精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高三上学期第五次质量检测数学试题

重庆市高2025届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设全集，集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合和并集定义可判断各选项正误. 【详解】因为 所以即，即表示全体奇数构成的集合. 对于AD选项，集合中的元素分别是由4的偶数倍和奇数倍的数组成，故AD错误； 对于BC选项，集合B中的元素是由全体偶数减1对应的数组成，即集合B中的元素是由全体奇数组成， C中的元素是由4的倍数减1对应的数组成，为部分奇数，故B正确，C错误. 故选：B 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法，及复数几何意义可得答案. 【详解】由题，则在复平面对应坐标为， 在第四象限. 故选：D 3. 如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图及空间向量加减法可得答案. 【详解】由图可得： . 故选：C 4. 已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，必有一组应取2人，其余组别各取1人，运用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】由题意，要求每个大组至少有1名同学参加，即在4个大组中，必有一个大组有2名同学参加活动，其余组别各有1个同学. 运用分步乘法计数原理解决：先从4个大组中抽取一个有2名同学参加的组，有种， 再从另外三个大组中分别各取1名同学，有种， 最后确定有2个同学参加的组的人选，有种. 由分步乘法计数原理，抽取结果共有个． 故选：C. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数的换底公式，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 又因为，所以， 则，当且仅当时取等， ． 故选：B. 6. 已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性以及周期性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据可得可得对称，故B错误， 由可得为周期函数，且周期为4， 对于A，无法确定，故A错误， 对于C，．C正确， 对于D，由于关于对称且周期为4，故， 无法确定和的关系，因此无法确定是函数的对称轴，故D错误， 故选：C 7. 在锐角中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 8. 在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由内切球切点的截面性质，确定内切圆的圆心与半径，从而结合勾股定理得四棱台的高度，再由外接球几何性质建立关系得外接球的半径，从而得所求. 【详解】因为正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形的内切圆，圆心为， 设上下底面的中心分别为． 过作于，连接， 由图可知， 则， 过作于，， 即四棱台的高为， 设外接球球心为，设外接球的半径为， 则 ， 解得， 则外接球表面积为． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关于正四棱台的内切球问题，关键是要通过截面法确定内切圆的圆心与半径，从而转换为几何体的内切球，由几何性质确定正四棱台的高度，从而再根据外接球的性质求解外接球半径，即可得所求。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最小值 D. 在上有两个极值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对称可得，即可得，根据周期的计算公式求解A，代入即可求解B，根据整体法即可求解CD. 【详解】，即， 而，故．故， 对于选项A：最小正周期，正确． 对于选项B：时，为的对称中心，正确． 对于选项C：时，，无最小值，错误． 对于选项D：时，，结合的图象可知，有两个极值点，正确． 故选：ABD 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，即可根据等差的求和公式判定啊ABC，根据，即可求解D. 【详解】由可知． 对于选项A：由为负，为正可知，最小，A正确． 对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误． 对于选项D：由为负，为正，且为负，为正可知： 为负．考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 11. 在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. D. 平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 【答案】AC 【解析】 【分析】取中点，先判断四边形为平行四边形，然后利用线面平行的判定得平面，从而利用线面平行知点面距离为定值，进而三棱锥的体积不变判断A，连接，利用三角形知识知高线距离最短，利用余弦定理及勾股定理求解的高即可判断B，利用面面平行的性质得，作，利用求解，即可判断C，利用基本事实作出截面，利用体积分割法求出的体积，结合正方体的体积求出另外一部分的体积，即可判断D. 【详解】对于选项A：取中点，因为为侧面的中心， 所以，且，又，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，即平面，即平面， 则点到平面的距离恒为直线到平面的距离， 而，则三棱锥的体积不变，正确； 对于选项B：连接，则， , 作出平面三角形可知时，取得最小值， 此时由余弦定理得， 所以， 所以，不正确； 对于选项C：由平面平面， 而平面与两个平面分别交于，则. 作，则，则，所以， 所以，正确； 对于选项D：连接延长至与交于，连接， 由选项C知，则截面为，记几何体的体积为， 则， 则另一部分的体积，则，不正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量满足：，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，再利用夹角公式求解即可. 【详解】. ， ，解得， 故． 故答案为：. 13. 若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】对两边求导，再令可得答案. 【详解】对两边同时求导可得： ， 再令可得：． 故答案为： 14. 已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分析给定条件的几何关系，求出的轨迹方程，再利用圆的性质求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得，而为中点，则， ，于是，设， 因此，整理得， 即点在以为圆心，半径为的圆上，则， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：分析题设信息，求出点的轨迹是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线与直线平行，其中. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）利用导数知识可判断在区间上的单调性，据此可得在区间上的最值. 【小问1详解】 由题可得：， 则，故； 【小问2详解】 ， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 则. 故的最大值为，最小值为． 16. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. （1）估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; （2）以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算均值即可； （2）根据二项分布可得，再根据二项分布求解概率分布列与期望即可. 【小问1详解】 ， 故均值为29． 【小问2详解】 设1次试验中正确识别图像数量不少于20个的概率为， 则，则， ； ， 列的分布列如下： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 17. 在空间几何体中，底面是边长为2的菱形，其中. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 取中点，连接， 在中，， ， 且，∴四边形为平行四边形， ， 又四边形为菱形，， ， 在中，， ， 又平面，， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， 四边形为菱形，，， 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量， ， ，令，则 设平面的法向量， ， ，令，则 记二面角的平面角为， ， 二面角的正弦值为． 18. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）（i）由与轴是否垂直两种情况讨论求解即可；（ii）求得两点坐标，结合即可求解； 【小问1详解】 由， 解得，故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 （i）①当与轴垂直时，，解得． ②当与轴不垂直时，设． 设与联立可得：， 且有，故， 且． 将与联立可得：． ， 而，故． 综上所述，． （ii）由与圆相切可知：． 设直线为，与联立解得． 由（1）可知，则． 而． 消去可得：， 故． 19. 集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”. （1）若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）; （2）若数列满足：. （i）证明：数列为等比数列，并求出; （ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的概念与“相关”的概念求解即可； （2）（i）根据等比数列的定义证明，结合等比数列通项公式求解即可得；（ii）当时，不是9的倍数，当时，只需为整数，分情况说明即可得满足条件集合. 【小问1详解】 ，（满足要求即可） 【小问2详解】 （ⅰ）． 是以6为首项，2为公比的等比数列， 即． 两边同除以，有．而． 因此是以为首项，为公比的等比数列，则． （ⅱ）当时，不是9的倍数 当时， 故只需为整数． ①时，，不是整数． ②时，，不是整数． ③时，． 而． 当为偶数，，即． 此时． 当为奇数，． 综上，满足条件集合是的子集． 【点睛】关键点点睛：数列新定义，弄清题意新定义的含义，结合所学内容，分析问题与解决问题，以及要有较强的运算求解能力和转化与化归的思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市高2025届高三第五次质量检测 数学试题 命审单位：重庆南开中学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设全集，集合（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，则用表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某班级将学生分为4个不同的大组，每个大组均有14名学生，现从这个班级里抽取5名学生参加年级活动，要求每个大组至少有1名同学参加，则不同的抽取结果共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 100 6. 已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象关于直线对称 7. 在锐角中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱台中，，且正四棱台存在内切球，则此正四棱台外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最小值 D. 在上有两个极值点 10. 设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 满足的最小值是14 C. 满足的最大值是14 D. 数列的最小项为第8项 11. 在棱长为4的正方体中，为棱中点，为侧面的中心，为线段（含端点）上一动点，平面交于，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. D. 平面将正方体分成两部分，这两部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量满足：，且，则_____. 13. 若，则_____. 14. 已知点，点为圆上的动点，且.记线段中点为，则的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线与直线平行，其中. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 某科技公司研发了一种新型的AI模型，用于图像识别任务.为了测试该模型的性能，对其进行了500次试验，并记录了每次试验中模型正确识别图像的数量，得到如下的样本数据频率分布直方图. （1）估计这500次试验中该AI模型正确识别图像数量的均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）; （2）以频率估计概率，随机对该模型进行3次试验，用表示这3次试验中正确识别图像数量不少于20个的次数，求的分布列和数学期望. 17. 在空间几何体中，底面是边长为2的菱形，其中. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）设直线与双曲线、圆相切，切点分别为，与渐近线相交于.两点. （i）证明：为定值； （ii）若，求直线的方程. 19. 集合为集合的子集，若数列满足：恒为的倍数，则称与“相关”. （1）若，请写出一个不同于数列且首项为1的等差数列，使得与“相关”.（无需证明）; （2）若数列满足：. （i）证明：数列为等比数列，并求出; （ii）若与"相关"，求所有满足条件的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $