精品解析：辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度（上）阶段练习（四） 八年级数学 考试时间：100分钟 试卷满分：120分 ※注意事项： 考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的） 1. 国际数学家大会每四年举行一次， 是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议． 下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿着直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 故选D． 2. 某个正多边形的一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正九边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据一个内角是它的外角的3倍，可得该正多边形内角和是其外角和的3倍，据此列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， ∵一个内角是它的外角的3倍， ∴该正多边形内角和是其外角和的3倍， ∴， 解得：， 即这个正多边形是正八边形． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的判定及分式的性质，根据最简分式的定义，即一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，即可一一判定． 【详解】解：A. ，故该选项不是最简分式，不符合题意； B. 是最简分式，故该选项符合题意； C. ，故该选项不是最简分式，不符合题意； D. ，故该选项不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴要根据“”证明，还应添加一个条件是， 故选：D． 6. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，由求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7. 实数，满足，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 又∵， ∴ 故选：A． 8. 沈阳的欧亚长青城到龙之梦要铺设一条长千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设原计划每天铺设管道的长度为千米，根据“每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为千米，根据题意得： ． 故选：B 9. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明，进而得到，根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及其画法，得到平分是解答的关键．根据作图痕迹得到平分，过D作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于H， 由作图痕迹知，平分， ∵，，， ∴， ∵，， ∴ ， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 勿忘草是多年生草本植物，它拥有世界上最小的花粉，勿忘草的花粉直径为米，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 12. 分解因式：ax2-9a=____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：ax2-9a=a(-9)=a(x+3)(x-3). 故答案为： 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=__________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接AD．证明∠3=30°，则AC=AD=BD． 【详解】如图： ∵△ABC中，∠C=90°，∠B=15°， ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-90°-15°=75°． 连接AD． ∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD=8，∠B=∠1=15°， ∴∠2=∠BAC-∠1=75°-15°=60°． 在Rt△ACD中，∠2=60°，∠C=90°， ∴∠3=180°-∠C-∠2=180°-90°-60°=30°． ∴AC=AD=BD=×8=4． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解：， 解得：， 关于的分式方程解为正数， ， 又 的取值范围是且； 故答案为：且． 15. 如图，是等边三角形，于点D，，E是上的一个动点，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值是__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了构造全等三角形及轴对称性求线段和最小值、等边三角形的判定与性质等知识点．连接并延长，由等边三角形的性质可得三角形全等的条件，从而可证，推出，则点F在射线上运动，作C关于射线的对称点，连接，，由对称性质得到，当D、F、共线时取等号，此时有最小值，最小值为的长，然后证明是等边三角形得到，，再证明得到即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长， 为等边三角形，， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点F在射线上运动， 作C关于射线的对称点，连接，，则，，， ∴，当D、F、共线时取等号， 此时取最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、整式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算有理数的乘方、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再加减运算即可求解； （2）先根据积的乘方、单项式的乘除运算法则计算，最后整式的加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将，代入计算可得． 【详解】解： 当，时，原式 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为． （1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴； （2）请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1）如图， （2） 如图，即为所求， （3）4 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称图形，坐标与图形，写出直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形面积，正确建立直角坐标系是解题关键． （1）根据所给坐标建立直角坐标系即可； （2）作出关于y轴对称的即可，根据图形即可得到的坐标； （3）利用网格求出三角形面积即可． 【小问1详解】 解：根据，点C向右平移1个格为y轴，点C向下平移3个格为x轴，两轴交点为原点O； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 19. 如图，在中，于点D，于点E，，过点E作，交的延长线于点H，，求： （1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等角对等边和平行线的性质是解答的关键． （1）先利用平行线的性质得到，再根据垂直定义和三角形的内角和定理求得，再利用等腰三角形的性质求解即可； （2）根据垂直定义和三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元． 【答案】4元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设该商店第一次购进香包的单价是x元，根据“第二次购进的数量比第一次少了30个”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该商店第一次购进香包的单价是x元，则第二次购进香包的单价是元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 答：该商店第一次购进香包的单价是4元． 21. 如图，是平分线射线上一点，，是射线上一点，连接，过点作，交射线于点． （1）求证：； （2）过点作于点，交于点，若，求点到射线的距离． 【答案】（1） 证明：如图所示，在上截取， ∵射线是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）点到射线的距离为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，点到直线的距离，准确识图，正确添加辅助线，熟练并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）在上截取，证明得出，，根据已知可得，，进而得出，由等角对等边可得，等量代换即可得出； （2）过点作于点，证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴，即点到射线的距离为 22. 【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ． 李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ； （2）， 选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）第三个因式为 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1）； ； 故答案为：；；． （2）略 （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 23. 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 24. 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 25. 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）120 【解析】 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 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B. C. D. 2. 某个正多边形的一个内角是它的外角的3倍，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正九边形 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，要根据“HL”证明，还应添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 计算：的结果是（ ） A. B. C. D. 2 7. 实数，满足，，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 8. 沈阳的欧亚长青城到龙之梦要铺设一条长千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 正三角形中，，与交于点P，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，若，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 勿忘草是多年生草本植物，它拥有世界上最小的花粉，勿忘草的花粉直径为米，数据用科学记数法表示为________． 12. 分解因式：ax2-9a=____________________． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=__________． 14. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是_________． 15. 如图，是等边三角形，于点D，，E是上的一个动点，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为． （1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴； （2）请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 19. 如图，在中，于点D，于点E，，过点E作，交的延长线于点H，，求： （1）的度数； （2）的度数． 20. 汴绣是流传于河南省开封市的传统美术，也是国家级非物质文化遗产之一，《东京梦华录》中有“金碧相射，锦绣交辉”之誉．某商店第一次用600元购进绣有吉祥图案的香包若干个，第二次又用600元购进该款式香包，但每个香包的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30个，求该商店第一次购进香包的单价是多少元． 21. 如图，是平分线射线上一点，，是射线上一点，连接，过点作，交射线于点． （1）求证：； （2）过点作于点，交于点，若，求点到射线的距离． 22. 【数学活动】 2．计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ． 李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 23. 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 24. 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 25. 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $