精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期1月期末模拟数学试题

新蔡县第一高级中学高一2025年1月份期末模拟数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 2. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 3 3. 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 4. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 近年来，某市积极响应国家号召，大力推行全民健身运动.为了解该市市民一周的体育锻炼情况，从本市市民中随机抽取了500名进行在线调查，收集了他们每周参加体育锻炼时间（单位：小时）的数据，并将样本数据分成，，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. a的值为0.05 B. 样本中每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数不超过260人 C. 估计样本中市民每周体育锻炼的众数为9小时 D. 估计该市市民每周体育锻炼时间的第70百分位数为11小时 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. “”是“”的一个必要不充分条件 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为__________． 13. 的值为__________. 14. 设函数存在最小值，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数，中位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差. 18. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 19. 定义，中元素称为奇函数；，中元素称为奇函数；，中元素称为双偶函数.例如：，， （1）在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并说明理由； （2）若所有项系数均为正数的多项式函数，满足，且，则可以找到关于的多项式函数，使得当，时，，且等号当时取到，求这样的； （3）证明：对任何函数，均可得到如下分解：，其中为奇函数，为奇函数，为双偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学高一2025年1月份期末模拟数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知命题：，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为存在量词命题的否定为， 所以命题的否定为，． 2. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式.在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取“）， ，此时. ， ，当且仅当时取得，满足题意. 的最大值为1. 故选：B. 3. 已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义，结合直接求解. 【详解】因为为奇函数， 所以， 令，得，所以. 故选：A. 4. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 5. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案. 【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AB； 根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除C. 故选：D 6. 若，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数和对数函数性质即可求解判断. 【详解】因为在为增函数， 所以，即； 又为增函数，所以， 所以. 故选：D. 7. 已知曲线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据含绝对值的函数、基本初等函数的性质作出相关函数的图象再观察函数图象并利用数形结合思想得到参数的取值范围． 【详解】的图象是以为端点的两条射线． 当时，曲线与曲线恰有两个公共点，，如图1． 当时，曲线与曲线的公共点就是曲线与曲线的交点与，如图2． 当时，曲线与曲线只有一个公共点，如图3． 当时，曲线与曲线无公共点，如图4． 综上，的取值范围为． 故选：C. 8. 已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由，可得， 即，. 因为是定义在上的减函数，所以也是定义在上的减函数， 故，即. 因为，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 近年来，某市积极响应国家号召，大力推行全民健身运动.为了解该市市民一周的体育锻炼情况，从本市市民中随机抽取了500名进行在线调查，收集了他们每周参加体育锻炼时间（单位：小时）的数据，并将样本数据分成，，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. a的值为0.05 B. 样本中每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数不超过260人 C. 估计样本中市民每周体育锻炼的众数为9小时 D. 估计该市市民每周体育锻炼时间的第70百分位数为11小时 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助频率分布直方图结合频率之和为即可得；对B：借助频率分布直方图计算即可得；对C：借助众数定义即可得；对D：借助百分位数定义计算即可得. 【详解】对A：由频率分布直方图得， 解得，故A正确； 对B：每周体育锻炼时间低于10小时的市民人数约为： ，故B错误； 对C：第5组频率最大，故众数为（小时），故C正确； 对D：前5组频率之和为， 前6组频率之和为，故第70百分位数在第6组， 又第6组频率为0.2，故第70百分位数为该组的组中值11（小时），故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由古典概率知识可判断选项正误； 对于B，由百分位数概念可判断选项正误； 对于C，由极差，方差性质可判断正误； 对于D，由题求得，即可判断选项正误. 【详解】对于A，从50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是，故A正确； 对于B，对10个数据从小到大排序为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30. 又，则第70百分位数为第7个数据和第8个数据的平均数， 即为，故B错误； 对于C，数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为，，故C正确； 对于D，注意到，且事件互斥， 则，则A、为互斥事件，故D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：“”的否定是“” B. “”是“”的一个必要不充分条件 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断A,根据充分条件、必要条件的定义判断B，根据抽象函数的定义域求法判断D，根据指数函数的性质判断D. 【详解】对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确； 对于B：由推得出，所以“”是“”的必要条件； 而由可得或，所以“”不是“”的充分条件； 所以“”是“”的一个必要不充分条件，故B正确； 对于C：因为函数的定义域为， 对于函数，令，解得，所以函数的定义域为，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以函数的值域为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，由图象可得二次函数解析式，从而可得年平均利润与营运年数的关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据图象，设．代入点，解得． ∴． 因此，年平均利润． ∵，∴，当且仅当，即时，等号成立． 故要使平均利润最大，则客车营运年数为5． 故答案为：5 13. 的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 设函数存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分四种情况，结合二次函数的性质讨论即可． 【详解】①当时，， 当时，单调递增，且， 当时，， 因此不存在最小值； ②当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 而，故函数存在最小值； ④当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 因为， 所以，因此不存在最小值． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合，写出时的集合，直接求解即可. （2）将是的充分不必要条件转化为两集合的包含关系，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由得， 解得，即，或， 当时，，或， 所以，或， 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 由（1）知：， 所以且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）， （2）函数在区间上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合，列方程求解即可； （2）先得函数的解析式，再根据单调性的定义证明即可； （3）根据函数的奇偶性化简不等式，再利用单调性求解即可. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数， 可知，即，则. 由，解得， 则满足题意，故，； 【小问2详解】 由（1）可得，此时为奇函数，满足题意. 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以， 所以，即， 因此函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数， 则由，得， 即， 又函数是定义在区间上的单调递增函数， 所以，解得. 则关于的不等式的解集为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数，中位数； （2）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差.（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为.则总体样本方差. 【答案】（1）；第75百分位数为84，中位数为75. （2）总平均数为；总方差为 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；由频率分布直方图求百分位数的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以， 解得. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m，则， 由，得，所以样本成绩的第75百分位数为84. 成绩落在[40,70)内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在[70,80)内，由，所以样本成绩的中位数为75. 【小问2详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为： . 18. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 即； 【小问2详解】 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 19. 定义，中元素称为奇函数；，中元素称为奇函数；，中元素称为双偶函数.例如：，， （1）在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并说明理由； （2）若所有项系数均为正数的多项式函数，满足，且，则可以找到关于的多项式函数，使得当，时，，且等号当时取到，求这样的； （3）证明：对任何函数，均可得到如下分解：，其中为奇函数，为奇函数，为双偶函数. 【答案】（1）真包含于；理由如下： 根据题意知，集合中的元素满足 集合中的元素满足 所以集合中的元素同时满足和 即，代入得 即中的元素满足集合中元素的条件； 又，而，， 所以真包含于. （2） （3） 令， ， ， 则， ， ， 所以，，， 且. 【解析】 【分析】（1）根据题中的定义，求解集合中元素满足的等式，再与集合中元素满足的等式相比较即可得出答案； （2）根据函数的定义写出满足条件的的解析式，再根据其最小值分析得出； （3）根据各函数的定义推导函数关系式可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，， 则， （其中，，且，）， 取，则 因为， 所以，且当时， ， . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于理解新概念并将概念应用于题目中，借助题中所给抽象函数函数关系，合理推导得出所求结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $