精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高一上学期第三次阶段性考试数学试题（普通班）

临澧一中高一第三次阶段考试数学试卷 （满分：150分时间：120分钟）命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为或，所以. 故选：C 2. 在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的取值范围，确定的取值范围，再结合余弦函数的图象可求所给函数的值域. 【详解】因为，所以， 由余弦函数的图象可知：即，故函数的值域为. 故选：C 3. 用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（ ） A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【解析】 【分析】由二分法的定义直接求解即可. 【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C 4. 如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①； ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确. 故选：A. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性排除选项C、D；再由，即可求解. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数，其函数图像关于对称，所以选项C、D错误； 又，所以选项B错误； 故选：A. 6. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 7. 设方程，的根分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得、，分别画出函数的图象，结合图形，根据指、对数互化即可求解. 【详解】由，得， ，得， 分别画出函数的图象，如图所示. 由指数与对数函数的图象知：， 于是，得，所以， 故选：B. 8. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设时刻两点重合，可得出，求出的表达式，然后利用三角函数的定义以及诱导公式判断即可. 【详解】点的初始位置，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，且， ，即，故C正确； 当时，，且， ，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，假命题为（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的增区间为 D. 函数的最小值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】写出存在量词命题的否定可判断A；根据函数的定义域和对应关系可判断B；根据单调区间和定义域的关系可判断C；分析等号成立的条件可判断D. 【详解】对A：命题“，”的否定是“，”，故A项错误； 对B：令，解得，故的定义域为， 令解得，故的定义域为， 又，所以两函数是同一个函数，故B项正确； 对C：令，解得或，所以函数定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，函数是增函数， 所以函数的增区间为，故C项错误； 对D：， 当且仅当时即等号成立，所以等号取不到，故D项错误. 故选：ACD 10. 下列结论中错误的是（ ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，，则 D. 对任意，恒成立 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，B，都是通过取反例排除选项；对于C，通过对已知式平方化简求得，由此判定，则，故排除C；对于D，易得，通过设函数，求导判断其单调性，即可推得，即得结论正确. 【详解】对于A，当时，，而，故A错误； 对于B，若，是第二象限角，是第一象限角，故B错误； 对于C，由两边取平方，， 可得， 因，则，故， 由可得，故C错误； 对于D，因，则，故， 设，则， 即在区间上单调递增，故，即得， 故必有时，恒成立，即D正确. 故选：ABC. 11. 已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 或1 C. 函数为非奇非偶函数 D. 对任意实数，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数单调性定义判断A；取特值计算判断B；结合选项AB分析判断C；利用作差法结合已知推理判断D. 【详解】对于B，令，，得，而，则，B错误； 对于A，当时，，则， 又，则当时，，即对任意，， 任意且，则，得， 则 即，因此是上的增函数，A正确； 对于C，由选项A知，，则为非奇非偶函数，C正确； 对于D，依题意，，同理， 则，又，且， 于是 ，即，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，求的值______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 所以. 故答案为：. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】消元得到，然后分离常数、配凑结合基本不等式即可求解. 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 14. 设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将方程化简成一元二次方程，原方程要有3个不等的实根，需要一元二次方程应该有两个不相等的实根，再数形结合分情况讨论即可求得实数的取值范围. 【详解】令，则，即， 可得， 作出函数的图象如下图所示： 若方程有3个不等的实根， 由图可知方程必有两根，， 当，时，可得，解得，，不合题意； 当，时，需满足， 解得，即. 当，时，可得，解得，，满足题意. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用换元法将原方程转化为方程必有两根的问题，再利用函数与方程的思想由二次函数根的分布情况即可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质可得答案； （2）利用对数的运算性质可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 16. 已知函数. （1）化简； （2）若角终边有一点，且，求的值； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可化简的表达式； （2）利用三角函数的定义可得出关于的等式，即可解得的值； （3）化简函数解析式为，且有，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【小问1详解】 由题意得； 【小问2详解】 由三角函数定义可得，则，解得. 【小问3详解】 因为，所以， ， 因为，所以当时，；.                                            所以的值域为． 17. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 18. 某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. （1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； （2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 【答案】（1） 两个函数模型在上都是增函数，随着的增大，的函数值增加得越来越快， 而的函数值增加得越来越慢， 在该水域中水葫芦生长的速度越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快， 第一个函数模型满足要求， 由题意知，，解得，所以； （2）该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上 【解析】 【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢求解； （2）根据题意，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，解得， 又 故， 该水域中水葫芦生长的面积在7月份是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上. 19. 设函数，，. （1）求函数在上的单调区间； （2）若，，使成立，求实数的取值范围； （3）求证：函数在上仅有一个零点，并求 （表示不超过的最大整数，如，）参考数据：，，. 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是 （2） （3） 由（1）知在上是减函数，又在上是增函数，在上是减函数， 又，， 根据零点存在性定理知在上有唯一零点， 当时，，， ，在上无零点， 综上，在上有且只有一个零点. ，， ， . 【解析】 【分析】（1）利用余弦函数的单调性求函数的单调区间. （2）问题转化成在上的值域为在上的值域的子集，利用集合的包含关系求参数的取值范围. （3）根据函数零点的存在性判定方法求出的取值范围，再求，最后得. 【小问1详解】 因为，所以，由，解得， 由，解得， 所以函数在上的单调减区间是，单调增区间是. 【小问2详解】 若，，使成立， 则在上的值域为在上的值域的子集. 由（1）知，在上单调递减，的值域为， 对于函数，令，， 则，开口向上，对称轴是，， （i）当时，在上单调递减，不符合题意； （ii）当时，在上单调递减，在上单调递增， ，即，解得， 综上，. 所以：的取值范围为：. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：把“，，使成立”转化成“在上的值域为在上的值域的子集”，再根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中高一第三次阶段考试数学试卷 （满分：150分时间：120分钟）命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在上的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（ ） A. 已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B. 已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 4. 如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①； ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设方程，的根分别为，，则（ ） A. B. C. D. 8. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，假命题为（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的增区间为 D. 函数的最小值是2 10. 下列结论中错误的是（ ） A. 若角的终边过点，则 B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，，则 D. 对任意，恒成立 11. 已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 或1 C. 函数为非奇非偶函数 D. 对任意实数，满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，求的值______. 13. 已知，，且，则的最小值为______. 14. 设函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）化简； （2）若角终边有一点，且，求的值； （3）求函数的值域. 17. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 18. 某环保组织自2023年元旦开始监测某水域中水葫芦生长的面积变化情况并测得最初水葫芦的生长面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2023年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.最初测得该水域中水葫芦生长的面积为（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2023年元旦最初测量时间的值为0. （1）请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； （2）该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 19. 设函数，，. （1）求函数在上的单调区间； （2）若，，使成立，求实数的取值范围； （3）求证：函数在上仅有一个零点，并求 （表示不超过的最大整数，如，）参考数据：，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $