专项训练：一次函数 2024-2025学年鲁教版（五四制）（2012）七年级数学上册

专项训练：一次函数 一、单选题 1．直线经过点，当时，y的最大值为5，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或2 2．已知齿轮每分钟转转，如果用（转）表示转数，（分）表示转动的时间，那么用表示的关系式为（    ）． A． B． C． D． 3．变量与之间满足关系式，当自变量时，因变量（    ） A． B． C． D． 4．已知一次函数，当变化时，随的增大而减小，则常数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的一次函数为，下列说法中错误的是（    ） A．函数图像与轴交于点 B．若，则函数图像经过第一、三、四象限 C．若函数图像经过原点，则 D．无论为何实数，函数图像总经过 二、填空题 6．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，请用“＞”表示a，b，c的不等关系是 ． 7．点在直线上，则的值为 ． 8．如图，已知直线l：y＝x，点A1（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1B1为边，向右侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边，向右侧作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；以A3B3为边，向右侧作正方形A3B3C3A4，延长A4C3交直线l于点B4；…；按照这个规律继续作下去，点Bn的横坐标为 ．（结果用含正整数n的代数式表示） 9．已知一个圆的半径是，若这个圆的半径增加，它的面积就增加，则与之间的关系式为 ． 10．已知直线与的交点为，则点在第 象限． 三、解答题 11．我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了距离地面的高度与所在位置的温度之间的大致关系． 距离地面的高度（千米） 0 1 2 3 4 5 所在位置的温度（C） 20 14 8 2 （1）上表中哪个是自变量？ （2）由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低______℃； （3）2018年5月14日，四川航空3U8633航班执行重庆—拉萨航班任务，飞行途中，在距离地面9800米的高空，驾驶舱右侧挡风玻璃突然破裂，2名飞行员在超低压、超低温的紧急情况下，冷静应对，最终飞机成功降落，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出飞机发生事故时所在高空的温度（假设当时所在位置的地面温度为20℃）． 12．某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 方式二 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费元，当主叫计时不超过分钟不再额外收费，超过分钟时，超过部分每分钟加收元（不足分钟按分钟计算）． （1）请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间分钟 月主叫时间分钟 方式一收费/元 ______________ 方式二收费/元 _______________ （2）设某月主叫时间为 (分钟)，方式一、方式二两种计费方式的费用分别为(元)， (元)，分别写出两种计费方式中主叫时间 (分钟)与费用为(元)， (元)的函数关系式； （3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 13．某公司安排一辆货车从公司运送原材料到甲地，货车全程以每小时35千米的速度匀速行驶，货车行驶10千米后，经理开轿车沿同一路线匀速驶向甲地，经理到达甲地处理完公务后立即原路匀速返回公司．货车、轿车离甲地的距离s（千米）与经理出发时间（t小时）之间的函数关系如图所示： (1)该公司与甲地之间的距离是 千米，经理在甲地处理公务的时间是 小时，经理与货车第二次相遇时   小时． (2)以经理从公司出发算起，经理在返回途中何时与货车相距20千米？ 14．杆秤是我国传统的计重工具，如图是某兴趣小组利用物理学中的杠杆原理制作的简易杆秤．称重时，秤钩所挂重物为（单位：）时，秤砣到秤纽的水平距离为（单位：），且是的一次函数．下表是兴趣小组记录的四组数据： 组数 (1)求与的函数表达式； (2)若该杆秤称重的重量为，求称砣到秤纽的水平距离的范围． 15．2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． (1)求每个排球的标价是多少元． (2)当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． (3)请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． (4)根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B D B B A 1．B 【分析】分及两种情况考虑，当时，直线经过点，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出的值；当时，直线经过点，根据点的坐标，利用待定系数法，可求出的值，综上所述，即可得出结论． 【详解】解：当时，直线经过点， 将，代入得：， 解得：， 的值为； 当时，直线经过点， 将，代入得：， 解得：， 的值为． 综上所述，的值为． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，分及两种情况，利用待定系数法求出值是解题的关键． 2．D 【详解】t表示转动的时间，那么在t分钟内齿轮转动的转数为：100t 即n=100t. 故选D. 3．B 【分析】把代入函数关系式即可求出答案． 【详解】解：当时，， 故选：． 【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入求出因变量的值即可，准确计算是解答本题的关键． 4．B 【分析】此题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性即在 中，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小即可求解． 【详解】解：依题意得， 解得：， 故选：B． 5．A 【分析】令，即可求得函数图象与轴交于点，即可判断，根据二次函数的性质即可判断B；把代入即可判断C；把代入解析式求得，即可判断D． 【详解】解：A．当时，， 函数图象与轴交于点，故说法错误，符合题意； B．，， 函数图象经过第一、三、四象限，故说法正确，不符合题意； C．函数图象经过原点，， ，故说法正确，不符合题意； D．，时，， 函数的图象总经过，故说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 6．b＞a＞c． 【分析】根据正比例函数的性质，可以判断a、b、c的大小关系，然后即可用“>”表示a，b，c的不等关系． 【详解】解：由图象可得， c＜0，b＞a＞0， ∴b＞a＞c， 故答案为：b＞a＞c． 【点睛】本题考查正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 7． 【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点，解决问题的关键是理解一次函数图象上的点满足一次函数的表达式，满足一次函数表达式的点都在一次函数的图象上．再将点代入之中即可得出答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故答案为：． 8．． 【分析】先分别求出A1、B1的坐标，然后根据正方形的性质即可求出A2、B2的坐标，同理求出A3、B3的坐标，A4、B4的坐标，找出两点坐标变化规律，总结公式即可得出结论． 【详解】解：∵A1（2，0），将x=2代入y＝x中，解得y=1 ∴B1（2，1）=（，）， ∴A1 B1=1 由正方形的性质，可求A2（3，0）， 原理同上即可求出B2（3，）=（，）， ∴A2 B2= 由正方形的性质，可A3（，0）， 原理同上即可求出B3（，）=（，）， 同理可知：A4（，0），B4（，）=（，）， …… 所以An（，0），Bn（，）， ∴点Bn的横坐标为， 故答案为． 【点睛】此题考查的是探索点在坐标规律，掌握利用一次函数求点的坐标、正方形的性质和找出坐标变化规律并归纳公式是解决此题的关键． 9． 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据增加的面积增加后的面积原来的面积建立等式即可．掌握圆的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意，得： ， ∴与之间的关系式为． 故答案为：． 10．一 【分析】把代入解析式中，求出a，代入y=−x+b求出b的值即可判断. 【详解】∵直线与的交点为， ∴把代入解析式中得：， ∴交点为， ∴， ∴， ∴点在第一象限； 故答案是：一． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象性质和判定点所在的象限，准确计算是解题的关键． 11．（1）距离地面的高度；（2）6；（3）-38.8℃ 【分析】（1）根据“距离地面越高，温度越低”可得结果； （2）根据表格，探究规律后即可解决问题； （3）用x表示距离地面的高度，用y表示温度，得出y与x的之间的关系式，再求出x=9.8时的函数值即可； 【详解】解：（1）根据题意可得上表中“距离地面的高度”是自变量； （2）由表可知，距离地面高度每上升1千米，温度降低6摄氏度． 故答案为6； （3）设x表示距离地面的高度，y表示温度，y=kx+b， 将（0，20），（1，14）代入得：， 解得：， ∴y和x的关系式为：y=20-6x， 令x=9.8，代入， y=-38.8， ∴飞机发生事故时所在高空的温度为-38.8℃． 【点睛】本题考查函数的表示方法、常量与变量等知识，解题的关键是理解题意，学会利用表格中信息解决问题，属于中考常考题型． 12．（1），；（2），；（3）当时方式一省钱；当时，方式二省钱，当时；方式一省钱，当为分钟、分钟时，两种方式费用相同 【分析】（1）按照表格中的收费方式计算即可； （2）根据表格中的收费方式，对t进行分段列出函数关系式； （3）根据t的取值范围，列出不等式解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：月主叫时间分钟时，方式一收费为元；月主叫时间分钟时，方式二收费为元； 故答案为：；． （2）由题意可得： (元)的函数关系式为： (元)的函数关系式为： （3）①当时方式一更省钱； ②当时，若两种方式费用相同，则当． 解得: 即当 ,两种方式费用相同， 当时方式一省钱 当时，方式二省钱； ③当时，若两种方式费用相同，则当， 解得: 即当，两种方式费用相同，当时方式二省钱， 当时，方式一省钱； 综上所述，当时方式一省钱；当时，方式二省钱，当时，方式一省钱，当为分钟、分钟时，两种方式费用相同． 【点睛】本题考查了一次函数中方案选择问题，解题的关键是表达出不同收费方式的函数关系式，再利用不等式的知识对不同时间内进行讨论． 13．(1)，， (2)第小时或小时 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，一元一次方程在行程问题中的应用； （1）根据图象即可求解； （2）①经理返途中与货车相遇前，等量关系式：千米从经理出发时间算起所行驶的路程经理从甲地回来时行驶的路程千米千米，列方程，即可求解；②经理返途中与货车相遇后，同理可求； 理解横纵坐标的实际意义，找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象得 该公司与甲地之间的距离是千米， 经理在甲地处理公务的时间是(小时)， 经理与货车第二次相遇时(小时)， 故答案：，，； （2）解：设以经理从公司出发算起，经理在返回途中第小时与货车相距20千米， ①经理返途中与货车相遇前， ， 解得：， ②经理返途中与货车相遇后， ， 解得：； 答：以经理从公司出发算起，经理在返回途中第小时或小时与货车相距20千米． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法即可求得一次函数的函数解析式，一次函数的性质与应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得一次函数的函数解析式． （2）根据，得随的增大而增大，当时，的最小值为，当时，的最大值为，即可得出称砣到秤纽的水平距离的范围． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将和分别代入上式， 可得：， 解得：， 与的函数表达式为． （2）， 随的增大而增大， 当时，的最小值为， 当时，的最大值为， 秤砣到秤纽的水平距离的范围为：． 15．(1)元 (2)； (3)点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元 (4)当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系 （1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）根据（2）的结论列方程解答即可； （4）根据（3）的结论结合图象解答即可； 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【详解】（1）解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； （2）当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 故答案为：；； （3）由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 此时， ∴点的坐标为， ∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元； （4）观察图象可知： 当或时，在、两家商店所付的钱数相同； 当时，选择商店更合算； 当时，选择商店更合算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$