专练02 不等式性质与基本不等式-2025年寒假高一数学核心考点专练（人教A版2019）

专题02 不等式性质与基本不等式 黄慧群高中数学辅导资料 专题02 不等式性质与基本不等式 一、核心知识： （一）等式性质与不等式性质 1.等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2.不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 （二）基本不等式 1.重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2.基本不等式：，当且仅当时取等号．其中，叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 二、热门考点： 考点一：不等式性质 经典例题： 1．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以，则有，AD选项正确，B选项错误；与的大小不确定，C选项不恒成立.故选：AD 2．已知，，，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 【答案】C 【分析】先判断出，排除BD，再根据和判断即可. 【详解】因为、，故，排除BD；因为，所以，，又，所以，故A错误，C正确.故选：C 3．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，即，故B正确； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：BCD. 4.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，当时，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，则，所以，故C错误； 对于D，若，，则，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 强化训练： 1．若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为实数a，b满足，所以，所以，故选项A错误； 当时，满足，但是，不满足，故选项B错误； 当时，满足，但是，不满足，故选项C错误； ，即，故选项D正确. 故选：D 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，，因为，故，故，故，故C错误； 对D，，因为，故，故，即，故D正确. 故选：D 3．若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，故A正确；若，故B错误； 若，故C错误；若，故D错误. 故选：A 4．关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对A：当时，有，故A错误； 对B：如果，那么，故B正确； 对C：当时，有，故C错误； 对D：如果，则，故，即，故D错误. 故选：B. 5．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 【答案】D 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：当，，，时满足，，但是，故C错误 对于D：因为，所以，当时取等号，故D正确． 故选：D． 6．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误， 对于B，当时，无意义，故B错误， 对于C，若且，则，，故C正确， 对于D，令，则，，显然，故D错误， 故选：C 7．若实数a，b，c满足且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，，再利用不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出答案. 【详解】由，可得，， 对于选项A：因为，可得，故选项A不正确； 对于选项B：因为，可得，故选项B不正确； 对于选项C：因为，当时，；故选项C不正确； 对于选项D：因为，所以，所以，故选项D正确； 故选：D. 8．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．， D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】C 【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误； 对B：例如：，，但不成立，故B错误； 对C：，，所以，故C正确； 对D：或，所以“”是“"的必要不充分条件，故D错误. 故选：C 9．下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由题意结合作差法逐一判断每一选项即可，特别的对于C，令即可判断. 【详解】对于AC，若，则，故AC错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于D，若，则，即，故D正确. 故选：D. 10．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，由不等式的性质可知：，，故A正确；D错误；可知，则，即，故B错误；可知，可得，故C正确；故选：AC. 11．（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对A, ，，由不等式性质易知 ，故A正确； 对B, ，,则，故B正确； 对C, ，，由不等式性质易知，故C错误； 对D, 若，则, 故D正确. 故选：ABD. 12．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对A，成立，但不成立，故A错误； 对B，，而（a,b不同时为零），所以，即，故B正确； 对C, 由均值不等式可得，故不成立，故C错误； 对D, ，，，即，故D正确. 故选：BD 考点二：基本不等式 经典例题： 1.若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【详解】因为正实数，满足，则有：对A，因为，当且仅当时，等号成立，A正确；对B，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值4，B正确；对C，因为，当且仅当时，等号成立，C错误；对D，因为，当且仅当时，等号成立，所以，D正确；故选：C. 2．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为： 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【详解】正实数满足，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值.故选：C 4.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．25 B．36 C．42 D．56 【答案】B 【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为36.故选：B. 5．若正数，满足，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】由，得，得，则，所以，得，得，当且仅当时取等号，所以的最小值是.故答案为1. 6．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】B 【详解】，则有，可得，即4，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为4.故选：B 强化训练： 1.当时，的最小值为 ． 【答案】 【详解】由于，所以，所以， 当且仅当时等号成立.故答案为： 2.已知，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【详解】由题意知，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4，故选：C 3.若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为6，故选：C 4.已知，则最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以，当且仅当时取等号，取得最小值，故选:B. 5.已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，，，则 ，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：. 6．若正数x，y满足x＋3y-5xy=0，则3x＋4y的最小值是（ ） A． B． C．6 D．5 【答案】D分析：：∵x＋3y-5xy=0，x＞0，y＞0 ∴,∴3x+4y=（3x+4y）（）= ,当且仅当即x=2y=1时取等号 7．已知，，且，则的最小值为______． 【答案】6 【详解】因为，故可得：，即， 解得：或.因为，故（当且仅当时取得最小值），故答案为. 8.若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，当且仅当时等号成立，所以，时左侧等号成立，时右侧等号成立，故A错，B对；由，当且仅当时等号成立，所以，C错；当时满足，此时，D错.故选：B 9.(多选)已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值4 【答案】ABD 【详解】由，对于A中，由，可得，可得，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以A正确；对于B中，由，因为有最大值，所以，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以B正确；对于C中，由，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以C不正确；对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以D正确；故选：ABD. 10．（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 【答案】BC 【详解】由已知，，所以，当且仅当时，等号成立，B正确；，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：BC 11．（多选）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，，得，即，当且仅当时取等号，A错误；显然，解得，当且仅当时取等号，B正确；由选项A知，，当且仅当时取等号，C正确；，当且仅当时取等号，D正确.故选：BCD 培优题组： 1.已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故答案为：. 2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】设，则且，解得.所以，因为，所以，，当时取等号，即且，解得.故选：B. 3．设均为正实数，且，则的最小值为（ ） A．8 B．16 C．9 D．6 【答案】A 【详解】因为均为正实数，所以，当且仅当，即时取等号.因此的最小值为.故选：A. 4．若正数满足，则的最小值是___________. 【答案】 【详解】由，可得.又，所以(当且仅当时等号成立).故答案为： 5．已知实数 a > 0 ，b > 0，且满足 ab − a − 2b − 2 = 0 ，则(a +1)(b + 2) 的最小值为（ ） A．24 B．3 +13 C．9+13 D．25 【答案】D 【详解】因为ab − a − 2b − 2 = 0,所以，又a > 0 ，b > 0，所以，所以 又,所以 ,当且仅当 即时等号成立,即的最小值为25.故选：D. 6．若则的最小值为_________． 【答案】 【详解】因为，则，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：. 7．已知实数，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号，，当且仅当，则时取等号，所以的最小值是.故选：C. 考点三：基本不等式的实际应用 经典例题： 1．矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，其中，则，在直角中，由勾股定理得：，解得：,.当且仅当，即时等号成立.故选:B. 2.如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.(1)求关于的函数表达式；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有，整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 3．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中.(1)求关于的函数，并写出的取值范围；(2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 【详解】（1）依题意，，整理得， 由，得，解得， 所以关于的函数. （2）由（1）知，，， 因此广告牌的周长， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以广告牌的长、宽分别为米、米时，广告牌的周长最小. 强化训练： 1．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设矩形广场的长为，宽为，且，，由三角形相似性质得，化简得，而，当且仅当时取等，故，故健身广场的最大面积为.故选：C 2．汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短? 【详解】（1）根据题意为定值，设比例常数为，则， 所以，所以，所以， 令，则，所以. （2）设通过隧道的时间为，则． ①当时，． ②当时，．当且仅当，即时等号成立． 又，所以当时用时最短． 答：当速度为时该车队通过该隧道用时最短． 3．为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 【详解】（1）根据题意，矩形海报纸面积为， 所以， 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 所以四个宣传栏的总面积， 其中所以.即. （2）由（1）知，则 ，当且仅当时取等号， 则，当且仅当时取等号， 即,时，可使用宣传栏总面积最大为. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元. (1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 【详解】（1）由表格数据知，，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 由，解得，因此，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，函数在上单调递减， ，而， 所以当时，取得最小值元. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$专题02 不等式性质与基本不等式 黄慧群高中数学辅导资料 专题02 不等式性质与基本不等式 一、核心知识： （一）等式性质与不等式性质 1.等式性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 2.不等式性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 （二）基本不等式 1.重要不等式：,（当且仅当时取号）. 变形公式： 2.基本不等式：，当且仅当时取等号．其中，叫做算术平均数，叫做几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3.利用基本不等式求最值：已知x>0，y>0，则 （1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 二、热门考点： 考点一：不等式性质 经典例题： 1．（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 3．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 强化训练： 1．若实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于实数，下列结论正确的有（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若均为实数，则 6．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 7．若实数a，b，c满足且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．， D．“”是“”的充分不必要条件 9．下列命题为真命题的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）若，，则下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 12．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 考点二：基本不等式 经典例题： 1.若正实数，满足，则下列说法错误的是（    ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最大值 2．已知，则的最小值为 . 3．已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 4.已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．25 B．36 C．42 D．56 5．若正数，满足，则的最小值是___________. 6．已知，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 强化训练： 1.当时，的最小值为 ． 2.已知，则的最小值为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 3.若，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4.已知，则最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 5.已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 6．若正数x，y满足x＋3y-5xy=0，则3x＋4y的最小值是（ ） A． B． C．6 D．5 7．已知，，且，则的最小值为______． 8.若，满足，则（    ） A． B． C． D． 9.(多选)已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值4 10．（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最大值为8 11．（多选）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 培优题组： 1.已知，，且，则的最小值为 ． 2.已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．设均为正实数，且，则的最小值为（ ） A．8 B．16 C．9 D．6 4．若正数满足，则的最小值是___________. 5．已知实数 a > 0 ，b > 0，且满足 ab − a − 2b − 2 = 0 ，则(a +1)(b + 2) 的最小值为（ ） A．24 B．3 +13 C．9+13 D．25 6．若则的最小值为_________． 7．已知实数，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 考点三：基本不等式的实际应用 经典例题： 1．矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则的最大面积为（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.(1)求关于的函数表达式；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 3．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农业，为提升特色农产品的知名度，让广告公司设计一个长米，宽米，面积为平方米的长方形广告牌，其中.(1)求关于的函数，并写出的取值范围；(2)如何设计才能使广告牌的周长最小. 强化训练： 1．如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（    ）   A． B． C． D． 2．汽车在隧道内行驶时，安全车距（单位：）正比于车速（单位：）的平方与车身长（单位：）的积，且安全车距不得小于半个车身长．当车速为时，安全车距为个车身长． (1)求汽车在隧道内行驶时的安全车距与车速之间的函数关系式； (2)某救灾车队共有10辆同一型号的货车，车身长为，当速度为多少时该车队通过（第一辆车头进隧道起，到最后一辆车尾离开隧道止，且无其它车插队）长度为的隧道用时最短? 3．为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（和分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积． 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）近来，哈尔滨花式宠爱南方游客成为新晋顶流，“南方小土豆”“广西小砂糖橘”等对游客的爱称也成为网络热梗.哈尔滨的旅游热潮在一定程度上提升了该区域的经济发展活力.当地某滑雪场的一位滑雪护具售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：某品牌滑雪护具在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足 (为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示 10 15 20 25 30 50 60 70 60 50 已知第天的日销售收入为元.(1)请你根据上表中的数据，求出日销售量与时间的函数解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，试求当为何值时，达到最小值，并求出最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$