第3单元 2.长方体和正方体的表面积-【训练达人】2024-2025学年五年级下册数学（人教版）福建

小学数学五年级【下册 2.长方体和正方体的表面积 第①课时 长方体和正方体的表面积(1)》 ⊙练基础 知识巩词 (1)游泳池的占地面积是多少平方米？ ①(1)下图是一个正方体的展开图。 5 234 6 与1号面相对的是( )号面。 (2)为了美观，准备在游泳池四周及底部 与2号面相对的是( )号面。 贴上瓷砖，一共需要多少平方米的瓷砖？ 与( )号面相对的是( )号面。 (2)(教材改编)在能折成长方体或正方体 的平面图下面的括号里画“√”，不能的 画“X” 4(易错题)下图是一个长方体纸盒的展开 图。请计算这个长方体纸盒的表面积。 (单位：cm) 2(1) (2) 5cm 6 dm 前面的面积： 一个面的面积： 练思维 素茶提升 右面的面积： ⑤有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分 上面的面积： 表面积： 别涂有三角形、正方形和圆，如图，现 表面积： 用一把剪刀沿着它的棱剪成一个平面图 练能力 知识运用 形，则展开图是( 3为了响应“全民健身”的号召，北沙社区 准备建设一个公共的露天游泳池，可以 方便附近的居民锻炼身体。游泳池长 50m,宽20m,深2m,其中水深1.8m。 20◆>P 第3单元 第②课时 长方体和正方体的表面积(2) ·○)练基础 知识巩固 (3)(易错题)将四个长10cm,宽8cm,高 ①填一填。 3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起， (1)把两个棱长为2cm的正方体拼成一 最省包装纸的方法是( 个长方体，拼成的长方体的表面积是 ( )cm2. (2)一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长 35cm。制作这个鱼缸时至少需要玻璃 )m。(无盖) 3(新情境·生活运用)明明用旧包装纸制作 (3)一个左右两面是正方形的塑料收纳 一个纸袋，如图所示。 箱，长是60cm,正方形的周长是32cm, (1)算式2×0.8所解决的是： 制作这个收纳箱至少用了( )cm 的塑料。 (2)请你帮明明算一算制作这个纸袋用 (4)一个长方体，从上面看和从侧面看的 了多大面积的旧包装纸？（接缝处及手 图形如下图所示，这个长方体的表面积 提绳材料不计) 是( )dm2。 上面 侧面 2dm6 dm 3 dm 5 dm 2选一选。 练能力 知识运用 (1)(易错题)如图，一个大正方体是由棱 ④（易错趣）学校对会议室四周（前面、后面、 长为1cm的小正方体拼成的，取走一个 左面和右面)（如下图）进行粉刷。某品 小正方体以后，现在图形的表面积与原 牌涂料的标价如下表。请你帮工作人员 来大正方体的表面积比，( 完成费用预算。 规格 涂制面积 单价 5L/桶 35m 378元 A.减少了6cm B.一样大 C.增加了3cm D.减少了3cm 日 (2)把一个长方体的长、宽、高分别扩大 窗 .5m m 到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原 10m 8 m 来的( )倍，表面积扩大到原来的 ( )倍。 A.3 B.6 C.9 D.27 ◆D21 小学数学五年级〡下册 ⑤（新趁势·材料侧读）阅读下面材料，回答 (2)这个正方体木块原来的表面积是多 问题。 少平方厘米？ 杭州第19届亚运会领奖台采用了 “积木”式模块设计，金牌模块高约 40cm,银牌和铜牌高约20cm,每个模 块宽约85cm,长约100cm,可根据不同 体育项目领奖运动员人数进行拼搭。同 时，运动员站立区域使用了防滑材料，提 ⑦用棱长是1cm的小正方体搭成甲、乙两 高了安全性，在此基础上，前部主题形象 个几何体（如图），甲的表面积的计算过 板可以替换和循环使用，实现绿色节俭 程如下。请你根据甲的表面积的计算方 的赛会精神。 法，计算乙的表面积。 余牌模块 甲：(5+4+5)×2=28(cm2) 级牌模块杭州第19届亚运会钢牌模块 The 19th Asian Games 前面上面右面 颁奖台外侧整体采用“虹韵紫”主题 渐变色，传达活力与创新的理念。台面 采用“水墨白”色彩，展现亚洲各国包容 并进、和谐共赢的精神。 (1)颁奖台运动员站立区域使用了防滑 材料，防滑材料面积大约多少平方米？ 练思维 素养提升 (2)从外观看，颁奖台采用“虹韵紫”主题 8如图，一个底面是正方形的长方体，它的 渐变色的表面积大约多少平方米？ 侧面展开图正好是一个正方形。你能根 据图中数据算出这个长方体的表面 积吗？ 6一个正方体木块，把它切成3个完全相 同的长方体后，表面积增加了96cm。 (1)根据题意画图分析。 22◆>P 第3单元 第③课时 练习课（第1,2课时，长方体和正方体的表面积） 。⊙)练基础 知识巩固 练能力 知识运用 ①选一选。 ②某实验小学开设班级读书角，每班需要 (1)一个长方体长是8dm,宽和高都是 做2个这样的简易书架（如图），做这样 5dm,求它的表面积。下面列式错误的 的书架，一个班至少需要多少平方米木 是() 料？全校35个班共需要多少平方米木料？ A.5×5×2+8×5×4 150cm C B.5×5×4+8×5×2 C.(8×5+8×5+5×5)×2 D.8×5×2+8×5×2+5×5×2 (2)下面说法正确的有()。 A.棱长为6dm的正方体的棱长和表面 积相等 B.一个正方体的棱长扩大到原来的 3倍，表面积扩大到原来的27倍 ●练思维 素养提升 C.一个长方体最多有两个面是正方形， ③（新憩势，思维探究）用9个棱长是1cm的 最多有8条棱相等 D.一个长方体的棱长总和是60cm,相 正方体拼成一个长方体（如图）。 交于一个顶点的三条棱的长度之和 是10cm (3)如图，用长方形纸板制作一个无盖的 长方体纸盒，并在它的外表面贴上精美 (1)这个长方体的表面积是()cm. 的贴纸，贴纸的面积是( )cm2。 (2)请用列表的方式探究一下：如果拿走 2 cm 一个正方体，那么剩下的几何体的表面 积分别是多少？你从中发现了什么？ 8cm A.8×6 B.(8×6+8×2+6×2)×2 C.8×6×2D.8×6+(8+6)×2×2 (4)把右图中的长方体沿虚线 锯开正好可以得到三个正方24cm 体，三个正方体的表面积之和比原来长 方体的表面积增加了( )cm。 A.128 B.192C.256 D.384 ◆◆231 小学数学五年级 下册 7.60$2+50×2+70×4-500(m$ 式,这三个数分别表示长方体的长、宽、高上 答:至少需要500m长的灯条。 摆放的小正方体的个数。18-18×1×1 【解析】侧面校长和:70×4一280(m),顶面周 $$2X1-3×3×2-3×6×1,所以有4种摆 长;60×2-120(m),50×2=100(m),总周 法,故选C。 长:280+120+100=500(m),所以至少需要 3.(4+3+2)×4-36(dm) 500m的灯条。 36+12-3(dm) *.30x3x2+25x3x2+50x2×2-530(cm 答:这个正方体框架的校长是3dm。 530 cm-53 dm 53+4-57(dm) 【解析】此题主要考查长方体、正方体的特征及 校长总和的计算方法,能做到灵活应用是关键 答:包装这个礼盒一共需要57dm的彩带 【解析】从前面、上面和右面看到的彩带情况 根据长方体的特征(有4条长、4条宽、4条高) 长方体的校长总和一(长十宽十高)×4,代人 可以看出该礼盒礼的彩带共需要3×2段长 可求;而正方体的12条校相等,因此正方体 度为30cm的彩带,3×2段长度为25cm的 的梭长总和一梭长×12,题中两个图形是由 彩带和2×2段长度为50cm的彩带。把6个 同一根铁丝围成的,故两个图形的校长总和 面需要的彩带长度相加再加上接头处打结用 相等,因此用所求的梭长总和一12即可求出 的彩带长度即可。 正方体的校长。 第:②课时 正方体 4.32-8×12×2-96(cm) 答:这两个正方体原来的校长之和是96cm。 1.(1)6正方形 12 相等 【解析】①两个完全相同的正方体拼组成一个 8 12x校长 长方体,导致正方体的两个面重合,从而减少 (2)42正方 【解析】从图中可以看出长 了8条校;②由题意知,拼成的长方体校长之 方体的前、后、上、下四个面的形状相同。正 和减少了32cm,即这8条校长度之和为 方体是特殊的长方体,它是6个面都是正方 32cm,可求出正方体的梭长是4cm;③根据 形、12条校长度都相等,原长方体的长减少后 “正方体的梭长总和一校长×12”计算解答。 变成的这个特殊的长方体的长一宽一高一 5.克 数 林 3cm,因此只要原长方体的长减少(5一3)cm 【解析】解答此题的关键是根据图1、图2找出 就可以了。 与“奥”相邻的四个汉字,从而推出它对面的 (3)36 【解析】正方体的校长总和一校长× 汉字,再根据图1、图3找出与“数”相邻的四 个汉字,推出它对面的汉字。由图1、图2可 12,代入公式可以求出正方体的梭长,然后利 知,与“奥”相邻的四个面是:“数”“学”“林” 用正方形的面积公式求出一个面的面积。 2.(1)B【解析】8个小正方体可以摆放成一个 “匹”,因此,“奥”的对面是“克”;由图1、图3 知与“数”相邻的四个汉字分别是“奥”“学” 这个大正方 稍大点的正方体,如图 “克”“林”,可以推出“数”的对面是“匹”,再由 此推出“学”的对面是“林”。 体是由校长为4cm的小正方体摆成的,所以 2.长方体和正方体的表面积 摆成的大正方体的校长最短是4×2一8(cm). 故选B。 第1课时 长方体和正方体的表面积(1) (2)B 1.(1)3 4 5 6【解析】相对面的判断:①两个 (3)C【解析】由于a>b>c,可知正方体的 梭长是c,校长总和是12c。故选C。 面的中间间隔一个面,如图: □,深红 (4)C【解析】把18分解成三个数相乘的形 14 答案详析 色是相对面,浅红色是相对面,白色是相对 4.由展开图可知,这是一个长是5cm,宽是 面。②相邻不相对。(相邻的两个面是不相 4cm,高是7一5-2(cm)的长方体。 对的) (5×4+5×2+4×2)×2-76(cm) (2)()()(×)() 答:这个长方体纸盒的表面积是76cm。 【解析】看一个平面图是否可以折成长方体或 【解析】由展开图可知,长方体的长是5cm 正方体,可以以某个正方形或长方形为底面 宽是4cm,高是7一5一2(cm)。根据“长方体 进行折叠想象,还可以通过动手实践操作进 表面积一(长×宽十长×高十宽×高)×2” 行验证,也可以参照11种正方体表面展开图 代入数据计算解答。 及口诀: 5.C【解析】本题主要考查了几何体的展开图。 2-3-1型(3种)2-2-2型(1种) 1-4-1型(6种) 根据正方体中涂有三角形、圆、正方形的三个 过 面是相邻面,再根据正方体的表面展开图中 过 的规则:①相对的面之间一定相隔一个正方 形;②“Z”字两端是对面。对各选项分析判断 3-3型(1种) 后利用排除法求解。A中三角形与正方形所 在的面是相对面,故错误;B中三角形与圆所 在的面是相对面,故错误;D中三个图形的位 1-4-1型:中间4个一连串,两边各一随便放。 置关系不对,故错误。 2-3-1型:二三紧连错一个,三一相连一随便 2-2-2型:两两相连各挪一。 长方体和正方体的表面积(2) 3-3型:三个两排一对齐。 1.(1)40 【解析】此题可以采用两种方法解答。 2.(1)35 ern 21 cm} 15 cm{ 71 cm ①计算出拼成的新长方体的长、宽、高,依据 【解析】长方体相对的两个面(前后、左右、上 长方体的表面积公式解答。②两个正方体拼 下)完全相同,6个面的面积之和是长方体的 成一个长方体,减少了2个正方形面,也就是 表面积。题图中长方体前面的面积等于长× 新长方体的表面积等于(12一2)个正方形面 高,左面的面积等于宽×高,上面的面积等于 的面积。 长×宽。这三个面的面积之和的2倍即长方 (2)0.6125 【解析】这个正方体玻璃鱼缸是 体的表面积。 无盖的,也就是只有5个面,要求制作这个鱼 (2)36 dm216dm{ 缸需要多少玻璃,就是求这5个面的面积和。 【解析】正方体的每个面都是正方形,且这 (3)2048 【解析】已知收纳箱左右两面是正 6个面是完全相同的,一个面的面积×6三正 方形,且正方形的周长是32cm,可以得到收 方体的表面积 纳箱的宽和高均是(32一4)cm。由此依据长 3.(1)50×20-1000(m}) 方体的表面积公式解答。 答:这个游冰池的占地面积是1000m。 (4)62【解析】从上面看看到的是长方体的 (2)50x20+50×22+20×2X2-1280(m) 长(3dm)和宽(2dm)、再结合长方体的特征 答:一共需要1280m的瓷砖。 可知从侧面看到的图形是长方体的高(5dm 【解析】(1)占地面积一长×宽,50×20一 和宽(2dm),最后结合长方体的表面积公式 1000(m)。 解答。 (2)游冰池只要在四周及底部贴上瓷砖,50× 2.(1B 【解析】取走一个小正方体后露出的面 20+50×2×2+20×2×2-1280(m) 的面积和减少的面的面积正好相等,所以表 15 1|I 小学数学五年级 下册 面积没有变化,故选B。 $.(1)(100×3)×85-25500(cm) (2)AC【解析】假设这个长方体的长、宽、 25500 cm-2.55m 高分别为a、b、c,校长和为l,则/一(a十b十c)× 答:防滑材料面积大约2.55m{}。 4.长、宽、高分别扩大到原来的3倍,则梭长 (2)100×3×20×2+85×20×4+100×20$ 和变为(3a+3+3c)×4-(++c)×4 2-22800(cm) 3-3/,即当长方体的长、宽、高分别扩大到原 22800 cm-2.28 m 来的3倍时,校长和也扩大到原来的3倍。原 答:颁奖台采用“虹韵紫”主题渐变色的表面 来长方体的表面积是S一(ab十ac十bc)×2. 积大约2.28m{。 长、宽、高分别扩大到原来的3倍,则表面积 【解析】(1)运动员站立区实际上就是颁奖台 变为(3a·3b+3a·3c+3b·3c)X2-(ab+ 的上面(灰色面)的面积,然后依照长方形面 ac+bc)×2×9一9S,即当长方体的长、宽、高 积公式解答。(2)“虹韵紫”主题渐变色,实际 分别扩大到原来的3倍时,表面积扩大到原 上是颁奖台侧面的面积,然后依照侧面积的计 算方法解答。注意本题中存在的拼接问题。 来的9倍。所以当长方体的长、宽、高分别扩 #### 大到原来的3倍时,它的梭长总和扩大到原 来的3倍,表面积扩大到原来的9倍。 (3)B【解析】最省包装纸是指用到的包装纸 的面积最小,一般是较大面重叠用的包装纸 共增加4个面,增加的表面积是96cm 少,故我们可以选B。也可以分别求出每个选 (2)96-4X6-144(cm) 项中拼成的大长方体的长、宽、高,并求出表 答:这个正方体木块原来的表面积是144cm 面积,进行比较,最终仍然是B选项的长方体 【解析】掌握正方体切割的特点,明确增加的 的表面积最小,故选B. 表面积是哪些面的面积,熟练记忆和运用正 3.(1)纸袋底面的面积 方体的表面积公式是本题的关键。 (2)2×0.8+2×3×2+0.8×3×2-18.4(dm}) (1)画出把一个大正方体切成三个完全相同 答:制作这个纸袋用了18.4dm的旧包装纸。 的小长方体的示意图,并标注数据。(画法不 【解析】求制作这个纸袋用了多少旧包装纸, 唯一) 就是求这个纸袋的表面积:包含侧面和一个 (2)根据题意,一个正方体被切成3个完全相 下底面。 等的长方体,切了2次,每次增加2个截面,一 4.10×3.5×2+8×3.5×2-126(m) 共增加了4个截面,表面积增加4个截面的面 1.5×1.2×2+1.5×2-6.6(m) 积。先用增加的表面积除以4,求出一个截面 126-6.6-119.4(m*) 的面积,这个截面是正方形,根据正方体的表 119.4-35~4(桶) 面积一一个面的面积×6解答。 378×4-1512(元) 7.1×1-1(cm) 答:对会议室进行粉刷大约要准备1512元。 (6+3+3)×2-24(cm) 【解析】①由题意可知,要对会议室的前、后、 答:乙的表面积是24cm{}。 左、右墙面进行粉刷。通过题图可知,用四面 【解析】由题意可知,每个小正方体每个面的 面积都是1×1三1(cm)。乙从前面、上面和 墙的面积减去两扇窗户和一扇门的面积即为 要粉刷的面积;②再计算需要多少桶的涂料,用 桶数乘单价即可求出预算,据此解答即可。 右面看到的图形分别是 、 16 答案详析 度之和是60一4-15(cm),故D错误;一个长 方体最多有两个面是正方形,最多有8条校相 ,所以它们的面积分别是6cm^{}、3cm} 等正确,故选C. 3cm{}。根据甲的表面积的计算方法可知,乙 (3)D 【解析】本题实际上就是求去掉4个角 的表面积为(6+3+3)×2-24(cm})。 以外的图形的面积。 8.方法一:16-4-4(cm) (4)C【解析】本题考查了长方体切割后的图 4X4×2+4×16×4-288(cm) 形的表面积计算,分成三个大小相等的小正 方法二:16-4-4(cm) 方体,增加4个截面。一个高是24厘米的长 16X16+4X4X2-288(cm) 方体,如果把这个长方体横切成三个大小相 答:这个长方体的表面积是288cm{ 等的小正方体,小正方形的边长为24言3 【解析】从题图中数据可以知道,这个长方体 8(cm),这三个小正方体的表面积总和比原来 有两个面是正方形,即长方体的长一宽。它 长方体的表面积增加了4个面,根据正方形 的高是16cm,而侧面展开图恰好是一个正方 的面积公式:S-a{},即8×8×4-256(cm) 形,结合正方形的性质可以得到长方体的 这三个小正方体的表面积之和比原来长方体 高一4×宽(或高一4×长),由此可以求出长 的表面积增加了256cm^{②}。故选C。 方体的长和宽。已知这个长方体的长、宽、 2.120 cm-1.2m 30 em-0.3m 高,再根据长方体的表面积公式即可求出它 150 cm-1.5m 的表面积。 (1.5×0.3×3+1.2×0.3×2+1.5×1.2)x 第③课时 练习课(第1、2时,在方体和正京琴表面) 2-7.74(m*) 7.74×35-270.9(m) 1.(1)B【解析】直接根据长方体表面积公式 答:做这样的书架,一个班至少需要7.74m}木 (长×宽十长×高十宽×高)×2可以得到C 料,全校35个班共需要270.9m木料。 选项正确;我们仔细阅读条件可知这个长方 【解析】这样的一个简易书架包含左面、右面、 体的宽和高相等,说明这是一个左右两个面 后面、上面的层板以及中间的层板,其中上面 是正方形的长方体,这个长方体的上下、前后 和中间2个层板一样,共3个,其他面各一个 面都是一样的,故可以推出A选项也是正确 据此计算制作一个书架需要的木料,再结合 的,B选项是错误的。本题让我们选择错误的 问题计算出一个班的书架、35个班的书架各 选项,故选B。 自需要的木料,注意统一单位。 (2)C【解析】A选项中校长的单位是dm和 3.(1)30 表面积的单位是m{},它们是两种不同的计 (② 拿走的正方体 剩下的几何体的表面积 量单位,无法比较,故A错误。若原正方体的 1号 28 cm{ 梭长为a,则原正方体的表面积是6a;当原正 { 30 cm{ 方体的梭长扩大到原来的3倍时,即校长变 28 cm{ 为3a时,正方体的表面积变为3a×3a×6 4号 30cm{} 54^{};所以当一个正方体的校长扩大到原来的 5号 32cm{ 3倍时,表面积扩大到原来的9倍,故B错误。 6号 30cm{} D选项中,相交于一个顶点的三条校长和是 7号 一个长方体的长、宽、高三条梭的长度和,而 28. cm{ 8号 长方体的校长总和一(长十宽十高)×4,利用 30 cm 9号 除法可以求出相交于一个顶点的三条校的长 28 cm 17 1| 小学数学五年级 下册 我发现:拿走1、3、7、9号中任意一个正方体 的石头小,哪个杯子里的水就多,由于甲杯中 后,剩下的几何体的表面积都比原来少了2个 石头的体积小,因此甲杯中水的体积就相对 正方形面的面积;拿走2、4、6、8号中任意 较多,C选项正确;长方体橡皮泥捏成正方体 个正方体后,剩下的几何体的表面积都和原 后形状变了,但体积没有变,D选项不正确。 来一样;拿走5号正方体后,剩下的几何体的 故选C。 表面积比原来多了2个正方形面的面积。 (2)A 【解析】乙相当于在甲的基础上拿走 【解析】(1)求若干个正方体拼成的长方体的 一个小正方体,则甲的体积大、乙的体积小; 表面积时有两种不同的方法。第一种方法: 乙露出的面的面积和减少的面的面积正好相 找到新的长方体的长、宽、高,利用长方体表 等,所以表面积没有变化,也就是乙的表面积 面积的计算方法求得;第二种方法:数出新的 和甲的表面积一样大,故选A。 长方体一共有多少个正方形的面,再用每一 4.7 6 10 11 【解析】校长是1cm的正方 个正方形面的面积乘一共的面数。(2)本题 体的体积是1cm},几何体中用了多少个这样 采用表格的方式来探究,会使得思考过程更 的小正方体,它的体积就是多少立方厘米。 为有序,更容易发现其中的规律。在探究的 5.(1)4×3×3-36(个) 过程中,既可以采用(1)题的第二种方法来计 36-14-22(个) 算剩下的不规则儿何体的表面积,也可以思 答:至少需要添加22个小正方体才能把它变 考拿走一个正方体后,表面积有什么变化,从 成一个长方体。 而求出新的几何体的表面积 (2)36×1-36(cm) 3.长方体和正方体的体积 答:新组成的长方体的体积是36cm。 【解析】(1)题图中的立体图形,长边摆了4个 第:课时 体积和体积单位 小正方体,宽边摆了3个小正方体,高边摆了 1.(1)所占空间的大小 立方厘米 立方分来 3个小正方体,也就是说要把它堆成一个长方 立方米 cmdmm(2)dm 1 dm) 体至少需要4×3×3一36(个)小正方体。题 【解析】(1)体积是指物体所占空间的大小,计 图中已经用了14个小正方体,所以至少还需 量体积要用体积单位,常用的体积单位有立 要36一14一22(个)小正方体。(2)根据校长 方厘米、立方分米、立方米,用字母表示是 是1cm的小正方体的体积是1cm,可求由 cm、dm、m。 36个小正方体新组成的长方体的体积。 6.7cm 9cm (2)正方体每个面的面积都是1dm{,可知这个 【解析】根据从上面看可知, 正方体的梭长为1dm,从而得出体积为1dm 这个几何体的底层情况如图1;根据从前面看 2.(1)em(2)m》(3)m} (4)cm 可知,这个几何体的左右两列的第二层上至 【解析】根据实际情况,选择合适的长度单位、 少要有一个正方体;根据从左面看可知,这个 面积单位或体积单位填空。 几何体的前后两行的第二层上都至少要有一 3.(1)C【解析】cm}和cm是两种不同的计 个正方体。综合考虑,即这个几何体至少由7 量单位,它们之间无法比较,A选项错误;两 个小正方体组成(如图2),至多由9个小正方 个正方体的表面积相等说明它们的校长相 体组成(如图3)。则这个几何体的体积最小是 等,校长相等自然形状和大小也一定相同,而 7cm,最大是9cm。 非可能相同,B选项错误;甲、乙两个相同的杯 子均注满水,说明两个空杯子所盛的水的体 图1 图2 积士石头的体积是相同的,所以哪个杯子中 图3 18