精品解析：河南省新乡市第十一中学2024-2025学年高一上学期阶段性测试12月份数学试题

新乡十一中高一年级2024——2025学年上学期阶段性测试 12月份数学试题 2024.12.28 一、单选题 1. 已知集合，则的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集的定义得，即可求得元素个数. 【详解】依题意可得，则的元素的个数为2. 故选：B. 2. “，为偶函数”的否定是（ ） A. ，为奇函数 B. ，不是偶函数 C. ，为奇函数 D. ，不是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接写出结果. 【详解】“，为偶函数”的否定是“，不是偶函数”. 故选：B 3. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】找到给定角终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，又的终边在第三象限， 所以角的终边在第三象限． 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的性质求对数复合函数的定义域. 【详解】由题意，解得或， 故函数的定义域为． 故选：D 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解. 【详解】因为，等价于即，解得， 所以是的充要条件. 故选：C. 6. 下列可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象特征先根据定义域排除A,B,再根据特殊值排除D即可得出选项. 【详解】函数定义域R，排除选项A,B， 当时，，排除选项D. 故选：C. 7. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的女生多于历史方向的男生. 故选：C. 8. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 二、多选题 9. 下列函数中有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可. 【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确； 对于B，时，，所以有零点，故B正确； 对于C，时，，所以有零点，故C正确； 对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由条件可知，，再根据不等式的性质，函数性质，以及作差法判断选项. 【详解】因为，所以，又，则，所以，A正确； 因为，所以，所以，则，B正确； 因为，所以，C错误； 因为，在单调递增，所以，D错误． 故选：AB． 11. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意采用赋值法可推得函数的周期为2，继而推出其对称轴，当时，，根据的图像和的图像恰有三个交点，画出图像，数形结合，根据，且，求得实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，满足， 所以为以为周期的周期函数， 当时，， 函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分， 因为，所以，则， 作出函数的图像，如图所示， 要使函数的图像和的图像恰好有三个交点， 则有 ，即，解得， 即实数a的取值范围是，选项中BC符合. 故选：BC. 三、填空题 12. 若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得不等式解集不是，故，可求k的取值范围. 【详解】由题意可知，，解得，故k的取值范围为． 故答案为：. 13. 计算：_______________ 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是________， 【答案】 【解析】 【分析】作出在的图象，通过分析的位置可确定何时有最小值，从而确定的范围. 【详解】由指数函数和二次函数图象可得在上的图象如下图所示， 显然当时，，此时有最小值； 当时，，没有最小值， 实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15. 计算下列各式值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数计算公式化简可得值； （2）根据对数运算公式化简可得值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）将问题转化为,即可对讨论是否为空集，列不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，则故或， 又， 故 【小问2详解】 由于“”是“”的充分不必要条件， 所以, 当为空集时，则，解得， 当不为空集时，则或，解得， 综上可得 17. （1）； （2）； （3）若，且，则最小值. 【答案】（1）；（2）7；（3）4. 【解析】 【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质化简即可； （2）利用对数运算法则及对数恒等式即可化简求值； （3）利用常值代换法将所求表达式乘“1”，化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）若，且， 则， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4. 18. 若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）求证：奇函数； （2）求在上的最小值； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值，即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 小问1详解】 证明：因为函数的定义域为， 令，则，解得. 令，则，则， 所以，函数为奇函数. 【小问2详解】 解：任取，则， 因为当时，，则， 由（1）知，， 即，所以，函数在上单调递减， 所以，函数在上的最小值为， 因，， ，所以，， 即函数在上的最小值为. 【小问3详解】 解：由（1）知，， 所以，， 因为函数在上单调递减，则，即， 解得，即不等式的解集为. 19. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在区间 上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可. （3）根据的奇偶性与单调性得到在区间的单调性，从而求出函数的最值. 【小问1详解】 为奇函数. 证明：由已知，函数的定义域为． 则，都有， 且， 所以函数为奇函数． 【小问2详解】 任取，且，则， 那么， 因为， 所以，，， 所以， 所以， 所以在上是增函数． 【小问3详解】 因为为奇函数，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即， 当时，取得最大值，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡十一中高一年级2024——2025学年上学期阶段性测试 12月份数学试题 2024.12.28 一、单选题 1. 已知集合，则的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. “，为偶函数”的否定是（ ） A. ，为奇函数 B. ，不偶函数 C. ，为奇函数 D. ，不是偶函数 3. 角的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 下列可能是函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 8. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数中有零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围为______． 13. 计算：_______________ 14. 若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是________， 四、解答题 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16 已知，集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）； （2）； （3）若，且，则最小值 18. 若定义在上的函数对任意实数、恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）求在上的最小值； （3）解关于不等式：. 19. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）证明在区间 上是增函数； （3）求函数在区间上的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $