2)】 图二 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 图一的长、宽、高分别是10cm、2cm和4cm: 25.6cm. 图二的长、宽、高分别是10cm、(6一2)cm和 典例讲解5 2 cma 【思路分析】解决此题的关键是抓住题目中的 【规范解答】10×2×4=80(cm3) 不变量，在捏制过程前后体积是不变的，即求 10×(6-2)×2=80(cm3) 出棱长为6cm的正方体的体积就是这块橡皮 80+80=160(cm3) 泥的体积。 答：它的体积是160cm3。 26 答案详析 举一反三6 以画图理解题意。 1.【思路分析】①此题可以用制补法求这个组 由右图可以看出，他们吃的不一样多。 合图形的表面积，先将小长方体的左面补给 【规范解答】他们吃的不一样多。 大长方体，再将小正方体的右面补给大长方 举一反三1 体，这样这个大长方体的2个左右侧面就补 1.【思路分析】解决此题的关键是求出化简之 全了，剩下的小长方体和正方体都剩下4个 前的新分数。 面，分别求出大长方体的表面积、小长方体 方法一： 前、后、上、下面的面积和正方体前、后、上， ①根据题意可知，分子不变，分母增加19， 下面的面积，然后相加就得出组合图形的表 则新分数的分子与分母的和是23+19 面积。 =42; ②这个不规则物体的体积=两个长方体的 ②根据分数的基本性质把分数的分子和分 体积十一个正方体的体积 母同时扩大相同的倍数，使分子与分母的和 是42，得到新分数： ③用新分数的分母减去19，即可得到原来 0.5 0.5 分数的分母，分子不变。 方法二： 【规范解答】表面积：[1×(0.8+0.5)十0.5 ①新分数的分子与分母的和是23十19= ×(0.8+0.5)+1×0.5]×2=4.9(cm) (0.8×0.5+0.5×0.5)×2=1.3(cm) 42,根据“这个新分数可以化成5”且5+1 0.5×0.5×4=1(cm2) =6: 4.9+1.3+1=7.2(cm2) ②6是由新分数的分子与分母同时除以一 体积：0.5×0.5×0.8=0.2(cm3) 个相同数得到的，进而可求得原来的分数。 1×0.5×(0.8+0.5)=0.65(cm) 【规范解答】 0.5×0.5×0.5=0.125(cm3) 方法一：23+19=42 0.2+0.65+0.125=0.975(cm) 2.【思路分析】容器中的水正好占长方体容器 日品 的一半，据此解答即可。 35+7=42 【规范解答】40×20×20÷2=8000(cm) 35’97 7 8000cm3=8L 答：长方体容器中的水有8L。 方法二：(23十19)÷(5十1)=7 1=1×77 分数的意义和性质 55×735 7 典例讲解1 35-19-16 【思路分析】解答此类问题 的关键是找准单位“1”，单 爸爸吃了它的7 答：原来的分数是 位“1”不同，相同的分数对 明明吃了 【方法提示】一个分数，分子不变，分母增加 应的具体数量也不同。可 刻下的匀 多少，新分数的分子和分母的和就增加 多少。 ◆D27数学思维训练川 长方体和正方体 典例讲解1 一个正方体有六个面，每个面分别标有A、B、C、D、E、F六个字母。下面是这个正方体 的三种不同的摆法，请判断每一个面对面的字母。 D B A对面的字母是 :B对面的字母是 :F对面的字母是 【点拨】两个面只要相邻就不再是相对面，根据正方体的特征利用排除法解答。 举一反三1 1.有五个相同的小正方体排成一排（如图所示），想一想，5点的对面是( )点，2点的对 面是( )点。 2.如图是A、B、C、D四个正方体中( )的平面展开图。 6 ( 0 A B C D 3.如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每部分都是由四个同样大小的小正方体组成， 其中第三部分所对应的几何体应是( 第三部分 第二部分 一部分 4.如图，有一个无盖的正方体纸盒，底面标有字母“”，沿图中红色线将其剪开，想一想， 它展开后的平面图形是( ）。 A. B.L D.M 小学数学五年级下册 典例讲解2 把一个棱长为18cm的正方体木块切割成3个相同的长方体，切割成的3个长方体的棱 长总和比原来正方体的棱长总和增加多少厘米？ 【点拨】根据条件“切割成3个相同的长方体”，得到要切两次，可增加4个正方形面，进 而可以求出增加的棱长总和。 举一反三2 1.用两个相同的正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和比原来两个正方体 积木的棱长总和减少了32cm,这两个正方体积木的棱长总和是多少厘米？ 2.一个长方体被截成两个完全相同的正方体，如果两个正方体的棱长总和比原来长方体 的棱长总和增加了16cm,那么原来长方体的棱长总和是多少厘米？ 8◆Db 数学思维训练围 典例讲解3 将一个长12cm,宽4cm,高4cm的长方体分割成三个一样大的小正方体，三个小正方 体的表面积比原长方体的表面积增加了多少平方厘米？三个小正方体的体积和与原长 方体相比呢？ cm 12 cm 【点拨】分成三个小正方体后会多出四个正方形面，且体积不变。 举一反三3 1.如图：一个长方体切去一个长为8cm,宽为8cm,高为4cm的小长方体后，表面积和体 积各有什么变化？ 2.一个棱长为10cm的正方体，从上面截去一段，表面积减少了100cm,剩下一段的体积 是多少立方厘米？ 10 cm 3.有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的 表面积之和是472cm,切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632cm2,切完 第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752cm。那么，原来长方体六个面中面 积最小的是多少平方厘米？ bDp9 小学数学五年级下册 典例讲解4 在一个长80cm,宽50cm的长方体玻璃水缸中，放人一块棱长2dm的正方体铁块，水 面会上升多少厘米？（水未溢出） 【点拨】水面上升的体积就是正方体铁块的体积。 举一反三4 1.在一个长6m、宽5m、高4m的水池中注满水，然后把两根长80cm、宽40cm、高4m 的石柱立着放入水池中，则水池溢出的水的体积是多少？ 2.一个长方体容器，底面是边长为60cm的正方形，容器里直立着一个高1m的长方体铁 块，铁块的底面是边长为15cm的正方形，这时容器里的水深50cm(如图一)，现在把 铁块轻轻向上提起24cm(如图二)，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？ 图 图 10D 数学思维训练川 典例讲解5 把一块不规则的橡皮泥，捏成一个棱长为6cm的正方体。这块橡皮泥的体积是多少立 方厘米？ 【点拨】捏制过程中橡皮泥的体积是不变的。 举一反三5 1.一个密封的长方体玻璃容器（玻璃厚度不计），长4dm、宽3dm、高8dm,里面水深5dm (如图1)，现在以这个容器的右侧面为底，侧放在桌上（如图2），这时水深多少分米？ 4 8 图1 图2 2.将表面积分别为96cm°和216cm的两个正方体铁块熔成一个大长方体（不计损耗）， 已知大长方体的长是8cm,宽是5cm,求这个大长方体的高。 D11 小学数学五年级下册 典例讲解6 一个零件的形状如下图，求它的体积。（单位：cm) 10 【点拨】把原图形转化成一个规则的立体图形。可以通过分割将原图形转化成两个规则 的长方体，用加法解答；也可以通过补充将原图形转化成一个规则长方体，用减法解答。 举一反三6 1.求下面图形的表面积和体积。（单位：cm) 0.5 0.5 2.求下面长方体容器中的水有多少升？（容器厚度忽略不计） 100 20cm 40 cm 12◆Db